\documentclass[10pt]{extarticle}

% version 1.0, 09.12.2013
% version 1.1, 24.07.2020, поправил задачу 11.15 


\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   24.07.2020}
\newcommand{\firstdate}{09.12.2013}


\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}



\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{11}{Векторные расслоения 11: линейные связности}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает
$2t$ баллов,
если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Векторные поля, линейные по слоям $\Tot B$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\задача
Пусть $B$ -- векторное расслоение на $M$.
Докажите, что сечения $B$ задают функции на тотальном
пространстве $\Tot B^*$, линейные вдоль слоев расслоения.
\ез

\определение
Обозначим за $C^\infty_k\Tot B$ функции на $\Tot B$,
которые на каждом слое задаются однородными полиномами
степени $k$.
\ео

\задача
Постройте изоморфизм между алгеброй $\bigoplus_k C^\infty_k\Tot B$
и алгеброй сечений $\bigoplus \Sym^k B^*$, где $\Sym^k$
обозначает $k$-ю симметрическую степень расслоения.
\ез 


\определение
Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая субмерсия, $X\in TN$ --
векторное поле. {\бф Горизонтальный подъем} $X$ в $TM$
есть векторное поле $\tilde X \in TM$ такое, что
для любой точки $m\in M$, $D\pi(\tilde X\restrict m)=X\restrict {\pi(m)}$.
\ео

\задача[!]
Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая субмерсия, а 
$Z\in TM$ -- векторное поле такое, что
$\Lie_Z(\pi^*C^\infty N)\subset \pi^*C^\infty N$.
Докажите, что $Z$ есть подъем векторного поля на $N$.
\ез

\замечание
Напомню, что векторные поля на многообразии
определялись как дифференцирования алгебры функций.
\еза


\определение
Пусть $B$ -- векторное
расслоение на многообразии $M$. 
Векторное поле на $\Tot B$ называется 
{\бф линейным по слоям}, если 
$\Lie_Z(C^\infty_1\Tot B)\subset C^\infty_1\Tot B$.
\ео

\задача
Пусть $B$ -- векторное
расслоение на многообразии $M$, 
а $Z\in T\Tot B$ -- линейное по слоям векторное поле.
\енум
\итем Докажите, что для каждой функции
$\beta \in C^\infty_1\Tot B$ и $f_1\in C^\infty M$, $f:=\pi^* f$,
имеет место $\Lie_Z(f\beta) = f \Lie_z\beta + D(f) \beta$,
где $D(f)$ получено
подъемом какой-то функции на $M$.
\итем Докажите, что оператор $f\arrow Df$ задает
дифференцирование на $C^\infty M$.
\итем Докажите, что $Z$ есть горизонтальный подъем
векторного поля $Z_0\in TM$ такого, что $D(f)=\Lie_{Z_0}f$.
\ее
\ез



\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\определение
Векторное поле $Z$ на $V =\R^n$ называется
{\бф линейным}, если $\Lie_Z$ переводит пространство $C^\infty_1V$
однородных функций степени 1 в себя.
\ео

\задача
Докажите, что каждое линейное векторное поле
$Z\in T\R^n$ имеет вид $Z=\sum_{j, k}\beta_{ij}b_j \frac d{db_k}$,
где $b_i$ -- стандартные координаты на $\R^n$, a $\beta_{ij}\in \R$
константы.
\ез


\задача[!]\label{_poslo_lin_koord_Zadacha_}
Пусть $Z$ -- векторное поле на $\Tot B$, линейное по слоям. 
Докажите, что на локально на $M$ есть координаты $x_1, ..., x_n$
и тривиализация $B$, задающая координаты $b_1, ..., b_m$ на $\Tot B$,
линейные по слоям, такие, что 
$Z=\sum \alpha_i \frac d{dx_i}+\sum_{j, k}\beta_{ij}b_j \frac d{db_k}$,
а $\alpha_i, \beta_{ij}$ -- функции на $M$.
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\определение
Пусть $B$ -- векторное
расслоение на многообразии $M$. 
Связность Эресманна на $\Tot B$ называется
{\бф линейной}, если на главном $GL(n)$-расслоении 
реперов на $B$ есть связность, которая индуцирует
связность на $\Tot B$ как на присоединенном расслоении.
\ео

\замечание
В прошлом листке доказывалось, что
связность Эресманна на $\Tot B$ линейна
тогда и только тогда, когда она согласована
с операциями сложения сечений и умножения
на функцию. В этом листке можно пользоваться
этой эквивалентностью без доказательства.
\еза


