

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Tot{\operatorname{Tot}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}

\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}}

 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Дифф. геометрия и векторные расслоения\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Векторные расслоения, лекция 4:\\[2mm] связность Леви-Чивита}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 7 октября, 2013\\ матфак ВШЭ и НМУ}\\

\end{center}


\newpage

{\бф \блуе Связность на расслоении (повторение)}


\замечание
{\бф \пурпле Пространство сечений расслоения $B$ на гладком
многообразии обозначается $B$.}

\определение
{\бф \блуе Связность} на векторном расслоении $B$
есть отображение $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$,
удовлетворяющее $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$
для любых  $b\in B$, $f\in C^\infty M$.

\замечание
Если $X\in TM$ -- векторное поле, $b\in B$, обозначим за 
{\бф \пурпле $\nabla_X b$ сечение $B$, полученное 
как $\langle\nabla b, X\rangle$.} Оператор $\nabla_X$
удовлетворяет правилу Лейбница: $\nabla_X(fb) = f\nabla_X
b + \Lie_X f b$, где $\Lie_X$ -- производная вдоль $X$.
Оператор $\nabla_X$ называется {\бф \блуе оператором
ковариантной производной} по $X$.

\замечание
{\бф \пурпле Разность двух связностей $C^\infty(M)$ линейна,} и задает
$C^\infty(M)$-линейное отображение $B \arrow \Lambda^1 M \otimes B$.
И наоборот, {\бф \пурпле если добавить 
к связности $A\in \Lambda^1 M \otimes \End B$,
получится снова связность}


\newpage

{\bf \blue Аффинные пространства}


\определение
{\бф \блуе Торсор} над группой $G$ есть пространство
$X$, снабженное свободным и транзитивным действием $G$,
$g,x \arrow \rho(g,x).$

\определение
{\бф \блуе Морфизм} торсоров $(X,G,\rho) \stackrel \Psi \arrow (X',G',\rho')$
есть пара $\Psi_X:\; X\arrow X', \Psi_G:\; G \arrow G'$,
где $\Psi_G$ есть гомоморфизм групп, и согласованное
с действием $G,G'$ на $X, X'$ так:
$\Psi_X(\rho(g,x)) = \rho'(\Psi_G(g),\Psi_X(x))$

\замечание
{\бф \пурпле Торсоры образуют категорию.}

\определение
{\бф \блуе Аффинное пространство} есть
торсор над линейным пространством $V$,
которое называется его {\бф \блуе линеаризацией}.
Действие $V$ на $A$ обозначается $a,v \arrow a +v$.

\определение
{\бф\блуе Морфизм} аффинных пространств есть
морфизм соответствующих торсоров.

\замечание
Это то же самое, что 
отображение $A \stackrel {\Psi_A} \arrow A'$, плюс гомоморфизм
линеаризаций $L\stackrel {\Psi_L} \arrow L'$
такой, что $\Psi_A(a+l) = \Psi_A(a) + \Psi_L(l)$.

\следствие
{\бф \пурпле Пространство связностей на расслоении $B$ есть аффинное
пространство с линеаризацией $\Lambda^1 M \otimes \End B$.}

\newpage

{\бф \блуе Параллельный перенос вдоль связности (повторение)}

\определение Пусть $B$ -- расслоение со связностью. 
Сечение $B$, которое удовлетворяет
$\nabla b=0$, называется {\бф\блуе параллельным}.

\утверждение
Пусть $B$ -- расслоение со связностью над $\R$. Тогда для
каждой $x\in \R$, $b_x \in B\restrict x$, {\бф \ред существует и 
единственно сечение $b\in B$ такое, что $\nabla b=0$,
$b\restrict x= b_x$.}

\дшаг
{\бф \пурпле Расслоение $B$ тривиально} (все расслоения на $\R$
тривиальны).

{\бф\греен Шаг 2:} {\бф \пурпле Решение уравнения $\sum_i (f_i \nabla a_i
+\frac{df_i}{dt} a_i)=0$ всегда существует и однозначно
задается начальным условием $b\restrict x= b_x$} (теорема
о существовании и единственности решений ОДЕ).
\ендпрооф

\невпаге

{\бф\блуе Алгебры Ли}

\определение
{\бф \блуе Алгебра Ли} есть векторное пространство $A$,
снабженное антикоммутативной, билинейной операцией
$[\cdot, \cdot]:\; A \otimes A \arrow A$, которая
удовлетворяет {\бф \блуе тождеству Якоби:}
$[a,[b,c]]=[[a,b],c]+ [b, [a,c]]$.

