\documentclass[10pt]{extarticle}

% version 1.0, 02.12.2013 
% version 1.1, 02.12.2013 G не действует на присоединенном расслоении!
% version 1.2, 16.12.2013 куча мелких ошибок, большая лажа
% с леммой о пинг-понге

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   16.12.2013}
\newcommand{\firstdate}{02.12.2013}


\addtolength{\topmargin}{-15mm}
\addtolength{\textheight}{30mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}



\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{10}{Векторные расслоения 10: связность в главном расслоении}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает
$2t$ баллов,
если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Связность Эресманна}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая субмерсия,
а $T_\pi M \subset TM$ -- послойное ("вертикальное")
касательное расслоение.
{\бф Связность Эресманна} есть подрасслоение $B\subset TM$
такое, что $T_\pi M \oplus B = TM$.
В такой ситуации, $B$ называется {\бф горизонтальное
касательное расслоение} для субмерсии, и обозначается
$T_\hor M$ или $T_\nabla M$, где $\nabla$ обозначает
связность Эресманна.
\ео

\задача
Докажите, что $T_\hor M$ изоморфно 
обратному образу $\pi^* TN$.
\ез

\определение
\label{_horiz_lift_Opredelenie_}
Пусть $X\in TN$ -- векторное поле.
Соответствующее векторное поле $\pi^*X \in \pi^* TM= T_\hor M$
называется {\бф горизонтальным подъемом $X$ в $T_\hor M$}.
\ео

\замечание
Вот пояснение, написанное с целью разъяснить
геометрический смысл задачи \ref{_par_transport_Zadacha_}.
Параллельный перенос вдоль связности $T_\hor M\subset TM$
есть диффеоморфизм $\Gamma_t$ слоев $\pi$, параметризованных
отрезком $t\in [0,1]$, такой, что 
траектория точки $\Gamma_t(z)$ касается
$T_\hor M$ для всех $t\in [0,1]$.
\еза

\определение
Непрерывное отображение называется
{\бф собственным}, если прообраз компакта всегда компакт.
\ео

\задача[!]
\label{_par_transport_Zadacha_}
Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая собственная субмерсия
а $T_\hor M\subset TM$ -- связность Эресманна.
Рассмотрим гладкий путь $\gamma:\; [0,1] \arrow N$
с началом в $x\in N$. Докажите, что существует
и единственно отображение $\Gamma_t:\; \pi^{-1}(x)\times [0,1]\arrow M$
такой, что $\pi(\Gamma_t(\pi^{-1}(x))=\gamma(t)$, а 
$\frac{d\Gamma_t}{dt}\in T_\hor M$
\ез

\указание
Возьмите векторное поле $\pi^{-1}(\dot\gamma)$, 
полученное подъемом векторов $\dot\gamma
=\frac {d\gamma}{dt}$ в $T_\hor M$ (Определение
\ref{_horiz_lift_Opredelenie_}), и проинтегрируйте его.
\еу

\задача
Докажите, что операция $\Gamma_t$ задает диффеоморфизм
слоев $\pi^{-1}(x)= \pi^{-1}(\gamma(0))$ и
$\pi^{-1}(\gamma(t))$
для любого $t\in [0,1]$.
\ез

\определение
Этот диффеоморфизм называется {\бф параллельным переносом
вдоль пути $\gamma$, ассоциированным со связностью
Эресманна.}
\ео

\замечание
Параллельный перенос можно определить и для несобственных
отображений, если векторное поле, полученное из горизонтального
поднятия $\dot\gamma$, интегрируется.
\еза

\задача
Пусть  $\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая собственная субмерсия
со связной базой, допускающая
связность Эресманна. Докажите, что все слои $\pi$
диффеоморфны.
\ез

