
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Tot{\operatorname{Tot}}
\def\Tr{\operatorname{Tr}}
\def\Ric{\operatorname{Ric}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Hol{\operatorname{Hol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\hor}{{\operatorname{\sf hor}}}
\newcommand{\im}{{\operatorname{\sf im}}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}

\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}}

 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Дифф. геометрия и векторные расслоения\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Векторные расслоения, лекция 10:\\[2mm] связность Эресманна}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 1 декабря, 2013\\ матфак ВШЭ и НМУ}

\end{center}

\newpage

{\бф \блуе Главные $G$-расслоения (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Группа Ли} есть гладкое многообразие, снабженное
групповой структурой, таким образом, что групповые
операции задаются гладкими отображениями.


\определение
Пусть $М$ -- топологическое пространство, снабженное
свободным, непрерывным действием группы Ли $G$, а 
факторпространство $M/G$ с топологией фактора хаусдорфово.
В такой ситуации проекция $M \arrow M/G$ называется
{\бф\блуе главным $G$-расслоением}. Если на $M$ и на $M/G$ заданы
согласованные структуры гладкого многообразия, а 
действие $G\times M \arrow M$ гладко, главное
$G$-расслоение называется {\бф\блуе гладким}.


\определение
{\бф \блуе Тривиализация} главного $G$-расслоения
$M \stackrel \pi\arrow N=M/G$ есть выбор сечения $\pi$,
то есть такого отображения $N \stackrel s\arrow M$,
что $s\circ\pi=\Id_N$.

\утверждение
{\бф \ред Гладкие главные $G$-расслоения локально тривиальны}.

\невпаге

{\бф \блуе Присоединенные расслоения (повторение)}

\определение 
Пусть $X,Y$ -- топологические пространства с действием
группы $G$. Определим $X\times_G Y$ как $X\times Y/G$ с
топологией фактора, где $g$ действует на $X\times Y$ "диагонально",
то есть по формуле $g(x,y)=(gx, gy)$.

\утверждение
Пусть $V$ -- представление группы $G$,
а $E$ -- главное $G$-расслоение над $M$.
{\бф \пурпле Тогда аддитивная структура на $V$
определяет структуру векторного расслоения над $M$
на произведении $E\times_G V$.} 

\определение
Векторное расслоение $E\times_G V$
называется {\бф \блуе присоединенным векторным расслоением},
 или {\бф \блуе ассоциированным векторным расслоением},
связанным с $E$ и представлением $V$.

\определение
Пусть $B= E\times_G V$ -- векторное расслоение, которое получено
из главного $G$-расслоения $Е$ и представления $V$ группы $G$.
Тогда $G$ называется {\бф\блуе структурной группой расслоения $B$}.
\newpage

{\бф \блуе Гладкие субмерсии (повторение)}

\определение
Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкое отображение.
Оно называется {\бф\блуе субмерсией}, если в каждой точке
$M$ дифференциал $D\pi$ сюрьективен.

\утверждение
Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкая субмерсия.
Тогда у каждой точки $m\in M$ есть окрестность $U\cong V\times W$,
где $U,W$ -- гладкие многообразия, 
такая, что {\бф \ред $\pi \restrict U$ есть проекция на $W$.}

{\бф \греен Доказательство:}
Теорема о неявной функции.


\определение
{\бф\блуе Вертикальное касательное пространство} $T_\pi M$ субмерсии
$\pi:\; M \arrow M'$ есть ядро $D\pi$. 


\невпаге

{\бф \блуе Связность Эресманна}


\определение
Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая субмерсия,
а $T_\pi M \subset TM$ -- послойное ("вертикальное")
касательное расслоение.
{\бф\блуе Связность Эресманна} есть подрасслоение $B\subset TM$
такое, что $T_\pi M \oplus B = TM$.
В такой ситуации, $B$ называется {\бф\блуе горизонтальное
касательное расслоение} для субмерсии, и обозначается
$T_\hor M$ или $T_\nabla M$, где $\nabla$ обозначает
связность Эресманна.

\замечание
Проекция осуществляет изоморфизм слоев $T_\hor M\restrict x$ и
$T_{\pi(x)}N$. Поэтому $T_\hor M=\pi^* TN$.

\определение
Пусть $X\in TN$ -- векторное поле.
Соответствующее векторное поле $\pi^*X \in \pi^* TM= T_\hor M$
называется {\бф\блуе горизонтальным подъемом $X$ в $T_\hor M$}.


