\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Tot{\operatorname{Tot}} \def\Tr{\operatorname{Tr}} \def\Ric{\operatorname{Ric}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Дифф. геометрия и векторные расслоения\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Векторные расслоения, лекция 6:\\[2mm] кривизна (продолжение)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 21 октября, 2013\\ матфак ВШЭ и НМУ}\\ \end{center} \newpage {\бф \блуе Связность на расслоении (повторение)} \замечание {\бф \пурпле Пространство сечений расслоения $B$ на гладком многообразии обозначается $B$.} \определение {\бф \блуе Связность} на векторном расслоении $B$ есть отображение $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$, удовлетворяющее $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$ для любых $b\in B$, $f\in C^\infty M$. \замечание Если $X\in TM$ -- векторное поле, $b\in B$, обозначим за {\бф \пурпле $\nabla_X b$ сечение $B$, полученное как $\langle\nabla b, X\rangle$.} Оператор $\nabla_X$ удовлетворяет правилу Лейбница: $\nabla_X(fb) = f\nabla_X b + \Lie_X f b$, где $\Lie_X$ -- производная вдоль $X$. Оператор $\nabla_X$ называется {\бф \блуе оператором ковариантной производной} по $X$. \замечание {\бф \пурпле Разность двух связностей $C^\infty(M)$ линейна,} и задает $C^\infty(M)$-линейное отображение $B \arrow \Lambda^1 M \otimes B$. И наоборот, {\бф \пурпле если добавить к связности $A\in \Lambda^1 M \otimes \End B$, получится снова связность} \newpage {\бф \блуе Параллельный перенос вдоль связности (повторение)} \определение Пусть $B$ -- расслоение со связностью. Сечение $B$, которое удовлетворяет $\nabla b=0$, называется {\бф\блуе параллельным}. \утверждение Пусть $B$ -- расслоение со связностью над $\R$. Тогда для каждой $x\in \R$, $b_x \in B\restrict x$, {\бф \ред существует и единственно сечение $b\in B$ такое, что $\nabla b=0$, $b\restrict x= b_x$.} \дшаг {\бф \пурпле Расслоение $B$ тривиально} (все расслоения на $\R$ тривиальны). {\бф\греен Шаг 2:} {\бф \пурпле Решение уравнения $\sum_i (f_i \nabla a_i +\frac{df_i}{dt} a_i)=0$ всегда существует и однозначно задается начальным условием $b\restrict x= b_x$} (теорема о существовании и единственности решений ОДУ). \ендпрооф \newpage {\bf \blue Кривизна связности (повторение)} \определение Пусть $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ связность на гладком расслоении. Продолжим $\nabla$ до оператора на формах \[ B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow ... \] по формуле $\nabla(\eta \otimes b) = d\eta + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$. Тогда оператор $\nabla^2:\; B \arrow B\otimes \Lambda^{2}(M)$ называется {\бф\блуе кривизной} $\nabla$. \утверждение Пусть $X,Y\in TM$ -- векторные поля, $(B,\nabla)$ -- расслоение со связностью, а $b\in B$ -- сечение. Рассмотрим \[ \Theta_B (X, Y, b):= \nabla_X\nabla_Yb-\nabla_Y\nabla_Xb-\nabla_{[X,Y]}b \] {\бф \ред Тогда оператор $\Theta_B(X,Y)$ $C^\infty M$-линеен по всем трем аргументам, и удовлетворяет $\nabla^2(X,Y)(b)= \Theta_B(X,Y)$.