
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\��������{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\�����{\small}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Tot{\operatorname{Tot}}
\def\Tr{\operatorname{Tr}}
\def\Ric{\operatorname{Ric}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Hol{\operatorname{Hol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\hor}{{\operatorname{\sf hor}}}
\newcommand{\im}{{\operatorname{\sf im}}}

\newcommand{\g}{{\goth g}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}

\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}}

 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}
\newcommand{\����}{%
     {\bf \green ��������������. ��� 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it ����. ��������� � ��������� ����������\scriptsize \hfil
  \tiny �. ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ��������� ����������, ������ 12:\\[2mm] 
�������� $G$-��������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ���������} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 16 �������, 2013\\ ������ ��� � ���}

\end{center}

\newpage

{\�� \���� ������� $G$-���������� (����������)}

\�����������
{\�� \���� ������ ��} ���� ������� ������������, ����������
��������� ����������, ����� �������, ��� ���������
�������� �������� �������� �������������.

\�����������
����� $�$ -- �������������� ������������, ����������
���������, ����������� ��������� ������ �� $G$, � 
������������������ $M/G$ � ���������� ������� �����������.
� ����� �������� �������� $M \arrow M/G$ ����������
{\��\���� ������� $G$-�����������}. ���� �� $M$ � �� $M/G$ ������
������������� ��������� �������� ������������, � 
�������� $G\times M \arrow M$ ������, �������
$G$-���������� ���������� {\��\���� �������}.

\�����������
{\�� \���� �������������} �������� $G$-����������
$M \stackrel \pi\arrow N=M/G$ ���� ����� ������� $\pi$,
�� ���� ������ ����������� $N \stackrel s\arrow M$,
��� $s\circ\pi=\Id_N$.

\�����������
{\�� \��� ������� ������� $G$-���������� �������� ����������}.

\�������

{\�� \���� �������������� ���������� (����������)}

\����������� 
����� $X,Y$ -- �������������� ������������ � ���������
������ $G$. ��������� $X\times_G Y$ ��� $X\times Y/G$ �
���������� �������, ��� $g$ ��������� �� $X\times Y$ "�����������",
�� ���� �� ������� $g(x,y)=(gx, gy)$.

\�����������
����� $V$ -- ������������� ������ $G$,
� $E$ -- ������� $G$-���������� ��� $M$.
{\�� \������ ����� ���������� ��������� �� $V$
���������� ��������� ���������� ���������� ��� $M$
�� ������������ $E\times_G V$.} 

\�����������
��������� ���������� $E\times_G V$
���������� {\�� \���� �������������� ��������� �����������},
 ��� {\�� \���� ��������������� ��������� �����������},
��������� � $E$ � �������������� $V$.

\�����������
����� $B= E\times_G V$ -- ��������� ����������, ������� ��������
�� �������� $G$-���������� $�$ � ������������� $V$ ������ $G$.
����� $G$ ���������� {\��\���� ����������� ������� ���������� $B$}.

\newpage

{\�� \���� ��������� ��������� (����������)}

\�����������
����� $\pi:\; M \arrow M'$ -- ������� �����������.
��� ���������� {\��\���� ����������}, ���� � ������ �����
$M$ ������������ $D\pi$ �����������.


\�����������
{\��\���� ������������ ����������� ������������} $T_\pi M$ ���������
$\pi:\; M \arrow M'$ ���� ���� $D\pi$. 


\�����������
����� $\pi:\; M \arrow N$ -- ������� ���������,
� $T_\pi M \subset TM$ -- ��������� ("������������")
����������� ����������.
{\��\���� ��������� ���������} ���� ������������� $B\subset TM$
�����, ��� $T_\pi M \oplus B = TM$.
� ����� ��������, $B$ ���������� {\��\���� ��������������
����������� ����������} ��� ���������, � ������������
$T_\hor M$ ��� $T_\nabla M$, ��� $\nabla$ ����������
��������� ���������.

\���������
�������� ������������ ���������� ����� $T_\hor M\restrict x$ �
$T_{\pi(x)}N$. ������� $T_\hor M=\pi^* TN$.

\�����������
����� $X\in TN$ -- ��������� ����.
��������������� ��������� ���� $\pi^*X \in \pi^* TM= T_\hor M$
���������� {\��\���� �������������� �������� $X$ � $T_\hor M$}.




