\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Tot{\operatorname{Tot}} \def\Tr{\operatorname{Tr}} \def\Ric{\operatorname{Ric}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Hol{\operatorname{Hol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\hor}{{\operatorname{\sf hor}}} \newcommand{\im}{{\operatorname{\sf im}}} \newcommand{\g}{{\goth g}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Дифф. геометрия и векторные расслоения\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Векторные расслоения, лекция 12:\\[2mm] Кручение $G$-структур} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 16 декабря, 2013\\ матфак ВШЭ и НМУ} \end{center} \newpage {\бф \блуе Главные $G$-расслоения (повторение)} \определение {\бф \блуе Группа Ли} есть гладкое многообразие, снабженное групповой структурой, таким образом, что групповые операции задаются гладкими отображениями. \определение Пусть $М$ -- топологическое пространство, снабженное свободным, непрерывным действием группы Ли $G$, а факторпространство $M/G$ с топологией фактора хаусдорфово. В такой ситуации проекция $M \arrow M/G$ называется {\бф\блуе главным $G$-расслоением}. Если на $M$ и на $M/G$ заданы согласованные структуры гладкого многообразия, а действие $G\times M \arrow M$ гладко, главное $G$-расслоение называется {\бф\блуе гладким}. \определение {\бф \блуе Тривиализация} главного $G$-расслоения $M \stackrel \pi\arrow N=M/G$ есть выбор сечения $\pi$, то есть такого отображения $N \stackrel s\arrow M$, что $s\circ\pi=\Id_N$. \утверждение {\бф \ред Гладкие главные $G$-расслоения локально тривиальны}. \невпаге {\бф \блуе Присоединенные расслоения (повторение)} \определение Пусть $X,Y$ -- топологические пространства с действием группы $G$. Определим $X\times_G Y$ как $X\times Y/G$ с топологией фактора, где $g$ действует на $X\times Y$ "диагонально", то есть по формуле $g(x,y)=(gx, gy)$. \утверждение Пусть $V$ -- представление группы $G$, а $E$ -- главное $G$-расслоение над $M$. {\бф \пурпле Тогда аддитивная структура на $V$ определяет структуру векторного расслоения над $M$ на произведении $E\times_G V$.} \определение Векторное расслоение $E\times_G V$ называется {\бф \блуе присоединенным векторным расслоением}, или {\бф \блуе ассоциированным векторным расслоением}, связанным с $E$ и представлением $V$. \определение Пусть $B= E\times_G V$ -- векторное расслоение, которое получено из главного $G$-расслоения $Е$ и представления $V$ группы $G$. Тогда $G$ называется {\бф\блуе структурной группой расслоения $B$}. \newpage {\бф \блуе Связность Эресманна (повторение)} \определение Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкое отображение. Оно называется {\бф\блуе субмерсией}, если в каждой точке $M$ дифференциал $D\pi$ сюрьективен. \определение {\бф\блуе Вертикальное касательное пространство} $T_\pi M$ субмерсии $\pi:\; M \arrow M'$ есть ядро $D\pi$. \определение Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая субмерсия, а $T_\pi M \subset TM$ -- послойное ("вертикальное") касательное расслоение. {\бф\блуе Связность Эресманна} есть подрасслоение $B\subset TM$ такое, что $T_\pi M \oplus B = TM$. В такой ситуации, $B$ называется {\бф\блуе горизонтальное касательное расслоение} для субмерсии, и обозначается $T_\hor M$ или $T_\nabla M$, где $\nabla$ обозначает связность Эресманна. \замечание Проекция осуществляет изоморфизм слоев $T_\hor M\restrict x$ и $T_{\pi(x)}N$. Поэтому $T_\hor M=\pi^* TN$. \определение Пусть $X\in TN$ -- векторное поле. Соответствующее векторное поле $\pi^*X \in \pi^* TM= T_\hor M$ называется {\бф\блуе горизонтальным подъемом $X$ в $T_\hor