
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Tot{\operatorname{Tot}}
\def\Tr{\operatorname{Tr}}
\def\Ric{\operatorname{Ric}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Hol{\operatorname{Hol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}

\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}}

 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Дифф. геометрия и векторные расслоения\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Векторные расслоения, лекция 9:\\[2mm] главные расслоения}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 25 ноября, 2013\\ матфак ВШЭ и НМУ}

\end{center}

\newpage

{\бф \блуе Топология фактора}

\определение
Пусть $G$ -- топологическая группа.
Действие $G\times M$ на топологическом пространстве
{\бф\блуе непрерывно}, если отображение $G \times M\arrow M$
непрерывно.

\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство, 
а $\sim$ -- отношение эквивалентности. 
Множество классов эквивалентности обозначается
 $M/\!\!\!\sim\!$. 
На $M/\!\!\!\sim\!$ вводится {\bf\блуе топология фактора}:
открытые подмножества
$M/\!\!\!\sim\!$ - такие подмножества, прообраз
которых в $M$ открыт.
Если на $M$ действует группа $G$,  возникает
естественное отношение эквивалентности: $x \sim y$ если
существует такое $g \in G$, что $g \cdot x = y$.
Фактор $M$ по этому отношению эквивалентности называется
{\bf\блуе факторпространством $M$ по действию $G$}, и обозначается
$M/G$.



\newpage

{\бф \блуе Главные $G$-расслоения}

\определение
{\бф \блуе Группа Ли} есть гладкое многообразие, снабженное
групповой структурой, таким образом, что групповые
операции задаются гладкими отображениями.


\определение
Пусть $М$ -- топологическое пространство, снабженное
свободным, непрерывным действием группы Ли $G$, а 
факторпространство $M/G$ с топологией фактора хаусдорфово.
В такой ситуации проекция $M \arrow M/G$ называется
{\бф\блуе главным $G$-расслоением}. Если на $M$ и на $M/G$ заданы
согласованные структуры гладкого многообразия, а 
действие $G\times M \arrow M$ гладко, главное
$G$-расслоение называется {\бф\блуе гладким}.

\замечание
В дальнейшем, все $G$-расслоения будут по умолчанию {\бф \ред предполагаться
гладкими.}

\newpage

{\бф \блуе Тривиализация главных $G$-расслоений}


\определение
{\бф \блуе Тривиальное гладкое расслоение} есть
гладкое отображение вида $N \times U \arrow U$.

\определение
Гладкая субмерсия
$M \stackrel \phi \arrow N$ называется
{\бф \блуе локально тривиальным гладким расслоением},
если у каждой точки $N$ найдется такая окрестность $U$,
что проекция $\phi^{-1}(U)\arrow U$ является
тривиальным гладким расслоением.

\определение
{\бф \блуе Тривиализация} главного $G$-расслоения
$M \stackrel \pi\arrow N=M/G$ есть выбор сечения $\pi$,
то есть такого отображения $N \stackrel s\arrow M$,
что $s\circ\pi=\Id_N$.

\замечание
Если $M \stackrel \pi\arrow N=M/G$ -- главное
$G$-расслоение, а $s:\; N \arrow M$ -- его сечение,
{\бф \пурпле каждая точка $M$ однозначно записывается
как $g s(n)$,} где $n\in N$, а $g\in G$.
Поэтому $M$ тривиально: $M=N\times G$.


\newpage

{\бф \блуе Тривиализация главных $G$-расслоений (продолжение)}



\утверждение
{\бф \ред Гладкие главные $G$-расслоения локально тривиальны}.

\доказательство
Пусть $M \stackrel \pi \arrow M/G$ -- главное $G$-расслоение, 
$z\in M$ точка, а $Z\subset M$ - гладкое подмногообразие,
содержащее $z$, размерности $\dim M/G$. {\бф \пурпле Локально, можно 
выбрать $Z$ таким образом, что касательная плоскость
$T_zZ\subset T_zM$ будет какая угодно.} 

Выберем $Z$
таким образом, что $D\pi:\; T_zZ \arrow T_{\pi(z)}N$ --
изоморфизм. Тогда $\pi:\; Z \arrow N$ задает 
диффеоморфизм в окрестности $z$, по теореме об
обратной функции. {\бф \пурпле Обратное отображение есть сечение
$\pi$.} \ендпрооф 


\newpage

{\бф \блуе Главные $G$-расслоения: примеры.}


\определение
{\бф\блуе Расслоение Хопфа} 
$S^{2n-1}\arrow \C P^{n-1}$ есть ограничение тавтологического
отображения $\C^n\backslash 0 \arrow \C P^{n-1}$ на
$S^{2n-1}\subset \C^n\backslash 0$. 