\указание Постройте связность Эресманна на $\pi$ и 
воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\определение
{\бф Кривизна связности Эресманна} для субмерсии
 $\pi:\; M \arrow N$ есть форма Фробениуса
подрасслоения $T_\hor M \subset TM$,
\[
 \Phi:\; \Lambda^2 T_\hor M \arrow T_\pi M.
\]
Связность Эресманна называется {\бф плоской},
если $\Phi=0$.
\ео

\определение
{\бф Тривиализация} субмерсии
$\pi:\; M \arrow N$ есть изоморфизм
$M\cong N \times F$, такой, что $\pi$ действует
на $M\cong N \times F$ как стандартная проекция.
{\бф Тривиальная связность} есть подрасслоение
$TF \subset T(F\times N) = TF \oplus TN$.
\ео

\задача
Докажите, что кривизна тривиальной связности равна нулю.
\ез

\задача
Пусть $\pi:\; M \arrow N$ --
собственная субмерсия, $N=\R$,
а $\nabla$ -- связность Эресманна на $\pi$.
Докажите, что $\pi$ допускает тривиализацию,
такую, что $\nabla$ -- тривиальная связность,
ассоциированная с этой тривиализацией.
\ез

\задача[!]
Пусть $\pi:\; M \arrow N$ 
собственная субмерсия, $\pi_1(N)=0$,
а $\nabla$ -- плоская связность Эресманна.
Докажите, что $\pi$ допускает тривиализацию,
такую, что $\nabla$ -- тривиальная связность,
ассоциированная с этой тривиализацией.
\ез

\указание
Воспользуйтесь теоремой Фробениуса.
\еу

\определение
Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -
гладкая субмерсия,
а $\nabla$ -- связность Эресманна.
{\бф Группа голономий} $\Hol_x$
связности Эресманна в точке $x\in N$
есть подгруппа группы $G$ диффеоморфизмов
$\pi^{-1}(x)$, порожденная операциями
параллельного переноса вдоль всех 
петель с началом и концом в $x$.
{\бф Локальная группа голономий} 
есть подгруппа $G$, порожденная операциями
параллельного переноса вдоль всех 
стягиваемых петель с началом и концом в $x$.
\ео

\задача
Пусть $x, y\in N$ -- точки связного многообразия $N$,
а $M \arrow N$ -- гладкая собственная субмерсия,
снабженная связностью Эресманна. Докажите, что группы
голономий $\Hol_x$ и $\Hol_y$ изоморфны.
\ез

\задача[!]
Докажите, что локальная голономия связности
тривиальна тогда и только тогда, когда
связность плоская.
\ез

\определение
{\бф Свободная полугруппа} от образующих
$x,y$ есть полугруппа, порожденная $x,y$,
такая, что любые разные слова от $x, y$ представляют
разные элементы. 
\ео


\задача
(лемма о пинг-понге для полугруппы)
Пусть $\phi, \psi:\; X \arrow X$ две биекции на множестве
$X$, переводящие $A\subset X$ в подмножество $A$,
причем $\phi(A)$ не пересекается с $\psi(A)$.
Докажите, что $\phi$ и $\psi$ порождают свободную полугруппу
в группе перестановок элементов $X$.
\ез

\задача
\енум
\итем[*] (лемма о пинг-понге для группы)\\ Пусть 
$A_+$, $A_-$, $B_+$, $B_-$ -- непересекающиеся
подмножества $X$, а $\phi, \psi:\; X \arrow X$ -- биекции,
которые действуют так: 
\[ \phi (X \backslash A_-) \subset A_+; \quad 
\phi^{-1} (X \backslash A_+) \subset A_-; \quad
\psi(X \backslash B_-) \subset B_+; 
\quad \psi^{-1}(X \backslash B_+) \subset B_-.
\]
Докажите, что $\phi, \psi$ порождают свободную группу
от двух образующих.
\итем[*]
Приведите пример собственной субмерсии $M \arrow N$ со связностью
Эресманна, голономия которой -- свободная группа от двух образующих.
\ее
\ез