M$}. \невпаге {\бф \блуе Связности Эресманна и 1-джеты сечений (повторение)} \определение Пусть $\pi:\; X \arrow Y$ -- гладкая субмерсия, а $s_1, s_2:\; Y \arrow X$ -- сечения $\pi$, которые проходят через точку $x\in X$. Говорится, что $s_1$ и $s_2$ {\бф\blue имеют одинаковый 1-джет в $x$}, если $T_x S_1=T_xS_2$, где $S_1=\im s_1$ и $S_2=\im s_2$. Пространство классов эквивалентности обозначается $J^1_x(X, \pi)$, а объединение $J^1_x(X)$ по всем $x\in X$ называется {\бф\блуе пространство 1-джетов сечений $\pi$}, и обозначается $J^1(X,\pi)$. Мы рассматриваем на $J^1(X,\pi)$ топологию, индуцированную $C^1$-топологией на пространстве сечений. \замечание Пусть $T_\hor X \subset TX$ -- связность Эресманна на гладкой субмерсии $\pi:\; X \arrow Y$. Тогда {\бф \пурпле для каждой точки $x\in X$, в какой-то окрестности $U\ni \pi(x)$ существует сечение $s:\; U \arrow X$, содержащее $x$,} и касательное к $T_\hor X$; очевидно, {\бф \пурпле 1-джет такого сечения в $x$ задается этим условием однозначно.} \теорема Это задает {\бф \ред биекцию между множеством связностей Эресманна и множеством сечений проекции $\pi_1:\; J^1(X,\pi) \arrow X$.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Линейные связности (повторение)} \утверждение Пусть $B\stackrel \pi \arrow M$ -- векторное расслоение со связностью $\nabla$. Тогда для каждой точки $b\in \Tot B$ в какой-то окрестности $U\ni \pi(b)$ {\бф \ред существует сечение $s:\; U \arrow \Tot B$, содержащее $b$, и удовлетворяющее $\nabla s\restrict{\pi(b)}=0$.} \замечание 1-джет сечения $s:\; U \arrow \Tot B$, удовлетворяющего $\nabla s\restrict{\pi(b)}=0$, {\бф \ред задается однозначно.} Действительно, {\бф \пурпле если два джета сечений удовлетворяют этому уравнению, их производные в $b$ равны.} Это задает сечение расслоения 1-джетов $J^1(\Tot B, \pi)\arrow \Tot B$. \определение Пусть $B\stackrel \pi \arrow M$ -- векторное расслоение со связностью $\nabla$, а $s:\; \Tot B \arrow J^1(\Tot B, \pi)$ -- сечение расслоения 1-джетов, построенное выше. Соответствующая связность Эресманна называется {\бф \блуе линейной}. \замечание {\бф \пурпле Параллельный перенос относительно этой связности Эресманна равен параллельному переносу относительно $\nabla$.} \невпаге {\бф \блуе Связности на главных расслоениях (повторение)} \определение Пусть $G$ -- группа Ли, $E\arrow M$ -- главное $G$-расслоение, а $T_\hor E \subset TE$ -- связность Эресманна. Она называется {\бф\блуе $G$-инвариантной}, если для любого $g\in G$ и $X\in T_\hor E$, поле $g(X)$ лежит в $T_\hor E$. {\бф\блуе Связность на главном $G$-расслоении} есть $G$-инвариантная связность Эресманна. \утверждение Пусть $X$ -- топологическое пространство, на котором группа $G$ действует непрерывно, свободно и транзитивно (такое пространство называется {\бф\блуе торсором над $G$}). Рассмотрим группу $H=\Aut_G(X)$ гомеоморфизмов $X$, коммутирующих с действием $G$. {\бф \ред Тогда $H=G$.} \доказательство Отождествим $X$ с $G$, которое слева действует на себе, выбрав в $X$ отмеченную точку. Поскольку левое действие $G$ коммутирует с правым, {\бф \пурпле мы получаем вложение $\rho:\; G\arrow \Aut_G(X)$.} С другой стороны, {\bf \purple каждый автоморфизм $X$ задается образом одной точки, и поэтому $\rho$ сюрьективен.} \ендпрооф \следствие {\бф \ред Группа голономии $G$-инвариантной связности на главном $G$-расслоении есть подгруппа $G$.} \невпаге {\бф \блуе $G$-инвариантные векторные поля (повторение)} \утверждение Пусть $X$ -- гладкий торсор над группой Ли $G$. Тогда {\бф \ред пространство $\Lie_G(X)$ $G$-инвариантных векторных полей на $X$ канонически отождествляется с алгеброй Ли $G$.