
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Tot{\operatorname{Tot}}
\def\Tr{\operatorname{Tr}}
\def\Ric{\operatorname{Ric}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Hol{\operatorname{Hol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}

\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}}

 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Дифф. геометрия и векторные расслоения\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Векторные расслоения, лекция 8:\\[2mm] группа голономий}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 18 ноября, 2013\\ матфак ВШЭ и НМУ}

\end{center}


\newpage

{\bf \blue Кривизна связности (повторение)}

\определение
Пусть $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ связность
на гладком расслоении. Продолжим $\nabla$ до оператора на
формах
\[
B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes B
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes B 
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow ...
\]
по формуле 
$\nabla(\eta \otimes b) = d\eta + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$.
Тогда оператор $\nabla^2:\; B \arrow B\otimes \Lambda^{2}(M)$
называется {\бф\блуе кривизной} $\nabla$.

\утверждение
Пусть $X,Y\in TM$ -- векторные поля, $(B,\nabla)$ -- расслоение
со связностью, а $b\in B$ -- сечение. Рассмотрим 
\[ \Theta_B (X, Y, b):= \nabla_X\nabla_Yb-\nabla_Y\nabla_Xb-\nabla_{[X,Y]}b
\]
{\бф 
\ред
Тогда оператор $\Theta_B(X,Y)$ $C^\infty M$-линеен по всем трем аргументам,
и удовлетворяет $\nabla^2(X,Y)(b)= \Theta_B(X,Y)$.}
\endproof

\невпаге

{\бф \блуе Связность Леви-Чивита (повторение)}


\определение
Многообразие $M$ называется {\бф \блуе римановым}, если
на $TM$ задано невырожденное, положительно определенное
скалярное произведение $g$.

\определение
Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется
{\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$,
и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она 
ортогональна и без кручения.

\теорема
("основная теорема дифференциальной геометрии")
Каждое риманово многообразие {\бф \ред 
допускает связность Леви-Чивита, и она единственна.}

\невпаге

{\бф \блуе Тензор римановой кривизны (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Тензор римановой кривизны} есть
тензор кривизны связности Леви-Чивита.

\замечание
Тензор римановой кривизны лежит в $\Lambda^2 M \otimes(\goth{so}(TM))$,
то есть он берет три векторных поля, и выдает одно. Такой
тензор кривизны удобно обозначать 
$R^l_{ijk}\in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1M\otimes TM$. Если же 
отождествить $\goth{TM}$ с $\Lambda^2 M$, мы получим {\бф \ред 4-форму
$R^{ijkl}\in  \Lambda^2 M \otimes \Lambda^2M$,} которая
{\бф \пурпле тоже называется тензор римановой кривизны.}


\невпаге

{\бф \блуе Пространство алгебраических тензоров кривизны (повторение)}

\определение
Пусть $V_{2,2}\subset \Sym^2(\Lambda^2 V)$ обозначает
ядро умножения $\Sym^2(\Lambda^2 V)\arrow \Lambda^4 V$.
Пространство $V_{2,2}\subset V\otimes V\otimes V\otimes V$ называется 
{\бф \блуе пространством алгебраических тензоров кривизны}.

\теорема
Рассмотрим тензор кривизны
связности Леви-Чивита, $R^l_{ijk} \in \Lambda^2 M \otimes \goth{so}(TM)$.
Отождествляя $\goth{so}(TM)$ и $\Lambda^2(TM)$, получим 
тензор кривизны $R_{ijkl} \in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^2 M$.
{\бф \ред Тогда $R_{ijkl}\in V_{2,2}$.}

\следствие 
{\бф \ред Кривизна связности Леви-Чивита симметрична:\\
$R_{ijkl}\in \Sym^2(\Lambda^2 TM)$.}


\newpage

{\bf \blue Симметрические многообразия}


\определение
{\бф \блуе Симметрическое пространство} есть риманово многообразие $M$,
снабженное набором изометрий $i_x$, для любой точки
 $x\in M$. При этом $i_x$ сохраняет $x$, в квадрате дает
тождественное преобразование, а на $T_xM$
действует как $-1$. {\бф \блуе Локально симметрическое
пространство} есть пространство, которое локально изометрично
симметрическому.

