

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Tot{\operatorname{Tot}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Дифф. геометрия и векторные расслоения\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Векторные расслоения, лекция 2:\\[2mm] связности}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 16 сентября, 2013\\ матфак ВШЭ и НМУ}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


{\бф \блуе Векторные расслоения (повторение)}

\определение
{\бф\блуе Векторное расслоение} на гладком многообразии $M$
 есть локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей.

\замечание
Как и многообразие, {\бф \пурпле векторное расслоение можно задать 
в терминах карт, атласов и функций перехода.}

\определение
Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, а $\{U_i\}$ его покрытие.
{\бф\блуе 1-коцикл} со значениями в $G$ есть набор функций
$U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow G$, удовлетворяющих
следующим условиям: 1. $\phi_{ij}=\phi_{ji}^{-1}$ 2.
$\phi_{ij}\phi_{jk}=\phi_{ik}$. 


\утверждение
Пусть $B$ -- $n$-мерное векторное расслоение над $M$,
а $\{U_i\}$ -- покрытие $M$, такое, что $B\restrict {U_i}$
-- тривиальный $C^\infty$-модуль. Зафиксируем
тривиализации $B\restrict {U_i}$ и рассмотрим базисы в
$B\restrict {U_i}$ и $B\restrict {U_j}$, определенные
этими тривиализациями. Пусть 
$U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow GL(n)$ --
функции перехода от одного базиса к другому.
{\бф \ред Тогда $\phi_{ij}$ задают 1-коцикл} со значениями в $GL(n)$.

\newpage


{\bf \blue Векторные расслоения, коциклы и кограницы (повторение)}

\замечание
Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, $\{U_i\}$ его
покрытие,
a $U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow G$ -- 1-коцикл.
Рассмотрим набор отображений $\psi_i :\; U_i \arrow G$,
и пусть $\phi_{ij}':\; U_i\cap U_j\arrow G$ --
отображение, заданное формулой  
$\phi_{ij}'=\psi_i^{-1} \phi_{ij}\psi_j$.
{\bf \purple Легко видеть, что $\{\phi_{ij}'\}$ -- тоже коцикл.}
Коциклы $\{\phi_{ij}\}$ и $\{\phi_{ij}'\}$
называются {\бф \блуе кограничными}.


\определение
Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, $\{U_i\}$ его
покрытие, а ${\goth G}$ -- группа всех отображений
$\coprod U_i \arrow G$. 
{\бф \пурпле Группа ${\goth G}$ действует на множестве
1-коциклов по формуле $\phi_{ij}'=\psi_i^{-1} \phi_{ij}\psi_j$;}
соответствующее фактормножество есть множество коциклов
с точностью до кограниц. Оно называется
{\бф \блуе группа когомологий Чеха с коэффициентами
в $G$, связанными с покрытием $\{U_i\}$}, 
и обозначается $H^1(M, \{U_i\}, G)$


\утверждение
Пусть $M$ -- многообразие, $\{U_i\}$ -- его покрытие, 
а ${\goth S}$ - множество классов изоморфизма $n$-мерных расслоений,
которые тривиальны на всех $U_i$. {\бф \ред Множество ${\goth S}$ 
естественно отождествляется с $H^1(M, \{U_i\}, GL(n))$.}

\newpage

{\бф \блуе Расслоения на $M=\R$}

\теорема 
{\бф \ред Все векторные расслоения на $\R$ тривиальны.}

\дшаг Пусть $B$ -- расслоение на $M=\R$.
Возьмем покрытие $\{U_i\}$ такое, что $B\restrict{U_i}$
тривиально. Перейдя к измельчению и выкинув лишние $U_i$,
можно считать, что {\бф \пурпле все $U_i$ связны, и каждый $U_i$ пересекается
только с $U_{i-1}$ и $U_{i+1}$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Функции перехода $\phi_{ij}:\; U_i\cap
U_j\arrow GL(n)$ нетривиальны
только для $|i-j|=1$, потому что для всех других $i,j$ пересечение
$U_i\cap U_j$ пусто. Возьмем $\psi_i=\Id$ на $U_i\cap U_{i-1}$
и $\psi_i=\phi_{i,i+1}$ на $U_i\cal U_{i+1}$, и продолжим
до гладкой на все $U_i$. Тогда $\phi_{ij}= \psi_i\psi_j^{-1}$
для всех $i,j$, то есть {\бф \пурпле соответствующий коцикл является
кограницей.}
\ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Расслоенные пространства}


\определение
{\бф \блуе Тривиальное гладкое расслоение} есть
гладкое отображение вида $N \times U \arrow U$.


\определение
Сюрьективный морфизм многообразий
$M \stackrel \phi \arrow N$ называется
{\бф \блуе локально тривиальным гладким расслоением},
если у каждой точки $N$ найдется такая окрестность $U$,
что проекция $\phi^{-1}(U)\arrow U$ является
тривиальным гладким расслоением.