\�������

{\�� \���� ��������� ��������� � 1-����� ������� (����������)}

\�����������
����� $\pi:\; X \arrow Y$ -- ������� ���������,
� $s_1, s_2:\; Y \arrow X$ -- ������� $\pi$, �������
�������� ����� ����� $x\in X$. ���������, ���
$s_1$ � $s_2$ {\��\blue ����� ���������� 1-���� � $x$},
���� $T_x S_1=T_xS_2$, ��� $S_1=\im s_1$ � $S_2=\im s_2$.
������������ ������� ��������������� ������������ $J^1_x(X, \pi)$,
� ����������� $J^1_x(X)$ �� ���� $x\in X$ ����������
{\��\���� ������������ 1-������ ������� $\pi$}, � ������������
$J^1(X,\pi)$. �� ������������� �� $J^1(X,\pi)$
���������, �������������� $C^1$-���������� ��
������������ �������.

\���������
����� $T_\hor X \subset TX$ -- ��������� ���������
�� ������� ��������� $\pi:\; X \arrow Y$.
����� {\�� \������ ��� ������ ����� $x\in X$, 
� �����-�� ����������� $U\ni \pi(x)$ ����������
������� $s:\; U \arrow X$, ���������� $x$,}
� ����������� � $T_\hor X$; ��������, {\�� \������
1-���� ������ �������
� $x$ �������� ���� �������� ����������.}

\�������
��� ������ {\�� \��� ������� ����� ���������� ����������
��������� � ���������� ������� ��������
$\pi_1:\; J^1(X,\pi) \arrow X$.} \��������

\�������

{\�� \���� �������� ��������� (����������)}


\�����������
����� $B\stackrel \pi \arrow M$ -- ��������� ���������� �� ����������
$\nabla$. ����� ��� ������ ����� $b\in \Tot B$
� �����-�� ����������� $U\ni \pi(b)$ {\�� \��� ����������
������� $s:\; U \arrow \Tot B$, ���������� $b$,
� ��������������� $\nabla s\restrict{\pi(b)}=0$.}


\��������� 1-���� ������� $s:\; U \arrow \Tot B$,
���������������� $\nabla s\restrict{\pi(b)}=0$, {\�� \��� ��������
����������.} �������������, {\�� \������ ���� ��� ����� ������� �������������
����� ���������, �� ����������� � $b$ �����.} ��� ������
������� ���������� 1-������ $J^1(\Tot B, \pi)\arrow \Tot B$.


\�����������
����� $B\stackrel \pi \arrow M$ -- ��������� ���������� �� ����������
$\nabla$, � $s:\; \Tot B \arrow J^1(\Tot B, \pi)$ -- ������� ���������� 1-������,
����������� ����. ��������������� ��������� ��������� ����������
{\�� \���� ��������}.

\��������� {\�� \������ ������������ ������� ������������ ����
��������� ��������� ����� ������������� �������� ������������ $\nabla$.}



\�������

{\�� \���� ��������� �� ������� ����������� (����������)}


\�����������
����� $G$ -- ������ ��, $E\arrow M$ -- �������
$G$-����������, � $T_\hor E \subset TE$ -- ���������
���������. ��� ���������� {\��\���� $G$-������������},
���� ��� ������ $g\in G$ � $X\in T_\hor E$,
���� $g(X)$ ����� �  $T_\hor E$.
{\��\���� ��������� �� ������� $G$-����������}
���� $G$-������������ ��������� ���������.

\�����������
����� $X$ -- �������������� ������������, �� ������� ������ $G$ ���������
����������, �������� � ����������� (����� ������������ ����������
{\��\���� �������� ��� $G$}). ���������� ������ $H=\Aut_G(X)$ �������������� $X$,
������������� � ��������� $G$. {\�� \��� ����� $H=G$.}

\�������������� 
����������� $X$ � $G$, ������� ����� ��������� �� ����,
������ � $X$ ���������� �����.
��������� ����� �������� $G$ ����������� � ������,
{\�� \������ �� �������� �������� $\rho:\; G\arrow \Aut_G(X)$.} � ������ �������,
{\bf \purple ������ ����������� $X$ �������� ������� ����� �����,
� ������� $\rho$ �����������.}
\��������

\���������
{\�� \��� ������ ��������� $G$-������������ ���������
�� ������� $G$-���������� ���� ��������� $G$.}

\�������

{\�� \���� $G$-������������ ��������� ���� (����������)}


\�����������
����� $X$ -- ������� ������ ��� ������� �� $G$.
����� {\�� \��� ������������ $\Lie_G(X)$ $G$-������������
��������� ����� �� $X$ ����������� ���������������
� �������� �� $G$.}

\�������������� ��� ����������������� ������
����������� $\Aut_G X=G$; ������������ ����� �����.

