\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Tot{\operatorname{Tot}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Дифф. геометрия и векторные расслоения\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Векторные расслоения, лекция 3:\\[2mm] кручение} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 23 сентября, 2013\\ матфак ВШЭ и НМУ}\\ {\bf \large \red 30 сентября лекции не будет! \\ Будет прием задач.} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage {\бф \блуе Векторные расслоения (повторение)} \определение {\бф\блуе Векторное расслоение} на гладком многообразии $M$ есть локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей. \замечание Как и многообразие, {\бф \пурпле векторное расслоение можно задать в терминах карт, атласов и функций перехода.} \определение Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, а $\{U_i\}$ его покрытие. {\бф\блуе 1-коцикл} со значениями в $G$ есть набор функций $U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow G$, удовлетворяющих следующим условиям: 1. $\phi_{ij}=\phi_{ji}^{-1}$ 2. $\phi_{ij}\phi_{jk}=\phi_{ik}$. \утверждение Пусть $B$ -- $n$-мерное векторное расслоение над $M$, а $\{U_i\}$ -- покрытие $M$, такое, что $B\restrict {U_i}$ -- тривиальный $C^\infty$-модуль. Зафиксируем тривиализации $B\restrict {U_i}$ и рассмотрим базисы в $B\restrict {U_i}$ и $B\restrict {U_j}$, определенные этими тривиализациями. Пусть $U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow GL(n)$ -- функции перехода от одного базиса к другому. {\бф \ред Тогда $\phi_{ij}$ задают 1-коцикл} со значениями в $GL(n)$. \newpage {\bf \blue Векторные расслоения, коциклы и кограницы (повторение)} \замечание Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, $\{U_i\}$ его покрытие, a $U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow G$ -- 1-коцикл. Рассмотрим набор отображений $\psi_i :\; U_i \arrow G$, и пусть $\phi_{ij}':\; U_i\cap U_j\arrow G$ -- отображение, заданное формулой $\phi_{ij}'=\psi_i^{-1} \phi_{ij}\psi_j$. {\bf \purple Легко видеть, что $\{\phi_{ij}'\}$ -- тоже коцикл.} Коциклы $\{\phi_{ij}\}$ и $\{\phi_{ij}'\}$ называются {\бф \блуе кограничными}. \определение Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, $\{U_i\}$ его покрытие, а ${\goth G}$ -- группа всех отображений $\coprod U_i \arrow G$. {\бф \пурпле Группа ${\goth G}$ действует на множестве 1-коциклов по формуле $\phi_{ij}'=\psi_i^{-1} \phi_{ij}\psi_j$;} соответствующее фактормножество есть множество коциклов с точностью до кограниц. Оно называется {\бф \блуе группа когомологий Чеха с коэффициентами в $G$, связанными с покрытием $\{U_i\}$}, и обозначается $H^1(M, \{U_i\}, G)$ \утверждение Пусть $M$ -- многообразие, $\{U_i\}$ -- его покрытие, а ${\goth S}$ - множество классов изоморфизма $n$-мерных расслоений, которые тривиальны на всех $U_i$. {\бф \ред Множество ${\goth S}$ естественно отождествляется с $H^1(M, \{U_i\}, GL(n))$.} \теорема {\бф \ред Все векторные расслоения на $\R$ тривиальны.