\определение
Также {\бф\блуе расслоением Хопфа} 
$S^{4n-1}\arrow {\Bbb H} P^{n-1}$ называют ограничение тавтологического
отображения ${\Bbb H}^n\backslash 0 \arrow {\Bbb H} P^{n-1}$ на
$S^{4n-1}\subset {\Bbb H}^n\backslash 0$. 

\замечание
Первые два расслоения Хопфа получаются как факторы 
по группе $S^1=U(1)$, действующей свободно на сфере,
последнее - как фактор по группе $SU(2)=S^3$ унитарных
кватернионов, которая тоже свободно действует.
Поэтому {\бф \ред эти расслоения Хопфа суть
главные расслоения}.

\утверждение
{\бф \пурпле Расслоение Хопфа нетривиально}.

\доказательство
Действительно, $S^1\times \C P^{n-1}$ неодносвязно,
а сфера односвязна, значит, $S^{2n-1}\arrow \C P^{n-1}$
нетривиально; также, $H^3(S^{4n-1})=0$, а 
$H^3(S^3\times {\Bbb H} P^{n-1})\neq0$ по формуле Кюннета,
значит, $S^{4n-1}\arrow {\Bbb H} P^{n-1}$ тоже нетривиально.
\ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Главные $G$-расслоения и 1-коциклы.}


\определение
Пусть $G$ -- группа Ли, $M$ -- многообразие, а $\{U_i\}$ его покрытие.
{\бф\блуе 1-коцикл} со значениями в $G$ есть набор гладких функций
$U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow G$, удовлетворяющих
следующим условиям: 1. $\phi_{ij}=\phi_{ji}^{-1}$ 2.
$\phi_{ij}\phi_{jk}=\phi_{ik}$. 

\определение
Два 1-коцикла $\phi_{ij}$ и $\psi_{ij}'$
называются {\бф\блуе кограничными}, если задан
набор гладких отображений $\psi_i :\; U_i \arrow G$,
причем $\phi_{ij}'=\psi_i^{-1} \phi_{ij}\psi_j$.


\определение
Пусть $G$ -- группа Ли.
Множество $H^1(M,G)$ {\бф\блуе неабелевых когомологий с коэффициентами в $G$}
есть множество 1-коциклов с коэффициентами в $G$ с точностью
до кограничности и до измельчения покрытия $\{U_i\}$.

\newpage

{\бф \блуе Главные $G$-расслоения и когомологии.}


\определение
Два главных $G$-расслоения $E\arrow M$ и $E'\arrow M$ {\бф\блуе эквивалентны},
если существует диффеоморфизм $E\arrow E'$ совместимый с проекцией
на $M$ и с действием $G$.

\утверждение
Для главного $G$-расслоения $\pi:\; E\arrow M$, рассмотрим 
покрытие $\{U_i\}$, такое, что ограничение $\pi^{-1}(U_i)\arrow U_i$
расслоение на $U_i$ тривиально. Для каждой пары $U_i, U_j$,
пусть $s_i, s_j$ -- сечения ограничений, задающие тривиализацию,
а $\phi_{ij}:\; U_i\cap U_j\arrow G$ отображение, которое
переводит точку $x\in  U_i\cap U_j$ в элемент $g\in G$,
который удовлетворяет $s_i(x)=gs_j(x)$ (такой элемент единственный,
потому что $G$ действует свободно). Тогда $\{\phi_{ij}\}$
задает коцикл, а {\бф \ред построенное отображение из классов
изоморфизма расслоений в $H^1(M,G)$ корректно определено,
и задает биекцию между множеством классов эквивалентности $G$-расслоений
и $H^1(M,G)$}.

\доказательство
См. лекцию 2.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Свойства неабелевых когомологий.}

\определение
{\бф \блуе Точная последовательность отмеченных множеств} есть последовательность
отображений таких, что образ $i$-го есть прообраз отмеченной
точки в $(i+1)$-м.

\утверждение
Пусть $0\arrow G_1 \arrow G_2 \arrow G_3 \arrow 0 $ -- точная
последовательность групп. {\бф \ред Тогда имеет место точная 
последовательность
\[ 0\arrow
H^1(M, G_1)\arrow H^1(M, G_2) \arrow H^1(M, G_3).
\]}
Если же $G_1$ ко всему прочему абелева, 
{\бф \ред ее можно продолжить:}
\[ 0\arrow 
H^1(M, G_1)\arrow H^1(M, G_2) \arrow H^1(M, G_3)\arrow H^2(M, G_1).
\]
здесь $H^2(M, G_1)$ -- обычные когомологии Чеха, заданные
гладкими 2-коциклами с точностью до гладких 2-кограниц.