\теорема
Риманово многообразие $(M,g)$ {\бф \ред локально симметрическое
тогда и только тогда, когда $\nabla R=0$,} где $R$ -- тензор
римановой кривизны.

\доказательство Пусть $(M,g)$ локально симметрическое.
Тензор $\nabla R$ инвариантен относительно изометрий, значит,
$i_x^* (\nabla R)=\nabla R$. На нечетных тензорах 
$i_x$ действует как -1: 
\[ \left(\nabla R\restrict x\right)=
i_x^*\left(\nabla R\restrict x\right)=- \left(\nabla R\restrict x\right),
\]
значит, $\nabla R\restrict x=0$, для каждой точки $x\in M$.


Импликацию $\nabla R$ $\Rightarrow$ ($M$ 
локально симметрическое) я доказывать не буду, но в любом нормальном
курсе римановой геометрии ее доказывают (нужны геодезические,
экспоненциальное отображение, поля Якоби). \ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Распределения}

\определение
{\бф \блуе Распределение} на гладком многообразии $М$ есть 
гладкое подрасслоение $B\subset TM$.

\замечание
Пусть $\Pi:\; TM \arrow TM/ B$ -- проекция,
а $x,y \in B$ -- векторные поля. Тогда
$[fx, y]= f[x,y] - D_y (f) x$. Следовательно,.
{\бф \пурпле $\Pi([x,y])$ зависит
от $x,y$ $C^\infty(M)$-линейно.}

\определение
Построенное отображение $[B,B]\arrow TM/B$ называется
{\бф \блуе форма Фробениуса} ("Frobenius bracket"); это косо-симметричная
$C^\infty(M)$-линейная 2-форма на $B$.

\определение
Распределение называется {\бф \блуе интегрируемым}, {\бф \блуе голономным}
или же {\бф \блуе инволютивным}, если форма Фробениуса равна нулю.

\newpage

{\бф \блуе Гладкие субмерсии}

\определение
Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкое отображение.
Оно называется {\бф\блуе субмерсией}, если в каждой точке
$M$ дифференциал $D\pi$ сюрьективен.

\утверждение
Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкая субмерсия.
Тогда у каждой точки $m\in M$ есть окрестность $U\cong V\times W$,
где $U,W$ -- гладкие многообразия, 
такая, что {\бф \ред $\pi \restrict U$ есть проекция на $W$.}

{\бф \греен Доказательство:}
Теорема о неявной функции.

\упражнение
("Ehresmann's fibration theorem")\\
Пусть $\pi:\; M \arrow M'$ -- гладкая субмерсия компактных
многообразий. {\бф \пурпле 
Докажите, что это локально тривиальное расслоение.}

\определение
{\бф\блуе Вертикальное касательное пространство} субмерсии
есть ядро $D\pi$. 

\утверждение
{\бф \ред Это инволютивное подрасслоение.}

{\бф \греен Доказательство:}
Коммутатор перестановочен с проекцией потому что.

\замечание
Вертикальное подрасслоение обозначается $T_\pi M$.


\newpage

{\бф \блуе Теорема Фробениуса (формулировка)}

{\бф \греен Теорема Фробениуса:} Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение.
Оно {\бф \purple является инволютивным тогда и только тогда}, когда у 
каждой точки $x\in M$ {\бф \ред есть окрестность $U$ и
гладкая субмерсия $U\stackrel \pi \arrow V$ такая, что
$B$ есть вертикальное касательное подрасслоение:}
$B = T_\pi M$.

\замечание
Слои $\pi$ называются {\бф \блуе листами}, или
{\бф \блуе интегральными подмногообразиями}
распределения $B$. Распределение, для
которого верна теорема Фробениуса, называетсы
{\бф \блуе интегрируемым}. Если $B$ интегрируемо,
совокупность всех листов (а также само $B$)
называют {\бф \блуе слоением}. 

\замечание
Для доказательства теоремы Фробениуса {\бф \пурпле достаточно
убедиться, что через каждую точку проходит
интегральное подмногообразие.} В этом случае, 
гладкая субмерсия $U\stackrel \pi \arrow V$ -- это
проекция на пространство листов слоения.

\newpage

{\бф \блуе Базовые подрасслоения}

\определение
Пусть $B\subset TM$ -- инволютивное подрасслоение,
Подрасслоение $F\subset TM$ называется {\бф \блуе базовым}
для $B$, если $F\supset B$ и для любого $b\in B, b'\in F$,
имеем $[b, b']\in F$.

