\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Tot{\operatorname{Tot}} \def\Tr{\operatorname{Tr}} \def\Ric{\operatorname{Ric}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Hol{\operatorname{Hol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Дифф. геометрия и векторные расслоения\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Векторные расслоения, лекция 9:\\[2mm] главные расслоения} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 25 ноября, 2013\\ матфак ВШЭ и НМУ} \end{center} \newpage {\бф \блуе Топология фактора} \определение Пусть $G$ -- топологическая группа. Действие $G\times M$ на топологическом пространстве {\бф\блуе непрерывно}, если отображение $G \times M\arrow M$ непрерывно. \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство, а $\sim$ -- отношение эквивалентности. Множество классов эквивалентности обозначается $M/\!\!\!\sim\!$. На $M/\!\!\!\sim\!$ вводится {\bf\блуе топология фактора}: открытые подмножества $M/\!\!\!\sim\!$ - такие подмножества, прообраз которых в $M$ открыт. Если на $M$ действует группа $G$, возникает естественное отношение эквивалентности: $x \sim y$ если существует такое $g \in G$, что $g \cdot x = y$. Фактор $M$ по этому отношению эквивалентности называется {\bf\блуе факторпространством $M$ по действию $G$}, и обозначается $M/G$. \newpage {\бф \блуе Главные $G$-расслоения} \определение {\бф \блуе Группа Ли} есть гладкое многообразие, снабженное групповой структурой, таким образом, что групповые операции задаются гладкими отображениями. \определение Пусть $М$ -- топологическое пространство, снабженное свободным, непрерывным действием группы Ли $G$, а факторпространство $M/G$ с топологией фактора хаусдорфово. В такой ситуации проекция $M \arrow M/G$ называется {\бф\блуе главным $G$-расслоением}. Если на $M$ и на $M/G$ заданы согласованные структуры гладкого многообразия, а действие $G\times M \arrow M$ гладко, главное $G$-расслоение называется {\бф\блуе гладким}. \замечание В дальнейшем, все $G$-расслоения будут по умолчанию {\бф \ред предполагаться гладкими.} \newpage {\бф \блуе Тривиализация главных $G$-расслоений} \определение {\бф \блуе Тривиальное гладкое расслоение} есть гладкое отображение вида $N \times U \arrow U$. \определение Гладкая субмерсия $M \stackrel \phi \arrow N$ называется {\бф \блуе локально тривиальным гладким расслоением}, если у каждой точки $N$ найдется такая окрестность $U$, что проекция $\phi^{-1}(U)\arrow U$ является тривиальным гладким расслоением. \определение {\бф \блуе Тривиализация} главного $G$-расслоения $M \stackrel \pi\arrow N=M/G$ есть выбор сечения $\pi$, то есть такого отображения $N \stackrel s\arrow M$, что $s\circ\pi=\Id_N$. \замечание Если $M \stackrel \pi\arrow N=M/G$ -- главное $G$-расслоение, а $s:\; N \arrow M$ -- его сечение, {\бф \пурпле каждая точка $M$ однозначно записывается как $g s(n)$,} где $n\in N$, а $g\in G$. Поэтому $M$ тривиально: $M=N\times G$. \newpage {\бф \блуе Тривиализация главных $G$-расслоений (продолжение)} \утверждение {\бф \ред Гладкие главные $G$-расслоения локально тривиальны}. \доказательство Пусть $M \stackrel \pi \arrow M/G$ -- главное $G$-расслоение, $z\in M$ точка, а $Z\subset M$ - гладкое подмногообразие, содержащее $z$, размерности $\dim M/G$. {\бф \пурпле Локально, можно выбрать $Z$ таким образом, что касательная плоскость $T_zZ\subset T_zM$ будет какая угодно.} Выберем $Z$ таким образом, что $D\pi:\; T_zZ \arrow T_{\pi(z)}N$ -- изоморфизм. Тогда $\pi:\; Z \arrow N$ задает диффеоморфизм в окрестности $z$, по теореме об обратной функции. {\бф \пурпле Обратное отображение есть сечение $\pi$.