\documentclass[10pt]{extarticle} % version 1.0, 09.12.2013 % version 1.1, 24.07.2020, поправил задачу 11.15 \newcommand{\version}{version 1.1,\ \ 24.07.2020} \newcommand{\firstdate}{09.12.2013} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\textheight}{40mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-10mm} \addtolength{\textwidth}{20mm} \input{defs-listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{11}{Векторные расслоения 11: линейные связности} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Векторные поля, линейные по слоям $\Tot B$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $B$ -- векторное расслоение на $M$. Докажите, что сечения $B$ задают функции на тотальном пространстве $\Tot B^*$, линейные вдоль слоев расслоения. \ез \определение Обозначим за $C^\infty_k\Tot B$ функции на $\Tot B$, которые на каждом слое задаются однородными полиномами степени $k$. \ео \задача Постройте изоморфизм между алгеброй $\bigoplus_k C^\infty_k\Tot B$ и алгеброй сечений $\bigoplus \Sym^k B^*$, где $\Sym^k$ обозначает $k$-ю симметрическую степень расслоения. \ез \определение Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая субмерсия, $X\in TN$ -- векторное поле. {\бф Горизонтальный подъем} $X$ в $TM$ есть векторное поле $\tilde X \in TM$ такое, что для любой точки $m\in M$, $D\pi(\tilde X\restrict m)=X\restrict {\pi(m)}$. \ео \задача[!] Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая субмерсия, а $Z\in TM$ -- векторное поле такое, что $\Lie_Z(\pi^*C^\infty N)\subset \pi^*C^\infty N$. Докажите, что $Z$ есть подъем векторного поля на $N$. \ез \замечание Напомню, что векторные поля на многообразии определялись как дифференцирования алгебры функций. \еза \определение Пусть $B$ -- векторное расслоение на многообразии $M$. Векторное поле на $\Tot B$ называется {\бф линейным по слоям}, если $\Lie_Z(C^\infty_1\Tot B)\subset C^\infty_1\Tot B$. \ео \задача Пусть $B$ -- векторное расслоение на многообразии $M$, а $Z\in T\Tot B$ -- линейное по слоям векторное поле. \енум \итем Докажите, что для каждой функции $\beta \in C^\infty_1\Tot B$ и $f_1\in C^\infty M$, $f:=\pi^* f$, имеет место $\Lie_Z(f\beta) = f \Lie_z\beta + D(f) \beta$, где $D(f)$ получено подъемом какой-то функции на $M$. \итем Докажите, что оператор $f\arrow Df$ задает дифференцирование на $C^\infty M$. \итем Докажите, что $Z$ есть горизонтальный подъем векторного поля $Z_0\in TM$ такого, что $D(f)=\Lie_{Z_0}f$. \ее \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \определение Векторное поле $Z$ на $V =\R^n$ называется {\бф линейным}, если $\Lie_Z$ переводит пространство $C^\infty_1V$ однородных функций степени 1 в себя. \ео \задача Докажите, что каждое линейное векторное поле $Z\in T\R^n$ имеет вид $Z=\sum_{j, k}\beta_{ij}b_j \frac d{db_k}$, где $b_i$ -- стандартные координаты на $\R^n$, a $\beta_{ij}\in \R$ константы. \ез \задача[!]\label{_poslo_lin_koord_Zadacha_} Пусть $Z$ -- векторное поле на $\Tot B$, линейное по слоям. Докажите, что на локально на $M$ есть координаты $x_1, ..., x_n$ и тривиализация $B$, задающая координаты $b_1, ..., b_m$ на $\Tot B$, линейные по слоям, такие, что $Z=\sum \alpha_i \frac d{dx_i}+\sum_{j, k}\beta_{ij}b_j \frac d{db_k}$, а $\alpha_i, \beta_{ij}$ -- функции на $M$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \определение Пусть $B$ -- векторное расслоение на многообразии $M$. Связность Эресманна на $\Tot B$ называется {\бф линейной}, если на главном $GL(n)$-расслоении реперов на $B$ есть связность, которая индуцирует связность на $\Tot B$ как на присоединенном расслоении. \ео \замечание В прошлом листке доказывалось, что связность Эресманна на $\Tot B$ линейна тогда и только тогда, когда она согласована с операциями сложения сечений и умножения на функцию. В этом листке можно пользоваться этой эквивалентностью без доказательства. \еза \задача[!] \label{_lin_svya_i_podemy_Zadacha_} Постройте естественную биекцию между множеством линейных связностей Эресманна на $\Tot B$ и множеством линейных отображений $TM \stackrel \sigma \arrow T \Tot B$, переводящих каждое векторное поле $Z\in TM$ в его горизонтальный лифт и такое, что все $\sigma(Z)$ линейны по слоям. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $B$ -- векторное расслоение на $M$, $Z\in TM$, а $\tilde Z$ -- его поднятие в $T\Tot B$ до векторного поля, линейного по слоям. \енум \итем Докажите, что действие $\Lie_{\tilde Z}$ на пространстве $C^\infty_1\Tot B$, отождествляемым с пространством сечений $B^*$, удовлетворяет $\Lie_{\tilde Z}(f\beta)=f\Lie_{\tilde Z}\beta+ \Lie_Zf \beta$ для любого $\beta\in B^*$ и $f\in C^\infty M$. \итем[!] Постройте естественную биекцию между отображениями $TM \stackrel \sigma \arrow T \Tot B$, удовлетворяющими условиям задачи \ref{_lin_svya_i_podemy_Zadacha_}, и связностями на $B^*$. \ее \ез \замечание \label{_lin_Ehres_from_usual_sv_Zamechanie_} Мы построили биекцию между линейными связностями Эресманна на $\Tot B$ и связностями на $B^*$ или, что то же самое, связностями на $B$. \еза \задача Пусть $B$ -- векторное расслоение на $M$. \енум \итем Постройте точную последовательность пучков дифференциальных операторов на $B$ \[ 0\arrow \End(B) \arrow \Diff^1 B \arrow \End B\otimes TM\arrow 0, \] где $\Diff^i B$ означает пучок дифференциальных операторов порядка $\leq i$. \итем[*] Докажите, что задание связности на $B$ равносильно заданию $\End B$-инвариантного сечения этой последовательности. \ее \ез \задача[*] Пусть $\delta$ -- дифференцирование алгебры $\bigoplus_k C^\infty_k(\Tot B)$. Докажите, что $\delta$ продолжается до дифференцирования $C^\infty\Tot B$, или найдите контрпример. \ез \NewVedomost %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Кривизна линейной связности} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $\pi:\; X\arrow Y$ -- гладкая субмерсия. Векторное поле $Z\in TX$, удовлетворяющее $D\pi(Z)=0$, называется {\бф вертикальным}. \ео \задача \label{_lin_vert_polya_Zadacha_} Пусть $B$ -- векторное расслоение на $M$, а $\pi:\; \Tot B \arrow M$ -- его тотальное пространство. Постройте естественную биекцию между послойно линейными вертикальными векторными полями на $\Tot B$, и сечениями $\End B$. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_poslo_lin_koord_Zadacha_}. \еу \задача Пусть $B$ -- расслоение со связностью на $M$, $\pi:\; \Tot B \arrow M$ его тотальное пространство, $X, Y\in TM$ -- векторные поля, а $\tilde X, \tilde Y \in T\Tot B$ -- подъем этих векторных полей на $\Tot B$, полученный из соответствующей связности Эресманна (замечание \ref{_lin_Ehres_from_usual_sv_Zamechanie_}, задача \ref{_lin_svya_i_podemy_Zadacha_}). \енум \итем Докажите, что $[\tilde X, \tilde Y]$ есть горизонтальный подъем $[X,Y]$. \итем Докажите, что поле $[\tilde X, \tilde Y]$ послойно линейно на $\Tot B$. \итем Обозначим горизонтальный подъем $[X,Y]$, полученный из связности, за $\widetilde{[X,Y]}$. Докажите, что $\Theta_{X,Y}:=\widetilde{[X,Y]}-[\tilde X, \tilde Y]$ послойно линейно и вертикально. \ее \ез \замечание В силу доказанного выше, $\Theta_{X,Y}$ можно считать сечением $\End B$ (Задача \ref{_lin_vert_polya_Zadacha_}). \еза \задача Пусть $B$ -- расслоение со связностью $\nabla$ на $M$, а $\pi:\; \Tot B \arrow M$ его тотальное пространство, снабженное связностью Эресманна (замечание \ref{_lin_Ehres_from_usual_sv_Zamechanie_}, задача \ref{_lin_svya_i_podemy_Zadacha_}). Рассмотрим векторное поле $\Theta_{X,Y}$ на $\Tot B$, построенное в предыдущей задаче. \енум \итем Докажите, что отображение $X, Y \arrow \Theta_{X,Y}$ есть кривизна связности Эресманна на $\Tot B$. \итем Докажите, что после отождествления вертикальных, послойно-линейных векторных полей (задача \ref{_lin_vert_polya_Zadacha_}) и $\End B$, этот тензор равен кривизне $\nabla$. \ее \ез \замечание В предыдущей задаче доказывается, что кривизна связности на векторном расслоении равна кривизне соответствующей связности Эресманна. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Кривизна и связность в расслоении со структурной группой} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $P \arrow M$ -- главное $G$-расслоение, а $V$ -- представление $G$. Рассмотрим векторное расслоение $P\times_G V$; оно называется {\бф расслоением со структурной группой $G$}. \ео \задача \label{_b_def_Zadacha_} Пусть $P \arrow M$ -- главное $G$-расслоение, а $\goth{b}$ -- пространство $G$-ин\-ва\-ри\-ант\-ных вертикальных векторных полей на $P$. \енум \итем Докажите, что $\goth{b}$ -- пучок алгебр Ли на $M$, с операцией, определенной коммутантом. \итем Докажите, что это векторное расслоение на $M$. \итем[*] Приведите пример, когда это векторное расслоение нетривиально. \ее \ез \указание В предыдущем листке было много аналогичных утверждений. \еу \задача Пусть $P$ -- главное $G$-расслоение, $B:=P\times_G V$ -- векторное расслоение над $M$ со структурной группой $G$, а $X$ -- $G$-инвариантное векторное поле на $P$. Обозначим за $X_1$ образ $X$ в $P\times V$. \енум\итем Постройте $G$-эквивариантное сюрьективное отображение векторных расслоений на $P\times V$ \[ T(P\times V) \stackrel \phi\arrow \pi^*(T\Tot B), \] где $\pi:\; P\times V\arrow \Tot B$ -- естественная проекция. Докажите, что $G$-инвариантные сечения $\pi^*(T\Tot B)$ биективно соответствуют сечениям $T\Tot B$. \итем Убедитесь, что при этом отождествлении, отображение $X \arrow \phi(X_1)$ задает морфизм $\goth{b}\stackrel v \arrow T\Tot B$, где $\goth b$ -- пучок алгебр Ли, построенный в задаче \ref{_b_def_Zadacha_}. Докажите, что это отображение инъективно, если действие $G$ на $V$ точно. \итем Докажите, что для любого $X\in \goth b$ векторное поле $v(X)$ на $\Tot B$ послойно линейно и вертикально. \ее \ез \определение В условиях предыдущей задачи, отождествим послойно линейные вертикальные векторные поля на $\Tot B$ с $\End B$ (задача \ref{_lin_vert_polya_Zadacha_}). Это задает отображение $\goth{b}\arrow \End B$. Его образ $\g_B$ в $\End(B)$ называется {\бф алебра Ли структурной группы расслоения.} \ео \задача Докажите, что $\g_B\subset \End B$ -- подрасслоение, замкнутое относительно коммутатора. \ез \определение Пусть $B:=P\times_G V$ -- векторное расслоение над $M$ со структурной группой $G$, $\nabla_P$ - связность на $P$, а $\nabla_B$ соответствующая ей связность на $B$ (Замечание \ref{_lin_Ehres_from_usual_sv_Zamechanie_}). Тогда $\nabla_B$ называется {\бф связностью, согласованной со структурной группой,} или же {$G$-связностью}. \ео \задача Пусть $B:=P\times_G V$ -- векторное расслоение над $M$ со структурной группой $G$, $\nabla^1,\nabla^2$ -- $G$-связности на $\Tot B$, а $\sigma_1, \sigma_2:\; TM \arrow T\Tot B$ -- соответствующие отображения горизонтального подъема. \енум \итем Докажите, что $\sigma_1(X)-\sigma_2(X)$ -- вертикальное, послойно линейное векторное поле на $\Tot B$, для любого $X\in TM$. \итем Отождествив вертикальные, послойно линейные векторные поля на $\Tot B$ и сечения $\End B$, мы можем считать, что $\sigma_1(X)-\sigma_2(X)\in \End B$. Докажите, что $\sigma_1(X)-\sigma_2(X)$ лежит в $\g_B\subset \End B$. \итем[!] Докажите, что пространство $G$-связностей на $B$ является аффинным пространством над $\Lambda^1 M \otimes \g_B$. \ее \ез \задача[!] Пусть Пусть $B:=P\times_G V$ -- векторное расслоение над $M$ со структурной группой $G$, а $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ -- связность, согласованная с $G$. Докажите, что кривизна $\nabla$ лежит в $\Lambda^2 M\otimes\g_B$. \ез \задача Пусть $B$ -- векторное расслоение со связностью $\nabla$, а $G$ -- его группа голономии. \енум \итем[*] Постройте редукцию структурной группы $B$ к $G$, получив $B=P\times_G V$, где $P$ -- главное $G$-расслоение. \итем[*] Докажите, что связность на $B$ ассоциирована с какой-то связностью на главном расслоении $P$. \итем[*] Докажите, что не существует редукции $B$ к собственной подгруппе $G_1 \subsetneq G$ такой, что $\nabla$ совместима с $G_1$-структурой. \ее \ез \end{document}