\лемма
Пусть $B\subset TM$ -- интегрируемое слоение,
$\pi:\; M \arrow M_1$ -- проекция на пространство листов $B$,
а $F\supset B$ -- подрасслоение $TM$, содержащее $B$.
Тогда следующие условия равносильны. {\бф \ред 
(а) $F$ -- базовое для $B$.\\
(б) Существует подрасслоение $F_1\subset TM_1$ такое,
что $\pi^{-1}F_1 = F$.}

\дшаг
Рассмотрим координаты $x_1, ..., x_n$ на $M$ 
такие, что $x_{k+1}, ..., x_n$ задают координаты на $M_1$,
а $d/dx_1, ..., d/dx_k$  порождают $B$. Обозначим за $G$
подгруппу в группе диффеоморфизмов $\Diff(M)$,
которая порождена экспонентами векторных полей
$d/dx_1, ..., d/dx_k$. Поскольку $[b, b']\subset F$,
$e^b(F)\subset F$, значит, $F$ -- $G$-инвариантное
подрасслоение.

{\бф \греен Шаг 2:} Любое $G$-инвариантное подрасслоение
$F\supset B$ поднимается  с фактора $M/G= M_1$. Действительно,
поскольку действие $G$ свободно, расслоение 
$F$ порождено над $C^\infty M$ $G$-инвариантными сечениями,
но каждое $G$-инвариантное векторное поле
поднимается с $M_1$.

{\бф \греен Шаг 3:} Наоборот, если $F$ поднимается
с $M_1$, оно $G$-инвариантно, но это значит, что 
$\Lie_b(b')\subset F$.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Теорема Фробениуса (доказательство)}

{\бф \греен Теорема Фробениуса:} Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение.
Оно {\бф \purple является инволютивным тогда и только тогда}, когда у 
каждой точки $x\in M$ {\бф \ред есть окрестность $U$ и
гладкая субмерсия $U\stackrel \pi \arrow V$ такая, что
$B$ есть вертикальное касательное подрасслоение:}
$B = T_\pi M$.

\дшаг
Возьмем одномерное подрасслоение $B_1\subset B$.
По теореме о существовании решений ОДУ,
$B_1$ интегрируемо. Поскольку $[B_1, B]\subset B$, 
расслоение
 $B$ базовое относительно $B_1$, {\бф \пурпле значит, поднимается
с пространства листов $B_1$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Обозначим проекцию за $\pi:\; M \arrow M_1$.
Тогда $B= \pi^* B_0$, для $B_0\subset TM$ ранга $\rk B -1$.
Воспользовавшись индукцией, можно считать, что $B_0$ интегрируемо.
Пусть $\pi_0:\; M_1 \arrow M_0$ -- проекция на пространство
листов $B_0$. {\бф \пурпле Тогда $\pi\circ\pi_0:\; M \arrow M_0$ --
проекция на пространство листов $B$.}
\ендпрооф



%\замечание
%{\бф \блуе Пусть в $B$ есть базис $b_1, ..., b_r$ линейно-независимых,
%коммутирующих векторных полей.} Обозначим за 
%$\tau(t, b_i):\; M \times \R \arrow M$ соответствующие
%потоки диффеоморфизмов. {\бф \пурпле Поскольку $b_i$ коммутируют, потоки
%$\tau(t, b_i)$ тоже коммутируют.} Это задает локальное действие группы
%$\tau(t_1, ..., t_r):\; M \times \R^n\arrow M$,
%причем для каждого $m\in M$, касательное пространство
%$Т\tau(\R^r, m)$ порождено $\langle b_1, ..., b_r\rangle$. {\бф \ред Значит,
%$\tau(\R^r, m)$ -- интегральные подмногообразия.}
%
%\newpage
%
%{\бф \блуе Теорема Фробениуса (доказательство)}
%
%\следствие
%Мы получили, что теорема Фробениуса следует из 
%такой леммы.
%
%\лемма
%Пусть $B\subset TM$ -- инволютивное подрасслоение.
%Тогда {\бф \ред в окрестности каждой точки $x\in M$  
%есть базис из линейно-независимых, коммутирующих 
%векторных полей.}
%
%\доказательство
%Ведется по индукции. Предположим, что задано 
%подрасслоение $B_0\subset B$, порожденное коммутирующими
%векторными полями $b_1, ..., b_{k-1}$. Нужно найти векторное
%поле $b_k\in B$, линейно независимое и коммутирующее
%с $b_1, ..., b_{k-1}$. 

