

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Tot{\operatorname{Tot}}
\def\Tr{\operatorname{Tr}}
\def\Ric{\operatorname{Ric}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}

\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}}

 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Дифф. геометрия и векторные расслоения\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Векторные расслоения, лекция 6:\\[2mm] кривизна (продолжение)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 21 октября, 2013\\ матфак ВШЭ и НМУ}\\

\end{center}


\newpage

{\бф \блуе Связность на расслоении (повторение)}


\замечание
{\бф \пурпле Пространство сечений расслоения $B$ на гладком
многообразии обозначается $B$.}

\определение
{\бф \блуе Связность} на векторном расслоении $B$
есть отображение $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$,
удовлетворяющее $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$
для любых  $b\in B$, $f\in C^\infty M$.

\замечание
Если $X\in TM$ -- векторное поле, $b\in B$, обозначим за 
{\бф \пурпле $\nabla_X b$ сечение $B$, полученное 
как $\langle\nabla b, X\rangle$.} Оператор $\nabla_X$
удовлетворяет правилу Лейбница: $\nabla_X(fb) = f\nabla_X
b + \Lie_X f b$, где $\Lie_X$ -- производная вдоль $X$.
Оператор $\nabla_X$ называется {\бф \блуе оператором
ковариантной производной} по $X$.

\замечание
{\бф \пурпле Разность двух связностей $C^\infty(M)$ линейна,} и задает
$C^\infty(M)$-линейное отображение $B \arrow \Lambda^1 M \otimes B$.
И наоборот, {\бф \пурпле если добавить 
к связности $A\in \Lambda^1 M \otimes \End B$,
получится снова связность}

\newpage

{\бф \блуе Параллельный перенос вдоль связности (повторение)}

\определение Пусть $B$ -- расслоение со связностью. 
Сечение $B$, которое удовлетворяет
$\nabla b=0$, называется {\бф\блуе параллельным}.

\утверждение
Пусть $B$ -- расслоение со связностью над $\R$. Тогда для
каждой $x\in \R$, $b_x \in B\restrict x$, {\бф \ред существует и 
единственно сечение $b\in B$ такое, что $\nabla b=0$,
$b\restrict x= b_x$.}

\дшаг
{\бф \пурпле Расслоение $B$ тривиально} (все расслоения на $\R$
тривиальны).

{\бф\греен Шаг 2:} {\бф \пурпле Решение уравнения $\sum_i (f_i \nabla a_i
+\frac{df_i}{dt} a_i)=0$ всегда существует и однозначно
задается начальным условием $b\restrict x= b_x$} (теорема
о существовании и единственности решений ОДУ).
\ендпрооф



\newpage

{\bf \blue Кривизна связности (повторение)}

\определение
Пусть $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ связность
на гладком расслоении. Продолжим $\nabla$ до оператора на
формах
\[
B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes B
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes B 
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow ...
\]
по формуле 
$\nabla(\eta \otimes b) = d\eta + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$.
Тогда оператор $\nabla^2:\; B \arrow B\otimes \Lambda^{2}(M)$
называется {\бф\блуе кривизной} $\nabla$.

\утверждение
Пусть $X,Y\in TM$ -- векторные поля, $(B,\nabla)$ -- расслоение
со связностью, а $b\in B$ -- сечение. Рассмотрим 
\[ \Theta_B (X, Y, b):= \nabla_X\nabla_Yb-\nabla_Y\nabla_Xb-\nabla_{[X,Y]}b
\]
{\бф 
\ред
Тогда оператор $\Theta_B(X,Y)$ $C^\infty M$-линеен по всем трем аргументам,
и удовлетворяет $\nabla^2(X,Y)(b)= \Theta_B(X,Y)$.}
\endproof

\невпаге

\newcommand{\Exp}{\operatorname{exp}}
{\бф \блуе Векторные поля и их экспоненты (повторение)} 

\определение
Пусть $X\in TM$ -- векторное поле на многообразии,
а $\Psi_t:\; \R \times M \arrow M$ соответствующий
поток диффеоморфизмов, такой, что $\Psi_t^{-1}\frac {d\Psi_t}{dt}=X$.
Обозначим $\Psi_t$ за $\Exp(tX)$. Этот поток иногда
называют {\бф\блуе экспонентой} $X$.

