\documentclass[10pt]{extarticle} % version 1.0, 02.12.2013 % version 1.1, 02.12.2013 G не действует на присоединенном расслоении! % version 1.2, 16.12.2013 куча мелких ошибок, большая лажа % с леммой о пинг-понге \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 16.12.2013} \newcommand{\firstdate}{02.12.2013} \addtolength{\topmargin}{-15mm} \addtolength{\textheight}{30mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-10mm} \addtolength{\textwidth}{20mm} \input{defs-listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{10}{Векторные расслоения 10: связность в главном расслоении} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Связность Эресманна} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая субмерсия, а $T_\pi M \subset TM$ -- послойное ("вертикальное") касательное расслоение. {\бф Связность Эресманна} есть подрасслоение $B\subset TM$ такое, что $T_\pi M \oplus B = TM$. В такой ситуации, $B$ называется {\бф горизонтальное касательное расслоение} для субмерсии, и обозначается $T_\hor M$ или $T_\nabla M$, где $\nabla$ обозначает связность Эресманна. \ео \задача Докажите, что $T_\hor M$ изоморфно обратному образу $\pi^* TN$. \ез \определение \label{_horiz_lift_Opredelenie_} Пусть $X\in TN$ -- векторное поле. Соответствующее векторное поле $\pi^*X \in \pi^* TM= T_\hor M$ называется {\бф горизонтальным подъемом $X$ в $T_\hor M$}. \ео \замечание Вот пояснение, написанное с целью разъяснить геометрический смысл задачи \ref{_par_transport_Zadacha_}. Параллельный перенос вдоль связности $T_\hor M\subset TM$ есть диффеоморфизм $\Gamma_t$ слоев $\pi$, параметризованных отрезком $t\in [0,1]$, такой, что траектория точки $\Gamma_t(z)$ касается $T_\hor M$ для всех $t\in [0,1]$. \еза \определение Непрерывное отображение называется {\бф собственным}, если прообраз компакта всегда компакт. \ео \задача[!] \label{_par_transport_Zadacha_} Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая собственная субмерсия а $T_\hor M\subset TM$ -- связность Эресманна. Рассмотрим гладкий путь $\gamma:\; [0,1] \arrow N$ с началом в $x\in N$. Докажите, что существует и единственно отображение $\Gamma_t:\; \pi^{-1}(x)\times [0,1]\arrow M$ такой, что $\pi(\Gamma_t(\pi^{-1}(x))=\gamma(t)$, а $\frac{d\Gamma_t}{dt}\in T_\hor M$ \ез \указание Возьмите векторное поле $\pi^{-1}(\dot\gamma)$, полученное подъемом векторов $\dot\gamma =\frac {d\gamma}{dt}$ в $T_\hor M$ (Определение \ref{_horiz_lift_Opredelenie_}), и проинтегрируйте его. \еу \задача Докажите, что операция $\Gamma_t$ задает диффеоморфизм слоев $\pi^{-1}(x)= \pi^{-1}(\gamma(0))$ и $\pi^{-1}(\gamma(t))$ для любого $t\in [0,1]$. \ез \определение Этот диффеоморфизм называется {\бф параллельным переносом вдоль пути $\gamma$, ассоциированным со связностью Эресманна.} \ео \замечание Параллельный перенос можно определить и для несобственных отображений, если векторное поле, полученное из горизонтального поднятия $\dot\gamma$, интегрируется. \еза \задача Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая собственная субмерсия со связной базой, допускающая связность Эресманна. Докажите, что все слои $\pi$ диффеоморфны. \ез \указание Постройте связность Эресманна на $\pi$ и воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \определение {\бф Кривизна связности Эресманна} для субмерсии $\pi:\; M \arrow N$ есть форма Фробениуса подрасслоения $T_\hor M \subset TM$, \[ \Phi:\; \Lambda^2 T_\hor M \arrow T_\pi M. \] Связность Эресманна называется {\бф плоской}, если $\Phi=0$. \ео \определение {\бф Тривиализация} субмерсии $\pi:\; M \arrow N$ есть изоморфизм $M\cong N \times F$, такой, что $\pi$ действует на $M\cong N \times F$ как стандартная проекция. {\бф Тривиальная связность} есть подрасслоение $TF \subset T(F\times N) = TF \oplus TN$. \ео \задача