

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Дифф. геометрия и векторные расслоения\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Векторные расслоения, лекция 1:\\[2mm] многообразия и пучки}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 9 сентября, 2013\\ матфак ВШЭ и НМУ}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


{\bf \blue Пучки}

\определение 
{\бф\блуе Пучок} ${\cal F}$ на топологическом 
пространстве $M$ -- это набор векторных
пространств ${\cal F}(U)$, заданных для каждого открытого
подмножества $U\subset M$, с {\бф \блуе отображениями
ограничения} 
${\cal F}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal F}(U')$
для каждого $U'\subset U$, и следующими свойствами

(1)  {\бф \пурпле Композиция ограничений -- снова ограничение:}
если $U_1\subset U_2 \subset U_3$ вложенные открытые
множества, а ${\phi_{U_1,U_2}}$, ${\phi_{U_2,U_3}}$
соответствующие отображения ограничений, то
$\phi_{U_1,U_2}\circ \phi_{U_2,U_3}=\phi_{U_1,U_3}$.

(2) {\пурпле  Если $U=\bigcup U_i$, а ограничение 
$f\in {\cal F}(U)$ на все $U_i$ равно нулю, то
$f=0$.}


(3)  Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие 
множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$
набор сечений, заданных для каждого элемента
покрытия, и удовлетворяющих условию
$f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j},$
для любой пары элементов покрытия. {\бф\пурпле  Тогда
существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения
$f$ на $U_i$ дает $f_i$.}

Пространство ${\cal F}(U)$ называется {\бф\блуе  
пространство сечений пучка ${\cal F}$ над $U$}.

\определение
{\бф \блуе Пучок функций} есть пучок, сечения
которого над $U$ суть функции на $U$, а ограничения
суть ограничения функций.

\невпаге


\begin{center}
\epsfig{file=Cartan_Serre.jpeg,width=0.70\linewidth}\\[10mm]
{\it\small \green
Henri Cartan (1904 - 2008);\\
Jean-Pierre Serre (born 15 September 1926) 
}
\end{center}

\невпаге

{\bf \blue Многообразия}

\определение
{\бф \блуе (Топологическое) многообразие} есть топологическое
пространство, локально гомеоморфное $\R^n$.

\замечание
{\бф \блуе Гладкое многообразие} есть топологическое
многообразие с заданной на нем "гладкой структурой".
{\бф \пурпле "Гладкую структуру" проще всего задать, используя
пучки} (которые для того и были придуманы в общем-то).


\определение
{\бф\блуе Окольцованное пространство} есть пространство
с заданным на нем пучком функций, который замкнут относительно
умножения, то есть образует кольцо.


\замечание
{\bf \purple Окольцованные пространства образуют категорию.}
Морфизмы окольцованных пространств определяются так.
Пусть $A, {\cal F}$ и $B, {\cal G}$ -- окольцованные пространства,
а $\phi:\; A \arrow B$ непрерывное отображение, такое, что
$\phi^* ({\cal G}) \subset {\cal A}$; тогда $\phi$ называется
морфизмом. 


\определение
{\бф \блуе Гладкое многообразие} $(M, C^\infty M)$ есть окольцованное
пространство, которое локально изоморфно (как
окольцованное пространство) $\R^n$ с кольцом гладких функций.

\невпаге

\begin{center}
\epsfig{file=Bernhard_Riemann_2.jpg,width=0.40\linewidth}\\[10mm]
{\it\small \green
Bernhard Riemann (1826-1866),\\ deutscher Mathematiker\\
date: c. 1850\\
\phantom{source: Familienarchiv Thomas Schilling}}
\end{center}

\невпаге

{\bf \blue Карты и атласы}


\определение
Изоморфизм гладких многообразий называется {\бф
\блуе  диффеоморфизмом}. Это гомеоморфизм, который
переводит гладкие функции в гладкие.


\замечание
Обыкновенно многообразия определяют в терминах
карт, атласов и отображений переклейки.
Это очень явное определение, и оно удобнее
для решения задач, когда надо что-то посчитать.

\определение
Покрытие $\{U_i\}$ многообразия называется
{\бф\blue атласом}, если для каждого $U_i$ задано
отображение $\phi_i :\; U_i \arrow \R^n$, которое
задает гомеоморфизм из $U_i$ на открытое подмножество в $\R^n$. 
{\бф \blue Отображения перехода} суть отображения
\[
\Phi_{ij}:\; \phi_i(U_i \cap U_j) \arrow \phi_j(U_i \cap U_j) 
\]
индуцированные этими гомеоморфизмами.
Атлас называется {\бф\blue гладким}, если все 
отображения перехода гладкие. Множества $U_i$
называются {\бф \блуе картами}, гомеоморфизмы
$\phi_i :\; U_i \arrow \R^n$ -- {\бф \блуе координатами}.