\замечание
Пусть $X,Y\in TM$ -- векторные поля. Тогда
$\frac{d}{dt}(\Exp(tX)_* Y)=[X,Y]$ (докажите это). 
{\bf \red Среди прочего, из этого следует, что
\[
\frac{d^2}{d\epsilon^2}\big[\Exp(\epsilon X)\Exp(\epsilon Y)
\Exp(-\epsilon X)\Exp(-\epsilon Y)\big]=[X,Y]
\]}

\замечание
Если $X, Y$ -- коммутирующие векторные поля, то {\бф \пурпле
траектория, полученная 
переносом вдоль $\epsilon X, \epsilon Y, -\epsilon X,
-\epsilon Y$, замкнута.} Действительно, в этом случае
$\Exp(\epsilon X)\Exp(\epsilon Y)\Exp(-\epsilon X)\Exp(-\epsilon Y)=1$.

\упражнение
Докажите, что {\бф \ред $[X,Y]=0$
тогда и только тогда, когда все такие траектории 
замкнуты.}

\невпаге

{\бф \блуе Кривизна и голономия (повторение)} 

\утверждение
Рассмотрим $(B, \nabla)$ -- расслоение со связностью.
Пусть $X$ -- векторное поле на многообразии,
$\Psi_t:\; \R \times M \arrow M$ соотвествующий
поток диффеоморфизмов, а $\Exp(t\nabla_X)(b)$ --
оператор параллельного переноса сечения $b$
вдоль кривой $\Exp(tX)$. {\бф \ред Тогда для любых коммутирующих
полей $X,Y\in TM$, имеем
\[ \frac{d^2}{dt^2}
\bigg[\Exp(\epsilon \nabla_X)\Exp(\epsilon \nabla_Y)\Exp(-\epsilon
\nabla_X)\Exp(-\epsilon \nabla_Y)\bigg](b)= \Theta(X,Y)(b),
\]}
\следствие
{\бф \пурпле Голономия  вдоль ромба $\epsilon X, \epsilon Y, -\epsilon X,
-\epsilon Y$ тривиальна для всех $\epsilon$ тогда и только тогда,
когда $\Theta(X,Y)=0$.}

\лемма
Пусть $M$ -- открытое подмножество в $\R^n$,
$X,Y\in TM$ -- коммутирующие векторные поля,
а  $h_\epsilon:=\Exp(\epsilon \nabla_X)\Exp(\epsilon \nabla_Y)\Exp(-\epsilon
\nabla_{X+Y})$ -- оператор параллельного
переноса сечения вдоль треугольника
$\epsilon X, \epsilon Y, -\epsilon(X+Y)$.
{\бф \пурпле Тогда $h_\epsilon=1+\frac 1 2\epsilon^2
\Theta(X,Y)(b)+\epsilon^3 \delta$,
где $|\delta|$ ограничен константой $C$,
которая не зависит от $\epsilon$.}

\невпаге

{\бф \блуе Кривизна и голономия вокруг контура, обходящего
треугольник} 

{\бф \греен Утверждение 1:}
Пусть $M=\R^n$, $(B,\nabla)$ -- расслоение
со связностью на $M$, а $\gamma$ -- путь, обходящий
границы плоского треугольника $D$ со сторонами, которые равны векторам
$X, Y, -(X+Y)\in \R^n$. {\бф \ред Тогда собственные значения
$\alpha_i$ соответствующего преобразования голономии $h$
удовлетворяют 
\[ |\log\alpha_i|\leq \sup_{z\in D}\left\|\Theta(X,Y)\restrict z\right\|,
\]}
где $\Theta(X,Y)\restrict z\in \End(B\restrict z)$ --
значение кривизны в $z$, а $\left\|\Theta(X,Y)\restrict z\right\|$
ее операторная норма, то есть максимум модуля собственных значений.

\доказательство
Разобьем треугольник $\gamma$ в объединение $N^2$ треугольников
$\gamma_\epsilon$ со сторонами 
$\epsilon X,\epsilon Y, -\epsilon(X+Y)\in \R^n$, где
$\epsilon=\frac 1 N$,
и применим предыдущую лемму. {\бф \пурпле Логарифм $h$ разложится
в сумму операторов голономии вокруг $N^2$ маленьких
треугольников, которые ограничены сверху 
$N^{-2}(\Theta(X,Y)(b)+\epsilon\delta)$.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Топология на пространстве гладких путей в $\R^n$} 