} \доказательство Это инфинитезимальная версия изоморфизма $\Aut_G X=G$; доказывается точно также. Отождествим $X$ с $G$, которое слева действует на себе, выбрав в $X$ отмеченную точку. Поскольку левое действие $G$ коммутирует с правым, {\бф \пурпле мы получаем вложение $\rho:\; {\goth g}\hookrightarrow \Lie_G(X)$.} С другой стороны, {\bf \purple каждое $G$-инвариантное векторное поле на $X$ задается своим значением в одной точке, и поэтому $\rho$ сюрьективен.} \ендпрооф \определение Пусть $P \arrow M$ -- главное $G$-расслоение, а $\Lie_G(P)$ -- пространство $G$-ин\-ва\-ри\-ант\-ных векторных полей на $P$. Тогда $\goth{b}$ -- локально тривиальный пучок алгебр Ли на $M$; он называется {\бф \блуе пучок алгебр Ли структурной группы расслоения.} \невпаге {\бф \блуе Пространство связностей (повторение)} \замечание Пусть ${\cal A}$ -- пространство связностей Эресманна на $M \stackrel \pi \arrow N$. Тогда {\бф \ред ${\cal A}$ является аффинным пространством с линеаризацией $\Hom(\pi^* TN, T_\pi M)$.} \доказательство Пусть $s, s':\; M \arrow J^1(M,\pi)$ два сечения аффинного расслоения 1-джетов сечений $\pi$. Тогда $s-s'$ -- сечения соответствующего векторного расслоения $\Hom(\pi^* TN, T_\pi M)$. \ендпрооф \утверждение Пусть $M \stackrel \pi \arrow N$ -- главное $G$-расслоение, а ${\cal A}$ -- пространство связностей на $\pi$. Тогда ${\cal A}$ есть {\бф \ред аффинное векторное пространство, линеаризация которого $W$ канонически изоморфна\\ $\Lambda^1 N \otimes_\R {\goth g}$, где $\goth g$ есть пучок алгебр Ли структурной группы.} \доказательство ${\cal A}$ есть аффинное векторное пространство, линеаризация которого $W$ отождествляется с пространством $G$-инвариантных сечений $\pi^* \Lambda^1 N \otimes T_\pi M$, но $\Lie_G(M)={\goth g}$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Связности на присоединенных расслоениях (повторение)} \определение Пусть $M \arrow N$ -- главное $G$-расслоение, а $X$ -- гладкое многообразие с действием $G$. Обозначим за ${\cal X}$ присоединенное расслоение ${\cal X}:= M\times_G X$. Пусть $TM=T_\pi M \oplus T_\hor M$ -- $G$-инвариантная связность Эресманна, а $v:\; X \times M \arrow M\times_G X$ -- стандартная проекция. Тогда что $T_\hor {\cal X}:= Dv(T_\hor M)$ задает связность Эресманна на ${\cal X}\arrow N$, которая называется {\бф \блуе связность на присоединенном расслоении, индуцированная $T_\hor M$.} {\бф \греен Утверждение 1:} Пусть $M\stackrel \pi\arrow N$ -- главное $G$-расслоение, $\nabla$ -- связность на $\pi$, $V$ -- представление $G$, а $B \arrow N$ -- присоединенное векторное расслоение, $B=M \times_G V$. Рассмотрим связность Эресманна $\nabla^B$ на $\Tot B$, индуцированную с $\nabla$. {\бф \ред Тогда это линейная связность.} \доказательство Надо проверить аддитивность этой связности; но конструкция перестановочна со сложением в $V$. \ендпрооф \теорема Пусть $B$ -- векторное расслоение над $M$, а $P\arrow M$ -- расслоение реперов (главное $GL(n)$-расслоение). {\бф \ред Тогда существует естественная биекция} между {\бф \пурпле 1. связностями на $P$,} {\бф \пурпле 2. линейными связностями на $\Tot B$,} и {\бф \пурпле 3. связностями на векторном расслоении $B$.} \невпаге {\бф \блуе Связности и структурные группы} \определение Пусть $E \arrow M$ -- главное $G$-расслоение, $V$ -- представление $G$, а $B:= E\times_G V$ -- присоединенное векторное расслоение. Напомним, что в такой ситуации $G$ называется {\бф\блуе структурной группой} $B$. Говорится, что линейная связность $\nabla$ на $B$ {\бф\блуе согласована со структурной группой $G$}, если $\nabla$ индуцирована связностью на главном расслоении $E$. В такой ситуации $\nabla$ называется $G$-связностью. \определение В условиях предыдущей задачи, отождествим послойно линейные вертикальные векторные поля на $\Tot B$ с $\End B$. Это задает отображение $\goth{b}\arrow \End B$. Его образ ${\goth g}_B$ в $\End(B)$ называется {\бф\блуе структурная алгебра Ли векторного расслоения $B$.