Докажите, что кривизна тривиальной связности равна нулю. \ез \задача Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- собственная субмерсия, $N=\R$, а $\nabla$ -- связность Эресманна на $\pi$. Докажите, что $\pi$ допускает тривиализацию, такую, что $\nabla$ -- тривиальная связность, ассоциированная с этой тривиализацией. \ез \задача[!] Пусть $\pi:\; M \arrow N$ собственная субмерсия, $\pi_1(N)=0$, а $\nabla$ -- плоская связность Эресманна. Докажите, что $\pi$ допускает тривиализацию, такую, что $\nabla$ -- тривиальная связность, ассоциированная с этой тривиализацией. \ез \указание Воспользуйтесь теоремой Фробениуса. \еу \определение Пусть $\pi:\; M \arrow N$ - гладкая субмерсия, а $\nabla$ -- связность Эресманна. {\бф Группа голономий} $\Hol_x$ связности Эресманна в точке $x\in N$ есть подгруппа группы $G$ диффеоморфизмов $\pi^{-1}(x)$, порожденная операциями параллельного переноса вдоль всех петель с началом и концом в $x$. {\бф Локальная группа голономий} есть подгруппа $G$, порожденная операциями параллельного переноса вдоль всех стягиваемых петель с началом и концом в $x$. \ео \задача Пусть $x, y\in N$ -- точки связного многообразия $N$, а $M \arrow N$ -- гладкая собственная субмерсия, снабженная связностью Эресманна. Докажите, что группы голономий $\Hol_x$ и $\Hol_y$ изоморфны. \ез \задача[!] Докажите, что локальная голономия связности тривиальна тогда и только тогда, когда связность плоская. \ез \определение {\бф Свободная полугруппа} от образующих $x,y$ есть полугруппа, порожденная $x,y$, такая, что любые разные слова от $x, y$ представляют разные элементы. \ео \задача (лемма о пинг-понге для полугруппы) Пусть $\phi, \psi:\; X \arrow X$ две биекции на множестве $X$, переводящие $A\subset X$ в подмножество $A$, причем $\phi(A)$ не пересекается с $\psi(A)$. Докажите, что $\phi$ и $\psi$ порождают свободную полугруппу в группе перестановок элементов $X$. \ез \задача \енум \итем[*] (лемма о пинг-понге для группы)\\ Пусть $A_+$, $A_-$, $B_+$, $B_-$ -- непересекающиеся подмножества $X$, а $\phi, \psi:\; X \arrow X$ -- биекции, которые действуют так: \[ \phi (X \backslash A_-) \subset A_+; \quad \phi^{-1} (X \backslash A_+) \subset A_-; \quad \psi(X \backslash B_-) \subset B_+; \quad \psi^{-1}(X \backslash B_+) \subset B_-. \] Докажите, что $\phi, \psi$ порождают свободную группу от двух образующих. \итем[*] Приведите пример собственной субмерсии $M \arrow N$ со связностью Эресманна, голономия которой -- свободная группа от двух образующих. \ее \ез \определение Гладкая субмерсия $\pi:\; M \arrow N$ римановых многообразий называется {\бф римановой субмерсией}, если для каждого вектора $v\in T_xM$, ортогонального $T_\pi M$, имеем $|v|= |D\pi(v)|$. \ео \задача[**] Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- риманова субмерсия полных римановых многообразий, а $T_\hor M$ получено как ортогональное дополнение до вертикального касательного, $T_\hor M=T_\pi M^\bot$. Докажите, что параллельный перенос определен для любого пути, или найдите контрпример. \ез \определение {\бф Группа классов отображений}, или же {\бф группа Тейхмюллера} многообразия $M$ есть группа связных компонент группы диффеоморфизмов (в $C^1$-топологии). \ео \задача[*] Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- собственная субмерсия. Докажите, что действие группы голономий связности Эресманна задает гомоморфизм из $\pi_1(N)$ в группу Тейхмюллера слоев $\pi$. Докажите, что этот гомоморфизм не зависит от выбора связности Эресманна. \ез \задача[*] Найдите расслоение $X \arrow D$ с компактными, односвязными слоями над двумерным диском и связность Эресманна на $X$ такую, что группа голономий связности действует на слое без неподвижных точек. