\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Tot{\operatorname{Tot}} \def\Tr{\operatorname{Tr}} \def\Ric{\operatorname{Ric}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Дифф. геометрия и векторные расслоения\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Векторные расслоения, лекция 7:\\[2mm] тензор кривизны Римана} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 28 октября, 2013\\ матфак ВШЭ и НМУ}\\ {\bf \large \red 4 и 11 ноября лекции не будет! \\ 4 ноября будет контрольная, 11 ноября будет прием задач.} \end{center} \newpage {\bf \blue Кривизна связности (повторение)} \определение Пусть $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ связность на гладком расслоении. Продолжим $\nabla$ до оператора на формах \[ B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow ... \] по формуле $\nabla(\eta \otimes b) = d\eta + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$. Тогда оператор $\nabla^2:\; B \arrow B\otimes \Lambda^{2}(M)$ называется {\бф\блуе кривизной} $\nabla$. \утверждение Пусть $X,Y\in TM$ -- векторные поля, $(B,\nabla)$ -- расслоение со связностью, а $b\in B$ -- сечение. Рассмотрим \[ \Theta_B (X, Y, b):= \nabla_X\nabla_Yb-\nabla_Y\nabla_Xb-\nabla_{[X,Y]}b \] {\бф \ред Тогда оператор $\Theta_B(X,Y)$ $C^\infty M$-линеен по всем трем аргументам, и удовлетворяет $\nabla^2(X,Y)(b)= \Theta_B(X,Y)$.} \endproof \невпаге {\бф\блуе Ортогональная алгебра $\goth {so}(V)$ (повторение)} \пример Пусть $h\in V^* \otimes V^*$ -- скалярное произведение. {\бф \блуе Ортогональная алгебра Ли} $\goth {so}(V)$ есть множество всех эндоморфизмов $a\in \End V$, которые удовлетворяют $a(h)=0$. \замечание Докажите, что $\goth {so}(V)=\{a \in \End V\ \ |\ \ h(a\cdot, \cdot)=-h(\cdot, a\cdot)\}$, другими словами, {\bf \purple $\goth {so}(V)$ -- алгебра Ли кососимметрических матриц.} \утверждение Пусть $h$ невырожденно. {\bf \red Тогда $\goth {so}(V)=\Lambda^2 V^*$.} \дшаг Отождествим $\End V= V\otimes V^*$ с $V\otimes V$, пользуясь изоморфизмом $V = V^*$, который получен из $h$ по формуле: $v \stackrel \xi \arrow h(v, \cdot)$. {\бф \греен Шаг 2:} Kососимметрический оператор $a\in \goth {so}(V)\subset V\otimes V^*$ удовлетворяет \[ \xi\otimes \Id(a)(x,y)= h(a(x), y)= - h(x, a(y)),\ \ \ \ \ (1)\] значит, 2-форма $\xi\otimes \Id(a)\in V^*\otimes V^*$ кососимметрична. {\бф \греен Шаг 3:} Наоборот, из каждой кососимметричной формы $\omega\in \Lambda^2 V^*$ можно получить матрицу $a= (\xi\otimes \Id)^{-1}(\omega)$, и она будет кососимметрична в силу (1). \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Связность Леви-Чивита} \определение Многообразие $M$ называется {\бф \блуе римановым}, если на $TM$ задано невырожденное, положительно определенное скалярное произведение $g$. \определение Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется {\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$, и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она ортогональна и без кручения. \теорема ("основная теорема дифференциальной геометрии") Каждое риманово многообразие {\бф \ред допускает связность Леви-Чивита, и она единственна.