\доказательство
То же, что и для точной последовательности обычных когомологий Чеха.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Экспоненциальная точная последовательность.}

\следствие
Экспоненциальная точная последовательность\\
$0\arrow \Z \arrow \C \arrow C^*\arrow 0$
дает \[ 
0=H^1(M,\C)\arrow H^1(M,\C^*)\arrow H^2(M,\Z)\arrow H^2(M,\C)=0.
\]
\доказательство
$H^i(M,\C)$ есть когомологии пучка гладких функций, они равны нулю.
\ендпрооф

\замечание
Приведенная выше точная последовательность доказывает, что
$H^1(M,\C^*)$ равно $H^2(M,\Z)$, то есть {\бф \пурпле
главные $\C^*$-расслоения
классифицируются группой $H^2(M,\Z)$.}
Соответствующий класс в $H^2(M,\Z)$ называется
{\бф\блуе первым классом Черна $\C^*$-расслоения}.

\невпаге

{\бф \блуе Расслоение реперов}

\определение
Пусть $B$ -- векторное расслоение над $M$. {\бф\блуе Расслоение реперов}
есть множество всех базисов в слоях $B$, снабженное естественной
топологией.

\утверждение
{\бф \пурпле Расслоение реперов есть главное $GL(n)$-расслоение.}
\ендпрооф



\определение
Пусть $B$ -- 
векторное расслоение над $M$, снабженное
метрикой (то есть положительно определенной
квадратичной формой). {\бф\блуе Расслоение ортонормированных реперов}
есть множество всех ортонормированных базисов в слоях $B$,
снабженное естественной топологией.


\утверждение
{\бф \пурпле Расслоение ортонормированных 
реперов есть главное $O(n)$-расслоение.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Расслоение реперов (продолжение)}

\определение
Пусть $B$ -- 
векторное расслоение над $M$, снабженное
невырожденной квадратичной формой
сигнатуры $(p,q)$. {\бф\блуе Расслоение ортонормированных $O(p, q)$-реперов}
есть множество всех базисов $e_1, ..., e_{p+q}$,
\[ (e_1,e_1)= (e_2,e_2)=...=
(e_p,e_p)=-(e_{p+1},e_{p+1})=...= -(e_{p+q}, e_{p+q})=1
\]
в слоях $B$, снабженное естественной топологией.

\утверждение
{\бф \пурпле Расслоение ортонормированных 
$O(p, q)$-реперов есть главное $O(p, q)$-расслоение.}
\ендпрооф


\определение
Пусть $B$ -- комплексное
векторное расслоение над $M$, снабженное
положительно определенной
эрмитовой формой. {\бф\блуе Расслоение ортонормированных реперов}
есть множество всех ортонормированных базисов в слоях $B$,
снабженное естественной топологией.

\утверждение
{\бф \пурпле Расслоение ортонормированных 
реперов в эрмитовом расслоении есть главное $U(n)$-расслоение.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Присоединенные расслоения}

\определение 
Пусть $X,Y$ -- топологические пространства с действием
группы $G$. Определим $X\times_G Y$ как $X\times Y/G$ с
топологией фактора, где $g$ действует на $X\times Y$ "диагонально",
то есть по формуле $g(x,y)=(gx, gy)$.

\утверждение
Пусть $V$ -- представление группы $G$,
а $E$ -- главное $G$-расслоение над $M$.
{\бф \пурпле Тогда аддитивная структура на $V$
определяет структуру векторного расслоения над $M$
на произведении $E\times_G V$.} \ендпрооф

\определение
Векторное расслоение $E\times_G V$
называется {\бф \блуе присоединенным векторным расслоением},
 или {\бф \блуе ассоциированным векторным расслоением},
связанным с $E$ и представлением $V$.