\определение
Гладкая субмерсия $\pi:\; M \arrow N$ 
римановых многообразий называется {\бф римановой
субмерсией}, если для каждого вектора
$v\in T_xM$, ортогонального $T_\pi M$, имеем
$|v|= |D\pi(v)|$.
\ео


\задача[**]
Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- риманова субмерсия
полных римановых многообразий, а $T_\hor M$  
получено как ортогональное дополнение до вертикального касательного,
$T_\hor M=T_\pi M^\bot$. Докажите, что параллельный
перенос определен для любого пути, или найдите контрпример.
\ез

\определение
{\бф Группа классов отображений}, или же {\бф группа
Тейхмюллера}
многообразия $M$ есть
группа связных компонент группы диффеоморфизмов (в
$C^1$-топологии).
\ео

\задача[*]
Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- собственная субмерсия.
Докажите, что действие группы голономий связности
Эресманна задает гомоморфизм из $\pi_1(N)$ в
группу Тейхмюллера слоев $\pi$. Докажите, что
этот гомоморфизм не зависит от выбора связности
Эресманна.
\ез

\задача[*]
Найдите расслоение  $X \arrow D$ с компактными, 
односвязными слоями над двумерным диском
 и связность Эресманна на $X$ такую, что
группа голономий связности действует на
слое без неподвижных точек.
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Связность Эресманна и 1-джеты}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $\pi:\; X \arrow Y$ -- гладкая субмерсия,
а $s_1, s_2:\; Y \arrow X$ -- сечения $\pi$, которые
проходят через точку $x\in X$. Говорится, что
$s_1$ и $s_2$ {\бф имеют одинаковый 1-джет в $x$},
если $T_x S_1=T_xS_2$, где $S_1=\im s_1$ и $S_2=\im s_2$.
Пространство классов эквивалентности обозначается $J^1_x(X, \pi)$,
а объединение $J^1_x(X)$ по всем $x\in X$ называется
{\бф пространство 1-джетов сечений $\pi$}, и обозначается
$J^1(X,\pi)$. Мы рассматриваем на $J^1(X,\pi)$
топологию, индуцированную $C^1$-топологией на
пространстве сечений.
\ео

\определение
Пусть $B$ -- векторное расслоение над $X$.
{\бф Аффинное расслоение с линеаризацией $B$}
есть гладкое расслоение $E\arrow X$, снабженное
действием $B\times_X E \arrow E$, перестановочным
с проекцией на $X$, и индуцирующее изоморфизм
между слоями $B$ и слоями $E$.
\ео

\задача
Рассмотрим естественную проекцию
$\pi_1:\; J^1(X,\pi)\arrow X$ из пространства 1-джетов сечений.
Докажите, что $\pi_1$ есть аффинное расслоение
с линеаризацией $\Hom(\pi^* TY, T_\pi X)$.
\ез

%\указание
%Постройте действие $\Hom(\pi^* TY, T_\pi X)$
%на пространстве 1-джетов, изучите его свойства.
%\еу

\задача
Постройте точную последовательность расслоений на $J^1(X,\pi)$
\[
0\arrow \Hom(\pi_1^*\pi^* TY, \pi_1^* B) \arrow TJ^1(X,\pi)
\arrow TX \arrow 0.
\]
\ез


\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
\label{_ehre_jets_constr_Zadacha_}
Пусть $T_\hor X \subset TX$ -- связность Эресманна
на гладкой субмерсии $\pi:\; X \arrow Y$.
\енум
\итем Докажите, что для каждой точки $x\in X$, 
в какой-то окрестности $U\ni \pi(x)$ существует
сечение $s:\; U \arrow X$, содержащее $x$,
и касательное к $T_\hor X$.
\итем Докажите, что 1-джет такого сечения
в $x$ задается этим условием однозначно.
\ее
\ез

\задача[!]
\label{_ehre_jets_bije_Zadacha_}
Постройте биекцию между множеством связностей
Эресманна и множеством сечений проекции
$\pi_1:\; J^1(X,\pi) \arrow X$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\определение
Сечение расслоения 1-джетов, построенное
в предыдущей задаче, называется
{\бф задающим связность},
связность, построенную по сечению
расслоения 1-джетов -- {\бф заданной
сечением расслоения 1-джетов}.
\ео