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Связность Эресманна и 1-джеты} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $\pi:\; X \arrow Y$ -- гладкая субмерсия, а $s_1, s_2:\; Y \arrow X$ -- сечения $\pi$, которые проходят через точку $x\in X$. Говорится, что $s_1$ и $s_2$ {\бф имеют одинаковый 1-джет в $x$}, если $T_x S_1=T_xS_2$, где $S_1=\im s_1$ и $S_2=\im s_2$. Пространство классов эквивалентности обозначается $J^1_x(X, \pi)$, а объединение $J^1_x(X)$ по всем $x\in X$ называется {\бф пространство 1-джетов сечений $\pi$}, и обозначается $J^1(X,\pi)$. Мы рассматриваем на $J^1(X,\pi)$ топологию, индуцированную $C^1$-топологией на пространстве сечений. \ео \определение Пусть $B$ -- векторное расслоение над $X$. {\бф Аффинное расслоение с линеаризацией $B$} есть гладкое расслоение $E\arrow X$, снабженное действием $B\times_X E \arrow E$, перестановочным с проекцией на $X$, и индуцирующее изоморфизм между слоями $B$ и слоями $E$. \ео \задача Рассмотрим естественную проекцию $\pi_1:\; J^1(X,\pi)\arrow X$ из пространства 1-джетов сечений. Докажите, что $\pi_1$ есть аффинное расслоение с линеаризацией $\Hom(\pi^* TY, T_\pi X)$. \ез %\указание %Постройте действие $\Hom(\pi^* TY, T_\pi X)$ %на пространстве 1-джетов, изучите его свойства. %\еу \задача Постройте точную последовательность расслоений на $J^1(X,\pi)$ \[ 0\arrow \Hom(\pi_1^*\pi^* TY, \pi_1^* B) \arrow TJ^1(X,\pi) \arrow TX \arrow 0. \] \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача \label{_ehre_jets_constr_Zadacha_} Пусть $T_\hor X \subset TX$ -- связность Эресманна на гладкой субмерсии $\pi:\; X \arrow Y$. \енум \итем Докажите, что для каждой точки $x\in X$, в какой-то окрестности $U\ni \pi(x)$ существует сечение $s:\; U \arrow X$, содержащее $x$, и касательное к $T_\hor X$. \итем Докажите, что 1-джет такого сечения в $x$ задается этим условием однозначно. \ее \ез \задача[!] \label{_ehre_jets_bije_Zadacha_} Постройте биекцию между множеством связностей Эресманна и множеством сечений проекции $\pi_1:\; J^1(X,\pi) \arrow X$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \определение Сечение расслоения 1-джетов, построенное в предыдущей задаче, называется {\бф задающим связность}, связность, построенную по сечению расслоения 1-джетов -- {\бф заданной сечением расслоения 1-джетов}. \ео \задача Пусть $B\arrow M$ -- векторное расслоение со связностью $\nabla$. \енум \итем[!] Докажите, что для каждой точки $b\in \Tot B$ в какой-то окрестности $U\ni \pi(b)$ существует сечение $s:\; U \arrow \Tot B$, содержащее $b$, и удовлетворяющее $\nabla s\restrict{\pi(b)}=0$. \итем[!] Докажите, что 1-джет такого сечения в $b$ задается этим условием однозначно. \ее \ез \определение Такая связность Эресманна на $\Tot B$ называется {\бф линейной}, или {\бф индуцированной линейной связностью $\nabla$.} \ео \задача Пусть $\pi_1:\; X_1\arrow M, \pi_2:\; X_2\arrow M, \pi_3:\; X_3\arrow M$ -- гладкие расслоения, а $\Phi:\; X_1 \times_M X_2 \arrow X_3$ -- морфизм гладких расслоений, то есть гладкое отображение, перестановочное с проекцией в $M$. Докажите, что $\Phi$ индуцирует морфизм джет-расслоений $J^1(\Phi):\; J^1(X_1, \pi_1) \times J^1(X_2, \pi_2)\arrow J^1(X_3, \pi_3)$. \ез \определение В условиях предыдущей задачи, пусть на $\pi_i$ заданы связности $\nabla^i$, определяющие сечения $s_i$ проекций $J^1(X_i, \pi_i)\arrow X_i$. Мы говорим, что отображение $\Phi$ {\бф совместимо со связностями}, если $J^1(\Phi)(s_1 \times s_2)=s_3$. \ео \задача Пусть $\Phi:\; X_1 \times_M X_2 \arrow X_3$ -- морфизм гладких расслоений, совместимый со связностями $\nabla^i$ на $\pi_i:\; X_i\arrow M$. Докажите, что $\Phi$ переводит любую пару сечений, касательных к $T_\hor X_i$, $i=1,2$, в сечение $\pi_3$, касательное к $T_\hor X_3$. \ез \задача Пусть $B$ -- векторное расслоение над $M$, $\Tot B$ -- его тотальное пространство, $\Tot