\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Tot{\operatorname{Tot}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Дифф. геометрия и векторные расслоения\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Векторные расслоения, лекция 4:\\[2mm] связность Леви-Чивита} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 7 октября, 2013\\ матфак ВШЭ и НМУ}\\ \end{center} \newpage {\бф \блуе Связность на расслоении (повторение)} \замечание {\бф \пурпле Пространство сечений расслоения $B$ на гладком многообразии обозначается $B$.} \определение {\бф \блуе Связность} на векторном расслоении $B$ есть отображение $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$, удовлетворяющее $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$ для любых $b\in B$, $f\in C^\infty M$. \замечание Если $X\in TM$ -- векторное поле, $b\in B$, обозначим за {\бф \пурпле $\nabla_X b$ сечение $B$, полученное как $\langle\nabla b, X\rangle$.} Оператор $\nabla_X$ удовлетворяет правилу Лейбница: $\nabla_X(fb) = f\nabla_X b + \Lie_X f b$, где $\Lie_X$ -- производная вдоль $X$. Оператор $\nabla_X$ называется {\бф \блуе оператором ковариантной производной} по $X$. \замечание {\бф \пурпле Разность двух связностей $C^\infty(M)$ линейна,} и задает $C^\infty(M)$-линейное отображение $B \arrow \Lambda^1 M \otimes B$. И наоборот, {\бф \пурпле если добавить к связности $A\in \Lambda^1 M \otimes \End B$, получится снова связность} \newpage {\bf \blue Аффинные пространства} \определение {\бф \блуе Торсор} над группой $G$ есть пространство $X$, снабженное свободным и транзитивным действием $G$, $g,x \arrow \rho(g,x).$ \определение {\бф \блуе Морфизм} торсоров $(X,G,\rho) \stackrel \Psi \arrow (X',G',\rho')$ есть пара $\Psi_X:\; X\arrow X', \Psi_G:\; G \arrow G'$, где $\Psi_G$ есть гомоморфизм групп, и согласованное с действием $G,G'$ на $X, X'$ так: $\Psi_X(\rho(g,x)) = \rho'(\Psi_G(g),\Psi_X(x))$ \замечание {\бф \пурпле Торсоры образуют категорию.} \определение {\бф \блуе Аффинное пространство} есть торсор над линейным пространством $V$, которое называется его {\бф \блуе линеаризацией}. Действие $V$ на $A$ обозначается $a,v \arrow a +v$. \определение {\бф\блуе Морфизм} аффинных пространств есть морфизм соответствующих торсоров. \замечание Это то же самое, что отображение $A \stackrel {\Psi_A} \arrow A'$, плюс гомоморфизм линеаризаций $L\stackrel {\Psi_L} \arrow L'$ такой, что $\Psi_A(a+l) = \Psi_A(a) + \Psi_L(l)$. \следствие {\бф \пурпле Пространство связностей на расслоении $B$ есть аффинное пространство с линеаризацией $\Lambda^1 M \otimes \End B$.} \newpage {\бф \блуе Параллельный перенос вдоль связности (повторение)} \определение Пусть $B$ -- расслоение со связностью. Сечение $B$, которое удовлетворяет $\nabla b=0$, называется {\бф\блуе параллельным}. \утверждение Пусть $B$ -- расслоение со связностью над $\R$. Тогда для каждой $x\in \R$, $b_x \in B\restrict x$, {\бф \ред существует и единственно сечение $b\in B$ такое, что $\nabla b=0$, $b\restrict x= b_x$.