\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Tot{\operatorname{Tot}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Дифф. геометрия и векторные расслоения\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Векторные расслоения, лекция 2:\\[2mm] связности} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 16 сентября, 2013\\ матфак ВШЭ и НМУ} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage {\бф \блуе Векторные расслоения (повторение)} \определение {\бф\блуе Векторное расслоение} на гладком многообразии $M$ есть локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей. \замечание Как и многообразие, {\бф \пурпле векторное расслоение можно задать в терминах карт, атласов и функций перехода.} \определение Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, а $\{U_i\}$ его покрытие. {\бф\блуе 1-коцикл} со значениями в $G$ есть набор функций $U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow G$, удовлетворяющих следующим условиям: 1. $\phi_{ij}=\phi_{ji}^{-1}$ 2. $\phi_{ij}\phi_{jk}=\phi_{ik}$. \утверждение Пусть $B$ -- $n$-мерное векторное расслоение над $M$, а $\{U_i\}$ -- покрытие $M$, такое, что $B\restrict {U_i}$ -- тривиальный $C^\infty$-модуль. Зафиксируем тривиализации $B\restrict {U_i}$ и рассмотрим базисы в $B\restrict {U_i}$ и $B\restrict {U_j}$, определенные этими тривиализациями. Пусть $U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow GL(n)$ -- функции перехода от одного базиса к другому. {\бф \ред Тогда $\phi_{ij}$ задают 1-коцикл} со значениями в $GL(n)$. \newpage {\bf \blue Векторные расслоения, коциклы и кограницы (повторение)} \замечание Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, $\{U_i\}$ его покрытие, a $U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow G$ -- 1-коцикл. Рассмотрим набор отображений $\psi_i :\; U_i \arrow G$, и пусть $\phi_{ij}':\; U_i\cap U_j\arrow G$ -- отображение, заданное формулой $\phi_{ij}'=\psi_i^{-1} \phi_{ij}\psi_j$. {\bf \purple Легко видеть, что $\{\phi_{ij}'\}$ -- тоже коцикл.} Коциклы $\{\phi_{ij}\}$ и $\{\phi_{ij}'\}$ называются {\бф \блуе кограничными}. \определение Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, $\{U_i\}$ его покрытие, а ${\goth G}$ -- группа всех отображений $\coprod U_i \arrow G$. {\бф \пурпле Группа ${\goth G}$ действует на множестве 1-коциклов по формуле $\phi_{ij}'=\psi_i^{-1} \phi_{ij}\psi_j$;} соответствующее фактормножество есть множество коциклов с точностью до кограниц. Оно называется {\бф \блуе группа когомологий Чеха с коэффициентами в $G$, связанными с покрытием $\{U_i\}$}, и обозначается $H^1(M, \{U_i\}, G)$ \утверждение Пусть $M$ -- многообразие, $\{U_i\}$ -- его покрытие, а ${\goth S}$ - множество классов изоморфизма $n$-мерных расслоений, которые тривиальны на всех $U_i$. {\бф \ред Множество ${\goth S}$ естественно отождествляется с $H^1(M, \{U_i\}, GL(n))$.} \newpage {\бф \блуе Расслоения на $M=\R$} \теорема {\бф \ред Все векторные расслоения на $\R$ тривиальны.} \дшаг Пусть $B$ -- расслоение на $M=\R$. Возьмем покрытие $\{U_i\}$ такое, что $B\restrict{U_i}$ тривиально. Перейдя к измельчению и выкинув лишние $U_i$, можно считать, что {\бф \пурпле все $U_i$ связны, и каждый $U_i$ пересекается только с $U_{i-1}$ и $U_{i+1}$.} {\бф \греен Шаг 2:} Функции перехода $\phi_{ij}:\; U_i\cap U_j\arrow GL(n)$ нетривиальны только для $|i-j|=1$, потому что для всех других $i,j$ пересечение $U_i\cap U_j$ пусто. Возьмем $\psi_i=\Id$ на $U_i\cap U_{i-1}$ и $\psi_i=\phi_{i,i+1}$ на $U_i\cal U_{i+1}$, и продолжим до гладкой на все $U_i$. Тогда $\phi_{ij}= \psi_i\psi_j^{-1}$ для всех $i,j$, то есть {\бф \пурпле соответствующий коцикл является кограницей.