\невпаге

{\бф \блуе Векторные расслоения и главные расслоения}


\утверждение
Пусть $V=\R^n$ -- тавтологическое представление
группы $G=GL(n,\R)$, $B$ -- вещественное векторное расслоение
над $M$, а $E\arrow M$ -- расслоение реперов.
{\бф \ред Тогда $B$ изоморфно ассоциированному
векторному расслоению $E\times_G V$.}

\доказательство
Рассмотрим отображение $E\times V\arrow B$
переводящее пару (базис $e_1, ..., e_n$ в $B$, вектор
$(a_1, ..., a_n)$) в $\sum e_i a_i\in B$.
{\бф \пурпле Поскольку это отображение $G$-инвариантно,
оно продолжается на $E\times_G V\arrow B$.}
Сюрьективность его очевидна по построению,
инъективность -- по соображениям размерности.
\ендпрооф

\замечание
Эта теорема позволяет определить векторное расслоение
как расслоение, ассоциированное с каким-то 
главным $G=GL(n,\R)$-расслоением и тавтологическим
представлением. В силу доказанного выше,
{\бф \пурпле это определение векторного расслоения эквивалентно
остальным} (у нас было еще два: через локально свободные 
пучки, и через тотальные пространства расслоения).

\невпаге

{\бф \блуе Редукция $G$-расслоений}

\утверждение
Пусть $E\arrow M$ -- главное $G_1$-расслоение,
а $G_1\arrow G$ -- гомоморфизм групп. {\бф \пурпле Тогда
$E\times_{G_1} G$ есть главное $G$-расслоение.}

\доказательство Слои проекции $E\times_{G_1} G\arrow M$
изоморфны $G_1\times_{G_1} G$, то есть парам
$(g_1, g)$ с точностью до действия $G_1$,
Легко видеть, что $G_1\times_{G_1} G=G$.
\ендпрооф

\определение
Пусть $G_1\arrow G$ -- гомоморфизм групп, а 
$E\arrow M$ -- главное $G$-расслоение.
{\бф\блуе Редукция $E$ к $G_1$} есть главное $G_1$-расслоение
$E_1\arrow M$ вместе с изоморфизмом главных $G$-расслоений
$E\cong E_1\times_{G_1} G$.

\пример
Пусть $G_1=\{e\}$ -- тривиальная группа. Тогда
{\бф \пурпле редукция $E$ к $G_1$ есть изоморфизм
$M\times_\{e\} G \cong E$,} то есть {\бф \пурпле тривиализация $E$.}

\замечание
Пусть $G_1\arrow G$ -- гомоморфизм групп,
а \\ $\Psi:\; H^1(M,G_1) \arrow H^1(M, G)$ --
соответствующее отображение.
Тогда $\Psi$ переводит коцикл, соответствующий
$G_1$-расслоению $E_1$ в коцикл, соответствующий
$E_1\times_{G_1} G$. Поэтому $G$-расслоение $E$
{\бф \ред редуцируется к $G_1$ тогда и только тогда, когда
его класс когомологий лежит в образе $\Psi$.}

\невпаге

{\бф \блуе Структурная группа расслоения}


\определение
Пусть $B= E\times_G V$ -- векторное расслоение, которое получено
из главного $G$-расслоения $Е$ и представления $V$ группы $G$.
Тогда $G$ называется {\бф\блуе структурной группой расслоения $B$}.


\утверждение
Пусть $B$ -- векторное расслоение над $M$ со структурной
группой $G$, $E$ -- соответствующее главное $G$-расслоение, 
$G_1\arrow G$ -- гомоморфизм групп,
а $E_1\arrow M$ -- главное $G_1$-расслоение,
которое получено редукцией $E$ к $G_1$.
{\бф \пурпле Тогда $B$ ассоциировано с $E_1$
и представлением $G_1$, которое получено
из гомоморфизма $G_1\arrow G$.}

\доказательство
$B=E\times_G V= (E_1\times_{G_1} G)\times_G V= E_1\times_{G_1} V$.
\ендпрооф


\определение
В такой ситуации говорится, что 
произведена {\bf \блуе редукция структурной группы $B$ к $G_1$.}


\невпаге

{\бф \блуе $G$-структура на многообразии}


\пример
Задание метрики на вещественном векторном расслоении
равносильно редукции структурной группы $GL(n,\R)$ к
$O(n)\subset GL(n,\R)$.

\пример
Задание комплексной
структуры на вещественном векторном расслоении
равносильно редукции структурной группы $GL(2n,\R)$ к
$GL(n,\C)\subset GL(2n,\R)$.

\пример
Задание эрмитовой
структуры на вещественном векторном расслоении
равносильно редукции структурной группы $GL(2n,\R)$ к
$U(n)\subset GL(2n,\R)$.


\определение
{\бф\блуе $G$-структура} на многообразии $M$ есть 
редукция структурной группы касательного расслоения $TM$
к $G$, где $G$ -- группа Ли, снабженная гомоморфизмом
$G\arrow GL(n)$.


\end{document}
