

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Tot{\operatorname{Tot}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}

\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\raisebox{0.1em}{\text{$\lrcorner$}}}

 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Дифф. геометрия и векторные расслоения\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Векторные расслоения, лекция 3:\\[2mm] кручение}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 23 сентября, 2013\\ матфак ВШЭ и НМУ}\\

{\bf \large \red 30 сентября лекции не будет! \\
Будет прием задач.}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


{\бф \блуе Векторные расслоения (повторение)}

\определение
{\бф\блуе Векторное расслоение} на гладком многообразии $M$
 есть локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей.

\замечание
Как и многообразие, {\бф \пурпле векторное расслоение можно задать 
в терминах карт, атласов и функций перехода.}

\определение
Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, а $\{U_i\}$ его покрытие.
{\бф\блуе 1-коцикл} со значениями в $G$ есть набор функций
$U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow G$, удовлетворяющих
следующим условиям: 1. $\phi_{ij}=\phi_{ji}^{-1}$ 2.
$\phi_{ij}\phi_{jk}=\phi_{ik}$. 


\утверждение
Пусть $B$ -- $n$-мерное векторное расслоение над $M$,
а $\{U_i\}$ -- покрытие $M$, такое, что $B\restrict {U_i}$
-- тривиальный $C^\infty$-модуль. Зафиксируем
тривиализации $B\restrict {U_i}$ и рассмотрим базисы в
$B\restrict {U_i}$ и $B\restrict {U_j}$, определенные
этими тривиализациями. Пусть 
$U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow GL(n)$ --
функции перехода от одного базиса к другому.
{\бф \ред Тогда $\phi_{ij}$ задают 1-коцикл} со значениями в $GL(n)$.

\newpage


{\bf \blue Векторные расслоения, коциклы и кограницы (повторение)}

\замечание
Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, $\{U_i\}$ его
покрытие,
a $U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow G$ -- 1-коцикл.
Рассмотрим набор отображений $\psi_i :\; U_i \arrow G$,
и пусть $\phi_{ij}':\; U_i\cap U_j\arrow G$ --
отображение, заданное формулой  
$\phi_{ij}'=\psi_i^{-1} \phi_{ij}\psi_j$.
{\bf \purple Легко видеть, что $\{\phi_{ij}'\}$ -- тоже коцикл.}
Коциклы $\{\phi_{ij}\}$ и $\{\phi_{ij}'\}$
называются {\бф \блуе кограничными}.


\определение
Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, $\{U_i\}$ его
покрытие, а ${\goth G}$ -- группа всех отображений
$\coprod U_i \arrow G$. 
{\бф \пурпле Группа ${\goth G}$ действует на множестве
1-коциклов по формуле $\phi_{ij}'=\psi_i^{-1} \phi_{ij}\psi_j$;}
соответствующее фактормножество есть множество коциклов
с точностью до кограниц. Оно называется
{\бф \блуе группа когомологий Чеха с коэффициентами
в $G$, связанными с покрытием $\{U_i\}$}, 
и обозначается $H^1(M, \{U_i\}, G)$


\утверждение
Пусть $M$ -- многообразие, $\{U_i\}$ -- его покрытие, 
а ${\goth S}$ - множество классов изоморфизма $n$-мерных расслоений,
которые тривиальны на всех $U_i$. {\бф \ред Множество ${\goth S}$ 
естественно отождествляется с $H^1(M, \{U_i\}, GL(n))$.}

\теорема 
{\бф \ред Все векторные расслоения на $\R$ тривиальны.}
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Тотальное пространство расслоения (повторение)}

\утверждение
Определим топологию на множестве всех точек
всех слоев многообразия ${\cal B}$ таким образом, что
в каждой карте $U$, где ${\cal B}$ тривиально, 
биекция из множества $\{(x\in U, b\in {\cal B}\restrict x\}$
всех слоев в $U\times \R^n$ -- гомеоморфизм.
{\бф \ред Полученное топологическое пространство $\Tot({\cal B})$ 
является многообразием, локально тривиально расслоенным над
$M$ со слоем $\R^n$}. \ендпрооф

\определение
$\Tot({\cal B})$ называется {\бф \блуе тотальным пространством 
расслоения}.

\определение
Пусть $M \stackrel \phi \arrow N$  -- локально тривиальное
расслоение. {\бф \блуе Сечение} $\phi$ есть подмногообразие
$S\subset M$ такое, что ограничение $\phi \restrict S$  
задает диффеоморфизм $S$ на $N$.