����������� $X$ � $G$, ������� ����� ��������� �� ����,
������ � $X$ ���������� �����.
��������� ����� �������� $G$ ����������� � ������,
{\�� \������ �� �������� �������� $\rho:\; {\goth g}\hookrightarrow 
\Lie_G(X)$.} � ������ �������,
{\bf \purple ������ $G$-������������
��������� ���� �� $X$ �������� ����� ��������� � ����� �����,
� ������� $\rho$ �����������.} \��������


\�����������
����� $P \arrow M$ -- ������� $G$-����������,
� $\Lie_G(P)$ -- ������������ $G$-��\-��\-��\-���\-��� ��������� ����� �� $P$.
����� $\goth{b}$ -- �������� ����������� ����� ������ ��
�� $M$; �� ���������� {\�� \���� ����� ������ �� �����������
������ ����������.}

\�������

{\�� \���� ������������ ���������� (����������)}

\���������
����� ${\cal A}$ -- ������������ ���������� ���������
�� $M \stackrel \pi \arrow N$. ����� {\�� \��� ${\cal A}$
�������� �������� ������������� � �������������
$\Hom(\pi^* TN, T_\pi M)$.}

\��������������
����� $s, s':\; M \arrow J^1(M,\pi)$ ��� �������
��������� ���������� 1-������ ������� $\pi$. ����� 
$s-s'$ -- ������� ���������������� ����������
���������� $\Hom(\pi^* TN, T_\pi M)$. \��������


\�����������
����� $M \stackrel \pi \arrow N$ -- ������� $G$-����������,
� ${\cal A}$ -- ������������ ���������� �� $\pi$.
����� ${\cal A}$ ���� {\�� \��� �������� ���������
������������, ������������ �������� $W$ 
����������� ���������\\
$\Lambda^1 N \otimes_\R {\goth g}$, ��� $\goth g$
���� ����� ������ �� ����������� ������.}

\��������������
 ${\cal A}$ ���� �������� ���������
������������, ������������ �������� $W$ 
��������������� � ������������� $G$-������������ 
������� $\pi^* \Lambda^1 N \otimes T_\pi M$,
�� $\Lie_G(M)={\goth g}$.
\��������


\�������

{\�� \���� ��������� �� �������������� ����������� (����������)}


\�����������
����� $M \arrow N$ -- ������� $G$-����������, � $X$ --
������� ������������ � ��������� $G$. ��������� �� ${\cal
X}$ �������������� ���������� ${\cal X}:= M\times_G X$.
����� $TM=T_\pi M \oplus T_\hor M$ --
$G$-������������ ��������� ���������, � $v:\; X \times M
\arrow  M\times_G X$ -- ����������� ��������. �����
��� $T_\hor {\cal X}:= Dv(T_\hor M)$ ������ 
��������� ��������� �� ${\cal X}\arrow N$, ������� ����������
{\�� \���� ��������� �� �������������� ����������,
�������������� $T_\hor M$.}


{\�� \����� ����������� 1:}
����� $M\stackrel \pi\arrow N$ -- ������� 
$G$-����������, $\nabla$ -- ��������� �� $\pi$,
$V$ -- ������������� $G$, � $B \arrow N$ -- ��������������
��������� ����������, $B=M \times_G V$. ���������� ��������� 
��������� $\nabla^B$ �� $\Tot B$,  �������������� � $\nabla$.
{\�� \��� ����� ��� �������� ���������.}

\��������������
���� ��������� ������������ ���� ���������; �� �����������
�������������� �� ��������� � $V$.
\��������

\�������
����� $B$ -- ��������� ���������� ��� $M$, � 
$P\arrow M$ -- ���������� ������� (������� $GL(n)$-����������).
{\�� \��� ����� ���������� ������������ �������} ����� {\�� \������ 1. �����������
�� $P$,} {\�� \������ 2. ��������� ����������� �� $\Tot B$,} � 
{\�� \������ 3. �����������
�� ��������� ���������� $B$.}

\�������

{\�� \���� ��������� � ����������� ������}

\�����������
����� $E \arrow M$ -- ������� $G$-����������, $V$ -- �������������
$G$, � $B:= E\times_G V$ -- �������������� ��������� ����������.
��������, ��� � ����� �������� $G$ ���������� {\��\���� �����������
�������} $B$. ���������, ��� �������� ��������� $\nabla$ �� $B$
{\��\���� ����������� �� ����������� ������� $G$}, ����
$\nabla$ ������������ ���������� �� ������� ���������� $E$.
� ����� �������� $\nabla$ ���������� $G$-����������.