\определение
Пусть ${\cal B}$ -- $n$-мерное векторное расслоение над $M$,
$x\in M$ -- точка, а ${\goth m}_x\subset C^\infty M$ --
максимальный идеал $x$ в кольце ростков $C^\infty M$.
Определим {\бф\блуе слой ${\cal B}$ в $x$} как 
фактор ${\cal B}(M)/{\goth m}_x{\cal B}(M)$.
Слой векторного расслоения
обозначается ${\cal B}\restrict x$

\замечание
 Слой $n$-мерного расслоения
есть $n$-мерное векторное пространство. 


\newpage

{\бф \блуе Тотальное пространство расслоения}


\утверждение  
Пусть ${\cal B}= C^\infty M^n$ -- тривиальное
$n$-мерное векторное расслоение, a  
$b\in {\cal B}\restrict x$ -- точка слоя.
Рассмотрим отображение
множества всех слоев ${\cal B}$ в $M \times \R^n$,
переводящее $(x, \phi=(f_1, ..., f_n))$
в $(x, f_1(x), ..., f_n(x))$. {\бф \пурпле Это отображение
биективно.} \ендпрооф

\утверждение
Определим топологию на множестве всех точек
всех слоев многообразия ${\cal B}$ таким образом, что
в каждой карте $U$, где ${\cal B}$ тривиально, 
биекция из множества $\{(x\in U, b\in {\cal B}\restrict x\}$
всех слоев в $U\times \R^n$ -- гомеоморфизм.
{\бф \ред Полученное топологическое пространство $\Tot({\cal B})$ 
является многообразием, локально тривиально расслоенным над
$M$ со слоем $\R^n$}. \ендпрооф

\определение
$\Tot({\cal B})$ называется {\бф \блуе тотальным пространством 
расслоения}.

\упражнение
Убедитесь, что {\бф \пурпле атлас, построенный выше, задает на
$\Tot({\cal B})$  гладкую структуру.}

\newpage

{\бф \блуе Пространство сечений}

\определение
Пусть $M \stackrel \phi \arrow N$  -- локально тривиальное
расслоение. {\бф \блуе Сечение} $\phi$ есть подмногообразие
$S\subset M$ такое, что ограничение $\phi \restrict S$  
задает диффеоморфизм $S$ на $N$.

\замечание
Пусть ${\cal B}$ -- векторное расслоение на $M$, а
$\Tot({\cal B})$ -- его тотальное пространство.
Поскольку каждый слой ${\cal B}_x$ является векторным
пространством, и эта структура гладко зависит от $x\in M$,
 {\бф \пурпле сечения проекции $\Tot({\cal B})\arrow M$
образуют векторное пространство.} Кроме того, {\бф \пурпле
сечения
можно умножать на функции $f\in C^\infty M$.}

\утверждение
Для каждого открытого множества $U\subset M$, рассмотрим
пространство сечений расслоения $\Tot({\cal B}\restrict U)$.
Легко видеть, что это пространство естественно отождествляется
с ${\cal B}(U)$. {\бф \пурпле Это позволяет восстановить векторное
расслоение (т. е. соответствующий пучок $C^\infty M$-модулей) 
из пространства $\Tot({\cal B})$}, снабженного дополнительной 
структурой сложения сечений и умножения сечения на функцию.


\newpage

{\бф \блуе Связность на расслоении}


\замечание
{\бф \пурпле Пространство сечений расслоения $B$ на гладком
многообразии обозначается $B$.}

\определение
{\бф \блуе Связность} на векторном расслоении $B$
есть отображение $B \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes B$,
удовлетворяющее $\nabla(fb) = df \otimes b + f \nabla b$
для любых  $b\in B$, $f\in C^\infty M$.

\замечание
Если $X\in TM$ -- векторное поле, $b\in B$, то 
{\бф \пурпле $\nabla_X b$ -- сечение $B$, полученное 
как $\langle\nabla b, X\rangle$.} Оператор $\nabla_X$
удовлетворяет правилу Лейбница: $\nabla_X(fb) = f\nabla_X
b + \Lie_X f b$, где $\Lie_X$ -- производная вдоль $X$.


