\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Tot{\operatorname{Tot}} \def\Tr{\operatorname{Tr}} \def\Ric{\operatorname{Ric}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Hol{\operatorname{Hol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\hor}{{\operatorname{\sf hor}}} \newcommand{\im}{{\operatorname{\sf im}}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Дифф. геометрия и векторные расслоения\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Векторные расслоения, лекция 11:\\[2mm] связности в главных $G$-расслоениях} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 9 декабря, 2013\\ матфак ВШЭ и НМУ} \end{center} \newpage {\бф \блуе Главные $G$-расслоения (повторение)} \определение {\бф \блуе Группа Ли} есть гладкое многообразие, снабженное групповой структурой, таким образом, что групповые операции задаются гладкими отображениями. \определение Пусть $М$ -- топологическое пространство, снабженное свободным, непрерывным действием группы Ли $G$, а факторпространство $M/G$ с топологией фактора хаусдорфово. В такой ситуации проекция $M \arrow M/G$ называется {\бф\блуе главным $G$-расслоением}. Если на $M$ и на $M/G$ заданы согласованные структуры гладкого многообразия, а действие $G\times M \arrow M$ гладко, главное $G$-расслоение называется {\бф\блуе гладким}. \определение {\бф \блуе Тривиализация} главного $G$-расслоения $M \stackrel \pi\arrow N=M/G$ есть выбор сечения $\pi$, то есть такого отображения $N \stackrel s\arrow M$, что $s\circ\pi=\Id_N$. \утверждение {\бф \ред Гладкие главные $G$-расслоения локально тривиальны}. \невпаге {\бф \блуе Присоединенные расслоения (повторение)} \определение Пусть $X,Y$ -- топологические пространства с действием группы $G$. Определим $X\times_G Y$ как $X\times Y/G$ с топологией фактора, где $g$ действует на $X\times Y$ "диагонально", то есть по формуле $g(x,y)=(gx, gy)$. \утверждение Пусть $V$ -- представление группы $G$, а $E$ -- главное $G$-расслоение над $M$. {\бф \пурпле Тогда аддитивная структура на $V$ определяет структуру векторного расслоения над $M$ на произведении $E\times_G V$.} \определение Векторное расслоение $E\times_G V$ называется {\бф \блуе присоединенным векторным расслоением}, или {\бф \блуе ассоциированным векторным расслоением}, связанным с $E$ и представлением $V$. \определение Пусть $B= E\times_G V$ -- векторное расслоение, которое получено из главного $G$-расслоения $Е$ и представления $V$ группы $G$. Тогда $G$ называется {\бф\блуе структурной группой расслоения $B$}. \newpage {\бф \блуе Гладкие субмерсии (повторение)} \определение Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкое отображение. Оно называется {\бф\блуе субмерсией}, если в каждой точке $M$ дифференциал $D\pi$ сюрьективен. \утверждение Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкая субмерсия. Тогда у каждой точки $m\in M$ есть окрестность $U\cong V\times W$, где $U,W$ -- гладкие многообразия, такая, что {\бф \ред $\pi \restrict U$ есть проекция на $W$.} {\бф \греен Доказательство:} Теорема о неявной функции. \определение {\бф\блуе Вертикальное касательное пространство} $T_\pi M$ субмерсии $\pi:\; M \arrow M'$ есть ядро $D\pi$. \невпаге {\бф \блуе Связность Эресманна (повторение)} \определение Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая субмерсия, а $T_\pi M \subset TM$ -- послойное ("вертикальное") касательное расслоение. {\бф\блуе Связность Эресманна} есть подрасслоение $B\subset TM$ такое, что $T_\pi M \oplus B = TM$. В такой ситуации, $B$ называется {\бф\блуе горизонтальное касательное расслоение} для субмерсии, и обозначается $T_\hor M$ или $T_\nabla M$, где $\nabla$ обозначает связность Эресманна. \замечание Проекция осуществляет изоморфизм слоев $T_\hor M\restrict x$ и $T_{\pi(x)}N$. Поэтому $T_\hor M=\pi^* TN$. \определение Пусть $X\in TN$ -- векторное поле. Соответствующее векторное