\documentclass[9pt]{extarticle}

% version 1.0, 22.11.2013
% version 1.1, 01.12.2013, трехмерное подрасслоение вместо подмногообразия 
% трансверсально симплектическое был тоже бред
% version 1.2, задача 9.32 бред, 09.12.2013
% version 1.2.1, конус без нуля, 16.12.2013
% version 1.3, несколько исправлений от анона из LJR

\newcommand{\version}{version 1.3,\ \   22.04.2020}
\newcommand{\firstdate}{25.11.2013}


\addtolength{\topmargin}{-25mm}
\addtolength{\textheight}{50mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

\input{defs-listki.tex}



\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{9}{Векторные расслоения 9: теорема Фробениуса}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает
$2t$ баллов,
если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Распределения, слоения и субмерсии}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
{\бф Распределение} на многообразии $M$ есть подрасслоение в $TM$.
\ео

\задача
Пусть $\pi_1(M)=0$ и у $TM$ есть одномерное подрасслоение.
Докажите, что на $TM$ есть нигде не зануляющееся векторное поле.
\ез

\задача[!]
Найдите двумерное многообразие $M$ такое, что
у $TM$ нет одномерного подрасслоения.
\ез

\задача[**]
Найдите трехмерное, компактное многообразие $M$ такое, что
у $TM$ нет одномерного подрасслоения, или докажите, что его
не бывает.
\ез

\задача[**]
Найдите некомпактное многообразие $M$ такое, что
у $TM$ нет одномерного подрасслоения, или докажите, что его
не бывает.
\ез

\задача
Найдите четырехмерное многообразие $M$, такое, что у $TM$ нет нетривиальных
трехмерных подрасслоений.
\ез

\определение
Гладкое отображение $\pi:\; M \arrow N$ называется {\бф субмерсией},
если дифференциал $D\pi$ сюрьективен в каждой точке $M$.
Подрасслоение $\ker D\pi\subset TM$ называется {\бф вертикальным
касательным расслоением}, или {\бф послойным касательным
расслоением} для субмерсии, и обозначается $T_\pi M$.
\ео

\определение
Подрасслоение ("распределение") 
$B\subset TM$ называется {\bf интегрируемым}, если
у каждой точки $m\in M$ есть окрестность $U$ и субмерсия
$\pi:\; U \arrow M_1$ такая, что $B\restrict U=T_\pi U$.
Оно называется {\бф инволютивным}, если для любых
векторных полей $X, Y\in B$, имеет место $[X,Y]\in B$.
\ео

\задача[!]
Докажите, что каждое интегрируемое распределение инволютивно.
\ез

\замечание
Теорема Фробениуса утверждает, наоборот, что каждое
инволютивное распределение интегрируемо.
\еза

\задача
Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение,
$X, Y\in B$ векторные поля, а $\pi:\; TM \arrow TM/B$ --
естественная проекция. Докажите, что отображение $\Phi(X,Y):= \pi([X,Y])$
$C^\infty M$-линейно по $X$ и $Y$.
\ез

\определение
Определенное выше отображение $\Phi:\; \Lambda^2 B \arrow TM/B$
называется {\бф формой Фробениуса} подрасслоения $B\subset TM$.
\ео

\определение
Пусть $\eta\in \Lambda^* M$ -- дифференциальная форма,
а $\ker\eta\subset TM$ -- пучок векторных полей $X\in TM$
таких, что $\eta\cntrct X:= \eta(X, \cdot, \cdot, ..., \cdot)$
равна нулю. Этот подпучок называется {\бф аннулятором},
или {\бф ядром} формы $\eta$.
\ео

\задача
Пусть $\eta\in \Lambda^1 M$ -- нигде не зануляющаяся
1-форма. Докажите, что $\ker\eta$ является подрасслоением
в $TM$ ранга $\dim M -1$.
\ез

\задача
Пусть $\eta\in \Lambda^2 M$ -- 2-форма, имеющая
ранг $k$ в каждой точке $M$. 
Докажите, что $\ker\eta$ является подрасслоением
в $TM$ ранга $n-2k$.
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Контактные многообразия}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $\theta\in T^*M$ -- нигде не зануляющаяся 1-форма,
а $B=\ker \theta$. 
\енум
\итем Докажите, что $B$ инволютивно, если $d\theta=0$.
\итем Пусть $B$ инволютивно. Следует ли из этого, что $d\theta=0$?
\итем[*] Докажите, что инволютивность $B$ влечет $\theta\wedge d\theta=0$.
\ее
\ез