C^\infty M=\R \times M$ -- тотальное пространство тривиального расслоения, снабженное тривиальной связностью, а $\Tot B \times \Tot B \stackrel \mu \arrow \Tot B$ и $\Tot C^\infty M \times \Tot B \stackrel v \arrow \Tot B$ -- морфизмы гладких расслоений, заданные аддитивной структурой на $B$ и умножением на функции. Рассмотрим связность Эресманна $\nabla$ на $\Tot B \arrow M$. \енум \итем Пусть $\nabla$ линейная связность. Докажите, что отображения $\mu$ и $v$ совместимы со связностью. \итем[!] Пусть отображения $\mu$ и $v$ совместимы со связностью. Докажите, что $\nabla$ линейна. \ее \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Связность на главном $G$-расслоении} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $G$ -- группа Ли, $E\arrow M$ -- главное $G$-расслоение, а $T_\hor E \subset TE$ -- связность Эресманна. Она называется {\бф $G$-инвариантной}, если для любого $g\in G$ и $X\in T_\hor E$, поле $g(X)$ лежит в $T_\hor E$. {\бф Связность на главном $G$-расслоении} есть $G$-инвариантная связность Эресманна. \ео %\определение %Пусть $M$ многообразие с краем, $N$ без края, a %$\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая субмерсия %многообразий с компактными слоями, снабженная %подрасслоением $T_\hor M\subset TM$ таким образом, что %в гладких точках оно дает связность Эресманна %$T_\hor M\oplus T_\pi M= TM$, а %в точках края $\6 M$ имеем $T_\hor M\subset T\6 M$ %(то есть при ограничении %на край $M$ связность Эресманна дает связность там). %В этой ситуации говорится, что на субмерсии многообразий %с краем задана связность Эресманна. %\ео % %\задача[!] %Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая субмерсия %многообразий с краем, с компактными слоями и %снабженная связностью Эресманна. Докажите, что %параллельный перенос вдоль связности везде определен %и задает диффеоморфизм слоев $\pi$. %\ез \задача[**] Докажите, что операция параллельного переноса на главном $G$-расслоении всегда корректно определена, даже если $G$ не компактно. \ез %\указание %Воспользуйтесь предыдущей задачей. %\еу \задача Пусть $X$ -- топологическое пространство, на котором группа $G$ действует непрерывно, свободно и транзитивно (такое пространство называется {\бф торсором над $G$}). Рассмотрим группу $H$ гомеоморфизмов $X$, коммутирующих с действием $G$. Постройте естественный изоморфизм $G\arrow H$. \ез \задача[!] Докажите, что группа голономии $G$-инвариантной связности на главном $G$-расслоении есть подгруппа $G$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть ${\cal A}$ -- пространство связностей Эресманна на $M \stackrel \pi \arrow N$. Докажите, что ${\cal A}$ является аффинным пространством с линеаризацией $\Hom(\pi^* TN, T_\pi M)$. \ез \задача Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая субмерсия, $\alpha_i$ -- функции на $N$ такие, что $\sum \alpha_i=1$, а $\nabla_i$ -- связности Эресманна. Определите $\sum_i \alpha_i \nabla_i$ и докажите, что это тоже связность Эресманна. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- главное $G$-расслоение. Докажите, что $\pi$ всегда допускает $G$-инвариантную связность Эресманна. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $E \arrow N$ -- главное $G$-расслоение, а $X$ -- гладкое многообразие с действием $G$. Обозначим за ${\cal X}$ многообразие ${\cal X}:= E\times_G X$. \енум \итем Докажите, что ${\cal X} \arrow N$ есть локально-тривиальное гладкое расслоение со слоями, диффеоморфными $X$. \итем Пусть $TE=T_\pi E \oplus T_\hor E$ -- $G$-инвариантная связность Эресманна, а $v:\; X \times E \arrow E\times_G X$ -- стандартная проекция. Докажите, что $T_\hor {\cal X}:= Dv(T_\hor E)$ задает связность Эресманна на ${\cal X}\arrow N$ \ее \ез \определение В условиях предыдущей задачи, $Dv(T_\hor E)$ называется {\бф связностью Эресманна на присоединенном расслоении, индуцированной связностью $T_\hor E$ на главном $G$-расслоении.