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Тотальное пространство расслоения (повторение)} \утверждение Определим топологию на множестве всех точек всех слоев многообразия ${\cal B}$ таким образом, что в каждой карте $U$, где ${\cal B}$ тривиально, биекция из множества $\{(x\in U, b\in {\cal B}\restrict x\}$ всех слоев в $U\times \R^n$ -- гомеоморфизм. {\бф \ред Полученное топологическое пространство $\Tot({\cal B})$ является многообразием, локально тривиально расслоенным над $M$ со слоем $\R^n$}. \ендпрооф \определение $\Tot({\cal B})$ называется {\бф \блуе тотальным пространством расслоения}. \определение Пусть $M \stackrel \phi \arrow N$ -- локально тривиальное расслоение. {\бф \блуе Сечение} $\phi$ есть подмногообразие $S\subset M$ такое, что ограничение $\phi \restrict S$ задает диффеоморфизм $S$ на $N$. \утверждение Для каждого открытого множества $U\subset M$, рассмотрим пространство сечений расслоения $\Tot({\cal B}\restrict U)$. Легко видеть, что это пространство естественно отождествляется с ${\cal B}(U)$. {\бф \ред Это позволяет восстановить векторное расслоение (т. е. соответствующий пучок $C^\infty M$-модулей) из пространства $\Tot({\cal B})$}, снабженного дополнительной структурой сложения сечений и умножения сечения на функцию. \newpage {\бф \блуе Связность на расслоении (повторение)} \замечание {\бф \пурпле Пространство сечений расслоения $B$ на гладком многообразии обозначается $B$.} \определение {\бф \блуе Связность} на векторном расслоении $B$ есть отображение $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$, удовлетворяющее $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$ для любых $b\in B$, $f\in C^\infty M$. \замечание Если $X\in TM$ -- векторное поле, $b\in B$, обозначим за {\бф \пурпле $\nabla_X b$ сечение $B$, полученное как $\langle\nabla b, X\rangle$.} Оператор $\nabla_X$ удовлетворяет правилу Лейбница: $\nabla_X(fb) = f\nabla_X b + \Lie_X f b$, где $\Lie_X$ -- производная вдоль $X$. Оператор $\nabla_X$ называется {\бф \блуе оператором ковариантной производной} по $X$. \замечание Производная Ли $\Lie_X:\; \Omega^i M \arrow \Omega^i M$ тоже удовлетворяет правилу Лейбница, но не задает связности, ибо {\бф \ред не линейна по $X$}: \[ \Lie_{fX}\eta=(d\eta)\cntrct fX + d(\eta\cntrct fX)= f \Lie_X\eta+ (-1)^{\tilde\eta}(\eta\wedge df)\cntrct X. \] \newpage {\бф \блуе Связность на тривиальном расслоении (повторение)} \определение Пусть $B$ -- тривиальное расслоение на $M$, свободно порожденное $a_1, ..., a_n$: $B =\bigoplus C^\infty M \cdot a_i$. Tогда $a_1, ..., a_n$ -- называется {\бф \блуе базис сечений} или {\бф \блуе тривиализация} $B$. Каждое сечение $B$ однозначно задается в виде $b=\sum_{i=1}^n f_i a_i$, где $f_i\in C^\infty M$. \замечание На тривиальном расслоении над $M$ связность записывается в виде $\nabla(\sum_i f_i a_i)=\sum_i (f_i \nabla a_i + a_i \otimes df_i)$. Пусть $\nabla a_i= \sum_j g_{ij} a_j$. Если $M=\R$, $t$ -- координата на $\R$, это дает $\nabla(\sum_i f_i a_i)= \sum_i (f_i \sum_j g_{ij} a_j +\frac{df_i}{dt}a_i)$. \замечание На тривиальном расслоении $B$ связность записывается так: $\nabla(x)=A(x)+dx$, где $d$ -- дифференциал (примененный почленно к каждому коэффициенту $x$), а $A$ -- 1-форма с коэффициентами в $\End B$. \замечание В этих обозначениях $\nabla(\sum_i f_i a_i)=0$ равносильно \[ \frac{df_i}{dt}=- \sum_j f_j g_{ji}, i= 1, ..., n. \] {\бф \пурпле Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка!} \newpage {\бф \блуе Параллельный перенос вдоль связности (повторение)} \определение Пусть $B$ -- расслоение со связностью. Сечение $B$, которое удовлетворяет $\nabla b=0$, называется {\бф\блуе параллельным}. \утверждение Пусть $B$ -- расслоение со связностью над $\R$. Тогда для каждой $x\in \R$, $b_x \in B\restrict x$, {\бф \ред существует и единственно сечение $b\in B$ такое, что $\nabla b=0$, $b\restrict x= b_x$.