\указание
Воспользуйтесь формулой Картана.
\еу

\задача
Пусть $\theta\in T^*M$ -- нигде не зануляющаяся 1-форма,
а $B=\ker \theta$. 
\енум \итем
Докажите, что $\theta:\; TM\arrow C^\infty M$ задает тривиализацию одномерного
расслоения $TM/B$, то есть изоморфизм
$TM/B\stackrel \theta \arrow C^\infty M$.
\итем Пусть $\Phi:\; \Lambda^2 B \arrow TM/B$ -- форма
Фробениуса. Докажите, что $\theta(\Phi(x,y)) = d\theta(x,y)$,
где $\theta:\; TM/B\arrow C^\infty M$ -- изоморфизм, определенный
выше.
\ее
\ез

\указание
Воспользуйтесь формулой Картана.
\еу

\определение
{\бф Симплектическая форма} есть замкнутая, невырожденная 2-форма.
\ео

\определение
Пусть $X$ -- нечетномерное многообразие,
$C(X):= X \times ]0, \infty[$, а $\rho_\lambda:\; C(X)\arrow C(X)$
переводит $(x,t)$ в $(x, \lambda t)$. {\бф Симплектический конус над}
$X$ есть $C(X)$, снабженный симплектической формой $\omega$,
удовлетворяющей $\rho_\lambda^* \omega=\lambda^2 \omega$.
\ео

\задача
Пусть $M=\R^{2n}\backslash 0$, $\omega=\sum dp_i \wedge dq_i$ -- обычная
симплектическая структура на $\R^{2n}$, а $\rho_\lambda(x) = \lambda x$.
Докажите, что $M$ есть симплектический конус над $S^{2n-1}$.
\ез

\задача
Пусть $(C(X)= X \times ]0, \infty[, \omega)$ -- симплектический конус,
а $r:=\frac d {dt}$ -- векторное поле на $C(X)$, 
соответствующее дифференцированию по второй координате. 
\енум
\итем Докажите, что $\Lie_r\omega=2\omega$.
\итем Докажите, что 1-форма $\theta:= \frac 1 2 \omega\cntrct r$
удовлетворяет $d\theta=\omega$.
\ее
\ез

\NewVedomost

\задача
\label{_konus_=>_konta_Zadacha_}
Пусть $X$ -- $(2n-1)$-мерное гладкое
многообразие, $t\in ]0, \infty[$, а $X_t=X\times \{t\}\subset C(X)$ --
соответствующее подмножество в симплектическом конусе $(C(X), \omega)$.
Рассмотрим 1-форму $\theta:= \omega\cntrct r$.
\енум \итем 
Докажите, что $\theta\wedge (d\theta)^{n-1}$
задает нигде не зануляющуюся форму объема на $X_t$.
\итем[!] Пусть $B:= \ker \theta\restrict{X_t}\subset TX_t$ --
ядро ограничения $\theta$ на $X_t$. Докажите, что
форма Фробениуса $\Phi:\; \Lambda^2 B \arrow TX/B$ невырождена.
\ее
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\определение
{\бф Контактная структура} на нечетномерном ориентированном многообразии $X$
есть подрасслоение $B\subset TX$ коразмерности 1, такое, что
форма Фробениуса $\Phi:\; \Lambda^2 B \arrow TX/B$ невырождена.
\ео

\задача
Пусть $(C(X), \omega)$ -- симплектический конус.
Постройте контактную структуру на $X$.
\ез

\задача
Пусть $X$ -- $(2n-1)$-мерное многообразие, $\theta$
нигде не зануляющаяся 1-форма, а $B\subset TX$ ее ядро.
\енум
\итем[!] Предположим, что форма объема $\theta \wedge (d\theta)^{n-1}$
невырождена. Докажите, что $(X,B)$ контактно.
\итем Предположим, что $(X,B)$ контактно. Докажите, что
форма $\theta \wedge (d\theta)^{n-1}$
невырождена.
\ее
\ез