\задача
Пусть $B\arrow M$ -- векторное расслоение со связностью
$\nabla$.
\енум
\итем[!]
Докажите, что для каждой точки $b\in \Tot B$
в какой-то окрестности $U\ni \pi(b)$ существует
сечение $s:\; U \arrow \Tot B$, содержащее $b$,
и удовлетворяющее $\nabla s\restrict{\pi(b)}=0$.
\итем[!] Докажите, что 1-джет такого сечения
в $b$ задается этим условием однозначно.
\ее
\ез

\определение
Такая связность Эресманна на $\Tot B$ называется
{\бф линейной}, или {\бф индуцированной линейной связностью $\nabla$.}
\ео


\задача
Пусть $\pi_1:\; X_1\arrow M, \pi_2:\; X_2\arrow M, \pi_3:\; X_3\arrow M$ --
гладкие расслоения, а $\Phi:\; X_1 \times_M X_2 \arrow X_3$ --
морфизм гладких расслоений, то есть гладкое отображение,
перестановочное с проекцией в $M$.
Докажите, что $\Phi$ индуцирует морфизм джет-расслоений
$J^1(\Phi):\; J^1(X_1, \pi_1) \times J^1(X_2, \pi_2)\arrow J^1(X_3, \pi_3)$.
\ез

\определение
В условиях предыдущей задачи, пусть на $\pi_i$ заданы
связности $\nabla^i$, определяющие сечения $s_i$
проекций $J^1(X_i, \pi_i)\arrow X_i$.
Мы говорим, что отображение $\Phi$ {\бф совместимо со связностями},
если $J^1(\Phi)(s_1 \times s_2)=s_3$.
\ео

\задача
Пусть $\Phi:\; X_1 \times_M X_2 \arrow X_3$ -- морфизм
гладких расслоений, совместимый со связностями $\nabla^i$ на
$\pi_i:\; X_i\arrow M$. Докажите, что $\Phi$ переводит любую
пару сечений, касательных к $T_\hor X_i$, $i=1,2$, в сечение
$\pi_3$, касательное к $T_\hor X_3$.
\ез

\задача
Пусть $B$ -- векторное расслоение над $M$, $\Tot B$ -- его
тотальное пространство, $\Tot C^\infty M=\R \times M$ -- тотальное 
пространство тривиального расслоения, снабженное тривиальной
связностью, а $\Tot B \times \Tot B \stackrel \mu \arrow \Tot B$
и $\Tot C^\infty M \times \Tot B \stackrel v \arrow \Tot B$ --
морфизмы гладких расслоений, заданные
аддитивной структурой на $B$ и умножением на функции.
Рассмотрим связность Эресманна $\nabla$ на $\Tot B \arrow M$.
\енум
\итем Пусть $\nabla$ линейная связность. 
Докажите, что отображения $\mu$ и $v$ совместимы со связностью.
\итем[!] Пусть отображения $\mu$ и $v$ совместимы со связностью.
Докажите, что $\nabla$ линейна.
\ее
\ез







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Связность на главном $G$-расслоении}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $G$ -- группа Ли, $E\arrow M$ -- главное
$G$-расслоение, а $T_\hor E \subset TE$ -- связность
Эресманна. Она называется {\бф $G$-инвариантной},
если для любого $g\in G$ и $X\in T_\hor E$,
поле $g(X)$ лежит в  $T_\hor E$.
{\бф Связность на главном $G$-расслоении}
есть $G$-инвариантная связность Эресманна.
\ео