} \дшаг {\бф \пурпле Расслоение $B$ тривиально} (все расслоения на $\R$ тривиальны). {\бф\греен Шаг 2:} {\бф \пурпле Решение уравнения $\sum_i (f_i \nabla a_i +\frac{df_i}{dt} a_i)=0$ всегда существует и однозначно задается начальным условием $b\restrict x= b_x$} (теорема о существовании и единственности решений ОДЕ). \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Группа голономии (повторение)} \определение Пусть $\gamma:\; [0, 1] \arrow M$ -- гладкий путь на многообразии $M$, соединяющий $x$ и $y$ а $(B, \nabla)$ -- расслоение со связностью. Рассмотрим $b_x \in B_x$, ограничим $(B, \nabla)$ на $\gamma([0,1])$, и решим уравнение $\nabla(b)=0$, где $b\in B\restrict{\gamma([0,1])}$ с начальным условием $b\restrict x= b_x$. Этот процесс называется {\бф\блуе параллельным переносом вектора $b_x$ вдоль связности}, а $b_y:= b\restrict y$ называется {\бф\блуе вектором, полученным в результате параллельного переноса $b_x$ вдоль связности по пути $\gamma:\; [0, 1] \arrow M$}. \определение {\бф\блуе Группа голономии связности} есть группа эндоморфизмов слоя $B_x$, порожденная всеми параллельными переносами вдоль путей из $x$ в $x$, где $x\in M$. \упражнение {\бф \пурпле Докажите, что группа голономии не зависит от выбора $x\in M$.} \newpage {\бф \блуе Алгебра де Рама (повторение)} \определение Пусть $M$ -- гладкое многообразие. Обозначим за $\Lambda^i M$ {\бф \блуе пространство дифференциальных $i$-форм на $M$,} то есть антисимметричных $i$-форм на касательном расслоении $TM$. Определим умножение $\Lambda^i M\times \Lambda^j M \arrow \Lambda^{i+j} M$ как $\alpha \wedge \beta \arrow \Pi (\alpha \otimes \beta)$, где $\alpha \otimes \beta$ -- сечение $\Lambda^i M\otimes \Lambda^j M \subset \bigotimes_{i+j} T^*M$, полученное перемножением $\alpha$ и $\beta$, a $\Pi$ -- кососимметризация тензора. \утверждение {\бф \пурпле Это умножение ассоциативно, и удовлетворяет $\alpha \wedge \beta = (-1)^{ij} \beta\wedge \alpha$.} \определение Алгебра $\Lambda^* M := \oplus_i\Lambda^i M$ с определенной выше алгебраической структурой называется {\бф\блуе алгеброй де Рама} многообразия. \замечание Пусть $\phi:\; M_1 \arrow M_2$ -- гладкое отображение многообразий. Тогда задано отображение $\phi^*:\; \Lambda^* M_2 \arrow \Lambda^* M_1$, переводящее дифференциальную форму $\eta \in \Lambda^kM_2$ в форму $(v_1, ..., v_k)\in TM_1 \arrow \eta(D_\phi v_1, ..., D_\phi(v_k))$. \невпаге {\bf \блуе Дифференциал де Рама (повторение)} \определение {\бф\блуе Дифференциал де Рама} $d:\; \Lambda^*M \arrow \Lambda^{*+1}M$ есть $\R$-линейное отображение, которое удовлетворяет следующим условиям. \\ \hphantom{MM} (i) Для любого $f \in \Lambda^0=C^\infty M$, $df$ есть элемент $\Lambda^1 M$, который равен дифференциалу $df\in \Omega^1 M$. \\ \hphantom{MM} (ii) {\бф \блуе (Правило Лейбница)} $d(a\wedge b) = da \wedge b + (-1)^j a\wedge db$, для любых $a\in \Lambda^i M, b \in \Lambda^j M$. \\ \hphantom{MM} (iii) $d^2=0$. \утверждение \\ {\бф \ред Дифференциал де Рама однозначно задается этими условиями.} \определение Дифференциальная форма называется {\бф \блуе замкнутой}, если она лежит в ядре $d$, и {\бф \блуе точной}, если она лежит в образе $d$. Пространство $H^i(M):=\frac{\ker d}{im d}\restrict{\Lambda^i M}$ называется {\бф\блуе $i$-й группой когомологий де Рама} многообразия $M$. \невпаге \vfil \begin{center} {\bf \large \red 30 сентября лекции не будет! \\ Будет прием задач.