\утверждение
Для каждого открытого множества $U\subset M$, рассмотрим
пространство сечений расслоения $\Tot({\cal B}\restrict U)$.
Легко видеть, что это пространство естественно отождествляется
с ${\cal B}(U)$. {\бф \ред Это позволяет восстановить векторное
расслоение (т. е. соответствующий пучок $C^\infty M$-модулей) 
из пространства $\Tot({\cal B})$}, снабженного дополнительной 
структурой сложения сечений и умножения сечения на функцию.


\newpage

{\бф \блуе Связность на расслоении (повторение)}


\замечание
{\бф \пурпле Пространство сечений расслоения $B$ на гладком
многообразии обозначается $B$.}

\определение
{\бф \блуе Связность} на векторном расслоении $B$
есть отображение $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$,
удовлетворяющее $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$
для любых  $b\in B$, $f\in C^\infty M$.

\замечание
Если $X\in TM$ -- векторное поле, $b\in B$, обозначим за 
{\бф \пурпле $\nabla_X b$ сечение $B$, полученное 
как $\langle\nabla b, X\rangle$.} Оператор $\nabla_X$
удовлетворяет правилу Лейбница: $\nabla_X(fb) = f\nabla_X
b + \Lie_X f b$, где $\Lie_X$ -- производная вдоль $X$.
Оператор $\nabla_X$ называется {\бф \блуе оператором
ковариантной производной} по $X$.

\замечание
Производная Ли $\Lie_X:\; \Omega^i M \arrow \Omega^i M$ тоже
удовлетворяет правилу Лейбница, но не задает связности, ибо
{\бф \ред не линейна по $X$}:
\[
\Lie_{fX}\eta=(d\eta)\cntrct fX + d(\eta\cntrct fX)=
f \Lie_X\eta+ (-1)^{\tilde\eta}(\eta\wedge df)\cntrct X.
\]

\newpage

{\бф \блуе Связность на тривиальном расслоении (повторение)}

\определение
Пусть $B$ -- тривиальное расслоение на $M$, свободно
порожденное $a_1, ..., a_n$: $B =\bigoplus C^\infty M
\cdot a_i$. Tогда $a_1, ..., a_n$ -- называется 
{\бф \блуе базис сечений} или {\бф \блуе тривиализация} $B$.
Каждое сечение $B$ однозначно задается в виде
$b=\sum_{i=1}^n f_i a_i$, где $f_i\in C^\infty M$.

\замечание
На тривиальном расслоении над $M$ связность записывается в виде
$\nabla(\sum_i f_i a_i)=\sum_i (f_i \nabla a_i + a_i \otimes
df_i)$. Пусть $\nabla a_i= \sum_j g_{ij} a_j$.
Если $M=\R$, $t$ -- координата на $\R$, это дает
$\nabla(\sum_i f_i a_i)= \sum_i (f_i \sum_j g_{ij} a_j
+\frac{df_i}{dt}a_i)$. 

\замечание
На тривиальном расслоении $B$ связность записывается так:
$\nabla(x)=A(x)+dx$, где $d$ -- дифференциал 
(примененный почленно к каждому коэффициенту $x$), 
а $A$ -- 1-форма с коэффициентами в $\End B$.

\замечание
В этих обозначениях $\nabla(\sum_i f_i a_i)=0$
равносильно
\[
\frac{df_i}{dt}=- \sum_j f_j g_{ji}, i= 1, ..., n. 
\]
{\бф \пурпле Это обыкновенное дифференциальное уравнение
первого порядка!}


\newpage

{\бф \блуе Параллельный перенос вдоль связности (повторение)}

\определение Пусть $B$ -- расслоение со связностью. 
Сечение $B$, которое удовлетворяет
$\nabla b=0$, называется {\бф\блуе параллельным}.

\утверждение
Пусть $B$ -- расслоение со связностью над $\R$. Тогда для
каждой $x\in \R$, $b_x \in B\restrict x$, {\бф \ред существует и 
единственно сечение $b\in B$ такое, что $\nabla b=0$,
$b\restrict x= b_x$.}

\дшаг
{\бф \пурпле Расслоение $B$ тривиально} (все расслоения на $\R$
тривиальны).

