
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Tot{\operatorname{Tot}}
\def\Tr{\operatorname{Tr}}
\def\Ric{\operatorname{Ric}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}

\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}}

 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Дифф. геометрия и векторные расслоения\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Векторные расслоения, лекция 7:\\[2mm] тензор кривизны Римана}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 28 октября, 2013\\ матфак ВШЭ и НМУ}\\


{\bf \large \red 4 и 11 ноября лекции не будет! \\
4 ноября будет контрольная, 11 ноября будет прием задач.}

\end{center}


\newpage

{\bf \blue Кривизна связности (повторение)}

\определение
Пусть $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ связность
на гладком расслоении. Продолжим $\nabla$ до оператора на
формах
\[
B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes B
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes B 
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow ...
\]
по формуле 
$\nabla(\eta \otimes b) = d\eta + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$.
Тогда оператор $\nabla^2:\; B \arrow B\otimes \Lambda^{2}(M)$
называется {\бф\блуе кривизной} $\nabla$.

\утверждение
Пусть $X,Y\in TM$ -- векторные поля, $(B,\nabla)$ -- расслоение
со связностью, а $b\in B$ -- сечение. Рассмотрим 
\[ \Theta_B (X, Y, b):= \nabla_X\nabla_Yb-\nabla_Y\nabla_Xb-\nabla_{[X,Y]}b
\]
{\бф 
\ред
Тогда оператор $\Theta_B(X,Y)$ $C^\infty M$-линеен по всем трем аргументам,
и удовлетворяет $\nabla^2(X,Y)(b)= \Theta_B(X,Y)$.}
\endproof


\невпаге

{\бф\блуе Ортогональная алгебра $\goth {so}(V)$ (повторение)}


\пример 
Пусть $h\in V^* \otimes V^*$ -- скалярное произведение.
{\бф \блуе Ортогональная алгебра Ли} $\goth {so}(V)$ есть множество всех
эндоморфизмов $a\in \End V$, которые удовлетворяют $a(h)=0$.

\замечание
Докажите, что 
$\goth {so}(V)=\{a \in \End V\ \ |\ \ h(a\cdot, \cdot)=-h(\cdot, a\cdot)\}$,
другими словами, {\bf \purple $\goth {so}(V)$ -- алгебра Ли кососимметрических
матриц.}

\утверждение
Пусть $h$ невырожденно. 
{\bf \red Тогда $\goth {so}(V)=\Lambda^2 V^*$.}

\дшаг Отождествим $\End V= V\otimes V^*$ с $V\otimes V$,
пользуясь изоморфизмом $V = V^*$, который получен из $h$
по формуле:
$v \stackrel \xi \arrow h(v, \cdot)$.

{\бф \греен Шаг 2:} 
Kососимметрический оператор $a\in \goth {so}(V)\subset V\otimes V^*$
удовлетворяет 
\[ \xi\otimes \Id(a)(x,y)= h(a(x), y)= - h(x, a(y)),\ \ \ \ \ (1)\]
значит, 2-форма $\xi\otimes \Id(a)\in V^*\otimes V^*$
кососимметрична.

{\бф \греен Шаг 3:} Наоборот, из каждой кососимметричной
формы $\omega\in \Lambda^2 V^*$ можно получить
матрицу $a= (\xi\otimes \Id)^{-1}(\omega)$,
и она будет кососимметрична в силу (1).
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Связность Леви-Чивита}


\определение
Многообразие $M$ называется {\бф \блуе римановым}, если
на $TM$ задано невырожденное, положительно определенное
скалярное произведение $g$.

\определение
Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется
{\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$,
и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она 
ортогональна и без кручения.

\теорема
("основная теорема дифференциальной геометрии")
Каждое риманово многообразие {\бф \ред 
допускает связность Леви-Чивита, и она единственна.}

\невпаге

{\бф \блуе Тензор римановой кривизны}

\определение
{\бф \блуе Тензор римановой кривизны} есть
тензор кривизны связности Леви-Чивита.