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Главные $G$-расслоения: примеры.} \определение {\бф\блуе Расслоение Хопфа} $S^{2n-1}\arrow \C P^{n-1}$ есть ограничение тавтологического отображения $\C^n\backslash 0 \arrow \C P^{n-1}$ на $S^{2n-1}\subset \C^n\backslash 0$. \определение Также {\бф\блуе расслоением Хопфа} $S^{4n-1}\arrow {\Bbb H} P^{n-1}$ называют ограничение тавтологического отображения ${\Bbb H}^n\backslash 0 \arrow {\Bbb H} P^{n-1}$ на $S^{4n-1}\subset {\Bbb H}^n\backslash 0$. \замечание Первые два расслоения Хопфа получаются как факторы по группе $S^1=U(1)$, действующей свободно на сфере, последнее - как фактор по группе $SU(2)=S^3$ унитарных кватернионов, которая тоже свободно действует. Поэтому {\бф \ред эти расслоения Хопфа суть главные расслоения}. \утверждение {\бф \пурпле Расслоение Хопфа нетривиально}. \доказательство Действительно, $S^1\times \C P^{n-1}$ неодносвязно, а сфера односвязна, значит, $S^{2n-1}\arrow \C P^{n-1}$ нетривиально; также, $H^3(S^{4n-1})=0$, а $H^3(S^3\times {\Bbb H} P^{n-1})\neq0$ по формуле Кюннета, значит, $S^{4n-1}\arrow {\Bbb H} P^{n-1}$ тоже нетривиально. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Главные $G$-расслоения и 1-коциклы.} \определение Пусть $G$ -- группа Ли, $M$ -- многообразие, а $\{U_i\}$ его покрытие. {\бф\блуе 1-коцикл} со значениями в $G$ есть набор гладких функций $U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow G$, удовлетворяющих следующим условиям: 1. $\phi_{ij}=\phi_{ji}^{-1}$ 2. $\phi_{ij}\phi_{jk}=\phi_{ik}$. \определение Два 1-коцикла $\phi_{ij}$ и $\psi_{ij}'$ называются {\бф\блуе кограничными}, если задан набор гладких отображений $\psi_i :\; U_i \arrow G$, причем $\phi_{ij}'=\psi_i^{-1} \phi_{ij}\psi_j$. \определение Пусть $G$ -- группа Ли. Множество $H^1(M,G)$ {\бф\блуе неабелевых когомологий с коэффициентами в $G$} есть множество 1-коциклов с коэффициентами в $G$ с точностью до кограничности и до измельчения покрытия $\{U_i\}$. \newpage {\бф \блуе Главные $G$-расслоения и когомологии.} \определение Два главных $G$-расслоения $E\arrow M$ и $E'\arrow M$ {\бф\блуе эквивалентны}, если существует диффеоморфизм $E\arrow E'$ совместимый с проекцией на $M$ и с действием $G$. \утверждение Для главного $G$-расслоения $\pi:\; E\arrow M$, рассмотрим покрытие $\{U_i\}$, такое, что ограничение $\pi^{-1}(U_i)\arrow U_i$ расслоение на $U_i$ тривиально. Для каждой пары $U_i, U_j$, пусть $s_i, s_j$ -- сечения ограничений, задающие тривиализацию, а $\phi_{ij}:\; U_i\cap U_j\arrow G$ отображение, которое переводит точку $x\in U_i\cap U_j$ в элемент $g\in G$, который удовлетворяет $s_i(x)=gs_j(x)$ (такой элемент единственный, потому что $G$ действует свободно). Тогда $\{\phi_{ij}\}$ задает коцикл, а {\бф \ред построенное отображение из классов изоморфизма расслоений в $H^1(M,G)$ корректно определено, и задает биекцию между множеством классов эквивалентности $G$-расслоений и $H^1(M,G)$}. \доказательство См. лекцию 2. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Свойства неабелевых когомологий.} \определение {\бф \блуе Точная последовательность отмеченных множеств} есть последовательность отображений таких, что образ $i$-го есть прообраз отмеченной точки в $(i+1)$-м. \утверждение Пусть $0\arrow G_1 \arrow G_2 \arrow G_3 \arrow 0 $ -- точная последовательность групп. {\бф \ред Тогда имеет место точная последовательность \[ 0\arrow H^1(M, G_1)\arrow H^1(M, G_2) \arrow H^1(M, G_3). \]} Если же $G_1$ ко всему прочему абелева, {\бф \ред ее можно продолжить:} \[ 0\arrow H^1(M, G_1)\arrow H^1(M, G_2) \arrow H^1(M, G_3)\arrow H^2(M, G_1). \] здесь $H^2(M, G_1)$ -- обычные когомологии Чеха, заданные гладкими 2-коциклами с точностью до гладких 2-кограниц. \доказательство То же, что и для точной последовательности обычных когомологий Чеха. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Экспоненциальная точная последовательность.} \следствие Экспоненциальная точная последовательность\\ $0\arrow \Z \arrow \C \arrow C^*\arrow 0$ дает \[ 0=H^1(M,\C)\arrow H^1(M,\C^*)\arrow H^2(M,\Z)\arrow H^2(M,\C)=0. \] \доказательство $H^i(M,\C)$ есть когомологии пучка гладких функций, они равны нулю. \ендпрооф \замечание Приведенная выше точная последовательность доказывает, что $H^1(M,\C^*)$ равно $H^2(M,\Z)$, то есть {\бф \пурпле главные $\C^*$-расслоения классифицируются группой $H^2(M,\Z)$.} Соответствующий класс в $H^2(M,\Z)$ называется {\бф\блуе первым классом Черна $\C^*$-расслоения}. \невпаге {\бф \блуе Расслоение реперов} \определение Пусть $B$ -- векторное расслоение над $M$. {\бф\блуе Расслоение реперов} есть множество всех базисов в слоях $B$, снабженное естественной топологией. \утверждение {\бф \пурпле Расслоение реперов есть главное $GL(n)$-расслоение.} \ендпрооф \определение Пусть $B$ -- векторное расслоение над $M$, снабженное метрикой (то есть положительно определенной квадратичной формой). {\бф\блуе Расслоение ортонормированных реперов} есть множество всех ортонормированных базисов в слоях $B$, снабженное естественной топологией. \утверждение {\бф \пурпле Расслоение ортонормированных реперов есть главное $O(n)$-расслоение.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Расслоение реперов (продолжение)} \определение Пусть $B$ -- векторное расслоение над $M$, снабженное невырожденной квадратичной формой сигнатуры $(p,q)$. {\бф\блуе Расслоение ортонормированных $O(p, q)$-реперов} есть множество всех базисов $e_1, ..., e_{p+q}$, \[ (e_1,e_1)= (e_2,e_2)=...= (e_p,e_p)=-(e_{p+1},e_{p+1})=...= -(e_{p+q}, e_{p+q})=1 \] в слоях $B$, снабженное естественной топологией. \утверждение {\бф \пурпле Расслоение ортонормированных $O(p, q)$-реперов есть главное $O(p, q)$-расслоение.} \ендпрооф \определение Пусть $B$ -- комплексное векторное расслоение над $M$, снабженное положительно определенной эрмитовой формой. {\бф\блуе Расслоение ортонормированных реперов} есть множество всех ортонормированных базисов в слоях $B$, снабженное естественной топологией. \утверждение {\бф \пурпле Расслоение ортонормированных реперов в эрмитовом расслоении есть главное $U(n)$-расслоение.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Присоединенные расслоения} \определение Пусть $X,Y$ -- топологические пространства с действием группы $G$. Определим $X\times_G Y$ как $X\times Y/G$ с топологией фактора, где $g$ действует на $X\times Y$ "диагонально", то есть по формуле $g(x,y)=(gx, gy)$. \утверждение Пусть $V$ -- представление группы $G$, а $E$ -- главное $G$-расслоение над $M$. {\бф \пурпле Тогда аддитивная структура на $V$ определяет структуру векторного расслоения над $M$ на произведении $E\times_G V$.} \ендпрооф \определение Векторное расслоение $E\times_G V$ называется {\бф \блуе присоединенным векторным расслоением}, или {\бф \блуе ассоциированным векторным расслоением}, связанным с $E$ и представлением $V$. \невпаге {\бф \блуе Векторные расслоения и главные расслоения} \утверждение Пусть $V=\R^n$ -- тавтологическое представление группы $G=GL(n,\R)$, $B$ -- вещественное векторное расслоение над $M$, а $E\arrow M$ -- расслоение реперов. {\бф \ред Тогда $B$ изоморфно ассоциированному векторному расслоению $E\times_G V$.