{\бф\греен Шаг 2:} {\бф \пурпле Решение уравнения $\sum_i (f_i \nabla a_i
+\frac{df_i}{dt} a_i)=0$ всегда существует и однозначно
задается начальным условием $b\restrict x= b_x$} (теорема
о существовании и единственности решений ОДЕ).
\ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Группа голономии (повторение)}


\определение
Пусть $\gamma:\; [0, 1] \arrow M$ -- гладкий путь на многообразии
$M$, соединяющий $x$ и $y$ а $(B, \nabla)$ -- расслоение со связностью.
Рассмотрим $b_x \in B_x$, ограничим $(B, \nabla)$ на $\gamma([0,1])$,
и решим уравнение $\nabla(b)=0$, где $b\in B\restrict{\gamma([0,1])}$
с начальным условием $b\restrict x= b_x$. Этот процесс называется
{\бф\блуе параллельным переносом вектора $b_x$ вдоль связности},
а $b_y:= b\restrict y$ называется {\бф\блуе вектором,
полученным в результате параллельного переноса $b_x$ вдоль
связности по пути $\gamma:\; [0, 1] \arrow M$}.

\определение
{\бф\блуе Группа голономии связности} есть группа эндоморфизмов
слоя $B_x$, порожденная всеми параллельными переносами
вдоль путей из $x$ в $x$, где $x\in M$.

\упражнение
{\бф \пурпле 
Докажите, что группа голономии не зависит от выбора $x\in M$.}

\newpage

{\бф \блуе Алгебра де Рама (повторение)}


\определение
Пусть $M$ -- гладкое многообразие.
Обозначим за $\Lambda^i M$ {\бф \блуе пространство дифференциальных
$i$-форм на $M$,} то есть антисимметричных $i$-форм на касательном
расслоении $TM$. Определим умножение
$\Lambda^i M\times \Lambda^j M \arrow \Lambda^{i+j} M$
как $\alpha \wedge \beta \arrow \Pi (\alpha \otimes \beta)$,
где $\alpha \otimes \beta$ -- сечение 
$\Lambda^i M\otimes \Lambda^j M \subset \bigotimes_{i+j}
T^*M$, полученное перемножением $\alpha$ и $\beta$,
a $\Pi$ -- кососимметризация тензора.

\утверждение
{\бф \пурпле Это умножение ассоциативно, и
удовлетворяет $\alpha \wedge \beta = (-1)^{ij} \beta\wedge \alpha$.}


\определение
Алгебра $\Lambda^* M := \oplus_i\Lambda^i M$ 
с определенной выше алгебраической структурой
называется {\бф\блуе алгеброй де Рама} многообразия.


\замечание Пусть $\phi:\; M_1 \arrow M_2$ -- гладкое отображение
многообразий. Тогда задано отображение 
$\phi^*:\; \Lambda^* M_2 \arrow \Lambda^* M_1$, переводящее
дифференциальную форму $\eta \in \Lambda^kM_2$ в
форму $(v_1, ..., v_k)\in TM_1 \arrow \eta(D_\phi v_1, ..., D_\phi(v_k))$.


\невпаге

{\bf \блуе  Дифференциал де Рама (повторение)}


\определение
{\бф\блуе Дифференциал де Рама} $d:\; \Lambda^*M \arrow \Lambda^{*+1}M$
есть $\R$-линейное отображение, которое удовлетворяет следующим
условиям. \\
\hphantom{MM} (i) Для любого $f \in \Lambda^0=C^\infty M$,
$df$ есть элемент $\Lambda^1 M$, 
который равен дифференциалу $df\in \Omega^1 M$. \\
\hphantom{MM}
(ii) {\бф \блуе (Правило Лейбница)}
$d(a\wedge b) = da \wedge b + (-1)^j a\wedge
db$, для любых $a\in \Lambda^i M, b \in \Lambda^j M$. \\
\hphantom{MM}
(iii) $d^2=0$.

\утверждение \\
{\бф \ред Дифференциал де Рама однозначно задается
этими условиями.}

\определение
Дифференциальная форма называется {\бф \блуе замкнутой},
если она лежит в ядре $d$, и {\бф \блуе точной}, если
она лежит в образе $d$. Пространство 
$H^i(M):=\frac{\ker d}{im d}\restrict{\Lambda^i M}$
называется {\бф\блуе $i$-й группой когомологий де Рама}
многообразия $M$.


\невпаге

\vfil

\begin{center} {\bf \large \red 30 сентября лекции не будет! \\
Будет прием задач.}
\end{center} 

\vfil

\newpage

{\бф \блуе Производная Ли}

\определение
{\бф \блуе Поток диффеоморфизмов} многообразия есть гладкое
отображение $\phi_t:\; M\times \R \arrow M$, которое является
диффеоморфизмом для любого $t\in \R$. Аналогично определяется
{\бф\блуе поток симплектоморфизмов}.

\определение
Предположим, что $\phi_0=\Id_M$. Тогда
производная $\frac {d\phi_t}{dt}\restrict{t=0}$ есть
векторное поле, которое называется {\бф\блуе  производной
потока диффеоморфизмов}. 