поле $\pi^*X \in \pi^* TM= T_\hor M$ называется {\бф\блуе горизонтальным подъемом $X$ в $T_\hor M$}. \невпаге {\бф \блуе 1-джеты сечений (повторение)} \определение Пусть $\pi:\; X \arrow Y$ -- гладкая субмерсия, а $s_1, s_2:\; Y \arrow X$ -- сечения $\pi$, которые проходят через точку $x\in X$. Говорится, что $s_1$ и $s_2$ {\бф\blue имеют одинаковый 1-джет в $x$}, если $T_x S_1=T_xS_2$, где $S_1=\im s_1$ и $S_2=\im s_2$. Пространство классов эквивалентности обозначается $J^1_x(X, \pi)$, а объединение $J^1_x(X)$ по всем $x\in X$ называется {\бф\блуе пространство 1-джетов сечений $\pi$}, и обозначается $J^1(X,\pi)$. Мы рассматриваем на $J^1(X,\pi)$ топологию, индуцированную $C^1$-топологией на пространстве сечений. \определение Пусть $B$ -- векторное расслоение над $X$, {\бф \блуе Аффинное расслоение с линеаризацией $B$} есть гладкое расслоение $E\arrow X$, снабженное послойным действием $B\times_X E \arrow E$, перестановочным с проекцией на $X$, и индуцирующее изоморфизм между слоями $B$ и слоями $E$. \утверждение Рассмотрим естественную проекцию $\pi_1:\; J^1(X,\pi)\arrow X$ из пространства 1-джетов сечений. Тогда {\бф \ред $\pi_1$ есть аффинное расслоение с линеаризацией $\Hom(\pi^* TY, T_\pi X)$.} \невпаге {\бф \блуе 1-джеты сечений и связности Эресманна (повторение)} \замечание Пусть $T_\hor X \subset TX$ -- связность Эресманна на гладкой субмерсии $\pi:\; X \arrow Y$. Тогда {\бф \пурпле для каждой точки $x\in X$, в какой-то окрестности $U\ni \pi(x)$ существует сечение $s:\; U \arrow X$, содержащее $x$,} и касательное к $T_\hor X$; очевидно, {\бф \пурпле 1-джет такого сечения в $x$ задается этим условием однозначно.} \теорема Это задает {\бф \ред биекцию между множеством связностей Эресманна и множеством сечений проекции $\pi_1:\; J^1(X,\pi) \arrow X$.} \ендпрооф \утверждение Пусть $\pi_1:\; X_1\arrow M, \pi_2:\; X_2\arrow M, \pi_3:\; X_3\arrow M$ -- гладкие расслоения, а $\Phi:\; X_1 \times_M X_2 \arrow X_3$ -- морфизм гладких расслоений, то есть гладкое отображение, перестановочное с проекцией в $M$. {\бф \пурпле Тогда $\Phi$ индуцирует морфизм джет-расслоений $J^1(\Phi):\; J^1(X_1, \pi_1) \times J^1(X_2, \pi_2)\arrow J^1(X_3, \pi_3)$.} \ендпрооф {\бф \блуе ОПРЕДЕЛЕНИЕ (*):} Пусть на $\pi_i$ заданы связности $\nabla^i$, определяющие сечения $s_i$ проекций $J^1(X_i, \pi_i)\arrow X_i$. Мы говорим, что отображение $\Phi$ {\бф\блуе совместимо со связностями}, если $J^1(\Phi)(s_1 \times s_2)=s_3$. \невпаге {\бф \блуе Связности на расслоениях и 1-джеты (повторение)} \утверждение Пусть $B\stackrel \pi \arrow M$ -- векторное расслоение со связностью $\nabla$. Тогда для каждой точки $b\in \Tot B$ в какой-то окрестности $U\ni \pi(b)$ {\бф \ред существует сечение $s:\; U \arrow \Tot B$, содержащее $b$, и удовлетворяющее $\nabla s\restrict{\pi(b)}=0$.} \доказательство Воспользуемся формулой Лейбница: $\nabla(f\xi) = df \otimes \xi + f\nabla \xi$. Выбрав $f=0$ в $m:=\pi(b)$, мы получим $\nabla(f\xi)\restrict m =df \otimes \xi$, что позволяет {\бф \пурпле решить уравнения $\nabla(\sum f_i\xi_i)\restrict m=v$, $f_i(m)=0$ для любого $v\in \Lambda^1_m M \otimes B\restrict m$.} Теперь возьмем любое сечение $\beta\in B$, проходящее через $b$, решим уравнение $\nabla(\sum f_i\xi_i)\restrict m=- \nabla\beta \restrict m$, и возьмем $s=\beta +\sum f_i\xi_i$. \ендпрооф \замечание 1-джет сечения $s:\; U \arrow \Tot B$, удовлетворяющего $\nabla s\restrict{\pi(b)}=0$, {\бф \ред задается однозначно.} Действительно, {\бф \пурпле если два джета сечений удовлетворяют этому уравнению, их производные в $b$ равны.