%\определение
%Пусть $M$ многообразие с краем, $N$ без края, a 
%$\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая субмерсия
%многообразий с компактными слоями, снабженная
%подрасслоением $T_\hor M\subset TM$ таким образом, что
%в гладких точках оно дает связность Эресманна
%$T_\hor M\oplus T_\pi M= TM$, а
%в точках края $\6 M$ имеем $T_\hor M\subset T\6 M$
%(то есть при ограничении
%на край $M$ связность Эресманна дает связность там).
%В этой ситуации говорится, что на субмерсии многообразий
%с краем задана связность Эресманна.
%\ео
%
%\задача[!]
%Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая субмерсия
%многообразий с краем, с компактными слоями и 
%снабженная связностью Эресманна. Докажите, что
%параллельный перенос вдоль связности везде определен
%и задает диффеоморфизм слоев $\pi$.
%\ез


\задача[**]
Докажите, что операция 
параллельного переноса на главном $G$-расслоении
всегда корректно определена, даже если $G$ не компактно.
\ез

%\указание
%Воспользуйтесь предыдущей задачей.
%\еу

\задача
Пусть $X$ -- топологическое пространство, на котором группа $G$ действует
непрерывно, свободно и транзитивно (такое пространство называется
{\бф торсором над $G$}). Рассмотрим группу $H$ гомеоморфизмов $X$,
коммутирующих с действием $G$. Постройте естественный
изоморфизм $G\arrow H$.
\ез

\задача[!]
Докажите, что группа голономии $G$-инвариантной связности
на главном $G$-расслоении есть подгруппа $G$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу



\задача
Пусть ${\cal A}$ -- пространство связностей Эресманна
на $M \stackrel \pi \arrow N$. Докажите, что ${\cal A}$
является аффинным пространством с линеаризацией
$\Hom(\pi^* TN, T_\pi M)$.
\ез

\задача
Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- гладкая субмерсия,
$\alpha_i$ -- функции на $N$ такие, что $\sum \alpha_i=1$,
а $\nabla_i$ -- связности Эресманна. Определите
$\sum_i \alpha_i \nabla_i$ и докажите, что это
тоже связность Эресманна.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $\pi:\; M \arrow N$ -- главное $G$-расслоение.
Докажите, что $\pi$ всегда допускает $G$-инвариантную
связность Эресманна.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $E \arrow N$ -- главное $G$-расслоение, а $X$ --
гладкое многообразие с действием $G$. Обозначим за ${\cal
X}$ многообразие ${\cal X}:= E\times_G X$.
\енум
\итем Докажите, что ${\cal X} \arrow N$ есть
локально-тривиальное гладкое расслоение со слоями,
диффеоморфными $X$.
\итем Пусть $TE=T_\pi E \oplus T_\hor E$ --
$G$-инвариантная связность Эресманна, а $v:\; X \times E
\arrow  E\times_G X$ -- стандартная проекция. Докажите,
что $T_\hor {\cal X}:= Dv(T_\hor E)$ задает связность
Эресманна на ${\cal X}\arrow N$
\ее
\ез

\определение
В условиях предыдущей задачи, $Dv(T_\hor E)$
называется {\бф связностью Эресманна на присоединенном
расслоении, индуцированной связностью $T_\hor E$ на
главном $G$-расслоении.}
\ео

\задача[!] Пусть $M\stackrel \pi\arrow N$ -- главное 
$G$-расслоение, $\nabla$ -- связность на $\pi$,
$V$ -- представление $G$, а $B \arrow N$ -- присоединенное
векторное расслоение, $B=M \times_G V$. Рассмотрим связность 
Эресманна $\nabla^B$ на $\Tot B$, индуцированную с $\nabla$.
Докажите, что это линейная связность.
\ез

\задача[!] Пусть $M\stackrel\pi \arrow N$ -- 
главное $GL(n)$-расслоение, а $V$ -- фундаментальное
$n$-мерное представление $G$. Докажите, что каждая
линейная связность на $\Tot(M\times_G V)$ индуцирована
связностью на главном расслоении $\pi$.
\ез