\замечание
Тензор римановой кривизны лежит в $\Lambda^2 M \otimes(\goth{so}(TM))$,
то есть он берет три векторных поля, и выдает одно. Такой
тензор кривизны удобно обозначать 
$R^l_{ijk}\in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1M\otimes TM$. Если же 
отождествить $\goth{TM}$ с $\Lambda^2 M$, мы получим {\бф \ред 4-форму
$R^{ijkl}\in  \Lambda^2 M \otimes \Lambda^2M$,} которая
{\бф \пурпле тоже называется тензор римановой кривизны.}


Сегодня мы будем изучать симметрии тензора римановой кривизны.

\невпаге

{\бф \блуе Представления групп}

\определение
Пусть $V$ -- конечномерное векторное пространство,
$G\stackrel \rho\arrow \End(V)$ -- представление группы.
Оно называется {\бф \блуе простым}, если у $V$ нет
нетривиальных $G$-инвариантных подпространств $V_1 \subset V$,
и {\бф\блуе полупростым}, если $V$ -- прямая сумма
простых представлений.

\пример
{\бф \пурпле Если $\rho$ унитарное представление, оно полупросто}.
Действительно, ортогональное дополнение $V_1^\bot$ 
$G$-инвариантного пространства тоже $G$-инвариантно.

\пример
{\бф \ред Если $G$ редуктивная группа Ли, все
ее представления полупросты}. Это одно из определений
редуктивной группы.

\пример
{\бф \пурпле Если $G$ -- конечная группа, все ее
представления полупросты}. Возьмем 
положительно-определенное скалярное произведение
$h$ на $V$, и пусть 
\[
h_G(x,y):=\sum_{g\in G}\xi(gx,xy).
\]
Скалярное произведение $h_G$ $G$-инвариантно и положительно 
определено, а значит, $V$ полупросто.


\newpage

{\бф \блуе Групповая алгебра}

\определение
{\бф \блуе Групповая алгебра} конечной группы есть
векторное пространство $\C[G]$ с базисом $\{g_1,
... g_n\}=G$, и умножением $g_i$ определенным как в $G$.
{\бф \пурпле Рассмотрим $\c [G]$ как представление $G$,
где $G$ действует слева.}

\теорема
Пусть $V$ -- неприводимое представление $G$. {\бф \ред Тогда
$V$ реализуется как одно из прямых слагаемых в $\C[G]$.}

\доказательство
Пусть $v\in V$, и рассмотрим отображение
$\rho:\; \C[G]\arrow V$, переводящее вектор  $g\in G$ из
базиса в $g(v)$. Это ненулевое отображение; {\бф \пурпле двойственное
к нему отображение определяет вложение  $V\hookrightarrow
\C[G]$.} \ендпрооф

\следствие
{\бф \пурпле Существует не более чем конечное число попарно
неизоморфных представлений конечной группы $G$.}

{\бф \греен Теорема Фробениуса:}
{\бф \ред Число попарно неизоморфных представлений
симметрической группы равно числу классов сопряженности $G$.}

\упражнение Докажите эту теорему.


\newpage

{\бф \блуе Идемпотенты в групповой алгебре}

\определение
Элемент $a\in A$ алгебры называется {\бф \блуе
идемпотентом}, если $a^2=a$.


{\бф \пурпле Зафиксируем $G$-инвариантную
положительно-определенную эрмитову форму на $\C[G]$.}

\замечание
Пусть $V\subset \C[G]$ -- подпредставление,
а $\iota:\; \C[G]\arrow V$ -- ортогональная
(как следствие, $V$-инвариантная) проекция.
Тогда $\iota^2=\iota$, то есть $\iota$ -- идемпотент.

\теорема
{\бф \ред Идемпотенты в групповой алгебра биективно соответствуют
подпредставлениям $V\subset \C[G]$. }

{\бф \греен Докательство будет.}

\замечание Рассмотрим пространство $\C[G]$ как
представление $G$ с левым
действием группы $G$ на себе: $L_g(g')=gg'$.
Алгебра $\C[G]$ действует на себе справа,
по формуле $R_g(g')=g'g^{-1}$.
{\бф \пурпле Эти два действия коммутируют}.