} \endproof \невпаге \newcommand{\Exp}{\operatorname{exp}} {\бф \блуе Векторные поля и их экспоненты (повторение)} \определение Пусть $X\in TM$ -- векторное поле на многообразии, а $\Psi_t:\; \R \times M \arrow M$ соответствующий поток диффеоморфизмов, такой, что $\Psi_t^{-1}\frac {d\Psi_t}{dt}=X$. Обозначим $\Psi_t$ за $\Exp(tX)$. Этот поток иногда называют {\бф\блуе экспонентой} $X$. \замечание Пусть $X,Y\in TM$ -- векторные поля. Тогда $\frac{d}{dt}(\Exp(tX)_* Y)=[X,Y]$ (докажите это). {\bf \red Среди прочего, из этого следует, что \[ \frac{d^2}{d\epsilon^2}\big[\Exp(\epsilon X)\Exp(\epsilon Y) \Exp(-\epsilon X)\Exp(-\epsilon Y)\big]=[X,Y] \]} \замечание Если $X, Y$ -- коммутирующие векторные поля, то {\бф \пурпле траектория, полученная переносом вдоль $\epsilon X, \epsilon Y, -\epsilon X, -\epsilon Y$, замкнута.} Действительно, в этом случае $\Exp(\epsilon X)\Exp(\epsilon Y)\Exp(-\epsilon X)\Exp(-\epsilon Y)=1$. \упражнение Докажите, что {\бф \ред $[X,Y]=0$ тогда и только тогда, когда все такие траектории замкнуты.} \невпаге {\бф \блуе Кривизна и голономия (повторение)} \утверждение Рассмотрим $(B, \nabla)$ -- расслоение со связностью. Пусть $X$ -- векторное поле на многообразии, $\Psi_t:\; \R \times M \arrow M$ соотвествующий поток диффеоморфизмов, а $\Exp(t\nabla_X)(b)$ -- оператор параллельного переноса сечения $b$ вдоль кривой $\Exp(tX)$. {\бф \ред Тогда для любых коммутирующих полей $X,Y\in TM$, имеем \[ \frac{d^2}{dt^2} \bigg[\Exp(\epsilon \nabla_X)\Exp(\epsilon \nabla_Y)\Exp(-\epsilon \nabla_X)\Exp(-\epsilon \nabla_Y)\bigg](b)= \Theta(X,Y)(b), \]} \следствие {\бф \пурпле Голономия вдоль ромба $\epsilon X, \epsilon Y, -\epsilon X, -\epsilon Y$ тривиальна для всех $\epsilon$ тогда и только тогда, когда $\Theta(X,Y)=0$.} \лемма Пусть $M$ -- открытое подмножество в $\R^n$, $X,Y\in TM$ -- коммутирующие векторные поля, а $h_\epsilon:=\Exp(\epsilon \nabla_X)\Exp(\epsilon \nabla_Y)\Exp(-\epsilon \nabla_{X+Y})$ -- оператор параллельного переноса сечения вдоль треугольника $\epsilon X, \epsilon Y, -\epsilon(X+Y)$. {\бф \пурпле Тогда $h_\epsilon=1+\frac 1 2\epsilon^2 \Theta(X,Y)(b)+\epsilon^3 \delta$, где $|\delta|$ ограничен константой $C$, которая не зависит от $\epsilon$.} \невпаге {\бф \блуе Кривизна и голономия вокруг контура, обходящего треугольник} {\бф \греен Утверждение 1:} Пусть $M=\R^n$, $(B,\nabla)$ -- расслоение со связностью на $M$, а $\gamma$ -- путь, обходящий границы плоского треугольника $D$ со сторонами, которые равны векторам $X, Y, -(X+Y)\in \R^n$. {\бф \ред Тогда собственные значения $\alpha_i$ соответствующего преобразования голономии $h$ удовлетворяют \[ |\log\alpha_i|\leq \sup_{z\in D}\left\|\Theta(X,Y)\restrict z\right\|, \]} где $\Theta(X,Y)\restrict z\in \End(B\restrict z)$ -- значение кривизны в $z$, а $\left\|\Theta(X,Y)\restrict z\right\|$ ее операторная норма, то есть максимум модуля собственных значений. \доказательство Разобьем треугольник $\gamma$ в объединение $N^2$ треугольников $\gamma_\epsilon$ со сторонами $\epsilon X,\epsilon Y, -\epsilon(X+Y)\in \R^n$, где $\epsilon=\frac 1 N$, и применим предыдущую лемму. {\бф \пурпле Логарифм $h$ разложится в сумму операторов голономии вокруг $N^2$ маленьких треугольников, которые ограничены сверху $N^{-2}(\Theta(X,Y)(b)+\epsilon\delta)$.