} \end{center} \vfil \newpage {\бф \блуе Производная Ли} \определение {\бф \блуе Поток диффеоморфизмов} многообразия есть гладкое отображение $\phi_t:\; M\times \R \arrow M$, которое является диффеоморфизмом для любого $t\in \R$. Аналогично определяется {\бф\блуе поток симплектоморфизмов}. \определение Предположим, что $\phi_0=\Id_M$. Тогда производная $\frac {d\phi_t}{dt}\restrict{t=0}$ есть векторное поле, которое называется {\бф\блуе производной потока диффеоморфизмов}. \определение Пусть $\phi_t:\; M\times \R \arrow M$ -- поток диффеоморфизмов, а $v:=\frac {d\phi_t}{dt}\restrict{t=0}$ соответствующее векторное поле. {\бф \блуе Производная Ли вдоль $v$}, есть отображение $\Lie_v:\; \Lambda^i M \arrow \Lambda^i M$, полученное как $\Lie_v (\eta) := \frac {\phi^*_t\eta}{dt}\restrict{t=0}$. \теорема {\бф \блуе (Формула Картана)}\\ \[ \Lie_v (\eta) = \{d, i_v\}\eta,\] где $\{\cdot,\cdot\}$ обозначает антикоммутатор, а $i_v$ -- операцию подстановки $v$ в форму. {\бф \греен Доказательство см. ниже.} \newpage {\бф \блуе Нечетные дифференцирования} \определение {\бф \блуе Нечетное дифференцирование} алгебры де Рама есть нечетный (меняющий градуировку на нечетное число) оператор $q:\; \Lambda^*(M) \arrow \Lambda^*(M)$, который удовлетворяет {\бф \блуе (супер-)правилу Лейбница:} $q(a\wedge b) = q(a)\wedge b + (-1)^{\tilde a} a \wedge q(b)$. \пример {\бф \пурпле Дифференциал де Рама} является нечетным дифференцированием. \пример {\бф \пурпле Оператор подстановки векторного поля} является нечетным дифференцированием. \утверждение Антикоммутатор двух нечетных дифференцирований есть дифференцирование {\бф \ред (проверьте это).} \утверждение Пусть $d\in \End(\Lambda^* M)$ -- нечетный оператор, который удовлетворяет $d^2=0$, а $L\in \End(\Lambda^* M)$ другой нечетный оператор. Тогда $d$ коммутирует с $[d, L]$ {\бф \ред (проверьте это).} \newpage {\бф \блуе Формула Картана (доказательство)} \теорема {\бф \блуе (Формула Картана)} \[ \Lie_v (\eta) = \{d, i_v\}\eta,\] где $\{\cdot,\cdot\}$ обозначает антикоммутатор $\{a,b\}=ab+ba$, а $i_v$ -- операцию подстановки $v$ в форму. \дшаг Проверяем, что $\Lie_v$ и $\{d, i_v\}$ -- дифференцирования алгебры де Рама, коммутирующие с $d$. {\бф \греен Шаг 2:} Проверяем, что они совпадают на функциях. {\бф \греен Шаг 3:} Проверяем, что {\бф \пурпле дифференцирования $\Lambda^* M$, которые совпадают на функциях и коммутируют с $d$, равны.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Дифференциал де Рама и коммутаторы} \замечание Из формулы Картана выводится такое утверждение (оно {\бф \блуе тоже называется формула Картана}). \теорема Пусть $\eta\in \Lambda^1M$. {\бф \ред Тогда \[ d\eta(X,Y)=\Lie_X(\eta(Y))-\Lie_Y(\eta(X))-\eta([X,Y])\ \ \ (*) \]} для любых векторных полей $X,Y\in TM$. \дшаг Тождество Лейбница дает\\ $\Lie_X(\eta(Y))=\Lie_X(\eta)(Y)+\eta(\Lie_XY)$. {\бф \греен Шаг 2:} По формуле Картана, $\Lie_X(\eta)(Y)=d\eta(X,Y)+d(\eta\cntrct Y)(X)$; производная Ли векторного поля - это коммутатор, $\Lie_XY=[X,Y]$. Поэтому шаг 1 дает $\Lie_X(\eta(Y))=d\eta(X,Y)+\eta([X,Y])+d(\eta\cntrct Y)(X)$, или \[ d\eta(X,Y)=\Lie_X(\eta(Y))-\eta([X,Y])-d(\eta\cntrct Y)(X) \ \ (**) \] {\бф \греен Шаг 3:} Наконец, $d(\eta\cntrct Y)(X)=\Lie_X(\eta(Y))$ (производная Ли от функции есть ее дифференциал). Подставляя в (**), получаем (*). \ендпрооф {\бф \греен СЛЕДСТВИЕ 1:} {\бф \пурпле Пусть $X,Y\in TM$ коммутируют. Тогда\\ $d\eta(X,Y)=d\langle \eta,Y\rangle \cntrct X-d\langle \eta,X\rangle \cntrct Y$.