\newpage

{\бф \блуе Идемпотенты в групповой алгебре (продолжение)}


\утверждение
Пространство $\End_G(\C[G])$ $G$-инвариантных эндоморфизмов
$\C[G]$ (относительно левого действия $G$)
{\бф \ред отождествляется с $\C[G]$, действующим справа.}

\доказательство
Поскольку $G$ действует транзитивно на элементах
базиса, $\psi\in \End_G(\C[G])$ однозначно задается
вектором $\psi(e)$. Пространство таких образов 
это как раз $\C[G]$. \ендпрооф

\следствие 
{\бф \ред Существует каноническая биекция между множеством
идемпотентов в $\C[G]$ и подпредставлениями $V\subset \C[G]$.}

\доказательство
Собственные значения идемпотента равны 0,1, то есть это
всегда проекция на $G$-инвариантное подпространство.
Наоборот, каждое $G$-инвариантное подпространство получается
из $G$-инвариантной проекции.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Диаграммы Юнга}

\определение
Каждая партиция множества из $n$ элементов соответствует
картинке, которая называется {\бф \блуе диаграмма Юнга}

{\begin{center}
\epsfig{file=Young_diagram_for_541_partition.png,width=0.15\linewidth}

{\small Диаграмма Юнга, соответствующая партиции числа 10.}
\end{center}}

\замечание {\бф \пурпле Диаграммы Юнга биективно соответствуют
классам сопряженности в симметрическох группе.}

\определение
{\бф\блуе Таблица Юнга} получается из диаграммы Юнга
размещением чисел от 1 до $n$ в клеточки таблицы.

{\begin{center}
\epsfig{file=Young_tableaux_for_541_partition.png,width=0.15\linewidth}

{\small Таблица Юнга, соответствующая партиции числа 10.}
\end{center}}


\newpage

{\бф \блуе Симметризаторы Юнга}


\определение
Для подгруппы $G\subset S_n$ симметрической группы, рассмотрим идемпотент
$s_G\in C[S_n]$, который называется {\бф \блуе симметризатором}
\[
s_G(v) := \frac 1 {|G|} \sum_{g\in G} g (v)
\]
и другой идемпотент, который называется {\бф \блуе антисимметризатором}
 \[
a_G(v) := \frac 1 {|G|} \sum_{g\in G} \mathop{sign}(g) g (v)
\]


\определение 
Пусть $S_n$ -- симметрическая группа, а $\sigma$ -- таблица Юнга.
{\бф \блуе Симметризатор Юнга} есть идемпотент $s_\sigma\in \Q[S_n]$,
построенный по $\sigma$ следующим образом.
Рассмотрим группы $P$ и $Q\subset S_n$, где $P$ -- множество
перестановок, сохраняющих строки, а $Q$ -- множество
перестановок, сохраняющих столбцы таблицы. 
Тогда $s_\sigma:= s_P a_Q$.

\newpage

{\бф \блуе Модули Шпехта}

\определение
Пусть $s_\sigma$ -- симметризатор Юнга.
$\Q[S_n]$-модуль $V_\sigma:=\Q[S_n]\cdot s_\sigma$ называется
{\бф \блуе модулем Шпехта}.

\упражнение 
{\бф \пурпле Проверьте, что $c_\sigma^2 = \lambda c_\sigma^2$,
где $\lambda = \frac{n!}{|P||Q|\dim V_\sigma}$.}

\теорема
Каждое неприводимое представление симметрической группы
изоморфно модулю Шпехта. Более того, {\бф \ред классы изоморфизма
представлений симметрической группы находятся в биективном
соответствии с диаграммами Юнга}.

\замечание
Это утверждение сразу следует из теоремы Фробениуса.
Действительно, {\бф \пурпле классы сопраженности в $S_n$ биективно
соответствуют партициям множества из $n$ элементов.}


\невпаге

\vfil


{\bf \large \red 4 и 11 ноября лекции не будет! \\
4 ноября будет контрольная, 11 ноября будет прием задач.}


\vfil


\newpage

{\бф \блуе Представления $GL(n)$}

\теорема
Пусть $V$ -- векторное пространство, а $V^{\otimes n}$ --
его тензорная степень. {\бф \ред Пространство $V^{\otimes n}$
есть прямая сумма неприводимых представлений $GL(V)$, 
параметризованных диаграммами Юнга}. Для каждой таблицы Юнга,
и соответствующего симметризатора $s_\sigma$, образ
$c_\sigma(V^{\otimes n})$ неприводим. {\бф \ред Разложение
$V^{\otimes n}$ по неприводимым компонентам относительно
действия симметрической группы совпадает с разложением
по неприводимым компонентам относительно
действия $GL(V)$.}


\пример
$V\otimes V= \Lambda^2 V \oplus \Sym^2 V$.