\замечание
Тождество Якоби есть тождество Лейбница: оно означает, что
операция $[a, \cdot]$ является дифференцированием.

\пример 
Алгебра $\End(V)$ с операцией $[a, b] =ab-ba$ является
алгеброй Ли.

\пример
Пространство дифференцирований алгебры $R$ 
с операцией $[a, b] =ab-ba$ является
алгеброй Ли {\бф \пурпле (проверьте это)}.

\определение
{\бф \блуе Представление} алгебры Ли $A$ есть гомоморфизм
$A \arrow \End V$, где $\End V$ рассматривается как алгебра Ли.
Пространство $V$ называется {\бф \блуе пространством представления}.
В такой ситуации говорят, что $A$ {\бф \блуе действует на 
пространстве $V$}.


\невпаге

{\бф\блуе Алгебры Ли и инвариантные векторы}


\определение
Пусть $V_1, ..., V_n$ -- представления алгебры Ли $A$.
Тогда $V_1\otimes V_2\otimes ... \otimes V_n$ снабжено 
действием $A$ по формуле Лейбница
\begin{multline*} a(b_1 \otimes b_2\otimes ... \otimes b_n) = \\
= a(b_1) \otimes b_2\otimes ... \otimes b_n + 
b_1 \otimes a(b_2)\otimes ... \otimes b_n +
...+ b_1 \otimes b_2\otimes ... \otimes a(b_n).
\end{multline*}
Двойственное пространство $V^*$ снабжено
действием $A$ по формуле 
\[ \langle a(b), \xi\rangle+ \langle b, a(\xi)\rangle = 0.
\]

\определение
Пусть $A$ -- алгебра Ли, действующая на векторном
пространстве $V$. Вектор $v\in V$ называется
{\бф \блуе $a$-инвариантным}, если $a(v)=0$,
и $A$-инвариантным, если $a(v)=0$ для любого
$a\in A$.

\упражнение
Пусть $A$ -- алгебра Ли, действующая на векторном
пространстве $V$, а $v\in V$. {\бф \пурпле Докажите, что множество всех
$a\in A$, таких, что $a(v)=0$ -- подалгебра Ли.}

\невпаге

{\бф\блуе Ортогональная алгебра $\goth {so}(V)$ }


\пример 
Пусть $h\in V^* \otimes V^*$ -- скалярное произведение.
{\бф \блуе Ортогональная алгебра Ли} $\goth {so}(V)$ есть множество всех
эндоморфизмов $a\in \End V$, которые удовлетворяют $a(h)=0$.

\замечание
Докажите, что 
$\goth {so}(V)=\{a \in \End V\ \ |\ \ h(a\cdot, \cdot)=-h(\cdot, a\cdot)\}$,
другими словами, {\bf \purple $\goth {so}(V)$ -- алгебра Ли кососимметрических
матриц.}

\утверждение
Пусть $h$ невырожденно. 
{\bf \red Тогда $\goth {so}(V)=\Lambda^2 V^*$.}

\дшаг Отождествим $\End V= V\otimes V^*$ с $V\otimes V$,
пользуясь изоморфизмом $V = V^*$, который получен из $h$
по формуле:
$v \stackrel \xi \arrow h(v, \cdot)$.

{\бф \греен Шаг 2:} 
Kососимметрический оператор $a\in \goth {so}(V)\subset V\otimes V^*$
удовлетворяет 
\[ \xi\otimes \Id(a)(x,y)= h(a(x), y)= - h(x, a(y)),\ \ \ \ \ (1)\]
значит, 2-форма $\xi\otimes \Id(a)\in V^*\otimes V^*$
кососимметрична.