} \дшаг {\бф \пурпле Расслоение $B$ тривиально} (все расслоения на $\R$ тривиальны). {\бф\греен Шаг 2:} {\бф \пурпле Решение уравнения $\sum_i (f_i \nabla a_i +\frac{df_i}{dt} a_i)=0$ всегда существует и однозначно задается начальным условием $b\restrict x= b_x$} (теорема о существовании и единственности решений ОДЕ). \ендпрооф \невпаге {\бф\блуе Алгебры Ли} \определение {\бф \блуе Алгебра Ли} есть векторное пространство $A$, снабженное антикоммутативной, билинейной операцией $[\cdot, \cdot]:\; A \otimes A \arrow A$, которая удовлетворяет {\бф \блуе тождеству Якоби:} $[a,[b,c]]=[[a,b],c]+ [b, [a,c]]$. \замечание Тождество Якоби есть тождество Лейбница: оно означает, что операция $[a, \cdot]$ является дифференцированием. \пример Алгебра $\End(V)$ с операцией $[a, b] =ab-ba$ является алгеброй Ли. \пример Пространство дифференцирований алгебры $R$ с операцией $[a, b] =ab-ba$ является алгеброй Ли {\бф \пурпле (проверьте это)}. \определение {\бф \блуе Представление} алгебры Ли $A$ есть гомоморфизм $A \arrow \End V$, где $\End V$ рассматривается как алгебра Ли. Пространство $V$ называется {\бф \блуе пространством представления}. В такой ситуации говорят, что $A$ {\бф \блуе действует на пространстве $V$}. \невпаге {\бф\блуе Алгебры Ли и инвариантные векторы} \определение Пусть $V_1, ..., V_n$ -- представления алгебры Ли $A$. Тогда $V_1\otimes V_2\otimes ... \otimes V_n$ снабжено действием $A$ по формуле Лейбница \begin{multline*} a(b_1 \otimes b_2\otimes ... \otimes b_n) = \\ = a(b_1) \otimes b_2\otimes ... \otimes b_n + b_1 \otimes a(b_2)\otimes ... \otimes b_n + ...+ b_1 \otimes b_2\otimes ... \otimes a(b_n). \end{multline*} Двойственное пространство $V^*$ снабжено действием $A$ по формуле \[ \langle a(b), \xi\rangle+ \langle b, a(\xi)\rangle = 0. \] \определение Пусть $A$ -- алгебра Ли, действующая на векторном пространстве $V$. Вектор $v\in V$ называется {\бф \блуе $a$-инвариантным}, если $a(v)=0$, и $A$-инвариантным, если $a(v)=0$ для любого $a\in A$. \упражнение Пусть $A$ -- алгебра Ли, действующая на векторном пространстве $V$, а $v\in V$. {\бф \пурпле Докажите, что множество всех $a\in A$, таких, что $a(v)=0$ -- подалгебра Ли.} \невпаге {\бф\блуе Ортогональная алгебра $\goth {so}(V)$ } \пример Пусть $h\in V^* \otimes V^*$ -- скалярное произведение. {\бф \блуе Ортогональная алгебра Ли} $\goth {so}(V)$ есть множество всех эндоморфизмов $a\in \End V$, которые удовлетворяют $a(h)=0$. \замечание Докажите, что $\goth {so}(V)=\{a \in \End V\ \ |\ \ h(a\cdot, \cdot)=-h(\cdot, a\cdot)\}$, другими словами, {\bf \purple $\goth {so}(V)$ -- алгебра Ли кососимметрических матриц.} \утверждение Пусть $h$ невырожденно. {\bf \red Тогда $\goth {so}(V)=\Lambda^2 V^*$.} \дшаг Отождествим $\End V= V\otimes V^*$ с $V\otimes V$, пользуясь изоморфизмом $V = V^*$, который получен из $h$ по формуле: $v \stackrel \xi \arrow h(v, \cdot)$. {\бф \греен Шаг 2:} Kососимметрический оператор $a\in \goth {so}(V)\subset V\otimes V^*$ удовлетворяет \[ \xi\otimes \Id(a)(x,y)= h(a(x), y)= - h(x, a(y)),\ \ \ \ \ (1)\] значит, 2-форма $\xi\otimes \Id(a)\in V^*\otimes V^*$ кососимметрична. {\бф \греен Шаг 3:} Наоборот, из каждой кососимметричной формы $\omega\in \Lambda^2 V^*$ можно получить матрицу $a= (\xi\otimes \Id)^{-1}(\omega)$, и она будет кососимметрична в силу (1). \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Связность и тензорное произведение (повторение)} \определение {\бф \пурпле Связность на $B$ определяет связность на двойственном расслоении $B^*$, и наоборот,} по формуле \[ \langle \nabla_X(b), \xi\rangle+ \langle b, \nabla_X(\xi)\rangle = \Lie_X(\langle b, \xi\rangle). \] \определение Для любого тензорного расслоения ${\cal B}_1:= B^*\otimes B^* \otimes ... \otimes B^* \otimes B\otimes B \otimes ... \otimes B$ {\bf \пурпле связность на $B$ определяет связность на ${\cal B}_1$} по {\бф \блуе формуле Лейбница:} \[ \nabla(b_1 \otimes ... \otimes b_n) = \nabla(b_1)\otimes ... \otimes b_n + b_1 \otimes \nabla(b_2)\otimes ... \otimes b_n + b_1\otimes ... \otimes \nabla(b_n). \] \замечание Это те же формулы, которые определяют действие алгебры Ли на тензорном произведении. \определение Пусть $B$ -- расслоение с заданным на нем скалярным произведением $h$. Связность $\nabla$ называется {\бф\блуе ортогональной}, если\\ $\nabla(h)=0$. \невпаге {\бф \блуе Ортогональные связности} \утверждение Пусть $B$ -- расслоение с метрикой. {\бф \ред Тогда на $B$ всегда существует ортогональная связность.} \доказательство Выберем покрытие $\{U_i\}$, в котором $B$ тривиально и допускает ортонормальный базис. На каждом $U_i$ выберем связность $\nabla_i$, которая сохраняет этот базис. Пусть $\psi_i$ -- разбиение единицы, подчиненное $\{U_i\}$. Тогда {\бф \пурпле формула $\nabla(b):= \sum \nabla_i(\psi_i b)$ определяет ортогональную связность.} \endproof \утверждение {\бф \пурпле Разность двух ортогональных связностей -- сечение $\Lambda^1 \otimes \goth{so}(B)$. } \доказательство Пусть $A= \nabla-\nabla'$, тогда для любого $X\in TM$, матрица $A(X)=\nabla_X-\nabla'_X$ удовлетворяет $A(X)(h)=0$, {\бф \ред то есть лежит в $\goth{so}(B)$.} \ендпрооф \следствие {\bf \red Пространство ортогональных связностей есть торсор над $\Lambda^1M \otimes \goth{so}(B)$.} \endproof \невпаге {\бф \блуе Кручение (повторение)} \определение Пусть $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1M$, \[ \Lambda^1 \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\] {\бф\блуе Кручение $\nabla$} задается формулой $T_\nabla(\eta)=d(\eta)-\Alt \circ \nabla(\eta)$, где $\Alt:\; \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M$ - внешнее умножение. Кручение есть отображение $T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$. \замечание \begin{align*} T_\nabla(f\eta) = & d(f\eta)-\Alt(f\nabla\eta + df\otimes \eta) \\ = &f\bigg [d\eta-\Alt(\nabla\eta)\bigg] + df\wedge \eta - df\wedge \eta= f T_\nabla(\eta). \end{align*} {\бф \пурпле Значит, $T_\nabla$ линейно.} \невпаге {\бф \блуе Кручение и коммутаторы (повторение)} \замечание {\бф \пурпле Каждая связность на $\Lambda^1M$ дает связность на $TM=\Lambda^1M^*$ и наоборот:} $d\langle x, \eta\rangle=\langle \nabla(x), \eta\rangle+ \langle x, \nabla(\eta)\rangle$. {\бф \пурпле Эти связности обозначаются одной и той же буквой} и {\бф \ред про них говорят, как про одну и ту же сущность.} {\бф \греен ТЕОРЕМА 1:} Пусть $X,Y\in TM$ -- векторные поля, $\eta\in \Lambda^1 M$ -- 1-форма, а $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1 M$. {\бф \ред Тогда \[ T_\nabla(X,Y)(\eta)=\langle T^*_\nabla(X,Y), \eta\rangle, \]} \!\!где $T^*_\nabla(X,Y)$ -- векторное поле, которое определяется по формуле \\ $T^*_\nabla(X,Y):=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]$. \замечание $T^*_\nabla(X,fY)=\nabla_X (fY)-f\nabla_YX-[X,fY]=fT^*_\nabla(X,Y)+ \Lie_X (f)Y- [X,fY]+f[X,Y]=fT^*_\nabla(X,Y)$. {\бф \пурпле Поэтому $T^*_\nabla$ -- тоже линейная операция.