\пример
$V\otimes V\otimes V= \Lambda^3 V \oplus \Sym^3 V\oplus C(V)$, где
$C(V)$ есть {\бф \блуе пространство тензоров Картана},
которое может быть отождествлено с ядром
$\Sym_{23}\restrict {\Sym^2 V \otimes V}$.


\пример
$V\otimes V\otimes V\otimes V= \Lambda^4 V \oplus \Sym^4 V
\oplus (V_{3,1})^{\oplus 4}
\oplus V_{2,1,1}^{\oplus 4} \oplus V_{2,2}^{\oplus 6}$.
Здесь $V_{3,1}=\ker\Alt_{34}\restrict { \Lambda^3 V \otimes V}$,
$V_{2,1,1}=\ker\Sym_{34}\restrict {\Sym^3 V \otimes V}$,
а $V_{2,2}$ -- ядро отображения из $\Lambda^2V\otimes \Lambda^2 V$,
симметризующего по одновременным перестановкам 1 и 3 и 2 и 4 векторов.

\newpage

{\бф \блуе Симметрии пространства $V_{2,2}$}

\определение
$V_{2,2}$ -- ядро отображения из $\Lambda^2V\otimes \Lambda^2 V$,
симметризующего по одновременным перестановкам 1 и 3 и 2 и 4 векторов.

\утверждение
{\бф \red $V_{2,2}$ есть ядро умножения в алгебре Грассмана: 
$V_{2,2}=\ker \left( \Sym^2(\Lambda^2V)\arrow \Lambda^4V\right).$}

\доказательство
$\Lambda^4V$ -- прямая сумма неприводимых компонент действия $S_4$,
а $V_{2,2}$ -- прямая сумма неизоморфных им неприводимых компонент.
С другой стороны, в $\Sym^2(\Lambda^2V)$ нет других неприводимых 
компонент действия $S_4$,
что ясно из описания всех неприводимых представлений $S_4$
в терминах симметризаторов.
\ендпрооф

\утверждение
{\bf \red $V_{2,2}$ есть ядро симметризации по циклическим перестановкам:
$V_{2,2}=\ker\mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}\restrict 
{\Lambda^2 V \otimes \Lambda^2 V}$.}

\доказательство Проекция ядра ${\rm Cycl}{}_{1,2,3}\restrict 
{\Lambda^2 V \otimes \Lambda^2 V}$
на все остальные неприводимые компоненты действия $S_4$ на 
$V\otimes V \otimes V \otimes V$
зануляется.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Пространство алгебраических тензоров кривизны}

\определение
Пространство $V_{2,2}\subset V\otimes V\otimes V\otimes V$ называется 
{\бф \блуе пространством алгебраических тензоров кривизны}.

\теорема
Рассмотрим тензор кривизны
связности Леви-Чивита, $R^l_{ijk} \in \Lambda^2 M \otimes \goth{so}(TM)$.
Отождествляя $\goth{so}(TM)$ и $\Lambda^2(TM)$, получим 
тензор кривизны $R_{ijkl} \in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^2 M$.
{\бф \ред Тогда $R_{ijkl}\in V_{2,2}$.}

\доказательство 
См. следующий слайд.

\следствие 
{\бф \ред Кривизна связности Леви-Чивита симметрична:\\
$R_{ijkl}\in \Sym^2(\Lambda^2 TM)$.}



\newpage

{\бф \блуе Симметрии тензора кривизны}

\утверждение {\бф \блуе (алгебраическое тождество Бьянки)}\\
Пусть $ \Theta_\nabla\in \Lambda^2 M \otimes \goth{so}(TM)$ -- кривизна
связности Леви-Чивита. {\бф \ред Тогда
\[ \mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}(\Theta_\nabla):=
\Theta_\nabla(X,Y,Z, \cdot) +\Theta_\nabla(Y,Z,X, \cdot)+
\Theta_\nabla(Z,X,Y, \cdot)=0.
\]}
\доказательство
Выберем $X,Y,Z$, которые коммутируют. Тогда $\nabla_XY=\nabla_Y X$,
 etc., потому что $\nabla$ без кручения. Значит, 
\begin{multline*} \mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}(\Theta_\nabla(X,Y,Z))\\ =
 (\nabla_X\nabla_Y Z-\nabla_X\nabla_Z Y)+
 (\nabla_Y\nabla_Z X -\nabla_Y\nabla_X Y) +
 (\nabla_Z\nabla_X Y -\nabla_Z\nabla_Y X)
=0  
\end{multline*}
\endproof