%{\bf \purple Рассмотрим локальное
%действие группы $\beta:\;  \R^{k-1} \times M \arrow M$.
%и пусть $\pi:\; U \arrow V$ -- субмерсия на пространство
%листов.} Возьмем ее {\бф \блуе сечение} $V \stackrel \rho \arrow U$,
%то есть такое отображение, что $\pi\circ \rho = \Id_V$
%({\bf \red локально такое сечение всегда существует,} по теореме
%о неявной функции). 
%
%{\бф \греен Шаг 0:} 
%Образ $\rho$ -- гладкое подмногообразие в $U$.
%
%\newpage
%
%{\бф \блуе Теорема Фробениуса (продолжение)}
%
%{\бф \греен Шаг 1:}
%{\бф \пурпле Отображение $\beta(\R^{k-1}\times \im \rho)\arrow U$ -- изоморфизм}
%(локально), потому что 
%\[ 
%  D\beta:\; \langle b_1, ..., b_{k-1}\rangle \oplus T\im\rho\arrow TU
%\]
%изоморфизм.
%
%{\бф \греен Шаг 2:}
%Для каждого векторного поля $v$ на $\im\rho$, действие
%$\beta$ разносит $v$ на $U$, {\бф \пурпле превращая его в $\beta$-инвариантное
%векторное поле.}
%
%
%{\бф \греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Подрасслоение $B\subset TU$ является
%$\beta$-инвариантным,} ибо $[b_i, B]\subset B$.
%
%
%{\бф \греен Шаг 4:} Возьмем невырожденное векторное
%поле $v\in B \cap T\im \rho$ (локально, оно существует, 
%потому что $\codim \im\rho = k-1 < \dim B=r$, значит, 
%$\dim (T\im \rho\cap B) \geq \dim B-\codim \im\rho = r-k+1$).
%Продолжим его до $\beta$-инвариантного векторного поля
%$b_k$ на $U$ (шаг 3). {\бф \ред Будучи $\beta$-инвариантным, 
%$\beta_k$ коммутирует с $b_1, ..., b_{k-1}$, а в силу 
%шага 4, оно лежит в $B$.} \endproof


\невпаге

{\bf \blue Группа голономий (повторение)}

\определение
(Эли Картан, 1923)
Пусть $(M, \nabla)$ -- расслоение со связностью
над $M$. Для каждой петли $\gamma$, идущей из
$x$ в $x\in M$, обозначим за 
$V_{\gamma, \nabla}:\; B\restrict x \arrow B\restrict x$
соответствующее отображение параллельного переноса
вдоль связности. {\бф \блуе Группа голономий}
 $(B,\nabla)$ есть подгруппа $GL(T_xM)$, 
порожденная $V_{\gamma, \nabla}$, для всех петель $\gamma$.
Группа {\бф \блуе локальных голономий} есть подгруппа $GL(T_xM)$,
порожденная $V_{\gamma, \nabla}$ для стягиваемых петель.

\замечание
Расслоение {\бф \блуе плоско} (имееет нулевую 
кривизну) тогда и только тогда, когда его локальная
голономия тривиальна.

\замечание 
Если  $\nabla(\phi)=0$ для тензора
$\phi\in B^{\otimes i}\otimes (B^*)^{\otimes j}$,
то {\bf \red группа голономий $\nabla$ сохраняет  $\phi$.}

\определение {\bf \blue Голономия риманова многообразия}
есть голономия его связности Леви-Чивита.

\упражнение Докажите, что {\bf \red группа голономий
не зависит от выбора точки $x\in M$.}

\задача
Пусть $G$ -- группа Ли,
$g$ -- биинвариантная метрика. Докажите,
что {\бф \пурпле голономия $(G,g)$ равна образу группы $G$} в $\End(T_eG)$,
действующей $T_eG$ как на присоединенном представлении.