} \замечание Тензор $T^*_\nabla$ лежит в $\Lambda^2M\otimes TM$, а $T_\nabla$ в $\Hom(\Lambda^1M, \Lambda^2 M)=\Lambda^2M\otimes TM$; {\бф \ред Теорема 1 утверждает, что эти тензоры равны.} \невпаге {\бф \блуе Связность Леви-Чивита} \определение Многообразие $M$ называется {\бф \блуе римановым}, если на $TM$ задано невырожденное, положительно определенное скалярное произведение $g$. \определение Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется {\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$, и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она ортогональна и без кручения. \теорема ("основная теорема дифференциальной геометрии") Каждое риманово многообразие {\бф \ред допускает связность Леви-Чивита, и она единственна.} {\бф \греен Доказательство ниже.} \newpage \newcommand{\lin}{{\operatorname{\sf lin}}} {\bf \blue Линеаризация кручения} \замечание Если $\nabla_1$ и $\nabla_2$ -- связности на расслоении $TM$, их разность есть сечение $\End(TM)\otimes \Lambda^1 M$. {\бф \блуе Пространство ${\cal A}(TM)$ связностей на $TM$ есть аффинное пространство}, то есть торсор над пространством сечений $\End(TM)\otimes \Lambda^1 M$. \замечание {\бф \пурпле Кручение есть аффинное отображение} \[ {\cal A}(\Lambda^1 M) \arrow \Hom(\Lambda^1M, \Lambda^2 M)= TM \otimes\Lambda^2 M . \] потому что $T(\nabla + \alpha) = T(\nabla) + \Alt_{12}(\alpha)$, где $\Alt_{12}:\; \Lambda^1M \otimes \End(\Lambda^1M) \arrow \Lambda^2M \otimes TM$ есть альтернирование по первым двум индексам. \определение {\бф \блуе Линеаризованное кручение} есть отображение\\ $T_\lin=\Alt_{12}$, \[ T_\lin:\; \Lambda^1(M) \otimes \Lambda^1(M) \otimes TM \arrow \Lambda^2 M \otimes TM \] полученное как линеаризация кручения. \newpage {\bf \blue Связность Леви-Чивита (существование и единственность)} \доказательство Выберем ортогональную связность $\nabla$ на $\Lambda^1 M$. Пространство ортогональных связностей -- аффинное, и {\бф \пурпле его линеаризация есть $\Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)$.} {\бф \греен Шаг 1:} Отождествляя $TM$ и $\Lambda^1 M$, получаем ${\goth so}(TM) =\Lambda^2 M$. {\бф \греен Шаг 2:} Линеаризованное кручение есть отображение\\ $T_\lin :\; \Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)= \Lambda^1(M) \otimes \Lambda^2 M \stackrel{\Alt} \arrow \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1M = \Lambda^2 M \otimes T M.$\\ {\бф \ред Это изоморфизм.} Справа и слева расслоения одной размерности, так что {\бф \пурпле достаточно доказать, что $T_\lin$ нет ядра.} Но если $\eta \in \ker T_\lin$, $\eta$ симметрична по первым двум аргументам и кососимметрична по последним, что дает $\eta(x,y,z) = \eta(y,x,z) = - \eta (y,z, x).$ {\бф \пурпле То есть $\sigma(\eta) =-\eta$, где $\sigma$ есть циклическая перестановка аргументов.} Поскольку $\sigma^3=1$, из этого следует, что $\eta=0$. {\bf \green Шаг 3:} Мы получили, что {\бф \purple ортогональная связность однозначно задается своим кручением,} ибо кручение задает изоморфизм аффинных пространств. {\бф \греен Из этого следует единственность связности Леви-Чивита.} {\бф \греен Шаг 4:} Возьмем $\nabla:= \nabla_0 -T_\lin^{-1}(T_{\nabla_0})$. Тогда $T_\nabla= T_{\nabla_0}-T_\lin(T_\lin^{-1}(T_{\nabla_0}))=0$, значит {\bf \red $\nabla$ -- связность без кручения}. \endproof \end{document}