\задача[!]
\label{_lin_svya_i_podemy_Zadacha_}
Постройте естественную биекцию между множеством
линейных связностей Эресманна на $\Tot B$ и 
множеством линейных отображений $TM \stackrel \sigma \arrow T \Tot B$,
переводящих каждое векторное поле $Z\in TM$ 
в его горизонтальный лифт и такое, что
все $\sigma(Z)$ линейны по слоям.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $B$ -- векторное расслоение на $M$,
$Z\in TM$, а $\tilde Z$ -- его поднятие в $T\Tot B$
до векторного поля, линейного по слоям.
\енум
\итем Докажите, что действие $\Lie_{\tilde Z}$
на пространстве $C^\infty_1\Tot B$, отождествляемым
с пространством сечений $B^*$, удовлетворяет
$\Lie_{\tilde Z}(f\beta)=f\Lie_{\tilde Z}\beta+ \Lie_Zf \beta$
для любого $\beta\in B^*$ и $f\in C^\infty M$.
\итем[!] Постройте естественную биекцию между отображениями
$TM \stackrel \sigma \arrow T \Tot B$, удовлетворяющими
условиям задачи \ref{_lin_svya_i_podemy_Zadacha_},
и связностями на $B^*$.
\ее
\ез

\замечание
\label{_lin_Ehres_from_usual_sv_Zamechanie_}
Мы построили биекцию между линейными связностями
Эресманна на $\Tot B$ и связностями на $B^*$
или, что то же самое, связностями на $B$.
\еза

\задача
Пусть $B$ -- векторное расслоение на $M$. 
\енум
\итем
Постройте точную
последовательность пучков дифференциальных операторов на $B$
\[
0\arrow \End(B) \arrow \Diff^1 B \arrow \End B\otimes TM\arrow 0,
\]
где $\Diff^i B$ означает пучок дифференциальных операторов порядка
$\leq i$.
\итем[*]
Докажите, что задание связности на $B$ равносильно заданию
$\End B$-инвариантного сечения этой последовательности.
\ее
\ез

\задача[*]
Пусть $\delta$ -- дифференцирование алгебры 
$\bigoplus_k C^\infty_k(\Tot B)$.
Докажите, что $\delta$ продолжается до дифференцирования
$C^\infty\Tot B$, или найдите контрпример.
\ез


\NewVedomost


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Кривизна линейной связности}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $\pi:\; X\arrow Y$ -- гладкая субмерсия.
Векторное поле $Z\in TX$, удовлетворяющее 
$D\pi(Z)=0$, называется {\бф вертикальным}.
\ео

\задача
\label{_lin_vert_polya_Zadacha_}
Пусть $B$ -- векторное расслоение на $M$, а
$\pi:\; \Tot B \arrow M$ -- его тотальное пространство.
Постройте естественную биекцию между послойно линейными вертикальными
векторными полями на $\Tot B$, и сечениями $\End B$.
\ез

\указание Воспользуйтесь задачей \ref{_poslo_lin_koord_Zadacha_}.
\еу


\задача
Пусть $B$ -- расслоение со связностью на $M$, 
$\pi:\; \Tot B \arrow M$ его тотальное пространство,
$X, Y\in TM$ -- векторные поля, а $\tilde X, 
\tilde Y \in T\Tot B$ -- подъем этих 
векторных полей на $\Tot B$, полученный
из соответствующей связности Эресманна
(замечание \ref{_lin_Ehres_from_usual_sv_Zamechanie_},
задача \ref{_lin_svya_i_podemy_Zadacha_}). 
\енум
\итем Докажите, что $[\tilde X, \tilde Y]$
есть горизонтальный подъем $[X,Y]$.
\итем Докажите, что поле $[\tilde X, \tilde Y]$ послойно линейно на 
$\Tot B$.
\итем Обозначим горизонтальный подъем $[X,Y]$,
полученный из связности, за $\widetilde{[X,Y]}$.
Докажите, что $\Theta_{X,Y}:=\widetilde{[X,Y]}-[\tilde X, \tilde Y]$
послойно линейно и вертикально.
\ее
\ез

\замечание
В силу доказанного выше, $\Theta_{X,Y}$
можно считать сечением $\End B$
(Задача \ref{_lin_vert_polya_Zadacha_}).
\еза

\задача
Пусть $B$ -- расслоение со связностью $\nabla$ на $M$, а 
$\pi:\; \Tot B \arrow M$ его тотальное пространство,
снабженное связностью Эресманна 
(замечание \ref{_lin_Ehres_from_usual_sv_Zamechanie_},
задача \ref{_lin_svya_i_podemy_Zadacha_}).
Рассмотрим векторное поле $\Theta_{X,Y}$ на $\Tot B$,
построенное в предыдущей задаче.
\енум 
\итем Докажите, что отображение $X, Y \arrow \Theta_{X,Y}$
есть кривизна связности Эресманна на $\Tot B$.
\итем Докажите, что после отождествления
вертикальных, послойно-линейных векторных
полей (задача \ref{_lin_vert_polya_Zadacha_})
и $\End B$, этот тензор равен кривизне $\nabla$.
\ее
\ез

\замечание
В предыдущей задаче доказывается, что 
кривизна связности на векторном расслоении
равна кривизне соответствующей связности
Эресманна.
\еза