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Эресманна}

\определение
{\бф \блуе Параллельный перенос} по связности $T_\hor M\subset TM$
есть диффеоморфизм $\Gamma_t$ слоев $\pi$, параметризованных
отрезком $t\in [0,1]$, такой, что 
траектория точки $\Gamma_t(z)$ касается
$T_\hor M$ для всех $t\in [0,1]$.

\теорема
Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая субмерсия
с компактными слоями,
а $T_\hor M\subset TM$ -- связность Эресманна.
Рассмотрим гладкий путь $\gamma:\; [0,1] \arrow N$
с началом в $x\in N$. {\бф \ред Тогда параллельный
перенос вдоль $\gamma$ существует и однозначно
определен.} 

\доказательство Теорема о существовании и единственности
решений ОДУ. \ендпрооф

\следствие
{\бф \блуе (теорема Эресманна)}\\
Пусть  $\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая субмерсия
с компактными слоями и связной базой. {\бф \ред Тогда все слои $\pi$
диффеоморфны.}

\дшаг Построим на $\pi$ связность Эресманна. Для этого выберем
риманову метрику, пользуясь разбиением единицы, и напишем
$T_\hor M = T_\pi M^\bot$.

{\бф \греен Шаг 2:} Теперь все слои отождествляются параллельными
переносами. \ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Голономия связности Эресманна}


\определение
Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -
гладкая субмерсия,
а $\nabla$ -- связность Эресманна.
{\бф \блуе Группа голономий} $\Hol_x$
связности Эресманна в точке $x\in N$
есть подгруппа группы $G$ диффеоморфизмов
$\pi^{-1}(x)$, порожденная операциями
параллельного переноса вдоль всех 
петель с началом и концом в $x$.
{\бф \блуе Локальная группа голономий} 
есть подгруппа $G$, порожденная операциями
параллельного переноса вдоль всех 
стягиваемых петель с началом и концом в $x$.

\утверждение
Пусть $x, y\in N$ -- точки связного многообразия $N$,
а $M \arrow N$ -- гладкая субмерсия с компактными слоями,
снабженная связностью Эресманна. Тогда {\бф \ред группы
голономий $\Hol_x$ и $\Hol_y$ изоморфны.}

\определение
{\бф \блуе Тривиализация} субмерсии
$\pi:\; M \arrow N$ есть изоморфизм
$M\cong N \times F$, такой, что $\pi$ действует
на $M\cong N \times F$ как стандартная проекция.
{\бф \блуе Тривиальная связность} есть подрасслоение
$TF \subset T(F\times N) = TF \oplus TN$.

\замечание
 {\бф \пурпле Связность тривиальна
тогда и только тогда, когда ее  группа
голономий тривиальна.}

\определение
{\бф\блуе Локально тривиальная} связность Эресманна
есть связность с тривиальной группой локальных голономий.

\newpage

{\бф \блуе Форма Фробениуса (повторение)}


\определение
{\бф \блуе Распределение} на гладком многообразии $М$ есть 
гладкое подрасслоение $B\subset TM$.

\замечание
Пусть $\Pi:\; TM \arrow TM/ B$ -- проекция,
а $x,y \in B$ -- векторные поля. Тогда
$[fx, y]= f[x,y] - D_y (f) x$. Следовательно,.
{\бф \пурпле $\Pi([x,y])$ зависит
от $x,y$ $C^\infty(M)$-линейно.}

\определение
Построенное отображение $[B,B]\arrow TM/B$ называется
{\бф \блуе форма Фробениуса} ("Frobenius bracket"); это косо-симметричная
$C^\infty(M)$-линейная 2-форма на $B$.


\определение
Распределение $B\subset TM$ называется  {\бф \блуе инволютивным}, 
если форма Фробениуса равна нулю, и {\бф \блуе интегрируемым},
если локально $B$ можно отождествить с $T_\pi M$ для какой-то
субмерсии $\pi$. 

{\бф \греен Теорема Фробениуса:} Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение.
Оно {\бф \ред является инволютивным тогда и только тогда,
когда оно интегрируемо}. 

\невпаге

{\бф \блуе Кривизна связности Эресманна}

\определение
{\бф\блуе Кривизна связности Эресманна} для субмерсии
 $\pi:\; M \arrow N$ есть форма Фробениуса
подрасслоения $T_\hor M \subset TM$,
\[
 \Phi:\; \Lambda^2 T_\hor M \arrow T_\pi M.
\]
Связность Эресманна называется {\бф\блуе плоской},
если $\Phi=0$.