\невпаге

{\bf \blue Карты, атласы и пучки}



\утверждение
Пусть $U, V$ -- открытые подмножества в $\R^n$, 
а $\phi:\; U \arrow V$ -- гомеоморфизм, переводящий
гладкие функции в гладкие. {\бф \пурпле Тогда это диффеоморфизм.}


\следствие
Пусть $\{ U_i\}$ -- покрытие гладкого многообразия 
$M$ такое, что каждое $U_i$ изоморфно 
$(\R^n,C^\infty \R^n)$. {\бф \ред Тогда $\{ U_i\}$ --
гладкий атлас.}

\доказательство Функции перехода переводят гладкие
функции в гладкие, значит, являются диффеоморфизмами.
\ендпрооф

\определение
Пусть $M$ -- топологическое многообразие, снабженное гладким
атласом. {\бф \блуе Гладкая функция} на $U\subset M$
есть функция, которая гладка на каждой из карт.

\замечание Легко видеть, что {\бф \пурпле 
гладкие функции, заданные таким образом,
образуют пучок.} Это задает структуру гладкого многообразия на $M$.

\определение
Два гладких атласа называются {\бф \блуе эквивалентными}, 
если соответствующие пучки гладких функций совпадают.
{\бф \блуе Гладкая структура} на многообразии есть класс
эквивалентности гладких атласов.


\невпаге

{\bf \blue Пучки модулей}


\замечание
Пусть $A:\; \phi \arrow B$ -- гомоморфизм колец, а
$V$ -- $B$-модуль. Тогда {\бф \пурпле на $V$ есть естественная
структура $A$-модуля, $a v:= \phi(a) v$.}

\определение
Пусть ${\cal F}$ есть пучок функций, замкнутый
относительно умножения, а ${\cal B}$ -
пучок на топологическом пространстве $M$.
Он называется {\бф\блуе пучком ${\cal F}$-модулей},
если для каждого $U$, пространство сечений
${\cal B}(U)$ наделено структурой ${\cal F}(U)$-модуля, 
причем для каждого $U'\subset U$, отображение ограничения 
${\cal B}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal B}(U')$,
задают гомоморфизм ${\cal F}(U)$-модулей 
(чтобы получить структуру ${\cal F}(U)$-модуля на ${\cal B}(U')$,
воспользуйтесь предыдущим замечанием).

\определение
{\бф\блуе Тривиальный пучок модулей} ${\cal F}^n$ над пучком
функций ${\cal F}$ сопоставляет каждому $U$ пучок
${\cal F}^n(U)$. 


\определение
{\бф \блуе Локально тривиальный пучок модулей} над пучком
функций ${\cal F}$ это такой пучок ${\cal B}$, что у 
каждой точки $x\in M$ найдется окрестность $U$
такая, что ограничение ${\cal B}\restrict U$ тривиально.


\невпаге

{\bf \blue Векторные расслоения и 1-коциклы}

\определение
{\бф\блуе Векторное расслоение} на гладком многообразии $M$
 есть локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей.

\замечание
Как и многообразие, {\бф \пурпле векторное расслоение можно задать 
в терминах карт, атласов и функций перехода.}

\определение
Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, а $\{U_i\}$ его покрытие.
{\бф\блуе 1-коцикл} со значениями в $G$ есть набор функций
$U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow G$, удовлетворяющих
следующим условиям: 1. $\phi_{ij}=\phi_{ji}^{-1}$ 2.
$\phi_{ij}\phi_{jk}=\phi_{ik}$. 

\замечание
Пусть $B$ -- $n$-мерное векторное расслоение над $M$,
а $\{U_i\}$ -- покрытие $M$, такое, что $B\restrict {U_i}$
-- тривиальный $C^\infty$-модуль. Зафиксируем
тривиализации $B\restrict {U_i}$ и рассмотрим базисы в
$B\restrict {U_i}$ и $B\restrict {U_j}$, определенные
этими тривиализациями. Пусть 
$U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow GL(n)$ --
функции перехода от одного базиса к другому.
{\бф \ред Тогда $\phi_{ij}$ задают 1-коцикл}.


\невпаге

{\bf \blue Векторные расслоения, коциклы и кограницы}


\замечание
Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, $\{U_i\}$ его
покрытие,
a $U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow G$ -- 1-коцикл.
Рассмотрим набор отображений $\psi_i :\; U_i \arrow G$,
и пусть $\phi_{ij}':\; U_i\cap U_j\arrow G$ --
отображение, заданное формулой  
$\phi_{ij}'=\psi_i^{-1} \phi_{ij}\psi_j$.
{\bf \purple Легко видеть, что $\{\phi_{ij}'\}$ -- тоже коцикл.}
Коциклы $\{\phi_{ij}\}$ и $\{\phi_{ij}'\}$
называются {\бф \блуе кограничными}.