} \утверждение Пусть $B$ -- векторное расслоение со структурной группой $G$. {\бф \пурпле Тогда пространство $G$-связностей на $B$ аффинно над $\Lambda^1 M\otimes {\goth g}_B$,} а {\бф \пурпле кривизна $G$-связности принимает значения в $\Lambda^2 M\otimes {\goth g}_B$.} \доказательство Аналогичный факт для главных расслоений уже доказан, но каждая $G$-связность на $B$ индуцирована с $G$-связности на его главном $G$-расслоении. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Кривизна связности на главном $G$-расслоении} \определение {\бф\блуе Кривизна связности Эресманна} для субмерсии $\pi:\; X \arrow Y$ есть форма Фробениуса подрасслоения $T_\hor X \subset TX$, \[ \Phi:\; \Lambda^2 T_\hor X \arrow T_\pi X. \] \замечание Можно считать кривизну $\Theta$ связности Эресманна 2-формой на $Y$ со значениями в бесконечномерном расслоении послойных векторных полей: $\Theta\in \Lambda^2 Y \otimes\pi_* T_\pi X$. \утверждение Пусть $P \arrow M$ -- главное $G$-расслоение, а $\Theta\in \Lambda^2 N \otimes\pi_* T_\pi М$ -- кривизна $G$-инвариантной связности. {\бф \ред Тогда $\Theta$ лежит в $\Lambda^2 M\otimes\g$,} где $\g$ -- структурная алгебра Ли расслоения. \доказательство $\Theta$ $G$-инвариантна, то есть принимает значения в послойных $G$-инвариантных векторных полях: $\Theta\in \Lambda^2 М \otimes(\pi_* T_\pi М)^G$. Но $(\pi_* T_\pi М)^G=\g$. \ендпрооф \следствие Пусть $P \arrow M$ -- главное $G$-расслоение, $B=P\times_X V$ -- присоединенное векторное, $\g$ -- структурная алгебра Ли $P$, а $\g_B$ -- ее образ в $\End B$. {\бф \пурпле Тогда кривизна любой $G$-связности на $B$ принимает значения в $\g_B$.} \ендпрооф \невпаге %{\бф \блуе Кривизна расслоения со структурной группой $G$} {\бф \блуе Кручение $G$-структур} \определение Пусть $G$ -- группа Ли, снабженная гомоморфизмом в $GL(n)$. {\бф \блуе $G$-структура} на $n$-мерном многообразии $M$ есть редукция структурной группы $TM$ с $GL(n)$ до $G$. \замечание $G$-Связности на $TM$ являются аффинным пространством над $\Lambda^1 M\otimes \g$, где $\g$ есть структурная алгебра Ли. Поэтому {\бф \ред кручение есть аффинное отображение из пространства ${\cal A}_G$ $G$-связностей в $\Lambda^2 M \otimes TM$,} а его линеаризация -- $\Alt:\; \Lambda^1 M\otimes \g\arrow \Lambda^2 M \otimes TM$. \определение {\бф\блуе Расслоение тензоров внутреннего кручения} $Т_G$ (intrinsic torsion bundle) $G$-структуры на $M$ есть фактор \[ T_G:=\frac{\Lambda^2 M \otimes TM}{\Alt(\Lambda^1 M\otimes \g)}. \] {\бф \блуе Кручение} (intrinsic torsion) $G$-структуры есть образ ее кручения в $Т_G$. \невпаге {\бф \блуе Кручение $G$-структур (продолжение)} \определение {\бф\блуе Расслоение тензоров внутреннего кручения} $Т_G$ (intrinsic torsion bundle) $G$-структуры на $M$ есть фактор \[ T_G:=\frac{\Lambda^2 M \otimes TM}{\Alt(\Lambda^1 M\otimes \g)}. \] {\бф \блуе Внутреннее кручение} (intrinsic torsion) $G$-структуры есть образ ее кручения в $Т_G$. \замечание {\бф \ред Кручение $G$-структуры не зависит от выбора связности.} Действительно, если две связности отличаются на $A$, их тензоры кручения отличаются на $\Alt(A)$. \замечание Рассмотрим $G$-структуру ${\goth G}$ на $M$. Тогда {\бф \пурпле на $TM$ есть $G$-связность без кручения тогда и только тогда, когда кручение ${\goth G}$ зануляется.