\теорема
Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- субмерсия с компактными слоями.
Тогда связность Эресманна $\nabla$ на $\pi$ {\бф \ред локально тривиальна
тогда и только тогда, когда она плоская.}

\дшаг Тривиальная связность плоская, а локально
тривиальная связность тривиальна в окрестности каждой
точки базы; значит, она тоже плоская.

{\бф \греен Шаг 2:} Если связность плоская, локально
в окрестности $U_z$ каждой точки слоя $Z:=\pi^{-1}(x)$ есть субмерсия со слоями,
которые касательны к $T_\hor M$. Поскольку $Z$ компактно,
можно выбрать из $\{U_z\}$ конечное подпокрытие, что даст 
{\бф \пурпле субмерсию со слоями, касательными $T_\hor M$, на какой-то
окрестности $Z$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Поскольку такая окрестность 
содержит $\pi^{-1}(U_x)$, для какого-то открытого
множества $U\ni x$, связность $\nabla$ тривиальна над $U$.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе 1-джеты сечений}

\определение
Пусть $\pi:\; X \arrow Y$ -- гладкая субмерсия,
а $s_1, s_2:\; Y \arrow X$ -- сечения $\pi$, которые
проходят через точку $x\in X$. Говорится, что
$s_1$ и $s_2$ {\бф\blue имеют одинаковый 1-джет в $x$},
если $T_x S_1=T_xS_2$, где $S_1=\im s_1$ и $S_2=\im s_2$.
Пространство классов эквивалентности обозначается $J^1_x(X, \pi)$,
а объединение $J^1_x(X)$ по всем $x\in X$ называется
{\бф\блуе пространство 1-джетов сечений $\pi$}, и обозначается
$J^1(X,\pi)$. Мы рассматриваем на $J^1(X,\pi)$
топологию, индуцированную $C^1$-топологией на
пространстве сечений.

\определение
Пусть $B$ -- векторное расслоение над $X$,
{\бф \блуе Аффинное расслоение с линеаризацией $B$}
есть гладкое расслоение $E\arrow X$, снабженное послойным
действием $B\times_X E \arrow E$, перестановочным
с проекцией на $X$, и индуцирующее изоморфизм
между слоями $B$ и слоями $E$.

\утверждение
Рассмотрим естественную проекцию
$\pi_1:\; J^1(X,\pi)\arrow X$ из пространства 1-джетов сечений.
Тогда {\бф \ред $\pi_1$ есть аффинное расслоение
с линеаризацией $\Hom(\pi^* TY, T_\pi X)$.}

\доказательство
Локально в окрестности каждой точки $X$ субмерсия
тривиальна по теореме о неявной функции. Поэтому
1-джеты отождествляются с подпространствами
в $T_x X$, которые изоморфно проектируются на $T_\pi(x) Y$.
Такие пространства отличаются на 
$\Hom_\R\left(T_{\pi(x)} Y, T_\pi X\restrict x\right)$.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе 1-джеты сечений и связности Эресманна}

\замечание
Пусть $T_\hor X \subset TX$ -- связность Эресманна
на гладкой субмерсии $\pi:\; X \arrow Y$.
Тогда {\бф \пурпле для каждой точки $x\in X$, 
в какой-то окрестности $U\ni \pi(x)$ существует
сечение $s:\; U \arrow X$, содержащее $x$,}
и касательное к $T_\hor X$; очевидно, {\бф \пурпле
1-джет такого сечения
в $x$ задается этим условием однозначно.}

\теорема
Это задает {\бф \ред биекцию между множеством связностей
Эресманна и множеством сечений проекции
$\pi_1:\; J^1(X,\pi) \arrow X$.} \ендпрооф

\утверждение
Пусть $\pi_1:\; X_1\arrow M, \pi_2:\; X_2\arrow M, \pi_3:\; X_3\arrow M$ --
гладкие расслоения, а $\Phi:\; X_1 \times_M X_2 \arrow X_3$ --
морфизм гладких расслоений, то есть гладкое отображение,
перестановочное с проекцией в $M$.
{\бф \пурпле Тогда $\Phi$ индуцирует морфизм джет-расслоений
$J^1(\Phi):\; J^1(X_1, \pi_1) \times J^1(X_2, \pi_2)\arrow J^1(X_3, \pi_3)$.}
\ендпрооф

{\бф \блуе ОПРЕДЕЛЕНИЕ (*):}
Пусть на $\pi_i$ заданы
связности $\nabla^i$, определяющие сечения $s_i$
проекций $J^1(X_i, \pi_i)\arrow X_i$.
Мы говорим, что отображение $\Phi$ {\бф\блуе совместимо со связностями},
если $J^1(\Phi)(s_1 \times s_2)=s_3$.