} \доказательство Рассмотрим отображение $E\times V\arrow B$ переводящее пару (базис $e_1, ..., e_n$ в $B$, вектор $(a_1, ..., a_n)$) в $\sum e_i a_i\in B$. {\бф \пурпле Поскольку это отображение $G$-инвариантно, оно продолжается на $E\times_G V\arrow B$.} Сюрьективность его очевидна по построению, инъективность -- по соображениям размерности. \ендпрооф \замечание Эта теорема позволяет определить векторное расслоение как расслоение, ассоциированное с каким-то главным $G=GL(n,\R)$-расслоением и тавтологическим представлением. В силу доказанного выше, {\бф \пурпле это определение векторного расслоения эквивалентно остальным} (у нас было еще два: через локально свободные пучки, и через тотальные пространства расслоения). \невпаге {\бф \блуе Редукция $G$-расслоений} \утверждение Пусть $E\arrow M$ -- главное $G_1$-расслоение, а $G_1\arrow G$ -- гомоморфизм групп. {\бф \пурпле Тогда $E\times_{G_1} G$ есть главное $G$-расслоение.} \доказательство Слои проекции $E\times_{G_1} G\arrow M$ изоморфны $G_1\times_{G_1} G$, то есть парам $(g_1, g)$ с точностью до действия $G_1$, Легко видеть, что $G_1\times_{G_1} G=G$. \ендпрооф \определение Пусть $G_1\arrow G$ -- гомоморфизм групп, а $E\arrow M$ -- главное $G$-расслоение. {\бф\блуе Редукция $E$ к $G_1$} есть главное $G_1$-расслоение $E_1\arrow M$ вместе с изоморфизмом главных $G$-расслоений $E\cong E_1\times_{G_1} G$. \пример Пусть $G_1=\{e\}$ -- тривиальная группа. Тогда {\бф \пурпле редукция $E$ к $G_1$ есть изоморфизм $M\times_\{e\} G \cong E$,} то есть {\бф \пурпле тривиализация $E$.} \замечание Пусть $G_1\arrow G$ -- гомоморфизм групп, а \\ $\Psi:\; H^1(M,G_1) \arrow H^1(M, G)$ -- соответствующее отображение. Тогда $\Psi$ переводит коцикл, соответствующий $G_1$-расслоению $E_1$ в коцикл, соответствующий $E_1\times_{G_1} G$. Поэтому $G$-расслоение $E$ {\бф \ред редуцируется к $G_1$ тогда и только тогда, когда его класс когомологий лежит в образе $\Psi$.} \невпаге {\бф \блуе Структурная группа расслоения} \определение Пусть $B= E\times_G V$ -- векторное расслоение, которое получено из главного $G$-расслоения $Е$ и представления $V$ группы $G$. Тогда $G$ называется {\бф\блуе структурной группой расслоения $B$}. \утверждение Пусть $B$ -- векторное расслоение над $M$ со структурной группой $G$, $E$ -- соответствующее главное $G$-расслоение, $G_1\arrow G$ -- гомоморфизм групп, а $E_1\arrow M$ -- главное $G_1$-расслоение, которое получено редукцией $E$ к $G_1$. {\бф \пурпле Тогда $B$ ассоциировано с $E_1$ и представлением $G_1$, которое получено из гомоморфизма $G_1\arrow G$.} \доказательство $B=E\times_G V= (E_1\times_{G_1} G)\times_G V= E_1\times_{G_1} V$. \ендпрооф \определение В такой ситуации говорится, что произведена {\bf \блуе редукция структурной группы $B$ к $G_1$.} \невпаге {\бф \блуе $G$-структура на многообразии} \пример Задание метрики на вещественном векторном расслоении равносильно редукции структурной группы $GL(n,\R)$ к $O(n)\subset GL(n,\R)$. \пример Задание комплексной структуры на вещественном векторном расслоении равносильно редукции структурной группы $GL(2n,\R)$ к $GL(n,\C)\subset GL(2n,\R)$. \пример Задание эрмитовой структуры на вещественном векторном расслоении равносильно редукции структурной группы $GL(2n,\R)$ к $U(n)\subset GL(2n,\R)$. \определение {\бф\блуе $G$-структура} на многообразии $M$ есть редукция структурной группы касательного расслоения $TM$ к $G$, где $G$ -- группа Ли, снабженная гомоморфизмом $G\arrow GL(n)$. \end{document}