} \невпаге {\бф \блуе Кручение} \определение Пусть $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1M$, \[ \Lambda^1 \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\] {\бф\блуе Кручение $\nabla$} задается формулой $T_\nabla(\eta)=d(\eta)-\Alt \circ \nabla(\eta)$, где $\Alt:\; \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M$ - внешнее умножение. Кручение есть отображение $T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$. \замечание \begin{align*} T_\nabla(f\eta) = & d(f\eta)-\Alt(f\nabla\eta + df\otimes \eta) \\ = &f\bigg [d\eta-\Alt(\nabla\eta)\bigg] + df\wedge \eta - df\wedge \eta= f T_\nabla(\eta). \end{align*} {\бф \пурпле Значит, $T_\nabla$ линейно.} \невпаге {\бф \блуе Кручение и коммутаторы} \замечание {\бф \пурпле Каждая связность на $\Lambda^1M$ дает связность на $TM=\Lambda^1M^*$ и наоборот:} $d\langle x, \eta\rangle=\langle \nabla(x), \eta\rangle+ \langle x, \nabla(\eta)\rangle$. {\бф \пурпле Эти связности обозначаются одной и той же буквой} и {\бф \ред про них говорят, как про одну и ту же сущность.} {\бф \греен ТЕОРЕМА 1:} Пусть $X,Y\in TM$ -- векторные поля, $\eta\in \Lambda^1 M$ -- 1-форма, а $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1 M$. {\бф \ред Тогда \[ T_\nabla(X,Y)(\eta)=\langle T^*_\nabla(X,Y), \eta\rangle, \]} \!\!где $T^*_\nabla(X,Y)$ -- векторное поле, которое определяется по формуле \\ $T^*_\nabla(X,Y):=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]$. \замечание $T^*_\nabla(X,fY)=\nabla_X (fY)-f\nabla_YX-[X,fY]=fT^*_\nabla(X,Y)+ \Lie_X (f)Y- [X,fY]+f[X,Y]=fT^*_\nabla(X,Y)$. {\бф \пурпле Поэтому $T^*_\nabla$ -- тоже линейная операция.} \замечание Тензор $T^*_\nabla$ лежит в $\Lambda^2M\otimes TM$, а $T_\nabla$ в $\Hom(\Lambda^1M, \Lambda^2 M)=\Lambda^2M\otimes TM$; {\бф \ред Теорема 1 утверждает, что эти тензоры равны.} \невпаге {\бф \блуе Кручение и коммутаторы (продолжение)} {\бф \греен ТЕОРЕМА 1:} Пусть $X,Y\in TM$ -- векторные поля, $\eta\in \Lambda^1 M$ -- 1-форма, а $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1 M$. {\бф \ред Тогда \[ T_\nabla(X,Y)(\eta)=\langle T^*_\nabla(X,Y), \eta\rangle,\ \ \ \ (***) \]} \!\!где $T^*_\nabla(X,Y)$ -- векторное поле, которое определяется по формуле \\ $T^*_\nabla(X,Y):=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]$. \дшаг Поскольку $T_\nabla$ и $T^*_\nabla$ -- тензоры, достаточно проверять (***) для какого-то набора векторных полей $X_i,Y_i$, порождающих $TM$. {\бф \пурпле Поэтому можно считать, что $X,Y$ коммутируют, и $T_\nabla^*(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX$.} {\бф \греен Шаг 2:} По определению, $T_\nabla(X,Y)(\eta)=d\eta(X,Y)-\langle \nabla_X\eta, Y\rangle+ \langle \nabla_Y\eta, X\rangle$. {\бф \греен Шаг 3:} $\langle \nabla_X\eta, Y\rangle=d\langle \eta, Y\rangle\cntrct X-\langle \eta, \nabla_X Y\rangle$, то есть \begin{align*} T_\nabla(X,Y)(\eta)&=\\=&-d\langle \eta, Y\rangle\cntrct X+d\langle \eta, X\rangle\cntrct Y+d\eta(X,Y)\\ -&\langle \eta, \nabla_X Y\rangle+ \langle \eta, \nabla_Y X\rangle \end{align*} {\бф \пурпле Вторая строчка равна нулю в силу формулы Картана} (Замечание 1), что дает $T_\nabla(X,Y)(\eta)=-\langle \eta, \nabla_X Y\rangle+ \langle \eta, \nabla_Y X\rangle=\langle \eta,T^*_\nabla(X,Y)\rangle$. \endproof \end{document}