\невпаге

{\бф \блуе Линейные расслоения и 1-джеты}


\утверждение
Пусть $B\stackrel \pi \arrow M$ -- векторное расслоение со связностью
$\nabla$. Тогда для каждой точки $b\in \Tot B$,
в какой-то окрестности $U\ni \pi(b)$ {\бф \ред существует
сечение $s:\; U \arrow \Tot B$, содержащее $b$,
и удовлетворяющее $\nabla s\restrict{\pi(b)}=0$.}

\доказательство Воспользуемся формулой Лейбница:
$\nabla(f\xi) = df \otimes \xi + f\nabla \xi$.
Выбрав $f=0$ в $m:=\pi(b)$, мы получим
$\nabla(f\xi)\restrict m =df \otimes \xi$, что позволяет {\бф \пурпле 
решить
уравнения $\nabla(\sum f_i\xi_i)\restrict m=v$, $f_i(m)=0$
для любого $v\in \Lambda^1_m M \otimes B\restrict m$.}
Теперь возьмем любое сечение $\beta\in B$, проходящее
через $b$, решим уравнение 
$\nabla(\sum f_i\xi_i)\restrict m=- \nabla\beta \restrict m$,
и возьмем $s=\beta +\sum f_i\xi_i$. \ендпрооф

\замечание 1-джет сечения $s:\; U \arrow \Tot B$,
удовлетворяющего $\nabla s\restrict{\pi(b)}=0$, {\бф \ред задается
однозначно.} Действительно, {\бф \пурпле если два джета сечений удовлетворяют
этому уравнению, их производные в $b$ равны.} Это задает
сечение расслоения 1-джетов $J^1(\Tot B, \pi)\arrow \Tot B$.

\определение
Пусть $B\stackrel \pi \arrow M$ -- векторное расслоение со связностью
$\nabla$, а $s:\; \Tot B \arrow J^1(\Tot B, \pi)$ -- сечение расслоения 1-джетов,
построенное выше. Соответствующая связность Эресманна называется
{\бф \блуе линейной}.

\невпаге

{\бф \блуе Линейные связности}

\утверждение
Пусть $B$ -- векторное расслоение над $M$, $\Tot B$ -- его
тотальное пространство, $\Tot C^\infty M=\R \times M$ -- тотальное 
пространство тривиального расслоения, снабженное тривиальной
связностью, а $\Tot B \times \Tot B \stackrel \mu \arrow \Tot B$
и $\Tot C^\infty M \times \Tot B \stackrel v \arrow \Tot B$ --
морфизмы гладких расслоений, заданные
аддитивной структурой на $B$ и умножением на функции.
Рассмотрим связность Эресманна $\nabla$ на $\Tot B \arrow M$.
{\бф \ред Тогда $\nabla$ -- линейная связность $\Leftrightarrow$
отображения $\mu$ и $v$ совместимы со связностью в смысле
определения (*).}

\доказательство
Нужно проверить линейность связности и 
формулу Лейбница; {\бф \пурпле сделайте это самостоятельно.}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Связности на главных расслоениях}


\определение
Пусть $G$ -- группа Ли, $E\arrow M$ -- главное
$G$-расслоение, а $T_\hor E \subset TE$ -- связность
Эресманна. Она называется {\бф\блуе $G$-инвариантной},
если для любого $g\in G$ и $X\in T_\hor E$,
поле $g(X)$ лежит в  $T_\hor E$.
{\бф\блуе Связность на главном $G$-расслоении}
есть $G$-инвариантная связность Эресманна.

\утверждение
Пусть $X$ -- топологическое пространство, на котором группа $G$ действует
непрерывно, свободно и транзитивно (такое пространство называется
{\бф\блуе торсором над $G$}). Рассмотрим группу $H=\Aut_G(X)$ гомеоморфизмов $X$,
коммутирующих с действием $G$. {\бф \ред Тогда $H=G$.}

\доказательство 
Отождествим $X$ с $G$, которое слева действует на себе,
выбрав в $X$ отмеченную точку.
Поскольку левое действие $G$ коммутирует с правым,
{\бф \пурпле мы получаем вложение $\rho:\; G\arrow \Aut_G(X)$.} С другой стороны,
{\bf \purple каждый автоморфизм $X$ задается образом одной точки,
и поэтому $\rho$ сюрьективен.}
\ендпрооф

\следствие
{\бф \ред Группа голономии $G$-инвариантной связности
на главном $G$-расслоении есть подгруппа $G$.}



\невпаге

{\бф \блуе $G$-инвариантные векторные поля}


\утверждение
Пусть $X$ -- гладкий торсор над группой Ли $G$.
Тогда {\бф \ред пространство $\Lie_G(X)$ $G$-инвариантных
векторных полей на $X$ канонически отождествляется
с алгеброй Ли $G$.}

\доказательство Это инфинитезимальная версия
изоморфизма $\Aut_G X=G$; доказывается точно также.