\определение
Пусть $\gamma:\; [0,1] \arrow M$ -- гладкий путь в $M=\R^n$,
а \[ \gamma^{(k)}:\; [0,1] \arrow TM=\R^n\] -- $k$-я
производная отображения $\gamma$. Определим на пространстве путей 
$\gamma:\; [0,1] \arrow M$
{\бф\блуе $C^r$-метрику} $d_{C^r}$ формулой
\[
d_{C^r}(\gamma_1, \gamma_2):= \sup_{z\in[0,1]}
\sum_{i=0}^k\|\gamma_1^{(i)}(z)-\gamma_2^{(i)}(z)\|,
\]
где $\|\cdot\|$ -- евклидова норма на $TM$,
индуцированная плоской римановой метрикой на $M=\R^n$.
Соответствующая топология называется {\бф\блуе $C^r$-топологией.}

\упражнение
{\бф \ред Докажите, что $C^r$-топология на пространстве путей в $\R^n$ инвариантна
относительно диффеоморфизмов $\R^n$}.


\невпаге

{\бф \блуе Топология на пространстве гладких путей на многообразии} 


\определение
Пусть $M$ -- многообразие, 
а $\Map([a,b], M)$ -- пространство путей.
Зафиксируем атлас $\{U_\alpha\stackrel {\phi_\alpha}\arrow \R^n\}$ на $M$.
Разбив заданные пути $\gamma$, $\gamma'$ 
в объединение путей $\gamma\restrict{[a_i,b_i]}$,
$\gamma'\restrict{[a_i,b_i]}$,
которые лежат в картах $U_i\cong \R^n$,
определим $d_{C^r}(\gamma, \gamma')$ как 
%
\[
d_{C^r}(\gamma, \gamma'):=
\inf \sum_i d_{C^r}\left(\gamma\restrict{[a_i,b_i]}, \gamma'\restrict{[a_i,b_i]}\right)
\]
где инфимум взят по всем разбиениям и картам из атласа,
а каждое из слагаемых 
$d_{C^r}\left(\gamma\restrict{[a_i,b_i]}, \gamma'\restrict{[a_i,b_i]}\right)$
вычислено в своей карте $U_i$.
Соответствующая топология называется {\бф\блуе $C^r$-топологией.}

\упражнение
{\бф \ред Докажите, что $C^r$-топология на пространстве путей в $M$ 
не зависит от выбора атласа $\{U_\alpha\stackrel
{\phi_\alpha}\arrow \R^n\}$.} 


\невпаге

{\бф \блуе Зависимость голономии от контура: $C^1$-топология} 


{\бф \греен Лемма 1:}
Пусть $f:\; [0,1] \arrow \R^n$ -- векторнозначная
функция, $A:\; [0,1]\rightarrow \End(\R^n)$ -- эндоморфизм,
зависящий от параметра $t\in [0,1]$,  а 
$f' =A(t)f$ -- дифференциальное уравнение.
Рассмотрим функцию $\alpha:\; [0,1] \arrow \R^{\geq 0}$,
ставящую точке $t\in [0,1]$ в соответствие операторную
норму (максимальное собственное значение) $A(t)$.
Пусть $h:\; \R^n \arrow \R^n$ преобразование,
которое ставит начальному условию $f(0)$ значение $f(1)$
решения уравнения $f' =A(t)f$, а $\alpha_i$ -- собственные
значения $h$. {\бф \ред Тогда
$\log\alpha_i| \leq \int_{[0,1]} \alpha(t)$.}
\ендпрооф

{\бф \греен Утверждение 2:}
Пусть $(B, \nabla_0)$ -- тривиальное расслоение
над $M$ с тривиальной связностью 
$\nabla_0(\sum_i f_i b_i)=\sum_i df_i\otimes b_i$, 
а $\nabla:= \nabla_0+A$ -- еще одна связность. 
Рассмотрим петлю $\gamma$ в $M$, и пусть $h_\gamma$ --
соответствующее преобразование голономии, индуцированное
$\nabla$. Рассмотрим функцию $\alpha:\; [0,1] \arrow \R^{\geq 0}$,
ставящую точке $t\in [0,1]$ в соответствие операторную
норму (максимальное собственное значение) $A(\dot\gamma(t))$.
{\бф \ред Тогда собственные значения $\alpha_i$ оператора 
$h_\gamma$ удовлетворяют $|\log\alpha_i| \leq \int_\gamma \alpha(t)dt$.}