\определение
Пусть $\phi_t:\; M\times \R \arrow M$ -- поток
диффеоморфизмов, а $v:=\frac {d\phi_t}{dt}\restrict{t=0}$
соответствующее векторное поле.
{\бф \блуе Производная Ли вдоль $v$},
есть отображение $\Lie_v:\; \Lambda^i M \arrow \Lambda^i M$,
полученное как $\Lie_v (\eta) := \frac {\phi^*_t\eta}{dt}\restrict{t=0}$. 

\теорема {\бф \блуе (Формула Картана)}\\
\[ \Lie_v (\eta) = \{d, i_v\}\eta,\] где
$\{\cdot,\cdot\}$ обозначает антикоммутатор,
а $i_v$ -- операцию подстановки $v$ в форму.

{\бф \греен Доказательство см. ниже.}

\newpage

{\бф \блуе Нечетные дифференцирования}

\определение
{\бф \блуе Нечетное дифференцирование}
алгебры де Рама есть нечетный (меняющий градуировку
на нечетное число) оператор $q:\; \Lambda^*(M) \arrow \Lambda^*(M)$,
который удовлетворяет {\бф \блуе (супер-)правилу Лейбница:}
$q(a\wedge b) = q(a)\wedge b + (-1)^{\tilde a} a \wedge q(b)$.

\пример
{\бф \пурпле 
Дифференциал де Рама} является нечетным дифференцированием.

\пример 
{\бф \пурпле Оператор 
подстановки векторного поля} является нечетным дифференцированием.

\утверждение
Антикоммутатор двух нечетных дифференцирований
есть дифференцирование {\бф \ред (проверьте это).}

\утверждение
Пусть $d\in \End(\Lambda^* M)$ -- нечетный оператор,
который удовлетворяет $d^2=0$, а $L\in \End(\Lambda^* M)$
другой нечетный оператор. Тогда $d$ коммутирует
с $[d, L]$ {\бф \ред (проверьте это).}


\newpage

{\бф \блуе Формула Картана (доказательство)}

\теорема {\бф \блуе (Формула Картана)}
\[ \Lie_v (\eta) = \{d, i_v\}\eta,\] где
$\{\cdot,\cdot\}$ обозначает антикоммутатор $\{a,b\}=ab+ba$,
а $i_v$ -- операцию подстановки $v$ в форму.

\дшаг
Проверяем, что $\Lie_v$ и $\{d, i_v\}$ -- дифференцирования
алгебры де Рама, коммутирующие с $d$.

{\бф \греен Шаг 2:} Проверяем, что они совпадают на функциях.

{\бф \греен Шаг 3:} Проверяем, что {\бф \пурпле дифференцирования $\Lambda^* M$,
которые совпадают на функциях и коммутируют с $d$, равны.}
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Дифференциал де Рама и коммутаторы}

\замечание
Из формулы Картана выводится такое утверждение
(оно {\бф \блуе тоже называется формула Картана}). 

\теорема
Пусть $\eta\in \Lambda^1M$.
{\бф \ред Тогда 
\[
d\eta(X,Y)=\Lie_X(\eta(Y))-\Lie_Y(\eta(X))-\eta([X,Y])\ \ \ (*) 
\]}
для любых векторных полей $X,Y\in TM$. 

\дшаг
Тождество Лейбница дает\\
$\Lie_X(\eta(Y))=\Lie_X(\eta)(Y)+\eta(\Lie_XY)$.

{\бф \греен Шаг 2:}
По формуле Картана, $\Lie_X(\eta)(Y)=d\eta(X,Y)+d(\eta\cntrct Y)(X)$;
производная Ли векторного поля - это коммутатор, $\Lie_XY=[X,Y]$.
Поэтому шаг 1 дает 
$\Lie_X(\eta(Y))=d\eta(X,Y)+\eta([X,Y])+d(\eta\cntrct Y)(X)$, 
или
\[
d\eta(X,Y)=\Lie_X(\eta(Y))-\eta([X,Y])-d(\eta\cntrct Y)(X) \ \ (**)
\]

{\бф \греен Шаг 3:} Наконец, $d(\eta\cntrct Y)(X)=\Lie_X(\eta(Y))$
(производная Ли от функции есть ее дифференциал). Подставляя в (**),
получаем (*). \ендпрооф

{\бф \греен СЛЕДСТВИЕ 1:}
{\бф \пурпле Пусть $X,Y\in TM$ коммутируют. Тогда\\
$d\eta(X,Y)=d\langle \eta,Y\rangle \cntrct X-d\langle \eta,X\rangle \cntrct Y$.}

\невпаге

{\бф \блуе Кручение}

\определение 
Пусть $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1M$, 
\[ \Lambda^1 \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\]
 {\бф\блуе Кручение $\nabla$} 
задается формулой $T_\nabla(\eta)=d(\eta)-\Alt \circ \nabla(\eta)$,
где $\Alt:\;  \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M$
- внешнее умножение. Кручение есть отображение
$T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$.