\задача Пусть $M\stackrel\pi \arrow N$ -- 
главное $O(n)$-расслоение, а $V$ -- фундаментальное
$n$-мерное представление $G$. Докажите, что каждая
ортогональная связность на $\Tot(M\times_G V)$ индуцирована
связностью на главном расслоении $\pi$.
\ез

\определение
Пусть $E \arrow M$ -- главное $G$-расслоение, $V$ -- представление
$G$, а $B:= E\times_G V$ -- присоединенное векторное расслоение.
Напомним, что в такой ситуации $G$ называется {\бф структурной
группой} $B$. Говорится, что линейная связность $\nabla$ на $B$
{\бф согласована со структурной группой $G$}, если
$\nabla$ индуцирована связностью на главном расслоении $E$.
В такой ситуации $\nabla$ называется $G$-связностью.
\ео

\NewVedomost

\subsection{Связности и кривизна}

\задача
Пусть $X$ -- торсор над группой Ли $G$.
Докажите, что пространство $G$-инвариантных
векторных полей на $X$ канонически отождествляется
с алгеброй Ли $G$.
\ез

\задача
Пусть $M \stackrel \pi \arrow N$ -- главное $G$-расслоение,
а ${\cal A}$ -- пространство связностей на $\pi$.
\енум
\итем Докажите, что ${\cal A}$ есть аффинное векторное
пространство, линеаризация которого $W$ 
отождествляется с пространством $G$-инвариантных 
сечений $\pi^* \Lambda^1 N \otimes T_\pi M$.
\итем[!] Докажите, что $W$ канонически изоморфно
$\Lambda^1 N \otimes_\R {\goth g}$, где $\goth g$
есть алгебра Ли $G$.
\ее
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\задача
Пусть $M \stackrel \pi \arrow N$ -- главное $G$-расслоение,
$\nabla$ -- связность на нем, а 
$\Theta\in \pi^* \Lambda^2 N \otimes T_\hor M$ -- ее кривизна.
\енум
\итем 
Докажите, что $\Theta$ лежит в пространстве $R$ 
$G$-инвариантных сечений $\pi^* \Lambda^2 N \otimes T_\hor M$.
\итем Отождествите $R$ и $\Lambda^2 N \otimes_\R \goth g$, где
$\goth g$ есть алгебра Ли $G$.
\ее
\ез

\задача[!]
Пусть $E \arrow M$ -- главное $G$-расслоение, $V$ -- представление
$G$, а $B:= E\times_G V$ -- присоединенное векторное расслоение.
Рассмотрим $G$-связность $\nabla$ на $B$, и пусть 
$\rho:\; {\goth g}\arrow \End B$ -- отображение, касательное
естественному действию $G$ на $B$. 
Докажите, что кривизна $\nabla$ лежит в $\Lambda^2 M \otimes (\im \rho)$.
\ез

\задача[*] Пусть $E \arrow M$ -- главное $G$-расслоение, $V$ -- представление
$G$, а $B:= E\times_G V$ -- присоединенное векторное расслоение.
Рассмотрим какую-то форму $\Theta\in \Lambda^2 M \otimes (\im \rho)$.
Докажите, что $\Theta$ можно реализовать как кривизну
$G$-связности, или найдите контрпример.
\ез

\задача[!]
Пусть $E \arrow M$ -- главное $G$-расслоение, $V$ -- представление
$G$, а $B:= E\times_G V$ -- присоединенное векторное расслоение.
Рассмотрим группу $G_x$ автоморфизмов слоя $B\restrict x$,
полученную из $G$-автоморфизмов слоев $E$. Докажите, что
эта группа изоморфна (неканонически) образу $G$ в $\End V$. Докажите, что
голономия любой $G$-связности лежит в $G_x$. 
\ез

\задача[**]
Пусть $E \arrow M$ -- главное $G$-расслоение, $V$ -- представление
$G$, а $B:= E\times_G V$ -- присоединенное векторное расслоение.
Предположим, что $\dim M\geq 2$. Постройте $G$-связность,
голономия которой равна образу $G$.
\ез

\end{document}