} Это задает сечение расслоения 1-джетов $J^1(\Tot B, \pi)\arrow \Tot B$. \определение Пусть $B\stackrel \pi \arrow M$ -- векторное расслоение со связностью $\nabla$, а $s:\; \Tot B \arrow J^1(\Tot B, \pi)$ -- сечение расслоения 1-джетов, построенное выше. Соответствующая связность Эресманна называется {\бф \блуе линейной}. \невпаге {\бф \блуе Линейные связности} {\бф \греен Утверждение 1:} Пусть $B$ -- векторное расслоение над $M$, $\Tot B$ -- его тотальное пространство, $\Tot C^\infty M=\R \times M$ -- тотальное пространство тривиального расслоения, снабженное тривиальной связностью, а $\Tot B \times \Tot B \stackrel \mu \arrow \Tot B$ и $\Tot C^\infty M \times \Tot B \stackrel v \arrow \Tot B$ -- морфизмы гладких расслоений, заданные аддитивной структурой на $B$ и умножением на функции. Рассмотрим связность Эресманна $\nabla$ на $\Tot B \arrow M$. {\бф \ред Тогда $\nabla$ -- линейная связность $\Leftrightarrow$ отображения $\mu$ и $v$ совместимы со связностью в смысле определения (*).} \дшаг Линейная связность из связности на $B$ построена выше; ее совместимость с $\mu$ и $v$ очевидна из конструкции. {\бф \греен Шаг 2:} Чтобы построить обратное отображение, замечу, что совместимая с $\mu$ и $v$ связность на $\Tot B$ сохраняет степень полиномиальной вдоль слоев функции. Иначе говоря, она дает эндоморфизм $\Lie_{\tilde X}$ пучка $C^\infty_1 \Tot B$ послойно линейных функций на $\Tot B$, полученный дифференцированием вдоль векторного поля $X$, поднятого до $\tilde X$ с $M$ на $\Tot B$ с помощью связности. {\бф \греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Это дифференцирование удовлетворяет правилу Лейбница, то есть определяет связность на $C^\infty_1 \Tot B=B^*$.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Связности на главных расслоениях} \определение Пусть $G$ -- группа Ли, $E\arrow M$ -- главное $G$-расслоение, а $T_\hor E \subset TE$ -- связность Эресманна. Она называется {\бф\блуе $G$-инвариантной}, если для любого $g\in G$ и $X\in T_\hor E$, поле $g(X)$ лежит в $T_\hor E$. {\бф\блуе Связность на главном $G$-расслоении} есть $G$-инвариантная связность Эресманна. \утверждение Пусть $X$ -- топологическое пространство, на котором группа $G$ действует непрерывно, свободно и транзитивно (такое пространство называется {\бф\блуе торсором над $G$}). Рассмотрим группу $H=\Aut_G(X)$ гомеоморфизмов $X$, коммутирующих с действием $G$. {\бф \ред Тогда $H=G$.} \доказательство Отождествим $X$ с $G$, которое слева действует на себе, выбрав в $X$ отмеченную точку. Поскольку левое действие $G$ коммутирует с правым, {\бф \пурпле мы получаем вложение $\rho:\; G\arrow \Aut_G(X)$.} С другой стороны, {\bf \purple каждый автоморфизм $X$ задается образом одной точки, и поэтому $\rho$ сюрьективен.} \ендпрооф \следствие {\бф \ред Группа голономии $G$-инвариантной связности на главном $G$-расслоении есть подгруппа $G$.} \невпаге {\бф \блуе $G$-инвариантные векторные поля} \утверждение Пусть $X$ -- гладкий торсор над группой Ли $G$. Тогда {\бф \ред пространство $\Lie_G(X)$ $G$-инвариантных векторных полей на $X$ канонически отождествляется с алгеброй Ли $G$.} \доказательство Это инфинитезимальная версия изоморфизма $\Aut_G X=G$; доказывается точно также. Отождествим $X$ с $G$, которое слева действует на себе, выбрав в $X$ отмеченную точку. Поскольку левое действие $G$ коммутирует с правым, {\бф \пурпле мы получаем вложение $\rho:\; {\goth g}\hookrightarrow \Lie_G(X)$.} С другой стороны, {\bf \purple каждое $G$-инвариантное векторное поле на $X$ задается своим значением в одной точке, и поэтому $\rho$ сюрьективен.} \ендпрооф \определение Пусть $P \arrow M$ -- главное $G$-расслоение, а $\Lie_G(P)$ -- пространство $G$-ин\-ва\-ри\-ант\-ных векторных полей на $P$. Тогда $\goth{b}$ -- локально тривиальный пучок алгебр Ли на $M$; он называется {\бф \блуе пучок алгебр Ли структурной группы расслоения.} \невпаге {\бф \блуе Пространство связностей} \замечание Пусть ${\cal A}$ -- пространство связностей Эресманна на $M \stackrel \pi \arrow N$. Тогда {\бф \ред ${\cal A}$ является аффинным пространством с линеаризацией $\Hom(\pi^* TN, T_\pi M)$.