\замечание
\begin{align*}
T_\nabla(f\eta) = & d(f\eta)-\Alt(f\nabla\eta + df\otimes \eta) \\
= &f\bigg [d\eta-\Alt(\nabla\eta)\bigg] + df\wedge \eta - df\wedge \eta=
f T_\nabla(\eta).
\end{align*}
{\бф \пурпле Значит, $T_\nabla$ линейно.}


\невпаге

{\бф \блуе Кручение и коммутаторы}


\замечание
{\бф \пурпле Каждая связность на $\Lambda^1M$
дает связность на $TM=\Lambda^1M^*$ и наоборот:}
$d\langle x, \eta\rangle=\langle \nabla(x), \eta\rangle+
\langle x, \nabla(\eta)\rangle$. {\бф \пурпле Эти связности
обозначаются одной и той же буквой} и {\бф \ред про них говорят, как 
про одну и ту же сущность.}

{\бф \греен ТЕОРЕМА 1:}
Пусть $X,Y\in TM$ -- векторные поля, 
$\eta\in \Lambda^1 M$ -- 1-форма, а $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1 M$.
{\бф \ред Тогда 
\[ T_\nabla(X,Y)(\eta)=\langle
T^*_\nabla(X,Y), \eta\rangle,
\]}
\!\!где $T^*_\nabla(X,Y)$ -- векторное поле,
которое определяется по формуле \\
$T^*_\nabla(X,Y):=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]$.

\замечание
$T^*_\nabla(X,fY)=\nabla_X (fY)-f\nabla_YX-[X,fY]=fT^*_\nabla(X,Y)+
\Lie_X (f)Y- [X,fY]+f[X,Y]=fT^*_\nabla(X,Y)$. {\бф \пурпле Поэтому $T^*_\nabla$
-- тоже линейная операция.} 

\замечание
Тензор $T^*_\nabla$ лежит в $\Lambda^2M\otimes TM$, а 
$T_\nabla$ в $\Hom(\Lambda^1M, \Lambda^2 M)=\Lambda^2M\otimes TM$;
{\бф \ред Теорема 1 утверждает, что эти тензоры равны.}


\невпаге

{\бф \блуе Кручение и коммутаторы (продолжение)}


{\бф \греен ТЕОРЕМА 1:}
Пусть $X,Y\in TM$ -- векторные поля, 
$\eta\in \Lambda^1 M$ -- 1-форма, а $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1 M$.
{\бф \ред Тогда 
\[ T_\nabla(X,Y)(\eta)=\langle
T^*_\nabla(X,Y), \eta\rangle,\ \ \ \ (***)
\]}
\!\!где $T^*_\nabla(X,Y)$ -- векторное поле,
которое определяется по формуле \\
$T^*_\nabla(X,Y):=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]$.

\дшаг Поскольку $T_\nabla$ и $T^*_\nabla$ -- тензоры, достаточно
проверять (***) для какого-то набора векторных полей $X_i,Y_i$,
порождающих $TM$. {\бф \пурпле Поэтому можно считать, что $X,Y$ коммутируют,
и $T_\nabla^*(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX$.}

{\бф \греен Шаг 2:} По определению,
$T_\nabla(X,Y)(\eta)=d\eta(X,Y)-\langle \nabla_X\eta, Y\rangle+
\langle \nabla_Y\eta, X\rangle$. 

{\бф \греен Шаг 3:}
$\langle \nabla_X\eta, Y\rangle=d\langle \eta, Y\rangle\cntrct X-\langle \eta, \nabla_X Y\rangle$, то есть
\begin{align*}
T_\nabla(X,Y)(\eta)&=\\=&-d\langle \eta, Y\rangle\cntrct X+d\langle \eta, X\rangle\cntrct Y+d\eta(X,Y)\\
-&\langle \eta, \nabla_X Y\rangle+ \langle \eta, \nabla_Y X\rangle
\end{align*}
{\бф \пурпле 
Вторая строчка равна нулю в силу формулы Картана} (Замечание 1), что дает
$T_\nabla(X,Y)(\eta)=-\langle \eta, \nabla_X Y\rangle+ \langle \eta, \nabla_Y X\rangle=\langle \eta,T^*_\nabla(X,Y)\rangle$. \endproof

\end{document}