\�����������
� �������� ���������� ������, ����������� 
�������� �������� ������������ ��������� ���� �� $\Tot B$
� $\End B$. ��� ������ ����������� $\goth{b}\arrow \End B$.
��� ����� ${\goth g}_B$ � $\End(B)$ ���������� {\��\����
����������� ������� �� ���������� ���������� $B$.}

\�����������
����� $B$ -- ��������� ���������� �� ����������� ������� $G$.
{\�� \������ ����� ������������ $G$-���������� �� $B$ ������� ��� $\Lambda^1
M\otimes {\goth g}_B$,} � {\�� \������ �������� $G$-��������� ���������
�������� � $\Lambda^2 M\otimes {\goth g}_B$.}

\��������������
����������� ���� ��� ������� ���������� ��� �������, ��
������ $G$-��������� �� $B$ ������������ � $G$-��������� �� 
��� ������� $G$-����������. \��������

\�������

{\�� \���� �������� ��������� �� ������� $G$-����������}


\�����������
{\��\���� �������� ��������� ���������} ��� ���������
 $\pi:\; X \arrow Y$ ���� ����� ����������
������������� $T_\hor X \subset TX$,
\[
 \Phi:\; \Lambda^2 T_\hor X \arrow T_\pi X.
\]
\��������� ����� ������� �������� $\Theta$ ��������� ���������
2-������ �� $Y$ �� ���������� � ����������������
���������� ��������� ��������� �����: 
$\Theta\in \Lambda^2 Y \otimes\pi_* T_\pi X$.

\�����������
����� $P \arrow M$ -- ������� $G$-����������,
� $\Theta\in \Lambda^2 N \otimes\pi_* T_\pi �$ --
�������� $G$-������������ ���������. {\�� \��� �����
$\Theta$ ����� � $\Lambda^2 M\otimes\g$,} ���
$\g$ -- ����������� ������� �� ����������.

\��������������
$\Theta$ $G$-�����������, �� ���� ��������� ��������
� ��������� $G$-������������ ��������� �����:
$\Theta\in \Lambda^2 � \otimes(\pi_* T_\pi �)^G$.
�� $(\pi_* T_\pi �)^G=\g$. \��������

\���������
����� $P \arrow M$ -- ������� $G$-����������, $B=P\times_X V$
-- �������������� ���������, $\g$ -- ����������� ������� �� $P$,
� $\g_B$ -- �� ����� � $\End B$. {\�� \������ ����� �������� �����
$G$-��������� �� $B$ ��������� �������� � $\g_B$.} \�������� 

\�������

%{\�� \���� �������� ���������� �� ����������� ������� $G$}

{\�� \���� �������� $G$-��������}

\�����������
����� $G$ -- ������ ��, ���������� ������������� � $GL(n)$.
{\�� \���� $G$-���������} �� $n$-������
������������ $M$ ���� �������� �����������
������ $TM$ � $GL(n)$ �� $G$.

\���������
$G$-��������� �� $TM$ �������� �������� �������������
��� $\Lambda^1 M\otimes \g$, ��� $\g$ ���� ����������� ������� ��.
������� {\�� \��� �������� ���� �������� ����������� �� ������������ ${\cal A}_G$
$G$-���������� � $\Lambda^2 M \otimes TM$,} � ��� ������������ --
$\Alt:\; \Lambda^1 M\otimes \g\arrow \Lambda^2 M \otimes TM$.

\�����������
{\��\���� ���������� �������� ����������� ��������} $�_G$ 
(intrinsic torsion bundle) $G$-��������� �� $M$ ���� ������
\[
T_G:=\frac{\Lambda^2 M \otimes TM}{\Alt(\Lambda^1 M\otimes \g)}.
\]
{\�� \���� ��������} (intrinsic torsion) $G$-��������� ���� 
����� �� �������� � $�_G$.


\�������

{\�� \���� �������� $G$-�������� (�����������)}

\�����������
{\��\���� ���������� �������� ����������� ��������} $�_G$ 
(intrinsic torsion bundle) $G$-��������� �� $M$ ���� ������
\[
T_G:=\frac{\Lambda^2 M \otimes TM}{\Alt(\Lambda^1 M\otimes \g)}.
\]
{\�� \���� ���������� ��������} (intrinsic torsion) $G$-��������� ���� 
����� �� �������� � $�_G$.


\��������� {\�� \��� �������� $G$-��������� �� ������� �� ������
���������.} �������������, ���� ��� ��������� ����������
�� $A$, �� ������� �������� ���������� �� $\Alt(A)$.