Отождествим $X$ с $G$, которое слева действует на себе,
выбрав в $X$ отмеченную точку.
Поскольку левое действие $G$ коммутирует с правым,
{\бф \пурпле мы получаем вложение $\rho:\; {\goth g}\hookrightarrow 
\Lie_G(X)$.} С другой стороны,
{\bf \purple каждое $G$-инвариантное
векторное поле на $X$ задается своим значением в одной точке,
и поэтому $\rho$ сюрьективен.} \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Пространство связностей}

\замечание
Пусть ${\cal A}$ -- пространство связностей Эресманна
на $M \stackrel \pi \arrow N$. Тогда {\бф \ред ${\cal A}$
является аффинным пространством с линеаризацией
$\Hom(\pi^* TN, T_\pi M)$.}

\доказательство
Пусть $s, s':\; M \arrow J^1(M,\pi)$ два сечения
расслоения 1-джетов сечений $\pi$. Тогда 
$s-s'$ -- сечения соответствующего аффинного
расслоения $\Hom(\pi^* TY, T_\pi X)$. \ендпрооф


\утверждение
Пусть $M \stackrel \pi \arrow N$ -- главное $G$-расслоение,
а ${\cal A}$ -- пространство связностей на $\pi$.
Тогда ${\cal A}$ есть {\бф \ред аффинное векторное
пространство, линеаризация которого $W$ 
канонически изоморфна
$\Lambda^1 N \otimes_\R {\goth g}$, где $\goth g$
есть алгебра Ли $G$.}

\доказательство
 ${\cal A}$ есть аффинное векторное
пространство, линеаризация которого $W$ 
отождествляется с пространством $G$-инвариантных 
сечений $\pi^* \Lambda^1 N \otimes T_\pi M$,
но $\Lie_G(X)={\goth g}$.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Связности на присоединенных расслоениях}


\определение
Пусть $M \arrow N$ -- главное $G$-расслоение, а $X$ --
гладкое многообразие с действием $G$. Обозначим за ${\cal
X}$ присоединенное расслоение ${\cal X}:= M\times_G X$.
Пусть $TM=T_\pi M \oplus T_\hor M$ --
$G$-инвариантная связность Эресманна, а $v:\; X \times M
\arrow  M\times_G X$ -- стандартная проекция. Тогда
что $T_\hor {\cal X}:= Dv(T_\hor M)$ задает $G$-инвариантную
связность Эресманна на ${\cal X}\arrow N$, которая называется
{\бф \блуе связность на присоединенном расслоении,
индуцированная $T_\hor M$.}


\утверждение
Пусть $M\stackrel \pi\arrow N$ -- главное 
$G$-расслоение, $\nabla$ -- связность на $\pi$,
$V$ -- представление $G$, а $B \arrow N$ -- присоединенное
векторное расслоение, $B=M \times_G V$. Рассмотрим связность 
Эресманна $\nabla^B$ на $\Tot B$,  индуцированную с $\nabla$.
{\бф \ред Тогда это линейная связность.}

\доказательство
Надо проверить аддитивность этой связности; но конструкция
перестановочна со сложением в $V$.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Связности и структурные группы}


\определение
Пусть $E \arrow M$ -- главное $G$-расслоение, $V$ -- представление
$G$, а $B:= E\times_G V$ -- присоединенное векторное расслоение.
Напомним, что в такой ситуации $G$ называется {\бф\блуе структурной
группой} $B$. Говорится, что линейная связность $\nabla$ на $B$
{\бф\блуе согласована со структурной группой $G$}, если
$\nabla$ индуцирована связностью на главном расслоении $E$.
В такой ситуации $\nabla$ называется $G$-связностью.

\замечание
{\бф \ред Пространство $G$-связностей на $B:= E\times_G V$
аффинно над $\Lambda^1 M \otimes_\R \goth g$;
его кривизна лежит в $\Lambda^2 M \otimes_\R \goth g$.}



\end{document}