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Расслоенные пространства} \определение {\бф \блуе Тривиальное гладкое расслоение} есть гладкое отображение вида $N \times U \arrow U$. \определение Сюрьективный морфизм многообразий $M \stackrel \phi \arrow N$ называется {\бф \блуе локально тривиальным гладким расслоением}, если у каждой точки $N$ найдется такая окрестность $U$, что проекция $\phi^{-1}(U)\arrow U$ является тривиальным гладким расслоением. \определение Пусть ${\cal B}$ -- $n$-мерное векторное расслоение над $M$, $x\in M$ -- точка, а ${\goth m}_x\subset C^\infty M$ -- максимальный идеал $x$ в кольце ростков $C^\infty M$. Определим {\бф\блуе слой ${\cal B}$ в $x$} как фактор ${\cal B}(M)/{\goth m}_x{\cal B}(M)$. Слой векторного расслоения обозначается ${\cal B}\restrict x$ \замечание Слой $n$-мерного расслоения есть $n$-мерное векторное пространство. \newpage {\бф \блуе Тотальное пространство расслоения} \утверждение Пусть ${\cal B}= C^\infty M^n$ -- тривиальное $n$-мерное векторное расслоение, a $b\in {\cal B}\restrict x$ -- точка слоя. Рассмотрим отображение множества всех слоев ${\cal B}$ в $M \times \R^n$, переводящее $(x, \phi=(f_1, ..., f_n))$ в $(x, f_1(x), ..., f_n(x))$. {\бф \пурпле Это отображение биективно.} \ендпрооф \утверждение Определим топологию на множестве всех точек всех слоев многообразия ${\cal B}$ таким образом, что в каждой карте $U$, где ${\cal B}$ тривиально, биекция из множества $\{(x\in U, b\in {\cal B}\restrict x\}$ всех слоев в $U\times \R^n$ -- гомеоморфизм. {\бф \ред Полученное топологическое пространство $\Tot({\cal B})$ является многообразием, локально тривиально расслоенным над $M$ со слоем $\R^n$}. \ендпрооф \определение $\Tot({\cal B})$ называется {\бф \блуе тотальным пространством расслоения}. \упражнение Убедитесь, что {\бф \пурпле атлас, построенный выше, задает на $\Tot({\cal B})$ гладкую структуру.} \newpage {\бф \блуе Пространство сечений} \определение Пусть $M \stackrel \phi \arrow N$ -- локально тривиальное расслоение. {\бф \блуе Сечение} $\phi$ есть подмногообразие $S\subset M$ такое, что ограничение $\phi \restrict S$ задает диффеоморфизм $S$ на $N$. \замечание Пусть ${\cal B}$ -- векторное расслоение на $M$, а $\Tot({\cal B})$ -- его тотальное пространство. Поскольку каждый слой ${\cal B}_x$ является векторным пространством, и эта структура гладко зависит от $x\in M$, {\бф \пурпле сечения проекции $\Tot({\cal B})\arrow M$ образуют векторное пространство.} Кроме того, {\бф \пурпле сечения можно умножать на функции $f\in C^\infty M$.} \утверждение Для каждого открытого множества $U\subset M$, рассмотрим пространство сечений расслоения $\Tot({\cal B}\restrict U)$. Легко видеть, что это пространство естественно отождествляется с ${\cal B}(U)$. {\бф \пурпле Это позволяет восстановить векторное расслоение (т. е. соответствующий пучок $C^\infty M$-модулей) из пространства $\Tot({\cal B})$}, снабженного дополнительной структурой сложения сечений и умножения сечения на функцию. \newpage {\бф \блуе Связность на расслоении} \замечание {\бф \пурпле Пространство сечений расслоения $B$ на гладком многообразии обозначается $B$.} \определение {\бф \блуе Связность} на векторном расслоении $B$ есть отображение $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$, удовлетворяющее $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$ для любых $b\in B$, $f\in C^\infty M$. \замечание Если $X\in TM$ -- векторное поле, $b\in B$, то {\бф \пурпле $\nabla_X b$ -- сечение $B$, полученное как $\langle\nabla b, X\rangle$.