\замечание
Тождество открыл Риччи через несколько лет после того, как
Бьянки доказал "дифференциальное тождество Бьянки"

\следствие
{\bf \red Тензор римановой кривизны лежит в $V_{2,2}$.}

\доказательство
Проекция ядра $\mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}\restrict 
{\Lambda^2 M \otimes \Lambda^2 M}$
на все остальные компоненты $V\otimes V \otimes V \otimes V$
зануляется. \endproof 

\невпаге

{\бф \блуе Разложение Риччи}

\определение
Пусть $V$ -- вещественное пространство с положительно
определенным скалярным произведением, $\dim V >4$,
a $V_{2,2}$ -- пространство алгебраических тензоров
кривизны. Рассмотрим отображение следа 
$\Tr_{1,3}:\; V_{2,2}\arrow \Sym^2 V$. Оно обозначается
$\Ric$ и называется {\бф \блуе кривизной Риччи}, а
его след называется {\бф \блуе скалярной кривизной}.

\утверждение
Рассмотрим $V_{2,2}$ как представление ортогональной группы
$O(V)$. {\бф \ред Тогда $V_{2,2}$ имеет следующие неприводимые
компоненты:}
\[
V_{2,2}=W \oplus \Sym^2_0 V \oplus \R,
\]
где $W=\ker \Ric$, a $\Sym^2_0 V$ -- симметрические
формы с нулевым следом, причем $\Sym^2_0 V \oplus \R=\Sym ^2 V$
вкладывается в $V_{2,2}$ как $\Ric^*\; \Sym ^2 V\arrow V_{2,2}$.

{\бф \греен Доказательство:}
Howe, Roger, {\em Remarks on classical invariant theory}, Trans.
   Amer. Math. Soc. 313 (1989), no. 2, 539--570.
\endproof

\определение
Пусть $M$ -- риманово многообразие, 
$\Theta$ его кривизна, а $\Theta= W + \Ric$ разложение
тензора кривизны по компонентам $V_{2,2}=W \oplus \Sym ^2 V$.
Тензор $W$ называется {\бф \блуе тензором Вейля}, или 
{\бф \блуе тензором конформной кривизны}, 
а $\Ric= \Ric(\Theta)$ -- {\бф \блуе кривизной Риччи}
многообразия. След кривизны Риччи называется
{\бф \блуе скалярной кривизной}.

\невпаге

{\бф \блуе Словарь римановой геометрии}

{\бф \греен Римановы многообразия классифицируются в
соответствии с их разложением кривизны:}
$\Theta= W + \Ric_0+S$.

\определение
Риманово многообразие называется {\бф \блуе конформно плоским},
если $W=0$. 

\замечание
Такие многообразия {\бф \пурпле конформно эквивалентны плоским},
то есть их метрика делается плоской после умножения на функцию;
это нетривиальная теорема, доказанная Г. Вейлем. 

\определение
Если бесследовая кривизна Риччи равна нулю, многообразие
называется {\бф \блуе эйнштейновым}. Для такого многообразия,
имеет место $\Ric=\lambda g$, где $g$ это метрика, 
а $\lambda$ -- функция. В такой ситуации, {\бф \пурпле 
можно доказать, что функция $\lambda$ постоянна.}
Она называется {\бф \блуе константой Эйнштейна}.

\определение
Если $W=\Ric_0=0$, а $\Theta=S$, многообразие $(M,g)$
называется {\бф \блуе многообразием постоянной секционной
кривизны} или {\бф \блуе пространственной формой} (space
form). {\бф \пурпле Такие многообразия локально изометричны римановой
сфере, пространству Лобачевского, или $\R^n$.}



\end{document}