\задача
Пусть $(X,B)$ -- контактное многообразие,
$M$ -- тотальное пространство расслоения $(TX/B)^*$,
a $\pi:\; M \arrow X$ -- естественная проекция.
Рассмотрим 1-форму $\theta$ на $M$, которая берет
касательный вектор $v\in T_zM$, где $z=(x, a)$,
$x\in X, a\in (TX/B)^*\restrict x\subset T^*_x X$, и применяет
к нему $v \arrow a(D\pi(v))$. 
\енум
\итем[*] Докажите, что форма $d\theta$ симплектична.
\итем[*] Докажите, что $M$ есть симплектический конус над $X$.
\ее
\ез

\замечание
Из этой задачи следует, что каждое 
контактное многообразие получается из симплектического
конуса процедурой, которая описана в задаче
\ref{_konus_=>_konta_Zadacha_}.
\еза

\задача
Пусть $M$ -- многообразие, а 
$S^*M$ -- многообразие ориентированных
во всех кокасательных пространствах $T^*_xM$ (то есть
двулистное накрытие проективизации ${\Bbb P}T^*M$).
Постройте контактную структуру на $S^*M$ для каждого
гладкого многообразия $M$.
\ез



\задача[*]
Пусть $(M,B)$ -- контактное многообразие.
Докажите, что любые две точки $M$ можно соединить гладким
путем $\gamma(t)$, касательным к $B$ в любой своей точке,
(то есть удовлетворяющим $\gamma'(t)\in B$).
\ез

\задача
Пусть $M$ -- шестимерное гладкое многообразие, 
а $B\subset TM$ -- трехмерное подрасслоение.
Рассмотрим форму Фробениуса $\Phi:\; \Lambda^2 B \arrow TM/B$
(оба расслоения -- размерности 3).
\енум
\итем[*] Постройте пару $(M,B)$, для которой 
$\Phi:\; \Lambda^2 B \arrow TM/B$ -- изоморфизм.
\итем[**] Может ли такое $M$ быть компактно?
\ее
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Базовые формы и расслоения}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение.
Дифференциальная форма $\eta\in \Lambda^* M$ 
называется {\бф базовой относительно $B$} (basic), если для любого векторного
поля $X\in B$, имеем $\Lie_X \eta=0$ и $\eta\cntrct X=0$.
\ео

\задача
Пусть $d\eta=0$. Докажите, что $\eta$ базовая относительно $B$
тогда и только тогда, когда $B\subset \ker \eta$.
\ез

\задача
Докажите, что произведение базовых форм -- базовая форма.
\ез

\задача
Докажите, что $d\eta$ базовая форма, если $\eta$ базовая.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь формулой Картана.
\еу

\задача
Докажите, что для любого векторного поля $X$, функции $f$
и дифференциальной формы $\eta$, имеем
$\Lie_{fX}\eta= f \Lie_X \eta + df \wedge(\eta\cntrct X)$.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь формулой Картана.
\еу


\задача[!]
Докажите, что $\eta$ базовая форма на $(M,B)$ тогда и только тогда,
когда $\ker \eta \supset B$ и $\ker d\eta\supset B$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\задача[*]
Пусть $B\subset TM$ -- интегрируемое подрасслоение, а 
$TM/B$ ориентируемо. Постройте ненулевую
базовую $k$-форму, где $k=\rk TM/B$ (размерность
расслоения $TM/B$), либо приведите пример, когда такой формы нет.
\ез

\задача[*]
Пусть $(M,B)$ -- контактное многообразие, 
а $\eta$ -- базовая (относительно $B$) форма.
Докажите, что $\eta=0$.
\ез


\определение
Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение.
Обозначим за $(\Lambda^*_B(M), d)$ комплекс
базовых дифференциальных форм. Его когомологии
называются {\бф базовыми когомологиями} $(M,B)$.
\ео

\задача[!]
Пусть $\pi\; M \arrow M_1$ гладкая субмерсия со связными слоями,
а $B:= T_\pi M$. Постройте биекцию между
$\Lambda^*_B(M)$ и $\Lambda^* M_1$.
\ез

\замечание
Базовые формы есть способ говорить о дифференциальных
формах на пространстве листов слоения, даже если
это пространство не определено.
\еза


\задача[*]
Пусть $M=T^2=\R^2/\Z^2$ -- двумерный тор,
а $B$ -- расслоение касательных векторов,
пропорциональных $(1, \sqrt 2)\in \R^2$
(то есть касательное пространство к 
иррациональной обмотке тора). Найдите
базовые когомологии $(M,B)$.
\ез