} \невпаге {\бф \блуе Тензор римановой кривизны} \определение {\бф \блуе Тензор римановой кривизны} есть тензор кривизны связности Леви-Чивита. \замечание Тензор римановой кривизны лежит в $\Lambda^2 M \otimes(\goth{so}(TM))$, то есть он берет три векторных поля, и выдает одно. Такой тензор кривизны удобно обозначать $R^l_{ijk}\in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1M\otimes TM$. Если же отождествить $\goth{TM}$ с $\Lambda^2 M$, мы получим {\бф \ред 4-форму $R^{ijkl}\in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^2M$,} которая {\бф \пурпле тоже называется тензор римановой кривизны.} Сегодня мы будем изучать симметрии тензора римановой кривизны. \невпаге {\бф \блуе Представления групп} \определение Пусть $V$ -- конечномерное векторное пространство, $G\stackrel \rho\arrow \End(V)$ -- представление группы. Оно называется {\бф \блуе простым}, если у $V$ нет нетривиальных $G$-инвариантных подпространств $V_1 \subset V$, и {\бф\блуе полупростым}, если $V$ -- прямая сумма простых представлений. \пример {\бф \пурпле Если $\rho$ унитарное представление, оно полупросто}. Действительно, ортогональное дополнение $V_1^\bot$ $G$-инвариантного пространства тоже $G$-инвариантно. \пример {\бф \ред Если $G$ редуктивная группа Ли, все ее представления полупросты}. Это одно из определений редуктивной группы. \пример {\бф \пурпле Если $G$ -- конечная группа, все ее представления полупросты}. Возьмем положительно-определенное скалярное произведение $h$ на $V$, и пусть \[ h_G(x,y):=\sum_{g\in G}\xi(gx,xy). \] Скалярное произведение $h_G$ $G$-инвариантно и положительно определено, а значит, $V$ полупросто. \newpage {\бф \блуе Групповая алгебра} \определение {\бф \блуе Групповая алгебра} конечной группы есть векторное пространство $\C[G]$ с базисом $\{g_1, ... g_n\}=G$, и умножением $g_i$ определенным как в $G$. {\бф \пурпле Рассмотрим $\c [G]$ как представление $G$, где $G$ действует слева.} \теорема Пусть $V$ -- неприводимое представление $G$. {\бф \ред Тогда $V$ реализуется как одно из прямых слагаемых в $\C[G]$.} \доказательство Пусть $v\in V$, и рассмотрим отображение $\rho:\; \C[G]\arrow V$, переводящее вектор $g\in G$ из базиса в $g(v)$. Это ненулевое отображение; {\бф \пурпле двойственное к нему отображение определяет вложение $V\hookrightarrow \C[G]$.} \ендпрооф \следствие {\бф \пурпле Существует не более чем конечное число попарно неизоморфных представлений конечной группы $G$.} {\бф \греен Теорема Фробениуса:} {\бф \ред Число попарно неизоморфных представлений симметрической группы равно числу классов сопряженности $G$.} \упражнение Докажите эту теорему. \newpage {\бф \блуе Идемпотенты в групповой алгебре} \определение Элемент $a\in A$ алгебры называется {\бф \блуе идемпотентом}, если $a^2=a$. {\бф \пурпле Зафиксируем $G$-инвариантную положительно-определенную эрмитову форму на $\C[G]$.} \замечание Пусть $V\subset \C[G]$ -- подпредставление, а $\iota:\; \C[G]\arrow V$ -- ортогональная (как следствие, $V$-инвариантная) проекция. Тогда $\iota^2=\iota$, то есть $\iota$ -- идемпотент. \теорема {\бф \ред Идемпотенты в групповой алгебра биективно соответствуют подпредставлениям $V\subset \C[G]$. } {\бф \греен Докательство будет.