\newpage

{\bf \blue Лемма о лассо}

\определение 
{\bf \blue Лассо} есть петля следующего вида:

{\begin{center}
\epsfig{file=Lasso.png,width=0.35\linewidth}
\end{center}}

Круглая часть называется {\bf \blue рабочей частью}
лассо.

\newpage

{\bf \blue Лемма о лассо (продолжение)}

\замечание {\bf \blue (``Лемма о лассо'')} 
Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие многообразия, 
а $\gamma$ -- стягиваемая петля. Тогда {\bf \purple
$\gamma$ можно разложить в произведение нескольких
лассо, с рабочей частью каждого из лассо в $U_i$.}

\begin{center}
\epsfig{file=lasso-lemma.png,width=0.4\linewidth}
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Теорема Амброза-Зингера}

\замечание
Из утверждения 1 и теоремы о непрерывности
голономии как функции контура (лекция 6) легко вывести 
следующее. Зафиксируем $C>0$. Рассмотрим лассо с рабочей областью
площади $\epsilon^2$ и периметра $C\epsilon$, 
затянутой 2-мерной поверхностью, касательные 
пространства к которой с точностью до $C \epsilon^2$
равны 2-мерной плоскости $V=\langle x, y\rangle$
Пусть $x, y$ -- ортонормальный базис в $V$.
{\бф \пурпле Тогда голономия вдоль лассо с точностью 
до $o(\epsilon^2)$ равна $\epsilon^3 \gamma^* R(x,y)$,
где $\gamma^*$ есть оператор голономии вдоль нерабочей
части лассо. }

\определение
Пусть $(B, \nabla)$ -- расслоение со связностью,
$\Theta\in \Lambda^2(M)\otimes \End(B)$  -- его кривизна,
а $a,b\in T_x M$ -- касательные векторы. Эндоморфизм
$\Theta(a,b)\in \End(B)\restrict x$ называется
{\bf \blue элементом кривизны}.

\теорема {\bf \blue (Аброз-Сингер)}
Локальная группа голономий $B, \nabla$ в $z\in M$ 
есть группа Ли {\bf \red с алгеброй Ли, порожденной
всеми элементами кривизны $\Theta(a,b)\in \End(B)\restrict x$
перенесенными в $z$ параллельным переносом вдоль всех путей.}

\доказательство Доказательство этой теоремы следует из 
леммы о лассо и вышеприведенного замечания. \ендпрооф


\newpage

{\bf \blue Представление голономии}


\определение
Пусть $(M,g)$ - риманово многообразие, а
$G$ его группа голономий. {\bf\blue Представление голономии}
в $x\in M$ есть действие $G$ на $T_xM$.


\теорема (де Рама)
Предположим, что представление голономий приводимо:
$T_xM=B_1 \oplus B_2$. {\бф \ред Тогда риманово многообразие
$M$ локально расщепляется  в произведение: $M=M_1 \times M_2$,
где $B_1= T_xM_1$, $B_2=T_xM_2$.}

{\bf\green Доказательство. Шаг 1:}
Используя параллельный перенос относительно связности,
продолжим разложение  $B_1 \oplus B_2$ до
{\bf \purple расщепления касательного расслоения
в ортогональную прямую сумму $TM = B_1 \oplus B_2$,
совместимую с голономией и связностью.}

{\bf\green Шаг 2:} Подрасслоения $B_1$, $B_2 \subset TM$
{\bf \purple инволютивны:} $[B_1, B_1] \subset B_i$ 
(связность Леви-Чивита не имеет кручения).

{\bf\green Шаг 3:} Применяя теорему Фробениуса,
получим, что эти расслоения -- касательные к 
листам дополнительных слоений на $M$. Это дает
 {\bf \purple локальное разложеное
$M=M_1 \times M_2$, с $B_1= TM_1$, $B_2=TM_2$. }


\newpage

{\bf \blue Представление голономии (продолжение)}

\теорема (де Рама)
Предположим, что представление голономий приводимо:
$T_xM=B_1 \oplus B_2$. {\бф \ред Тогда риманово многообразие
$M$ локально расщепляется  в произведение: $M=M_1 \times M_2$,
где $B_1= T_xM_1$, $B_2=T_xM_2$.}

{\bf\green Доказательство. Шаг 1:}
Продолжим разложение  $B_1 \oplus B_2$ до
{\bf \purple расщепления касательного расслоения
в ортогональную прямую сумму $TM = B_1 \oplus B_2$,
совместимую с голономией и связностью.}

{\bf\green Шаг 2:} Подрасслоения $B_1$, $B_2 \subset TM$
{\bf \purple инволютивны:} $[B_1, B_1] \subset B_i$ 
(связность Леви-Чивита не имеет кручения).