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Кривизна и связность в расслоении со структурной группой}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $P \arrow M$ -- главное $G$-расслоение,
а $V$ -- представление $G$. Рассмотрим векторное
расслоение $P\times_G V$; оно называется {\бф расслоением
со структурной группой $G$}. 
\ео

\задача
\label{_b_def_Zadacha_}
Пусть $P \arrow M$ -- главное $G$-расслоение,
а $\goth{b}$ -- пространство $G$-ин\-ва\-ри\-ант\-ных 
вертикальных векторных полей на $P$.
\енум
\итем Докажите, что $\goth{b}$ -- пучок алгебр Ли на $M$,
с операцией, определенной коммутантом.
\итем Докажите, что это векторное расслоение на $M$.
\итем[*] Приведите пример, когда это векторное расслоение нетривиально.
\ее
\ез
\указание
В предыдущем листке было много аналогичных утверждений.
\еу

\задача
Пусть $P$ -- главное $G$-расслоение, 
$B:=P\times_G V$ -- векторное расслоение
над $M$ со структурной группой $G$, а $X$ -- $G$-инвариантное
векторное поле на $P$. Обозначим за $X_1$ образ
$X$ в $P\times V$. 
\енум\итем 
Постройте $G$-эквивариантное сюрьективное отображение векторных расслоений на
$P\times V$
\[
 T(P\times V) \stackrel \phi\arrow \pi^*(T\Tot B),
\]
где $\pi:\; P\times V\arrow \Tot B$ -- естественная проекция.
Докажите, что $G$-инвариантные сечения $\pi^*(T\Tot B)$
биективно соответствуют сечениям $T\Tot B$.

\итем Убедитесь, что при этом отождествлении,
отображение $X \arrow \phi(X_1)$ задает морфизм 
$\goth{b}\stackrel v \arrow T\Tot B$,
где $\goth b$ -- пучок алгебр Ли, построенный в задаче \ref{_b_def_Zadacha_}.
Докажите, что это отображение инъективно, если 
действие $G$ на $V$ точно.
\итем Докажите, что для любого $X\in \goth b$
векторное поле $v(X)$ на $\Tot B$
послойно линейно и вертикально.
\ее
\ез


\определение
В условиях предыдущей задачи, отождествим 
послойно линейные вертикальные векторные поля на $\Tot B$
с $\End B$ (задача \ref{_lin_vert_polya_Zadacha_}).
Это задает отображение $\goth{b}\arrow \End B$.
Его образ $\g_B$ в $\End(B)$ называется {\бф алебра Ли структурной
группы расслоения.}
\ео

\задача
Докажите, что $\g_B\subset \End B$ -- подрасслоение,
замкнутое относительно коммутатора.
\ез

\определение
Пусть $B:=P\times_G V$ -- векторное расслоение
над $M$ со структурной группой $G$, $\nabla_P$ - связность
на $P$, а $\nabla_B$ соответствующая ей связность на $B$
(Замечание \ref{_lin_Ehres_from_usual_sv_Zamechanie_}).
Тогда $\nabla_B$ называется 
{\бф связностью, согласованной со структурной группой,} или же 
{$G$-связностью}.
\ео

\задача Пусть $B:=P\times_G V$ -- векторное расслоение
над $M$ со структурной группой $G$, $\nabla^1,\nabla^2$ -- $G$-связности
на $\Tot B$, 
а $\sigma_1, \sigma_2:\; TM \arrow T\Tot B$ -- соответствующие отображения
горизонтального подъема.
\енум
\итем Докажите, что $\sigma_1(X)-\sigma_2(X)$ -- вертикальное,
послойно линейное векторное поле на $\Tot B$, для любого $X\in TM$.
\итем Отождествив вертикальные,
послойно линейные векторные поля на $\Tot B$ и сечения $\End B$,
мы можем считать, что $\sigma_1(X)-\sigma_2(X)\in \End B$.
Докажите, что $\sigma_1(X)-\sigma_2(X)$
лежит в $\g_B\subset \End B$.
\итем[!] Докажите, что пространство $G$-связностей на $B$
является аффинным пространством над $\Lambda^1 M \otimes \g_B$.
\ее
\ез

\задача[!]
Пусть Пусть $B:=P\times_G V$ -- векторное расслоение
над $M$ со структурной группой $G$, а 
$\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ -- связность,
согласованная с $G$. Докажите, что кривизна $\nabla$
лежит в $\Lambda^2 M\otimes\g_B$.
\ез

\задача
Пусть $B$ -- векторное расслоение со связностью $\nabla$,
а $G$ -- его группа голономии.
\енум
\итем[*] Постройте редукцию структурной группы $B$ к $G$, получив
$B=P\times_G V$, где $P$ -- главное $G$-расслоение.
\итем[*] Докажите, что связность на $B$ ассоциирована
с какой-то связностью на главном расслоении $P$.
\итем[*] Докажите, что не существует редукции $B$
к собственной подгруппе $G_1 \subsetneq G$ такой,
что $\nabla$ совместима с $G_1$-структурой.
\ее
\ез


\end{document}