} \замечание Рассмотрим пространство $\C[G]$ как представление $G$ с левым действием группы $G$ на себе: $L_g(g')=gg'$. Алгебра $\C[G]$ действует на себе справа, по формуле $R_g(g')=g'g^{-1}$. {\бф \пурпле Эти два действия коммутируют}. \newpage {\бф \блуе Идемпотенты в групповой алгебре (продолжение)} \утверждение Пространство $\End_G(\C[G])$ $G$-инвариантных эндоморфизмов $\C[G]$ (относительно левого действия $G$) {\бф \ред отождествляется с $\C[G]$, действующим справа.} \доказательство Поскольку $G$ действует транзитивно на элементах базиса, $\psi\in \End_G(\C[G])$ однозначно задается вектором $\psi(e)$. Пространство таких образов это как раз $\C[G]$. \ендпрооф \следствие {\бф \ред Существует каноническая биекция между множеством идемпотентов в $\C[G]$ и подпредставлениями $V\subset \C[G]$.} \доказательство Собственные значения идемпотента равны 0,1, то есть это всегда проекция на $G$-инвариантное подпространство. Наоборот, каждое $G$-инвариантное подпространство получается из $G$-инвариантной проекции. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Диаграммы Юнга} \определение Каждая партиция множества из $n$ элементов соответствует картинке, которая называется {\бф \блуе диаграмма Юнга} {\begin{center} \epsfig{file=Young_diagram_for_541_partition.png,width=0.15\linewidth} {\small Диаграмма Юнга, соответствующая партиции числа 10.} \end{center}} \замечание {\бф \пурпле Диаграммы Юнга биективно соответствуют классам сопряженности в симметрическох группе.} \определение {\бф\блуе Таблица Юнга} получается из диаграммы Юнга размещением чисел от 1 до $n$ в клеточки таблицы. {\begin{center} \epsfig{file=Young_tableaux_for_541_partition.png,width=0.15\linewidth} {\small Таблица Юнга, соответствующая партиции числа 10.} \end{center}} \newpage {\бф \блуе Симметризаторы Юнга} \определение Для подгруппы $G\subset S_n$ симметрической группы, рассмотрим идемпотент $s_G\in C[S_n]$, который называется {\бф \блуе симметризатором} \[ s_G(v) := \frac 1 {|G|} \sum_{g\in G} g (v) \] и другой идемпотент, который называется {\бф \блуе антисимметризатором} \[ a_G(v) := \frac 1 {|G|} \sum_{g\in G} \mathop{sign}(g) g (v) \] \определение Пусть $S_n$ -- симметрическая группа, а $\sigma$ -- таблица Юнга. {\бф \блуе Симметризатор Юнга} есть идемпотент $s_\sigma\in \Q[S_n]$, построенный по $\sigma$ следующим образом. Рассмотрим группы $P$ и $Q\subset S_n$, где $P$ -- множество перестановок, сохраняющих строки, а $Q$ -- множество перестановок, сохраняющих столбцы таблицы. Тогда $s_\sigma:= s_P a_Q$. \newpage {\бф \блуе Модули Шпехта} \определение Пусть $s_\sigma$ -- симметризатор Юнга. $\Q[S_n]$-модуль $V_\sigma:=\Q[S_n]\cdot s_\sigma$ называется {\бф \блуе модулем Шпехта}. \упражнение {\бф \пурпле Проверьте, что $c_\sigma^2 = \lambda c_\sigma^2$, где $\lambda = \frac{n!}{|P||Q|\dim V_\sigma}$.} \теорема Каждое неприводимое представление симметрической группы изоморфно модулю Шпехта. Более того, {\бф \ред классы изоморфизма представлений симметрической группы находятся в биективном соответствии с диаграммами Юнга}. \замечание Это утверждение сразу следует из теоремы Фробениуса. Действительно, {\бф \пурпле классы сопраженности в $S_n$ биективно соответствуют партициям множества из $n$ элементов.} \невпаге \vfil {\bf \large \red 4 и 11 ноября лекции не будет! \\ 4 ноября будет контрольная, 11 ноября будет прием задач.