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Топология на пространстве гладких путей в $\R^n$} \определение Пусть $\gamma:\; [0,1] \arrow M$ -- гладкий путь в $M=\R^n$, а \[ \gamma^{(k)}:\; [0,1] \arrow TM=\R^n\] -- $k$-я производная отображения $\gamma$. Определим на пространстве путей $\gamma:\; [0,1] \arrow M$ {\бф\блуе $C^r$-метрику} $d_{C^r}$ формулой \[ d_{C^r}(\gamma_1, \gamma_2):= \sup_{z\in[0,1]} \sum_{i=0}^k\|\gamma_1^{(i)}(z)-\gamma_2^{(i)}(z)\|, \] где $\|\cdot\|$ -- евклидова норма на $TM$, индуцированная плоской римановой метрикой на $M=\R^n$. Соответствующая топология называется {\бф\блуе $C^r$-топологией.} \упражнение {\бф \ред Докажите, что $C^r$-топология на пространстве путей в $\R^n$ инвариантна относительно диффеоморфизмов $\R^n$}. \невпаге {\бф \блуе Топология на пространстве гладких путей на многообразии} \определение Пусть $M$ -- многообразие, а $\Map([a,b], M)$ -- пространство путей. Зафиксируем атлас $\{U_\alpha\stackrel {\phi_\alpha}\arrow \R^n\}$ на $M$. Разбив заданные пути $\gamma$, $\gamma'$ в объединение путей $\gamma\restrict{[a_i,b_i]}$, $\gamma'\restrict{[a_i,b_i]}$, которые лежат в картах $U_i\cong \R^n$, определим $d_{C^r}(\gamma, \gamma')$ как % \[ d_{C^r}(\gamma, \gamma'):= \inf \sum_i d_{C^r}\left(\gamma\restrict{[a_i,b_i]}, \gamma'\restrict{[a_i,b_i]}\right) \] где инфимум взят по всем разбиениям и картам из атласа, а каждое из слагаемых $d_{C^r}\left(\gamma\restrict{[a_i,b_i]}, \gamma'\restrict{[a_i,b_i]}\right)$ вычислено в своей карте $U_i$. Соответствующая топология называется {\бф\блуе $C^r$-топологией.} \упражнение {\бф \ред Докажите, что $C^r$-топология на пространстве путей в $M$ не зависит от выбора атласа $\{U_\alpha\stackrel {\phi_\alpha}\arrow \R^n\}$.} \невпаге {\бф \блуе Зависимость голономии от контура: $C^1$-топология} {\бф \греен Лемма 1:} Пусть $f:\; [0,1] \arrow \R^n$ -- векторнозначная функция, $A:\; [0,1]\rightarrow \End(\R^n)$ -- эндоморфизм, зависящий от параметра $t\in [0,1]$, а $f' =A(t)f$ -- дифференциальное уравнение. Рассмотрим функцию $\alpha:\; [0,1] \arrow \R^{\geq 0}$, ставящую точке $t\in [0,1]$ в соответствие операторную норму (максимальное собственное значение) $A(t)$. Пусть $h:\; \R^n \arrow \R^n$ преобразование, которое ставит начальному условию $f(0)$ значение $f(1)$ решения уравнения $f' =A(t)f$, а $\alpha_i$ -- собственные значения $h$. {\бф \ред Тогда $\log\alpha_i| \leq \int_{[0,1]} \alpha(t)$.} \ендпрооф {\бф \греен Утверждение 2:} Пусть $(B, \nabla_0)$ -- тривиальное расслоение над $M$ с тривиальной связностью $\nabla_0(\sum_i f_i b_i)=\sum_i df_i\otimes b_i$, а $\nabla:= \nabla_0+A$ -- еще одна связность. Рассмотрим петлю $\gamma$ в $M$, и пусть $h_\gamma$ -- соответствующее преобразование голономии, индуцированное $\nabla$. Рассмотрим функцию $\alpha:\; [0,1] \arrow \R^{\geq 0}$, ставящую точке $t\in [0,1]$ в соответствие операторную норму (максимальное собственное значение) $A(\dot\gamma(t))$. {\бф \ред Тогда собственные значения $\alpha_i$ оператора $h_\gamma$ удовлетворяют $|\log\alpha_i| \leq \int_\gamma \alpha(t)dt$.} \доказательство Сразу следует из Леммы 1. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Зависимость голономии от контура: $C^1$-топология (продолжение)} {\бф \греен Утверждение 2:} Пусть $(B, \nabla_0)$ -- тривиальное расслоение над $M$ с тривиальной связностью $\nabla_0(\sum_i f_i b_i)=\sum_i df_i\otimes b_i$, а $\nabla:= \nabla_0+A$ -- еще одна связность. Рассмотрим петлю $\gamma$ в $M$, и пусть $h_\gamma$ -- соответствующее преобразование голономии, индуцированное $\nabla$. Рассмотрим функцию $\alpha:\; [0,1] \arrow \R^{\geq 0}$, ставящую точке $t\in [0,1]$ в соответствие операторную норму (максимальное собственное значение) $A(\dot\gamma(t))$. {\бф \ред Тогда собственные значения $\alpha_i$ оператора $h_\gamma$ удовлетворяют $|\log\alpha_i| \leq \int_\gamma \alpha(t)dt$.} \доказательство Сразу следует из Леммы 1. \ендпрооф \следствие Пусть $W_x$ -- пространство кусочно-гладких петель с началом и концом в $x\in M$, $(B, \nabla)$ -- расслоение со связностью, а $h_\gamma$ -- соответствующее преобразование голономии. {\бф \ред Тогда $h_\gamma$ непрерывно в $C^1$-топологии на $W_x$.} \доказательство По определению $C^1$-топологии, достаточно проверить это утверждение локально в карте, диффеоморфной $\R^n$. Там это следует из Утверждения 2. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Зависимость голономии от контура: $C^0$-топология} \теорема Пусть $W_x$ -- пространство кусочно-гладких петель с началом и концом в $x\in M$ и производной $\dot\gamma$, которая ограничена константой $C$, $(B, \nabla)$ -- расслоение со связностью, а $h_\gamma$ -- соответствующее преобразование голономии. {\бф \ред Тогда $h_\gamma$ непрерывно в $C^0$-топологии на $W_x$.} \дшаг\\ Достаточно проверить эту теорему для $M=\R^n$. {\бф \греен Шаг 2:} Для треугольного контура это следует из Утверждения 1 {\бф \ред (голономия вдоль треугольника ограничивается произведением площади треугольника и максимума собственных значений кривизны).} {\бф \греен Шаг 3:} Для кусочно-линейного контура непрерывность следует, {\бф \пурпле если разбить этот контур на треугольные и применить шаг 2.} {\бф \греен Шаг 4:} Для гладких контуров это следует, потому что {\бф \пурпле кусочно-линейные пути плотны в $C^1$-топологии в пространстве кусочно-гладких путей}, а непрерывность голономии в $C^1$-топологии уже доказана. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Плоские расслоения (повторение)} \определение Расслоение $(B, \nabla)$ называется {\бф \блуе плоским}, если кривизна $\nabla$ равна 0. \теорема {\бф \ред Расслоение плоско тогда и только тогда, когда голономия вдоль любого стягиваемого пути тривиальна.} \определение\\ Сечение $b\in B$ называется {\бф \блуе параллельным}, если $\nabla b=0$. \следствие Пусть $(B,\nabla)$ -- плоское расслоение над $M$ Для каждого открытого, связного, односвязного подмножества $U\subset M$, {\бф \ред пространство параллельных сечений $B\restrict U$ отождествлено со слоем $B\restrict x$,} для любой точки $x\in U$. \доказательство Возьмем вектор $v\in B\restrict x$, и разнесем его на все $M$ параллельными переносами. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Локальные системы} \определение {\бф\блуе Локально постоянный пучок} есть пучок ${\cal F}$ такой, что для любых связных открытых множеств $U\supset V$, ограничение \\ ${\cal F}(U) \arrow {\cal F}(V)$ есть изоморфизм. \определение {\бф\блуе Локальная система} на топологическом пространстве есть локально постоянный пучок векторных пространств. \упражнение Докажите, что {\бф \ред категория локальных систем на связном многообразии $M$ эквивалентна категории представлений фундаментальной группы.