} \пример Для $G=SO(n)$, расслоение $T_G=\frac{\Lambda^2 M \otimes TM}{\Alt(\Lambda^1 M\otimes \Lambda^2 M)}$ тривиально. {\бф \пурпле Соответствующая связность без кручения есть связность Леви-Чивита.} \невпаге {\бф \блуе Тривиальные $G$-структуры} \определение Пусть $\psi:\; M \arrow M'$ -- диффеоморфизм многообразий с заданными на них $G$-структурами. Этот диффеоморфизм {\бф \блуе согласован с $G$-структурой}, если он продолжается до соответствующих $G$-расслоений: $\psi_P:\; P \arrow\psi^* P'$, таким образом, что $D\psi:\; TM=P\times_G V\arrow P'\times_G V$ равно $\psi_P\times_G \Id_V$. \определение Пусть $V$ -- представление группы $G$. {\бф \блуе Тривиальная $G$-структура} на многообразии $M=V$ есть тавтологическая редукция стуктурной группы $TV$ к $G$. \определение {\бф \блуе Локально тривиальная $G$-структура} на $M$ есть $G$-структура, для которой заданы локальные, согласованные с $G$-структурой диффеоморфизмы $M$ и шаров в $V$ с тривиальной $G$-структурой. \пример Кручение $Sp(n,\R)$-структуры равно дифференциалу соответствующей 2-формы. {\бф \пурпле Симплектическая форма задает локально тривиальную $Sp(n,\R)$-структуру} (теорема Дарбу). \пример {\бф \пурпле Комплексная структура задает локально тривиальную $GL(n,\C)$-структуру.} \невпаге {\бф \блуе Джеты $G$-структур} \определение Два подмногообразия $N,N'\subset M$, проходящие через точку $m$, касаются в точке $m$ кратностью $k$, если в окрестности $m$ можно задать $N$ и $N'$ образами диффеоморфизмов $\phi, \phi':\; \R^k \arrow M$, причем все производные $\phi$ и $\phi'$, вплоть до $k$-й, равны. \определение Пусть $G\hookrightarrow GL(n)$ подгруппа Ли, а $\pi:\; P\arrow M$ -- расслоение реперов на $n$-многообразии $M$, а $P_G\subset P$ -- соответствующая $G$-структура, то есть гладкое подрасслоение, такое, что $G$ действует транзитивно на слоях. Две $G$-структуры $P_G$ и $P_{G'}$ называются {\бф\блуе эквивалентными с точностью до порядка $k$} в $m\in M$, если $P_G$ касается $P_{G'}$ в $\pi^{-1}(m)$ с кратностью $k$. \определение Классы эквивалентности $G$-структур с точностью до порядка $k$ называются {\бф \блуе $k$-джетами $G$-структур.} \определение $G$-структура ${\goth G}$ называется {\бф \блуе тривиальной с точностью до $k$-го порядка}, если для каждой точки $M$ найдется тривиальная $G$-структура ${\goth G}_m$ с тем же самым $k$-джетом. \теорема $G$-структура {\бф \ред тривиальна с точностью до порядка $1$} тогда и только тогда, когда ее {\бф \ред внутреннее кручение равно нулю.} \невпаге {\бф \блуе $G$-структуры типа $k$} \определение {\бф \блуе (Картан-Гильемин)} \\ Группа $G\subset GL(n,\R)$, называется {\бф \блуе конечного типа $k$}, если для любой $G$-структуры из тривиальности с точностью до порядка $k$ следует локальная тривиальность. \теорема {\бф \блуе (Картан-Гильемин)} \\ Группы конечного типа 1:\\ \hphantom{XX} 1. $SL(n,\R)\subset GL(n,\R)$ (многообразия с фиксированной формой объема).\\ \hphantom{XX} 2. $Sp(n,\R)\subset GL(2n, \R)$ (симплектические многообразия).\\ \hphantom{XX} 3. $Sp(n,\R)\subset GL(2n+1, \R)$ (контактные многообразия).\\ \hphantom{XX} 4. $Sp(n,\R)\subset GL(2n, \R)$ (локально конформно симплектические многообразия).\\ \hphantom{XX} 5. $\R\cdot Sp(n,\R)\subset GL(2n+1, \R)$ (локально конформно контактные многообразия).\\ {\бф \ред Этим списком исчерпываются все группы конечного типа 1, для которых $G$ не сохраняет никаких интегрируемых подрасслоений в $TM\otimes \C$.} \замечание Если в последней строчке заменить $TM\otimes \C$ на $TM$, к списку добавятся комплексные версии всех перечисленных групп. \end{document}