\доказательство Сразу следует из Леммы 1. \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Зависимость голономии от контура:
$C^1$-топология (продолжение)} 

{\бф \греен Утверждение 2:}
Пусть $(B, \nabla_0)$ -- тривиальное расслоение
над $M$ с тривиальной связностью 
$\nabla_0(\sum_i f_i b_i)=\sum_i df_i\otimes b_i$, 
а $\nabla:= \nabla_0+A$ -- еще одна связность. 
Рассмотрим петлю $\gamma$ в $M$, и пусть $h_\gamma$ --
соответствующее преобразование голономии, индуцированное
$\nabla$. Рассмотрим функцию $\alpha:\; [0,1] \arrow \R^{\geq 0}$,
ставящую точке $t\in [0,1]$ в соответствие операторную
норму (максимальное собственное значение) $A(\dot\gamma(t))$.
{\бф \ред Тогда собственные значения $\alpha_i$ оператора 
$h_\gamma$ удовлетворяют $|\log\alpha_i| \leq \int_\gamma \alpha(t)dt$.}

\доказательство Сразу следует из Леммы 1. \ендпрооф

\следствие
Пусть $W_x$ -- пространство кусочно-гладких
петель с началом и концом в $x\in M$, $(B, \nabla)$ -- расслоение
со связностью, а $h_\gamma$ -- соответствующее преобразование
голономии. {\бф \ред Тогда $h_\gamma$ непрерывно в $C^1$-топологии
на $W_x$.}

\доказательство
По определению $C^1$-топологии, достаточно проверить это
утверждение локально в карте, диффеоморфной $\R^n$.
Там это следует из Утверждения 2. \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Зависимость голономии от контура: $C^0$-топология} 

\теорема
Пусть $W_x$ -- пространство кусочно-гладких
петель с началом и концом в $x\in M$ и производной
$\dot\gamma$, которая ограничена константой $C$,
 $(B, \nabla)$ -- расслоение
со связностью, а $h_\gamma$ -- соответствующее преобразование
голономии. {\бф \ред Тогда $h_\gamma$ непрерывно в $C^0$-топологии
на $W_x$.}

\дшаг\\
Достаточно проверить эту теорему для $M=\R^n$.

{\бф \греен Шаг 2:} Для треугольного контура это следует
из Утверждения 1 {\бф \ред (голономия вдоль треугольника ограничивается
произведением площади треугольника и максимума собственных
значений кривизны).}

{\бф \греен Шаг 3:} Для кусочно-линейного контура
непрерывность следует, {\бф \пурпле если разбить этот контур на
треугольные и применить шаг 2.}

{\бф \греен Шаг 4:} Для гладких контуров это следует,
потому что {\бф \пурпле кусочно-линейные пути плотны в
$C^1$-топологии в пространстве кусочно-гладких путей},
а непрерывность голономии в $C^1$-топологии уже доказана.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Плоские расслоения (повторение)} 


\определение
Расслоение $(B, \nabla)$ называется {\бф \блуе плоским},
если кривизна $\nabla$ равна 0.

\теорема
{\бф \ред Расслоение плоско тогда и только тогда, когда голономия
вдоль любого стягиваемого пути тривиальна.}

\определение\\
Сечение $b\in B$ называется {\бф \блуе параллельным}, если $\nabla b=0$.

\следствие
Пусть $(B,\nabla)$ -- плоское расслоение над $M$
Для каждого открытого, связного, односвязного подмножества $U\subset M$,
{\бф \ред пространство параллельных сечений $B\restrict U$
отождествлено со слоем $B\restrict x$,} для любой точки
$x\in U$.

\доказательство
Возьмем вектор $v\in B\restrict x$, и разнесем его
на все $M$ параллельными переносами.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Локальные системы} 


\определение
{\бф\блуе Локально постоянный пучок} есть пучок ${\cal F}$ такой, 
что для любых связных открытых множеств $U\supset V$, ограничение \\
${\cal F}(U) \arrow {\cal F}(V)$ есть изоморфизм.

\определение
{\бф\блуе Локальная система} на топологическом пространстве
есть локально постоянный пучок векторных пространств.