} \утверждение Пусть $(B,\nabla)$ -- плоское расслоение, а $U \arrow {\cal B}(U)$ пучок, сопоставляющий $U$ пространство параллельных сечений $B\restrict U$. Тогда ${\cal B}$ -- локальная система {\бф \пурпле (проверьте это).} \замечание Пусть ${\cal F}$ -- локальная система на многообразии $M$, где поле $k=\R$. Тогда ${\cal F}\otimes_\R C^\infty M$ есть локально свободный пучок $C^\infty M$-модулей, то есть {\бф \пурпле векторное расслоение} {\бф \ред (проверьте это)}. \невпаге {\бф \блуе Локальные системы и плоские связности} \упражнение Пусть ${\cal B}$ -- локальная система на многообразии $M$, а $B:={\cal B}\otimes C^\infty M$ соответствующее расслоение. Определим $\nabla:\; B\arrow \Lambda^1 M \otimes B$ формулой $\nabla(\sum f_i\otimes b_i)= \sum df_i \otimes b_i$, где $b_i \in {\cal B}(U)$ -- сечения ${\cal B}$. {\бф \ред Докажите, что $\nabla$ это связность.} \утверждение Связность, построенная таким образом - плоская. \доказательство \[ \nabla^2 (\sum f_i\otimes b_i)= \nabla( \sum df_i \otimes b_i)= \sum_i d^2 f_i \otimes b_i =0. \] \endproof Мы доказали такую теорему. \теорема Рассмотрим функтор $\xi$, переводящий расслоение с плоской связностью $(B, \nabla)$ в локальную систему ${\cal B}=\ker \nabla$, и $\zeta$, переводящий локальную систему ${\cal B}$ в плоское расслоение $(B, \nabla)$ \[ \bigg(B:={\cal B}\otimes C^\infty M,\ \ \nabla(\sum f_i\otimes b_i):= \sum df_i \otimes b_i\bigg). \] {\бф \ред Такие функторы $\xi$ и $\zeta$ взаимно обратны и задают эквивалентность категорий.} \newpage {\бф \блуе Пространство алгебраических тензоров кривизны} \утверждение Имеет место разложение $V\otimes V\otimes V\otimes V$ как представления $GL(V)$: $V\otimes V\otimes V\otimes V= \Lambda^4 V \oplus \Sym^4 V\oplus V_{3,1} \oplus V_{2,1,1} \oplus V_{2,2}$, где $V_{3,1}=\ker\Sym_{34}\restrict { \Lambda^3 V \otimes V}$, $V_{2,1,1}= \ker\Alt_{34}\restrict { \Sym^3 V \otimes V}$, a {\bf \blue $V_{2,2}$ -- пространство тензоров, которые антисимметричны по перестановкам 1 и 2, а также 3 и 4 множителя, симметризованные по одновременным перестановкам 1 и 4, а также 2 и 3.} \упражнение Докажите, что {\бф \red $V_{2,2}$ есть ядро умножения $V_{2,2}=\ker \left( \Sym^2(\Lambda^2V)\arrow \Lambda^4V\right).$} \определение Пространство $V_{2,2}\subset V\otimes V\otimes V\otimes V$ называется {\бф \блуе пространством алгебраических тензоров кривизны}. \теорема Рассмотрим тензор кривизны связности Леви-Чивита, $R^l_{ijk} \in \Lambda^2 M \otimes \goth{so}(TM)$. Отождествляя $\goth{so}(TM)$ и $\Lambda^2(TM)$, получим тензор кривизны $R_{ijkl} \in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^2 M$. {\бф \ред Тогда $R_{ijkl}\in V_{2,2}$.} \доказательство См. следующий слайд. \следствие {\бф \ред Кривизна связности Леви-Чивита симметрична:\\ $R_{ijkl}\in \Sym^2(\Lambda^2 TM)$.