} \ео \задача[!] Пусть $M\stackrel \pi\arrow N$ -- главное $G$-расслоение, $\nabla$ -- связность на $\pi$, $V$ -- представление $G$, а $B \arrow N$ -- присоединенное векторное расслоение, $B=M \times_G V$. Рассмотрим связность Эресманна $\nabla^B$ на $\Tot B$, индуцированную с $\nabla$. Докажите, что это линейная связность. \ез \задача[!] Пусть $M\stackrel\pi \arrow N$ -- главное $GL(n)$-расслоение, а $V$ -- фундаментальное $n$-мерное представление $G$. Докажите, что каждая линейная связность на $\Tot(M\times_G V)$ индуцирована связностью на главном расслоении $\pi$. \ез \задача Пусть $M\stackrel\pi \arrow N$ -- главное $O(n)$-расслоение, а $V$ -- фундаментальное $n$-мерное представление $G$. Докажите, что каждая ортогональная связность на $\Tot(M\times_G V)$ индуцирована связностью на главном расслоении $\pi$. \ез \определение Пусть $E \arrow M$ -- главное $G$-расслоение, $V$ -- представление $G$, а $B:= E\times_G V$ -- присоединенное векторное расслоение. Напомним, что в такой ситуации $G$ называется {\бф структурной группой} $B$. Говорится, что линейная связность $\nabla$ на $B$ {\бф согласована со структурной группой $G$}, если $\nabla$ индуцирована связностью на главном расслоении $E$. В такой ситуации $\nabla$ называется $G$-связностью. \ео \NewVedomost \subsection{Связности и кривизна} \задача Пусть $X$ -- торсор над группой Ли $G$. Докажите, что пространство $G$-инвариантных векторных полей на $X$ канонически отождествляется с алгеброй Ли $G$. \ез \задача Пусть $M \stackrel \pi \arrow N$ -- главное $G$-расслоение, а ${\cal A}$ -- пространство связностей на $\pi$. \енум \итем Докажите, что ${\cal A}$ есть аффинное векторное пространство, линеаризация которого $W$ отождествляется с пространством $G$-инвариантных сечений $\pi^* \Lambda^1 N \otimes T_\pi M$. \итем[!] Докажите, что $W$ канонически изоморфно $\Lambda^1 N \otimes_\R {\goth g}$, где $\goth g$ есть алгебра Ли $G$. \ее \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $M \stackrel \pi \arrow N$ -- главное $G$-расслоение, $\nabla$ -- связность на нем, а $\Theta\in \pi^* \Lambda^2 N \otimes T_\hor M$ -- ее кривизна. \енум \итем Докажите, что $\Theta$ лежит в пространстве $R$ $G$-инвариантных сечений $\pi^* \Lambda^2 N \otimes T_\hor M$. \итем Отождествите $R$ и $\Lambda^2 N \otimes_\R \goth g$, где $\goth g$ есть алгебра Ли $G$. \ее \ез \задача[!] Пусть $E \arrow M$ -- главное $G$-расслоение, $V$ -- представление $G$, а $B:= E\times_G V$ -- присоединенное векторное расслоение. Рассмотрим $G$-связность $\nabla$ на $B$, и пусть $\rho:\; {\goth g}\arrow \End B$ -- отображение, касательное естественному действию $G$ на $B$. Докажите, что кривизна $\nabla$ лежит в $\Lambda^2 M \otimes (\im \rho)$. \ез \задача[*] Пусть $E \arrow M$ -- главное $G$-расслоение, $V$ -- представление $G$, а $B:= E\times_G V$ -- присоединенное векторное расслоение. Рассмотрим какую-то форму $\Theta\in \Lambda^2 M \otimes (\im \rho)$. Докажите, что $\Theta$ можно реализовать как кривизну $G$-связности, или найдите контрпример. \ез \задача[!] Пусть $E \arrow M$ -- главное $G$-расслоение, $V$ -- представление $G$, а $B:= E\times_G V$ -- присоединенное векторное расслоение. Рассмотрим группу $G_x$ автоморфизмов слоя $B\restrict x$, полученную из $G$-автоморфизмов слоев $E$. Докажите, что эта группа изоморфна (неканонически) образу $G$ в $\End V$. Докажите, что голономия любой $G$-связности лежит в $G_x$. \ез \задача[**] Пусть $E \arrow M$ -- главное $G$-расслоение, $V$ -- представление $G$, а $B:= E\times_G V$ -- присоединенное векторное расслоение. Предположим, что $\dim M\geq 2$. Постройте $G$-связность, голономия которой равна образу $G$. \ез \end{document}