\упражнение
Докажите, что {\бф \ред
категория локальных систем на связном многообразии
$M$ эквивалентна категории представлений фундаментальной группы.}

\утверждение 
Пусть $(B,\nabla)$ -- плоское расслоение,
а $U \arrow {\cal B}(U)$ пучок, сопоставляющий
$U$ пространство параллельных сечений $B\restrict U$.
Тогда ${\cal B}$ -- локальная система
{\бф \пурпле (проверьте это).}

\замечание
Пусть ${\cal F}$ -- локальная система на многообразии $M$,
где поле $k=\R$. Тогда ${\cal F}\otimes_\R C^\infty M$
есть локально свободный пучок $C^\infty M$-модулей, то есть
{\бф \пурпле векторное расслоение} {\бф \ред (проверьте это)}.


\невпаге

{\бф \блуе Локальные системы и плоские связности} 


\упражнение
Пусть ${\cal B}$ -- локальная система на многообразии $M$,
а $B:={\cal B}\otimes C^\infty M$ соответствующее
расслоение. Определим  $\nabla:\; B\arrow \Lambda^1 M
\otimes B$ формулой
$\nabla(\sum f_i\otimes b_i)= \sum df_i \otimes b_i$, где
$b_i \in {\cal B}(U)$ -- сечения ${\cal B}$. {\бф \ред Докажите, что
$\nabla$ это связность.}

\утверждение Связность, построенная таким образом -
плоская.

\доказательство
\[
 \nabla^2 (\sum f_i\otimes b_i)= \nabla( \sum df_i \otimes
 b_i)= \sum_i d^2 f_i \otimes b_i =0.
\]
\endproof

Мы доказали такую теорему.

\теорема
Рассмотрим функтор $\xi$, переводящий расслоение с плоской
связностью $(B, \nabla)$ в локальную систему ${\cal
B}=\ker \nabla$, и $\zeta$, переводящий локальную систему
${\cal B}$ в плоское расслоение $(B, \nabla)$
\[
  \bigg(B:={\cal B}\otimes C^\infty M,\ \  
\nabla(\sum f_i\otimes b_i):= \sum df_i \otimes b_i\bigg).
\]
{\бф \ред Такие функторы $\xi$ и $\zeta$ взаимно обратны и задают
эквивалентность категорий.}

\newpage

{\бф \блуе Пространство алгебраических тензоров кривизны}

\утверждение
Имеет место разложение $V\otimes V\otimes V\otimes V$
как представления $GL(V)$:
$V\otimes V\otimes V\otimes V= \Lambda^4 V \oplus \Sym^4 V\oplus V_{3,1}
\oplus V_{2,1,1} \oplus V_{2,2}$, где
$V_{3,1}=\ker\Sym_{34}\restrict { \Lambda^3 V \otimes V}$, 
$V_{2,1,1}= \ker\Alt_{34}\restrict { \Sym^3 V \otimes V}$, 
a
{\bf \blue $V_{2,2}$ -- пространство тензоров, которые антисимметричны 
по перестановкам 1 и 2, а также 3 и 4 множителя,
симметризованные по одновременным перестановкам 1 и 4, а также  2 и 3.}


\упражнение Докажите, что 
{\бф \red $V_{2,2}$ есть ядро умножения
$V_{2,2}=\ker \left( \Sym^2(\Lambda^2V)\arrow \Lambda^4V\right).$}


\определение
Пространство $V_{2,2}\subset V\otimes V\otimes V\otimes V$ называется 
{\бф \блуе пространством алгебраических тензоров кривизны}.

\теорема
Рассмотрим тензор кривизны
связности Леви-Чивита, $R^l_{ijk} \in \Lambda^2 M \otimes \goth{so}(TM)$.
Отождествляя $\goth{so}(TM)$ и $\Lambda^2(TM)$, получим 
тензор кривизны $R_{ijkl} \in \Lambda^2 M \otimes \Lambda^2 M$.
{\бф \ред Тогда $R_{ijkl}\in V_{2,2}$.}

\доказательство 
См. следующий слайд.