\���������
���������� $G$-��������� ${\goth G}$ �� $M$.
����� {\�� \������ �� $TM$ ���� $G$-��������� ��� �������� ����� � ������ �����,
����� �������� ${\goth G}$ ����������.}

\������
��� $G=SO(n)$, ���������� 
$T_G=\frac{\Lambda^2 M \otimes TM}{\Alt(\Lambda^1 M\otimes \Lambda^2 M)}$
����������. {\�� \������ ��������������� ��������� ��� �������� ���� ���������
����-������.}

\�������

{\�� \���� ����������� $G$-���������}

\�����������
����� $\psi:\; M \arrow M'$ -- ������������� ������������
� ��������� �� ��� $G$-�����������. ���� �������������
{\�� \���� ���������� � $G$-����������}, ���� �� ������������
�� ��������������� $G$-����������: $\psi_P:\; P \arrow\psi^* P'$,
����� �������, ��� $D\psi:\; TM=P\times_G V\arrow P'\times_G V$ 
����� $\psi_P\times_G \Id_V$.

\�����������
����� $V$ -- ������������� ������ $G$.
{\�� \���� ����������� $G$-���������} �� ������������ $M=V$
���� ��������������� �������� ���������� ������ $TV$ � $G$.

\�����������
{\�� \���� �������� ����������� $G$-���������} �� $M$
���� $G$-���������, ��� ������� ������ ���������,
������������� � $G$-���������� 
�������������� $M$ � ����� � $V$ � ����������� $G$-����������.

\������
�������� $Sp(n,\R)$-��������� ����� �������������
��������������� 2-�����. {\�� \������ ��������������� 
����� ������ �������� �����������
$Sp(n,\R)$-���������} (������� �����).

\������
{\�� \������ ����������� ��������� ������ �������� �����������
$GL(n,\C)$-���������.}



\�������

{\�� \���� ����� $G$-��������}

\�����������
��� ��������������� $N,N'\subset M$, ����������
����� ����� $m$, �������� � ����� $m$ ���������� $k$,
���� � ����������� $m$ ����� ������ $N$ � $N'$
�������� ��������������� $\phi, \phi':\; \R^k \arrow M$,
������ ��� ����������� $\phi$ � $\phi'$, ������ �� $k$-�, �����.

\�����������
����� $G\hookrightarrow GL(n)$ ��������� ��, �
$\pi:\; P\arrow M$ -- ���������� ������� �� $n$-������������ $M$,
� $P_G\subset P$ -- ��������������� $G$-���������,
�� ���� ������� �������������, �����, ��� $G$
��������� ����������� �� �����. ��� $G$-���������
$P_G$ � $P_{G'}$ ���������� {\��\���� �������������� 
� ��������� �� ������� $k$} � $m\in M$, ���� 
$P_G$ �������� $P_{G'}$ � $\pi^{-1}(m)$ � ���������� $k$.

\�����������
������ ��������������� $G$-�������� � ��������� �� �������
$k$ ���������� {\�� \���� $k$-������� $G$-��������.}

\�����������
$G$-��������� ${\goth G}$ ���������� {\�� \���� ����������� �
��������� �� $k$-�� �������}, ���� ��� ������
����� $M$ �������� ����������� $G$-���������
${\goth G}_m$ � ��� �� ����� $k$-������.


\�������
$G$-��������� {\�� \��� ���������� � ��������� �� 
������� $1$} ����� � ������ �����, ����� �� {\�� \��� ���������� ��������
����� ����.}


\�������

{\�� \���� $G$-��������� ���� $k$}

\����������� {\�� \���� (������-��������)} \\ 
������ $G\subset GL(n,\R)$, ���������� {\�� \����
��������� ���� $k$}, ���� ��� ����� $G$-���������
�� ������������� � ��������� �� ������� $k$
������� ��������� �������������.

\������� {\�� \���� (������-��������)} \\ 
������ ��������� ���� 1:\\
\hphantom{XX} 1. $SL(n,\R)\subset GL(n,\R)$ (������������ �
������������� ������ ������).\\
\hphantom{XX}  2. $Sp(n,\R)\subset GL(2n, \R)$ (���������������
������������).\\
\hphantom{XX}  3. $Sp(n,\R)\subset GL(2n+1, \R)$ (����������
������������).\\
\hphantom{XX}  4. $Sp(n,\R)\subset GL(2n, \R)$ (�������� ��������� 
��������������� ������������).\\
\hphantom{XX}  5. $\R\cdot Sp(n,\R)\subset GL(2n+1, \R)$ (�������� ���������
���������� ������������).\\
{\�� \��� ���� ������� ������������� ��� ������ ��������� ���� 1,
��� ������� $G$ �� ��������� ������� ������������� �������������
� $TM\otimes \C$.}

\���������
���� � ��������� �������
�������� $TM\otimes \C$ �� $TM$, � ������ ���������
����������� ������ ���� ������������� �����.



\end{document}