\определение
Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, $\{U_i\}$ его
покрытие, а ${\goth G}$ -- группа всех отображений
$\coprod U_i \arrow G$. 
{\бф \пурпле Группа ${\goth G}$ действует на множестве
1-коциклов по формуле $\phi_{ij}'=\psi_i^{-1} \phi_{ij}\psi_j$;}
соответствующее фактормножество есть множество коциклов
с точностью до кограниц. Оно называется
{\бф \блуе группа когомологий Чеха с коэффициентами
в $G$, связанными с покрытием $\{U_i\}$}, 
и обозначается $H^1(M, \{U_i\}, G)$

\утверждение
Пусть $M$ -- многообразие, $\{U_i\}$ -- его покрытие, 
а ${\goth S}$ - множество классов изоморфизма $n$-мерных расслоений,
которые тривиальны на всех $U_i$. {\бф \ред Множество ${\goth S}$ 
естественно отождествляется с $H^1(M, \{U_i\}, GL(n))$.}
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Алгебра де Рама}


\определение
Пусть $M$ -- гладкое многообразие.
Обозначим за $\Lambda^i M$ {\бф \блуе пространство дифференциальных
$i$-форм на $M$,} то есть антисимметричных $i$-форм на касательном
расслоении $TM$. Определим умножение
$\Lambda^i M\times \Lambda^j M \arrow \Lambda^{i+j} M$
как $\alpha \wedge \beta \arrow \Pi (\alpha \otimes \beta)$,
где $\alpha \otimes \beta$ -- сечение 
$\Lambda^i M\otimes \Lambda^j M \subset \bigotimes_{i+j}
T^*M$, полученное перемножением $\alpha$ и $\beta$,
a $\Pi$ -- кососимметризация тензора.

\утверждение
{\бф \пурпле Это умножение ассоциативно, и
удовлетворяет $\alpha \wedge \beta = (-1)^{ij} \beta\wedge \alpha$.}


\определение
Алгебра $\Lambda^* M := \oplus_i\Lambda^i M$ 
с определенной выше алгебраической структурой
называется {\бф\блуе алгеброй де Рама} многообразия.


\замечание Пусть $\phi:\; M_1 \arrow M_2$ -- гладкое отображение
многообразий. Тогда задано отображение 
$\phi^*:\; \Lambda^* M_2 \arrow \Lambda^* M_1$, переводящее
дифференциальную форму $\eta \in \Lambda^kM_2$ в
форму $(v_1, ..., v_k)\in TM_1 \arrow \eta(D_\phi v_1, ..., D_\phi(v_k))$.


\невпаге

{\bf \блуе  Дифференциал де Рама}


\определение
{\бф\блуе Дифференциал де Рама} $d:\; \Lambda^*M \arrow \Lambda^{*+1}M$
есть $\R$-линейное отображение, которое удовлетворяет следующим
условиям. \\
\hphantom{MM} (i) Для любого $f \in \Lambda^0=C^\infty M$,
$df$ есть элемент $\Lambda^1 M$, 
который равен дифференциалу $df\in \Omega^1 M$. \\
\hphantom{MM}
(ii) {\бф \блуе (Правило Лейбница)}
$d(a\wedge b) = da \wedge b + (-1)^j a\wedge
db$, для любых $a\in \Lambda^i M, b \in \Lambda^j M$. \\
\hphantom{MM}
(iii) $d^2=0$.

\утверждение \\
{\бф \ред Дифференциал де Рама однозначно задается
этими условиями.}


{\бф \греен Однозначность определения:}
Алгебра де Рама порождена $C^\infty M$ и 
1-формами вида $df$, а на таких формах
дифференциал де Рама уже задан.

{\бф \греен Существование, для $M=\R^n$:} Пусть $t_1, ..., t_n$ -- координатные
функции на $\R^n$, а $\alpha\in \Lambda^* \R^n$ -- какой-то
моном, полученный произведением нескольких $dt_i$.
Дифференциал де Рама
переводит $f \alpha$ в 
$\sum_i \frac {df}{dt_i} dt_i \wedge \alpha$,
для любой функции $f\in C^\infty \R^n$.

\невпаге


{\bf \блуе  Дифференциал де Рама (продолжение)}

\утверждение \\
{\бф \ред Дифференциал де Рама однозначно задается
этими условиями.}

{\бф \греен Однозначность определения:}
Алгебра де Рама порождена $C^\infty M$ и 
1-формами вида $df$, а на таких формах
дифференциал де Рама уже задан.