{\bf\green Шаг 3:} Применяя теорему Фробениуса,
получим, что эти расслоения -- касательные к 
листам дополнительных слоений на $M$. Это дает
 {\bf \purple локальное разложеное
$M=M_1 \times M_2$, с $B_1= TM_1$, $B_2=TM_2$. }


{\bf\green Шаг 4:} Поскольку разложение $TM = B_1 \oplus B_2$
совместимо со связностью, {\bf \purple все листы $M_1, M_2$
вполне геодезические.} 


{\bf\green Шаг 5:} Следовательно, {\bf \red локально $M$
расщепляется (как метрическое пространство)}: 
$M=M_1\times M_2$, где $M_1, M_2$ -- какие-то листы
этих слоений. \endproof


\newpage


{\bf \blue Теорема де Рама о разложении}

\следствие
Пусть $M$ -- риманово многообразие, а 
\[ \Hol_0(M)\stackrel \rho \arrow \End(T_xM)\] --
локальное представление голономий. Предположим, что 
 $\rho$ приводимо:
$T_xM = V_1\oplus V_2 \oplus ...\oplus V_k$. {\bf \red Тогда
группа $G=\Hol_0(M)$ тоже расщепляется в произведение: 
$G= G_1\times G_2 \times ...\times G_k$,}
где каждая из $G_i$ тривиально действует на всех $V_j$ с 
$j\neq i$.


{\bf \green Доказательство:} Локально, эта теорема
следует из локального разложения $M$, доказанного выше. 
Чтобы получить его глобально по 
$M$, используем лемму о лассо. \endproof

\теорема (де Рама) Полное, односвязное риманово
многообразие с приводимой голономией
{\bf \red расщепляется в произведение римановых
многообразий}.

\упражнение
Найдите неполные и неодносвязные контрпримеры
к утверждению этой теоремы.


\теорема (Саймонс, 1962)
Пусть $M$ -- многообразие с неприводимой голономией.
Тогда {\бф \ред либо $M$ локально симметрично, либо  $\Hol(M)$
действует транзитивно на единичной сфере в $T_xM$.}



\newpage

\centerline{\epsfig{file=berger.jpg,width=0.4\linewidth}}
\centerline{\it Marcel Berger}


\newpage

{\bf \blue Теорема Берже}

\теорема (теорема Берже, 1955)
Пусть $G$ -- неприводимая группа голономий
риманова многообразия, которое не локально симметрично.
Тогда $G$ принадлежит списку Берже:

{
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\multicolumn{2}{|c|}{\bf \color[rgb]{0,0,0.6}Список Берже}\\[1mm]
\hline
\it Голономия  & \it Геометрия\\[1mm]
\hline
$SO(n)$ действующее на $\R^n$ & риманово многообразие\\[1mm]
\hline
$U(n)$ действующее на $\R^{2n}$ & кэлерово многообразие\\[1mm]
\hline
$SU(n)$ действующее на $\R^{2n}$, $n>2$ & многообразие Калаби-Яу\\[1mm]
\hline
$Sp(n)$ действующее на $\R^{4n}$ & гиперкэлерово многообразие\\[1mm]
\hline
$Sp(n)\times Sp(1)/\{\pm 1\}$ & 
кватернионно-кэлерово \\[1mm] действующее на $\R^{4n}$, $n>1$ &  многообразие \\[1mm]
\hline
$G_2$ действующее на $\R^7$ & $G_2$-многообразие \\[1mm]
\hline
$Spin(7)$ действующее на $\R^8$ & $Spin(7)$-многообразие\\[1mm]
\hline
\end{tabular}
}


\замечание Существует еще одна группа, транзитивно действующая
не сфере:  $Spin(9)$, действующая на $\R^{16}$. 
В 1968, Д. В. Алексеевский доказал, что 
 {\bf \purple любое многообразие с голономией $\Spin(9)$
локально симметрично.}



\end{document}