{\бф \греен Шаг 3:} Наоборот, из каждой кососимметричной
формы $\omega\in \Lambda^2 V^*$ можно получить
матрицу $a= (\xi\otimes \Id)^{-1}(\omega)$,
и она будет кососимметрична в силу (1).
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Связность и тензорное произведение (повторение)}

\определение
{\бф \пурпле Связность на $B$ определяет связность на двойственном
расслоении $B^*$, и наоборот,} по формуле
\[ 
  \langle \nabla_X(b), \xi\rangle+ \langle b, \nabla_X(\xi)\rangle
  = \Lie_X(\langle b, \xi\rangle).
\]
\определение
Для любого тензорного расслоения
${\cal B}_1:=
B^*\otimes B^* \otimes ... \otimes B^* \otimes B\otimes B \otimes ... \otimes B$
{\bf \пурпле связность на $B$ определяет связность на ${\cal B}_1$}
по {\бф \блуе формуле Лейбница:}
\[
\nabla(b_1 \otimes ... \otimes b_n) = 
\nabla(b_1)\otimes ... \otimes b_n + b_1 \otimes \nabla(b_2)\otimes ... \otimes b_n + b_1\otimes ... \otimes \nabla(b_n).
\]
\замечание
Это те же формулы, которые определяют действие алгебры
Ли на тензорном произведении.


\определение
Пусть $B$ -- расслоение с заданным на нем скалярным произведением
$h$. Связность $\nabla$ называется {\бф\блуе ортогональной}, если\\
$\nabla(h)=0$.


\невпаге

{\бф \блуе Ортогональные связности}


\утверждение
Пусть $B$ -- расслоение с метрикой. {\бф \ред Тогда на 
$B$ всегда существует ортогональная связность.}

\доказательство
Выберем покрытие $\{U_i\}$, в котором $B$
тривиально и допускает ортонормальный базис.
На каждом $U_i$ выберем связность $\nabla_i$,
которая сохраняет этот базис. Пусть $\psi_i$ --
разбиение единицы, подчиненное $\{U_i\}$.
Тогда {\бф \пурпле формула $\nabla(b):= \sum \nabla_i(\psi_i b)$
определяет ортогональную связность.}
\endproof



\утверждение
{\бф \пурпле Разность двух ортогональных связностей -- сечение
$\Lambda^1 \otimes \goth{so}(B)$. }

\доказательство Пусть $A= \nabla-\nabla'$, тогда
для любого $X\in TM$, матрица $A(X)=\nabla_X-\nabla'_X$
удовлетворяет $A(X)(h)=0$, {\бф \ред то есть лежит в $\goth{so}(B)$.}
\ендпрооф

\следствие
{\bf \red Пространство ортогональных связностей есть торсор
над $\Lambda^1M \otimes \goth{so}(B)$.} \endproof


\невпаге

{\бф \блуе Кручение (повторение)}

\определение 
Пусть $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1M$, 
\[ \Lambda^1 \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\]
 {\бф\блуе Кручение $\nabla$} 
задается формулой $T_\nabla(\eta)=d(\eta)-\Alt \circ \nabla(\eta)$,
где $\Alt:\;  \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M$
- внешнее умножение. Кручение есть отображение
$T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$.

\замечание
\begin{align*}
T_\nabla(f\eta) = & d(f\eta)-\Alt(f\nabla\eta + df\otimes \eta) \\
= &f\bigg [d\eta-\Alt(\nabla\eta)\bigg] + df\wedge \eta - df\wedge \eta=
f T_\nabla(\eta).
\end{align*}
{\бф \пурпле Значит, $T_\nabla$ линейно.}


\невпаге

{\бф \блуе Кручение и коммутаторы (повторение)}

\замечание
{\бф \пурпле Каждая связность на $\Lambda^1M$
дает связность на $TM=\Lambda^1M^*$ и наоборот:}
$d\langle x, \eta\rangle=\langle \nabla(x), \eta\rangle+
\langle x, \nabla(\eta)\rangle$. {\бф \пурпле Эти связности
обозначаются одной и той же буквой} и {\бф \ред про них говорят, как 
про одну и ту же сущность.}

{\бф \греен ТЕОРЕМА 1:}
Пусть $X,Y\in TM$ -- векторные поля, 
$\eta\in \Lambda^1 M$ -- 1-форма, а $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1 M$.
{\бф \ред Тогда 
\[ T_\nabla(X,Y)(\eta)=\langle
T^*_\nabla(X,Y), \eta\rangle,
\]}
\!\!где $T^*_\nabla(X,Y)$ -- векторное поле,
которое определяется по формуле \\
$T^*_\nabla(X,Y):=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]$.