} \доказательство Пусть $s, s':\; M \arrow J^1(M,\pi)$ два сечения аффинного расслоения 1-джетов сечений $\pi$. Тогда $s-s'$ -- сечения соответствующего векторного расслоения $\Hom(\pi^* TN, T_\pi M)$. \ендпрооф \утверждение Пусть $M \stackrel \pi \arrow N$ -- главное $G$-расслоение, а ${\cal A}$ -- пространство связностей на $\pi$. Тогда ${\cal A}$ есть {\бф \ред аффинное векторное пространство, линеаризация которого $W$ канонически изоморфна\\ $\Lambda^1 N \otimes_\R {\goth g}$, где $\goth g$ есть пучок алгебр Ли структурной группы.} \доказательство ${\cal A}$ есть аффинное векторное пространство, линеаризация которого $W$ отождествляется с пространством $G$-инвариантных сечений $\pi^* \Lambda^1 N \otimes T_\pi M$, но $\Lie_G(M)={\goth g}$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Связности на присоединенных расслоениях} \определение Пусть $M \arrow N$ -- главное $G$-расслоение, а $X$ -- гладкое многообразие с действием $G$. Обозначим за ${\cal X}$ присоединенное расслоение ${\cal X}:= M\times_G X$. Пусть $TM=T_\pi M \oplus T_\hor M$ -- $G$-инвариантная связность Эресманна, а $v:\; X \times M \arrow M\times_G X$ -- стандартная проекция. Тогда что $T_\hor {\cal X}:= Dv(T_\hor M)$ задает связность Эресманна на ${\cal X}\arrow N$, которая называется {\бф \блуе связность на присоединенном расслоении, индуцированная $T_\hor M$.} {\бф \греен Утверждение 1:} Пусть $M\stackrel \pi\arrow N$ -- главное $G$-расслоение, $\nabla$ -- связность на $\pi$, $V$ -- представление $G$, а $B \arrow N$ -- присоединенное векторное расслоение, $B=M \times_G V$. Рассмотрим связность Эресманна $\nabla^B$ на $\Tot B$, индуцированную с $\nabla$. {\бф \ред Тогда это линейная связность.} \доказательство Надо проверить аддитивность этой связности; но конструкция перестановочна со сложением в $V$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Линейные связности и реперы} \теорема Пусть $B$ -- векторное расслоение над $M$, а $P\arrow M$ -- расслоение реперов (главное $GL(n)$-расслоение). {\бф \ред Тогда существует естественная биекция} между {\бф \пурпле 1. связностями на $P$,} {\бф \пурпле 2. линейными связностями на $\Tot B$,} и {\бф \пурпле 3. связностями на векторном расслоении $B$.} \дшаг Пусть ${\cal A}_P$ есть пространство связностей на $P$, ${\cal A}_B$ -- пространство линейных связностей на $\Tot B$, а ${\cal A}$ -- пространство связностей на $B$. Изоморфизм из ${\cal A}$ в ${\cal A}_B$ построен выше (Утверждение 1). {\бф \греен Шаг 2:} Морфизм аффинных пространств ${\cal A}_P\arrow {\cal A}_B$ построен выше (Утверждение 2); чтобы убедиться, что это изоморфизм, заметим, что линеаризация ${\cal A}_P$ есть $\Lambda^1 M \otimes {\goth{gl}}(B)= \Lambda^1 M\otimes\End B$, а линеаризация ${\cal A}_B$ есть то же самое в силу шага 1. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Связности и структурные группы} \определение Пусть $E \arrow M$ -- главное $G$-расслоение, $V$ -- представление $G$, а $B:= E\times_G V$ -- присоединенное векторное расслоение. Напомним, что в такой ситуации $G$ называется {\бф\блуе структурной группой} $B$. Говорится, что линейная связность $\nabla$ на $B$ {\бф\блуе согласована со структурной группой $G$}, если $\nabla$ индуцирована связностью на главном расслоении $E$. В такой ситуации $\nabla$ называется $G$-связностью. \определение В условиях предыдущей задачи, отождествим послойно линейные вертикальные векторные поля на $\Tot B$ с $\End B$. Это задает отображение $\goth{b}\arrow \End B$. Его образ ${\goth g}_B$ в $\End(B)$ называется {\бф\блуе структурная алгебра Ли векторного расслоения $B$.} \утверждение Пусть $B$ -- векторное расслоение со структурной группой $G$. {\бф \пурпле Тогда пространство $G$-связностей на $B$ аффинно над $\Lambda^1 M\otimes {\goth g}_B$,} а {\бф \пурпле кривизна $G$-связности принимает значения в $\Lambda^2 M\otimes {\goth g}_B$.} \end{document}