\задача[**]
Пусть $B\subset TM$ -- интегрируемое расслоение
на компактном многообразии $M$,
а $\omega\in \Lambda^2M$ -- замкнутая базовая 2-форма,
такая, что соответствующее спаривание $TM/B\times TM/B$
невырожденo (такая форма называется {\бф трансверсально
симплектической}). Докажите, что не существует
базовой формы $\alpha$ такой, что $d\alpha=\omega$,
или простройте контрпример.
\ез

\определение
Пусть $B\subset TM$ подрасслоение, а $B_0\supset B$ --
подрасслоение $TM$, содержащее $B$. Оно называется {\бф
базовым}, если для любых векторных полей $X\in B_0$,
$Y\in B$, имеем $[X,Y]\in B_0$.
\ео

\задача
Пусть $\eta$ -- базовая форма на $(M,B)$, а $\ker \eta$ --
ее аннигилятор. Докажите, что $\ker\eta$ -- базовое
расслоение.
\ез

\задача
Пусть $\eta\in \Lambda^*M$ -- форма, базовая относительно подрасслоения
$B\subset TM$. Докажите, что $\eta\cntrct {[X, Y]}=0$ для любых $X,Y\in B$.
\ез


\задача[*]
Пусть $B$ --
подрасслоение $TM$. Докажите, что $B$ инволютивно тогда и
только тогда, когда $B=\bigcap_\eta \ker \eta$, где
пересечение берется по всем базовым относительно $B$ 1-формам.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $B \subset TM$, а форма Фробениуса
$\Lambda^2 B\arrow TM/B$ сюрьективна.
Найдите все базовые подрасслоения $B_0 \subset
TM$.
\ез

\задача\label{_basic_bundle_lifted_Zadacha_}
Пусть $\pi\; M \arrow M_1$ гладкая субмерсия,
$B_1\subset TM_1$ подрасслоение, а
\[ B_0=\pi^{-1}(B_1):= \{
x\in TM \ \ |\ \ D\pi(x)\subset B_1\}.
\]
\енум
\итем
Докажите, что $B_0\subset TM$ -- базовое подрасслоение.
\итем Докажите, что все базовые подрасслоения
получаются таким образом.
\ее
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Теорема Фробениуса}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\замечание
Теорема Фробениуса утверждает, что каждое интегрируемое
подрасслоение $B\subset TM$ инволютивно (это просто),
и каждое инволютивное подрасслоение интегрируемо (это
более трудно).
\еза

\задача Пусть $B\subset TM$ подрасслоение ранга 1.
Докажите, что оно интегрируемо.
\ез

\задача
\label{_bazovye_Frobenius_rk_1_Zadacha_}
Пусть $B\subset TM$ -- инволютивное подрасслоение.
Докажите, что для каждого подрасслоения $B_1\subset B$
ранга 1, $B$ является базовым на $(M, B_1)$.
\ез

\задача
Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение.
Предположим, что для каждого открытого подмножества
$U\subset M$, и для каждого подрасслоения 
$B_1\subset B\restrict U$ ранга 1,
$B$ является базовым на $(M, B_1)$.
Докажите, что $B$ инволютивно.
\ез

\указание
Переход к подмножеству  $U\subset M$
нужен для того, чтобы у $B$ было много
одномерных подрасслоений ({\em a priori}, их может 
не быть вовсе).
\еу

\задача
\label{_podem_inte_inte_Zadacha_}
Пусть $M\arrow M_1$ -- гладкая субмерсия,
$T_\pi M$ -- послойное
касательное расслоение, а $B\supset T_\pi M$ базовое на $(M, T_\pi M)$.
Предположим, что $B= \pi^{-1}(B_1)$ (задача 
\ref{_basic_bundle_lifted_Zadacha_}), где
$B_1$ интегрируемо. Докажите, что $B$ интегрируемо.
\ез

\задача[!]
(теорема Фробениуса) \\
Пусть $B\subset TM$ -- инволютивное расслоение.
Докажите, что оно интегрируемо.
\ез

\указание Воспользуйтесь задачей
\ref{_basic_bundle_lifted_Zadacha_},
задачей \ref{_bazovye_Frobenius_rk_1_Zadacha_}
и задачей \ref{_podem_inte_inte_Zadacha_}; примените индукцию
по $\dim M$.
\еу







\end{document}