} \vfil \newpage {\бф \блуе Представления $GL(n)$} \теорема Пусть $V$ -- векторное пространство, а $V^{\otimes n}$ -- его тензорная степень. {\бф \ред Пространство $V^{\otimes n}$ есть прямая сумма неприводимых представлений $GL(V)$, параметризованных диаграммами Юнга}. Для каждой таблицы Юнга, и соответствующего симметризатора $s_\sigma$, образ $c_\sigma(V^{\otimes n})$ неприводим. {\бф \ред Разложение $V^{\otimes n}$ по неприводимым компонентам относительно действия симметрической группы совпадает с разложением по неприводимым компонентам относительно действия $GL(V)$.} \пример $V\otimes V= \Lambda^2 V \oplus \Sym^2 V$. \пример $V\otimes V\otimes V= \Lambda^3 V \oplus \Sym^3 V\oplus C(V)$, где $C(V)$ есть {\бф \блуе пространство тензоров Картана}, которое может быть отождествлено с ядром $\Sym_{23}\restrict {\Sym^2 V \otimes V}$. \пример $V\otimes V\otimes V\otimes V= \Lambda^4 V \oplus \Sym^4 V \oplus (V_{3,1})^{\oplus 4} \oplus V_{2,1,1}^{\oplus 4} \oplus V_{2,2}^{\oplus 6}$. Здесь $V_{3,1}=\ker\Alt_{34}\restrict { \Lambda^3 V \otimes V}$, $V_{2,1,1}=\ker\Sym_{34}\restrict {\Sym^3 V \otimes V}$, а $V_{2,2}$ -- ядро отображения из $\Lambda^2V\otimes \Lambda^2 V$, симметризующего по одновременным перестановкам 1 и 3 и 2 и 4 векторов. \newpage {\бф \блуе Симметрии пространства $V_{2,2}$} \определение $V_{2,2}$ -- ядро отображения из $\Lambda^2V\otimes \Lambda^2 V$, симметризующего по одновременным перестановкам 1 и 3 и 2 и 4 векторов. \утверждение {\бф \red $V_{2,2}$ есть ядро умножения в алгебре Грассмана: $V_{2,2}=\ker \left( \Sym^2(\Lambda^2V)\arrow \Lambda^4V\right).$} \доказательство $\Lambda^4V$ -- прямая сумма неприводимых компонент действия $S_4$, а $V_{2,2}$ -- прямая сумма неизоморфных им неприводимых компонент. С другой стороны, в $\Sym^2(\Lambda^2V)$ нет других неприводимых компонент действия $S_4$, что ясно из описания всех неприводимых представлений $S_4$ в терминах симметризаторов. \ендпрооф \утверждение {\bf \red $V_{2,2}$ есть ядро симметризации по циклическим перестановкам: $V_{2,2}=\ker\mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}\restrict {\Lambda^2 V \otimes \Lambda^2 V}$.} \доказательство Проекция ядра ${\rm Cycl}{}_{1,2,3}\restrict {\Lambda^2 V \otimes \Lambda^2 V}$ на все остальные неприводимые компоненты действия $S_4$ на $V\otimes V \otimes V \otimes V$ зануляется. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Пространство алгебраических тензоров кривизны} \определение Пространство $V_{2,2}\subset V\otimes V\otimes V\otimes V$ называется {\бф \блуе пространством алгебраических тензоров кривизны}. \теорема Рассмотрим тензор кривизны связности Леви-Чивита, $R^l_{ijk} \in \Lambda^2 M \otimes \goth{so}(TM)$. Отождествляя $\goth{so}(TM)$ и $\Lambda^2(TM)$, получим тензор кривизны $R_{ijkl} \in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^2 M$. {\бф \ред Тогда $R_{ijkl}\in V_{2,2}$.} \доказательство См. следующий слайд. \следствие {\бф \ред Кривизна связности Леви-Чивита симметрична:\\ $R_{ijkl}\in \Sym^2(\Lambda^2 TM)$.