\следствие 
{\бф \ред Кривизна связности Леви-Чивита симметрична:\\
$R_{ijkl}\in \Sym^2(\Lambda^2 TM)$.}

\newpage

{\бф \блуе Симметрии тензора кривизны}

\утверждение {\бф \блуе (алгебраическое тождество Бьянки)}\\
Пусть $ \Theta_\nabla\in \Lambda^2 M \otimes \goth{so}(TM)$ -- кривизна
связности Леви-Чивита. {\бф \ред Тогда
\[ \mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}(\Theta_\nabla):=
\Theta_\nabla(X,Y,Z, \cdot) +\Theta_\nabla(Y,Z,X, \cdot)+
\Theta_\nabla(Z,X,Y, \cdot)=0.
\]}
\доказательство
Выберем $X,Y,Z$, которые коммутируют. Тогда $\nabla_XY=\nabla_Y X$,
 etc., потому что $\nabla$ без кручения. Значит, 
\begin{multline*} \mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}(\Theta_\nabla(X,Y,Z))\\ =
 (\nabla_X\nabla_Y Z-\nabla_X\nabla_Z Y)+
 (\nabla_Y\nabla_Z X -\nabla_Y\nabla_X Y) +
 (\nabla_Z\nabla_X Y -\nabla_Z\nabla_Y X)
=0  
\end{multline*}
\endproof


\замечание
Тождество открыл Риччи через несколько лет после того, как
Бьянки доказал "дифференциальное тождество Бьянки"

\следствие
{\bf \red Тензор римановой кривизны лежит в $V_{2,2}$.}

\доказательство
Проекция ядра $\mathop{\rm Cycl}{}_{1,2,3}\restrict 
{\Lambda^2 M \otimes \Lambda^2 M}$
на все остальные компоненты $V\otimes V \otimes V \otimes V$
зануляется. \endproof 

\невпаге

{\бф \блуе Разложение Риччи}

\определение
Пусть $V$ -- вещественное пространство с положительно
определенным скалярным произведением, $\dim V >4$,
a $V_{2,2}$ -- пространство алгебраических тензоров
кривизны. Рассмотрим отображение следа 
$\Tr_{1,3}:\; V_{2,2}\arrow \Sym^2 V$. Оно обозначается
$\Ric$ и называется {\бф \блуе кривизной Риччи}, а
его след называется {\бф \блуе скалярной кривизной}.

\утверждение
Рассмотрим $V_{2,2}$ как представление ортогональной группы
$O(V)$. {\бф \ред Тогда $V_{2,2}$ имеет следующие неприводимые
компоненты:}
\[
V_{2,2}=W \oplus \Sym^2_0 V \oplus \R,
\]
где $W=\ker \Ric$, a $\Sym^2_0 V$ -- симметрические
формы с нулевым следом, причем $\Sym^2_0 V \oplus \R=\Sym ^2 V$
вкладывается в $V_{2,2}$ как $\Ric^*\; \Sym ^2 V\arrow V_{2,2}$.

{\бф \греен Доказательство:}
Howe, Roger, {\em Remarks on classical invariant theory}, Trans.
   Amer. Math. Soc. 313 (1989), no. 2, 539--570.
\endproof

\определение
Пусть $M$ -- риманово многообразие, 
$\Theta$ его кривизна, а $\Theta= W + \Ric$ разложение
тензора кривизны по компонентам $V_{2,2}=W \oplus \Sym ^2 V$.
Тензор $W$ называется {\бф \блуе тензором Вейля}, или 
{\бф \блуе тензором конформной кривизны}, 
а $\Ric= \Ric(\Theta)$ -- {\бф \блуе кривизной Риччи}
многообразия. След кривизны Риччи называется
{\бф \блуе скалярной кривизной}.

\невпаге

{\бф \блуе Словарь римановой геометрии}

{\бф \греен Римановы многообразия классифицируются в
соответствии с их разложением кривизны:}
$\Theta= W + \Ric_0+S$.

\определение
Риманово многообразие называется {\бф \блуе конформно плоским},
если $W=0$. 

\замечание
Такие многообразия {\бф \пурпле конформно эквивалентны плоским},
то есть их метрика делается плоской после умножения на функцию;
это нетривиальная теорема, доказанная Г. Вейлем. 

\определение
Если бесследовая кривизна Риччи равна нулю, многообразие
называется {\бф \блуе Эйнштейновым}. Для такого многообразия,
имеет место $\Ric=\lambda g$, где $g$ это метрика, 
а $\lambda$ -- функция. В такой ситуации, {\бф \пурпле 
можно доказать, что функция $\lambda$ постоянна.}
Она называется {\бф \блуе константой Эйнштейна}.

\определение
Если $W=\Ric_0=0$, а $\Theta=S$, многообразие $(M,g)$
называется {\бф \блуе многообразием постоянной секционной
кривизны} или {\бф \блуе пространственной формой} (space
form). {\бф \пурпле Такие многообразия локально изометричны римановой
сфере, пространству Лобачевского, или $\R^n$.}



\end{document}