{\бф \греен Существование, для $M=\R^n$:} Пусть $t_1, ..., t_n$ -- координатные
функции на $\R^n$, а $\alpha\in \Lambda^* \R^n$ -- какой-то
моном, полученный произведением нескольких $dt_i$.
Дифференциал де Рама
переводит $f \alpha$ в 
$\sum_i \frac {df}{dt_i} dt_i \wedge \alpha$,
для любой функции $f\in C^\infty \R^n$.


{\бф \греен Существование, для любого многообразия:}
Зададим $d$ локально по формуле, указанной выше. {\бф \пурпле Это определение
согласовано с заменой координат в силу единственности $d$,}
значит, $d$ согласован с переклейкой карт.
 \ендпрооф

\определение
Дифференциальная форма называется {\бф \блуе замкнутой},
если она лежит в ядре $d$, и {\бф \блуе точной}, если
она лежит в образе $d$. Пространство 
$H^i(M):=\frac{\ker d}{im d}\restrict{\Lambda^i M}$
называется {\бф\блуе $i$-й группой когомологий де Рама}
многообразия $M$.


\newpage

{\бф \блуе Производная Ли}

\определение
{\бф \блуе Поток диффеоморфизмов} многообразия есть гладкое
отображение $\phi_t:\; M\times \R \arrow M$, которое является
диффеоморфизмом для любого $t\in \R$. Аналогично определяется
{\бф\блуе поток симплектоморфизмов}.

\определение
Предположим, что $\phi_0=\Id_M$. Тогда
производная $\frac {d\phi_t}{dt}\restrict{t=0}$ есть
векторное поле, которое называется {\бф\блуе  производной
потока диффеоморфизмов}. 


\определение
Пусть $\phi_t:\; M\times \R \arrow M$ -- поток
диффеоморфизмов, а $v:=\frac {d\phi_t}{dt}\restrict{t=0}$
соответствующее векторное поле.
{\бф \блуе Производная Ли вдоль $v$},
есть отображение $\Lie_v:\; \Lambda^i M \arrow \Lambda^i M$,
полученное как $\Lie_v (\eta) := \frac {\phi^*_t\eta}{dt}\restrict{t=0}$. 

\теорема {\бф \блуе (Формула Картана)}\\
\[ \Lie_v (\eta) = \{d, i_v\}\eta,\] где
$\{\cdot,\cdot\}$ обозначает антикоммутатор,
а $i_v$ -- операцию подстановки $v$ в форму.

{\бф \греен Доказательство см. ниже.}

\newpage

{\бф \блуе Нечетные дифференцирования}

\определение
{\бф \блуе Нечетное дифференцирование}
алгебры де Рама есть нечетный (меняющий градуировку
на нечетное число) оператор $q:\; \Lambda^*(M) \arrow \Lambda^*(M)$,
который удовлетворяет {\бф \блуе (супер-)правилу Лейбница:}
$q(a\wedge b) = q(a)\wedge b + (-1)^{\tilde a} a \wedge q(b)$.

\пример
{\бф \пурпле 
Дифференциал де Рама} является нечетным дифференцированием.

\пример 
{\бф \пурпле Оператор 
подстановки векторного поля} является нечетным дифференцированием.

\утверждение
Антикоммутатор двух нечетных дифференцирований
есть дифференцирование {\бф \ред (проверьте это).}

\утверждение
Пусть $d\in \End(\Lambda^* M)$ -- нечетный оператор,
который удовлетворяет $d^2=0$, а $L\in \End(\Lambda^* M)$
другой нечетный оператор. Тогда $d$ коммутирует
с $[d, L]$ {\бф \ред (проверьте это).}


\newpage

{\бф \блуе Формула Картана (доказательство)}

\теорема {\бф \блуе (Формула Картана)}
\[ \Lie_v (\eta) = \{d, i_v\}\eta,\] где
$\{\cdot,\cdot\}$ обозначает антикоммутатор $\{a,b\}=ab+ba$,
а $i_v$ -- операцию подстановки $v$ в форму.

\дшаг
Проверяем, что $\Lie_v$ и $\{d, i_v\}$ -- дифференцирования
алгебры де Рама, коммутирующие с $d$.

{\бф \греен Шаг 2:} Проверяем, что они совпадают на функциях.

{\бф \греен Шаг 3:} Проверяем, что {\бф \пурпле дифференцирования $\Lambda^* M$,
которые совпадают на функциях и коммутируют с $d$, равны.}
\ендпрооф

\невпаге

{ \бф \блуе Развитие курса}

1. Если все всем понятно (расслоения, алгебра де Рама, связности)
займемся кривизной, кручением, кэлеровыми структурами, 
основами римановой геометрии.

2. Если непонятно, надо сделать пару занятий про расслоения,
дифференциальные операторы, дифференцирования алгебры функций,
символы дифференциальных операторов и так далее.

Листки по символам и дифференцированиям уже есть.

\end{document}