} Оператор $\nabla_X$ удовлетворяет правилу Лейбница: $\nabla_X(fb) = f\nabla_X b + \Lie_X f b$, где $\Lie_X$ -- производная вдоль $X$. \замечание {\бф \пурпле Связность на $B$ определяет связность на двойственном расслоении $B^*$, и наоборот,} по формуле \[ \langle \nabla_X(b), \xi\rangle+ \langle b, \nabla_X(\xi)\rangle = \Lie_X(\langle b, \xi\rangle). \] \замечание Для любого тензорного расслоения ${\cal B}_1:= B^*\otimes B^* \otimes ... \otimes B^* \otimes B\otimes B \otimes ... \otimes B$ {\bf \пурпле связность на $B$ определяет связность на ${\cal B}_1$} по {\бф \блуе формуле Лейбница:} \[ \nabla(b_1 \otimes b_2) = \nabla(b_1) \otimes b_2 + b_1 \otimes \nabla(b_2). \] \newpage {\бф \блуе Связность на тривиальном расслоении} \определение Пусть $B$ -- тривиальное расслоение на $M$, свободно порожденное $a_1, ..., a_n$: $B =\bigoplus C^\infty M \cdot a_i$. Tогда $a_1, ..., a_n$ -- называется {\бф \блуе базис сечений} или {\бф \блуе тривиализация} $B$. Каждое сечение $B$ однозначно задается в виде $b=\sum_{i=1}^n f_i a_i$, где $f_i\in C^\infty M$. \замечание На тривиальном расслоении над $M$ связность записывается в виде $\nabla_(\sum_i f_i a_i)=\sum_i (f_i \nabla a_i + a_i \otimes df_i)$. Пусть $\nabla a_i= \sum_j g_{ij} a_j$. Если $M=\R$, $t$ -- координата на $\R$, это дает $\nabla(\sum_i f_i a_i)= \sum_i (f_i \sum_j g_{ij} a_j +\frac{df_i}{dt}a_i)$. Поэтому $\nabla(\sum_i f_i a_i)=0$ равносильно \[ \frac{df_i}{dt}=- \sum_j f_j g_{ji}, i= 1, ..., n. \] {\бф \пурпле Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка!} \newpage {\бф \блуе Параллельный перенос вдоль связности} \определение Пусть $B$ -- расслоение со связностью. Сечение $B$, которое удовлетворяет $\nabla b=0$, называется {\бф\блуе параллельным}. \утверждение Пусть $B$ -- расслоение со связностью над $\R$. Тогда для каждой $x\in \R$, $b_x \in B\restrict x$, {\бф \ред существует и единственно сечение $b\in B$ такое, что $\nabla b=0$, $b\restrict x= b_x$.} \дшаг {\бф \пурпле Расслоение $B$ тривиально} (все расслоения на $\R$ тривиальны). {\бф\греен Шаг 2:} {\бф \пурпле Решение уравнения $\sum_i (f_i \nabla a_i +\frac{df_i}{dt} a_i)=0$ всегда существует и однозначно задается начальным условием $b\restrict x= b_x$} (теорема о существовании и единственности решений ОДЕ). \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Группа голономии} \определение Пусть $\gamma:\; [0, 1] \arrow M$ -- гладкий путь на многообразии $M$, соединяющий $x$ и $y$ а $(B, \nabla)$ -- расслоение со связностью. Рассмотрим $b_x \in B_x$, ограничим $(B, \nabla)$ на $\gamma([0,1])$, и решим уравнение $\nabla(b)=0$, где $b\in B\restrict{\gamma([0,1])}$ с начальным условием $b\restrict x= b_x$. Этот процесс называется {\бф\блуе параллельным переносом вектора $b_x$ вдоль связности}, а $b_y:= b\restrict y$ называется {\бф\блуе вектором, полученным в результате параллельного переноса $b_x$ вдоль связности по пути $\gamma:\; [0, 1] \arrow M$}. \определение {\бф\блуе Группа голономии связности} есть группа эндоморфизмов слоя $B_x$, порожденная всеми параллельными переносами вдоль путей из $x$ в $x$, где $x\in M$. \упражнение {\бф \пурпле Докажите, что группа голономии не зависит от выбора $x\in M$.} \newpage {\бф \блуе Кручение} \определение Пусть $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1M$, \[ \Lambda^1 \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\] {\бф\блуе Кручение $\nabla$} задается формулой $\Alt \circ \nabla - d$, где $\Alt:\; \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M$ - внешнее умножение. Кручение есть отображение $T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$. \замечание \begin{align*} T_\nabla(f\eta) = & \Alt(f\nabla\eta + df\otimes \eta) - d(f\eta)\\ = &f\bigg [\Alt(\nabla\eta) - d\eta\bigg] + df\wedge \eta - df\wedge \eta= f T_\nabla(\eta). \end{align*} {\бф \пурпле Значит, $T_\nabla$ линейно.} \определение Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется {\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$, и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она ортогональна и без кручения. \теорема ("основная теорема дифференциальной геометрии") Каждое риманово многообразие {\бф \ред допускает связность Леви-Чивита, и она единственна. } {\бф \греен Будет доказана на следующей лекции}. \end{document}