} \newpage {\бф \блуе Симметрии тензора кривизны} \утверждение {\бф \блуе (алгебраическое тождество Бьянки)}\\ Пусть $ \Theta_\nabla\in \Lambda^2 M \otimes \goth{so}(TM)$ -- кривизна связности Леви-Чивита. {\бф \ред Тогда \[ \mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}(\Theta_\nabla):= \Theta_\nabla(X,Y,Z, \cdot) +\Theta_\nabla(Y,Z,X, \cdot)+ \Theta_\nabla(Z,X,Y, \cdot)=0. \]} \доказательство Выберем $X,Y,Z$, которые коммутируют. Тогда $\nabla_XY=\nabla_Y X$, etc., потому что $\nabla$ без кручения. Значит, \begin{multline*} \mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}(\Theta_\nabla(X,Y,Z))\\ = (\nabla_X\nabla_Y Z-\nabla_X\nabla_Z Y)+ (\nabla_Y\nabla_Z X -\nabla_Y\nabla_X Y) + (\nabla_Z\nabla_X Y -\nabla_Z\nabla_Y X) =0 \end{multline*} \endproof \замечание Тождество открыл Риччи через несколько лет после того, как Бьянки доказал "дифференциальное тождество Бьянки" \следствие {\bf \red Тензор римановой кривизны лежит в $V_{2,2}$.} \доказательство Проекция ядра $\mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}\restrict {\Lambda^2 M \otimes \Lambda^2 M}$ на все остальные компоненты $V\otimes V \otimes V \otimes V$ зануляется. \endproof \невпаге {\бф \блуе Разложение Риччи} \определение Пусть $V$ -- вещественное пространство с положительно определенным скалярным произведением, $\dim V >4$, a $V_{2,2}$ -- пространство алгебраических тензоров кривизны. Рассмотрим отображение следа $\Tr_{1,3}:\; V_{2,2}\arrow \Sym^2 V$. Оно обозначается $\Ric$ и называется {\бф \блуе кривизной Риччи}, а его след называется {\бф \блуе скалярной кривизной}. \утверждение Рассмотрим $V_{2,2}$ как представление ортогональной группы $O(V)$. {\бф \ред Тогда $V_{2,2}$ имеет следующие неприводимые компоненты:} \[ V_{2,2}=W \oplus \Sym^2_0 V \oplus \R, \] где $W=\ker \Ric$, a $\Sym^2_0 V$ -- симметрические формы с нулевым следом, причем $\Sym^2_0 V \oplus \R=\Sym ^2 V$ вкладывается в $V_{2,2}$ как $\Ric^*\; \Sym ^2 V\arrow V_{2,2}$. {\бф \греен Доказательство:} Howe, Roger, {\em Remarks on classical invariant theory}, Trans. Amer. Math. Soc. 313 (1989), no. 2, 539--570. \endproof \определение Пусть $M$ -- риманово многообразие, $\Theta$ его кривизна, а $\Theta= W + \Ric$ разложение тензора кривизны по компонентам $V_{2,2}=W \oplus \Sym ^2 V$. Тензор $W$ называется {\бф \блуе тензором Вейля}, или {\бф \блуе тензором конформной кривизны}, а $\Ric= \Ric(\Theta)$ -- {\бф \блуе кривизной Риччи} многообразия. След кривизны Риччи называется {\бф \блуе скалярной кривизной}. \невпаге {\бф \блуе Словарь римановой геометрии} {\бф \греен Римановы многообразия классифицируются в соответствии с их разложением кривизны:} $\Theta= W + \Ric_0+S$. \определение Риманово многообразие называется {\бф \блуе конформно плоским}, если $W=0$. \замечание Такие многообразия {\бф \пурпле конформно эквивалентны плоским}, то есть их метрика делается плоской после умножения на функцию; это нетривиальная теорема, доказанная Г. Вейлем. \определение Если бесследовая кривизна Риччи равна нулю, многообразие называется {\бф \блуе Эйнштейновым}. Для такого многообразия, имеет место $\Ric=\lambda g$, где $g$ это метрика, а $\lambda$ -- функция. В такой ситуации, {\бф \пурпле можно доказать, что функция $\lambda$ постоянна.} Она называется {\бф \блуе константой Эйнштейна}. \определение Если $W=\Ric_0=0$, а $\Theta=S$, многообразие $(M,g)$ называется {\бф \блуе многообразием постоянной секционной кривизны} или {\бф \блуе пространственной формой} (space form). {\бф \пурпле Такие многообразия локально изометричны римановой сфере, пространству Лобачевского, или $\R^n$.} \end{document}