\замечание
{\бф \пурпле Связность на $B$ определяет связность на двойственном
расслоении $B^*$, и наоборот,} по формуле
\[ 
  \langle \nabla_X(b), \xi\rangle+ \langle b, \nabla_X(\xi)\rangle
  = \Lie_X(\langle b, \xi\rangle).
\]


\замечание
Для любого тензорного расслоения
${\cal B}_1:=
B^*\otimes B^* \otimes ... \otimes B^* \otimes B\otimes B \otimes ... \otimes B$
{\bf \пурпле связность на $B$ определяет связность на ${\cal B}_1$}
по {\бф \блуе формуле Лейбница:}
\[
\nabla(b_1 \otimes b_2) = \nabla(b_1) \otimes b_2 + b_1 \otimes \nabla(b_2).
\]


\newpage

{\бф \блуе Связность на тривиальном расслоении}

\определение
Пусть $B$ -- тривиальное расслоение на $M$, свободно
порожденное $a_1, ..., a_n$: $B =\bigoplus C^\infty M
\cdot a_i$. Tогда $a_1, ..., a_n$ -- называется 
{\бф \блуе базис сечений} или {\бф \блуе тривиализация} $B$.
Каждое сечение $B$ однозначно задается в виде
$b=\sum_{i=1}^n f_i a_i$, где $f_i\in C^\infty M$.

\замечание
На тривиальном расслоении над $M$ связность записывается в виде
$\nabla_(\sum_i f_i a_i)=\sum_i (f_i \nabla a_i + a_i \otimes
df_i)$. Пусть $\nabla a_i= \sum_j g_{ij} a_j$.
Если $M=\R$, $t$ -- координата на $\R$, это дает
$\nabla(\sum_i f_i a_i)= \sum_i (f_i \sum_j g_{ij} a_j
+\frac{df_i}{dt}a_i)$. Поэтому $\nabla(\sum_i f_i a_i)=0$
равносильно
\[
\frac{df_i}{dt}=- \sum_j f_j g_{ji}, i= 1, ..., n. 
\]
{\бф \пурпле Это обыкновенное дифференциальное уравнение
первого порядка!}


\newpage

{\бф \блуе Параллельный перенос вдоль связности}

\определение Пусть $B$ -- расслоение со связностью. 
Сечение $B$, которое удовлетворяет
$\nabla b=0$, называется {\бф\блуе параллельным}.

\утверждение
Пусть $B$ -- расслоение со связностью над $\R$. Тогда для
каждой $x\in \R$, $b_x \in B\restrict x$, {\бф \ред существует и 
единственно сечение $b\in B$ такое, что $\nabla b=0$,
$b\restrict x= b_x$.}

\дшаг
{\бф \пурпле Расслоение $B$ тривиально} (все расслоения на $\R$
тривиальны).

{\бф\греен Шаг 2:} {\бф \пурпле Решение уравнения $\sum_i (f_i \nabla a_i
+\frac{df_i}{dt} a_i)=0$ всегда существует и однозначно
задается начальным условием $b\restrict x= b_x$} (теорема
о существовании и единственности решений ОДЕ).
\ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Группа голономии}


\определение
Пусть $\gamma:\; [0, 1] \arrow M$ -- гладкий путь на многообразии
$M$, соединяющий $x$ и $y$ а $(B, \nabla)$ -- расслоение со связностью.
Рассмотрим $b_x \in B_x$, ограничим $(B, \nabla)$ на $\gamma([0,1])$,
и решим уравнение $\nabla(b)=0$, где $b\in B\restrict{\gamma([0,1])}$
с начальным условием $b\restrict x= b_x$. Этот процесс называется
{\бф\блуе параллельным переносом вектора $b_x$ вдоль связности},
а $b_y:= b\restrict y$ называется {\бф\блуе вектором,
полученным в результате параллельного переноса $b_x$ вдоль
связности по пути $\gamma:\; [0, 1] \arrow M$}.

\определение
{\бф\блуе Группа голономии связности} есть группа эндоморфизмов
слоя $B_x$, порожденная всеми параллельными переносами
вдоль путей из $x$ в $x$, где $x\in M$.

\упражнение
{\бф \пурпле 
Докажите, что группа голономии не зависит от выбора $x\in M$.}

\newpage

{\бф \блуе Кручение}

\определение 
Пусть $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1M$, 
\[ \Lambda^1 \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\]
 {\бф\блуе Кручение $\nabla$} 
задается формулой $\Alt \circ \nabla - d$,
где $\Alt:\;  \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M$
- внешнее умножение. Кручение есть отображение
$T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$.

\замечание
\begin{align*}
T_\nabla(f\eta) = & \Alt(f\nabla\eta + df\otimes \eta) - d(f\eta)\\
= &f\bigg [\Alt(\nabla\eta) - d\eta\bigg] + df\wedge \eta - df\wedge \eta=
f T_\nabla(\eta).
\end{align*}
{\бф \пурпле Значит, $T_\nabla$ линейно.}

\определение
Связность на римановом многообразии $(M,g)$ называется
{\бф \блуе ортогональной}, если $\nabla(g)=0$,
и {\бф \блуе связностью Леви-Чивита}, если она 
ортогональна и без кручения.

\теорема
("основная теорема дифференциальной геометрии")
Каждое риманово многообразие {\бф \ред 
допускает связность Леви-Чивита, и она единственна.
}

{\бф \греен Будет доказана на следующей лекции}.






\end{document}