\замечание
$T^*_\nabla(X,fY)=\nabla_X (fY)-f\nabla_YX-[X,fY]=fT^*_\nabla(X,Y)+
\Lie_X (f)Y- [X,fY]+f[X,Y]=fT^*_\nabla(X,Y)$. {\бф \пурпле Поэтому $T^*_\nabla$
-- тоже линейная операция.} 

\замечание
Тензор $T^*_\nabla$ лежит в $\Lambda^2M\otimes TM$, а 
$T_\nabla$ в $\Hom(\Lambda^1M, \Lambda^2 M)=\Lambda^2M\otimes TM$;
{\бф \ред Теорема 1 утверждает, что эти тензоры равны.}



\невпаге

{\бф \блуе Связность Леви-Чивита}


\определение
Многообразие $M$ называется {\бф \блуе римановым}, если
на $TM$ задано невырожденное, положительно определенное
скалярное произведение $g$.

\определение
Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется
{\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$,
и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она 
ортогональна и без кручения.

\теорема
("основная теорема дифференциальной геометрии")
Каждое риманово многообразие {\бф \ред 
допускает связность Леви-Чивита, и она единственна.}

{\бф \греен Доказательство ниже.}

\newpage

\newcommand{\lin}{{\operatorname{\sf lin}}}
{\bf \blue Линеаризация кручения}

\замечание
Если $\nabla_1$ и $\nabla_2$ -- связности на расслоении
$TM$, их разность есть сечение $\End(TM)\otimes \Lambda^1 M$.
{\бф \блуе Пространство ${\cal A}(TM)$ связностей на $TM$
есть аффинное пространство}, то есть торсор над 
пространством сечений $\End(TM)\otimes \Lambda^1 M$.

\замечание
{\бф \пурпле Кручение есть аффинное отображение}
\[ {\cal A}(\Lambda^1 M) 
\arrow \Hom(\Lambda^1M, \Lambda^2 M)= TM \otimes\Lambda^2 M .
\]
потому что $T(\nabla + \alpha) = T(\nabla) + \Alt_{12}(\alpha)$,
где $\Alt_{12}:\; \Lambda^1M \otimes \End(\Lambda^1M) \arrow
\Lambda^2M \otimes TM$ есть альтернирование по первым двум индексам.


\определение
{\бф \блуе Линеаризованное кручение} есть отображение\\
$T_\lin=\Alt_{12}$,
\[
T_\lin:\; \Lambda^1(M) \otimes \Lambda^1(M) \otimes TM
\arrow \Lambda^2 M  \otimes TM
\]
полученное как линеаризация кручения.


\newpage

{\bf \blue Связность Леви-Чивита (существование и единственность)}

\доказательство
Выберем ортогональную связность $\nabla$ на $\Lambda^1 M$.
Пространство ортогональных связностей -- аффинное, и {\бф
\пурпле его линеаризация есть $\Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)$.}

{\бф \греен Шаг 1:} Отождествляя $TM$ и $\Lambda^1 M$, получаем
${\goth so}(TM) =\Lambda^2 M$.

{\бф \греен Шаг 2:} Линеаризованное кручение есть 
отображение\\ $T_\lin :\; \Lambda^1 M \otimes {\goth so}(TM)=
\Lambda^1(M) \otimes \Lambda^2 M
\stackrel{\Alt} \arrow \Lambda^2 M \otimes \Lambda^1M =
\Lambda^2 M \otimes T M.$\\
{\бф \ред Это изоморфизм.} Справа и слева
расслоения одной размерности, так что {\бф \пурпле достаточно
доказать, что $T_\lin$ нет ядра.} Но если $\eta \in \ker T_\lin$,
$\eta$ симметрична по первым двум аргументам
и кососимметрична по последним, что дает
$\eta(x,y,z) = \eta(y,x,z) = - \eta (y,z, x).$
{\бф \пурпле То есть $\sigma(\eta) =-\eta$, где $\sigma$ есть
циклическая перестановка аргументов.} Поскольку
$\sigma^3=1$, из этого следует, что $\eta=0$.

{\bf \green Шаг 3:} 
Мы получили, что {\бф \purple ортогональная связность
однозначно задается своим кручением,} ибо кручение задает изоморфизм
аффинных пространств. {\бф \греен Из этого следует единственность
связности Леви-Чивита.}

{\бф \греен Шаг 4:} Возьмем $\nabla:= \nabla_0 -T_\lin^{-1}(T_{\nabla_0})$.
Тогда $T_\nabla= T_{\nabla_0}-T_\lin(T_\lin^{-1}(T_{\nabla_0}))=0$,
значит {\bf \red $\nabla$ -- связность без кручения}. \endproof




\end{document}