} \newpage {\бф \блуе Симметрии тензора кривизны} \утверждение {\бф \блуе (алгебраическое тождество Бьянки)}\\ Пусть $ \Theta_\nabla\in \Lambda^2 M \otimes \goth{so}(TM)$ -- кривизна связности Леви-Чивита. {\бф \ред Тогда \[ \mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}(\Theta_\nabla):= \Theta_\nabla(X,Y,Z, \cdot) +\Theta_\nabla(Y,Z,X, \cdot)+ \Theta_\nabla(Z,X,Y, \cdot)=0. \]} \доказательство Выберем $X,Y,Z$, которые коммутируют. Тогда $\nabla_XY=\nabla_Y X$, etc., потому что $\nabla$ без кручения. Значит, \begin{multline*} \mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}(\Theta_\nabla(X,Y,Z))\\ = (\nabla_X\nabla_Y Z-\nabla_X\nabla_Z Y)+ (\nabla_Y\nabla_Z X -\nabla_Y\nabla_X Y) + (\nabla_Z\nabla_X Y -\nabla_Z\nabla_Y X) =0 \end{multline*} \endproof \замечание Тождество открыл Риччи через несколько лет после того, как Бьянки доказал "дифференциальное тождество Бьянки" \следствие {\bf \red Тензор римановой кривизны лежит в $V_{2,2}$.} \доказательство Проекция ядра $\mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}\restrict {\Lambda^2 M \otimes \Lambda^2 M}$ на все остальные компоненты $V\otimes V \otimes V \otimes V$ зануляется. \endproof \невпаге {\бф \блуе Разложение Риччи} \определение Пусть $V$ -- вещественное пространство с положительно определенным скалярным произведением, $\dim V >4$, a $V_{2,2}$ -- пространство алгебраических тензоров кривизны. Рассмотрим отображение следа $\Tr_{1,3}:\; V_{2,2}\arrow \Sym^2 V$. Оно обозначается $\Ric$ и называется {\бф \блуе кривизной Риччи}, а его след называется {\бф \блуе скалярной кривизной}. \утверждение Рассмотрим $V_{2,2}$ как представление ортогональной группы $O(V)$. {\бф \ред Тогда $V_{2,2}$ имеет следующие неприводимые компоненты:} \[ V_{2,2}=W \oplus \Sym^2_0 V \oplus \R, \] где $W=\ker \Ric$, a $\Sym^2_0 V$ -- симметрические формы с нулевым следом, причем $\Sym^2_0 V \oplus \R=\Sym ^2 V$ вкладывается в $V_{2,2}$ как $\Ric^*\; \Sym ^2 V\arrow V_{2,2}$. {\бф \греен Доказательство:} Howe, Roger, {\em Remarks on classical invariant theory}, Trans. Amer. Math. Soc. 313 (1989), no. 2, 539--570. \endproof \определение Пусть $M$ -- риманово многообразие, $\Theta$ его кривизна, а $\Theta= W + \Ric$ разложение тензора кривизны по компонентам $V_{2,2}=W \oplus \Sym ^2 V$. Тензор $W$ называется {\бф \блуе тензором Вейля}, или {\бф \блуе тензором конформной кривизны}, а $\Ric= \Ric(\Theta)$ -- {\бф \блуе кривизной Риччи} многообразия. След кривизны Риччи называется {\бф \блуе скалярной кривизной}. \невпаге {\бф \блуе Словарь римановой геометрии} {\бф \греен Римановы многообразия классифицируются в соответствии с их разложением кривизны:} $\Theta= W + \Ric_0+S$. \определение Риманово многообразие называется {\бф \блуе конформно плоским}, если $W=0$. \замечание Такие многообразия {\бф \пурпле конформно эквивалентны плоским}, то есть их метрика делается плоской после умножения на функцию; это нетривиальная теорема, доказанная Г. Вейлем. \определение Если бесследовая кривизна Риччи равна нулю, многообразие называется {\бф \блуе эйнштейновым}. Для такого многообразия, имеет место $\Ric=\lambda g$, где $g$ это метрика, а $\lambda$ -- функция. В такой ситуации, {\бф \пурпле можно доказать, что функция $\lambda$ постоянна.} Она называется {\бф \блуе константой Эйнштейна}. \определение Если $W=\Ric_0=0$, а $\Theta=S$, многообразие $(M,g)$ называется {\бф \блуе многообразием постоянной секционной кривизны} или {\бф \блуе пространственной формой} (space form). {\бф \пурпле Такие многообразия локально изометричны римановой сфере, пространству Лобачевского, или $\R^n$.} \end{document}