\documentclass[9pt]{extarticle} % version 1.0, 22.11.2013 % version 1.1, 01.12.2013, трехмерное подрасслоение вместо подмногообразия % трансверсально симплектическое был тоже бред % version 1.2, задача 9.32 бред, 09.12.2013 % version 1.2.1, конус без нуля, 16.12.2013 % version 1.3, несколько исправлений от анона из LJR \newcommand{\version}{version 1.3,\ \ 22.04.2020} \newcommand{\firstdate}{25.11.2013} \addtolength{\topmargin}{-25mm} \addtolength{\textheight}{50mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-20mm} \addtolength{\textwidth}{40mm} \input{defs-listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{9}{Векторные расслоения 9: теорема Фробениуса} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Распределения, слоения и субмерсии} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Распределение} на многообразии $M$ есть подрасслоение в $TM$. \ео \задача Пусть $\pi_1(M)=0$ и у $TM$ есть одномерное подрасслоение. Докажите, что на $TM$ есть нигде не зануляющееся векторное поле. \ез \задача[!] Найдите двумерное многообразие $M$ такое, что у $TM$ нет одномерного подрасслоения. \ез \задача[**] Найдите трехмерное, компактное многообразие $M$ такое, что у $TM$ нет одномерного подрасслоения, или докажите, что его не бывает. \ез \задача[**] Найдите некомпактное многообразие $M$ такое, что у $TM$ нет одномерного подрасслоения, или докажите, что его не бывает. \ез \задача Найдите четырехмерное многообразие $M$, такое, что у $TM$ нет нетривиальных трехмерных подрасслоений. \ез \определение Гладкое отображение $\pi:\; M \arrow N$ называется {\бф субмерсией}, если дифференциал $D\pi$ сюрьективен в каждой точке $M$. Подрасслоение $\ker D\pi\subset TM$ называется {\бф вертикальным касательным расслоением}, или {\бф послойным касательным расслоением} для субмерсии, и обозначается $T_\pi M$. \ео \определение Подрасслоение ("распределение") $B\subset TM$ называется {\bf интегрируемым}, если у каждой точки $m\in M$ есть окрестность $U$ и субмерсия $\pi:\; U \arrow M_1$ такая, что $B\restrict U=T_\pi U$. Оно называется {\бф инволютивным}, если для любых векторных полей $X, Y\in B$, имеет место $[X,Y]\in B$. \ео \задача[!] Докажите, что каждое интегрируемое распределение инволютивно. \ез \замечание Теорема Фробениуса утверждает, наоборот, что каждое инволютивное распределение интегрируемо. \еза \задача Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение, $X, Y\in B$ векторные поля, а $\pi:\; TM \arrow TM/B$ -- естественная проекция. Докажите, что отображение $\Phi(X,Y):= \pi([X,Y])$ $C^\infty M$-линейно по $X$ и $Y$. \ез \определение Определенное выше отображение $\Phi:\; \Lambda^2 B \arrow TM/B$ называется {\бф формой Фробениуса} подрасслоения $B\subset TM$. \ео \определение Пусть $\eta\in \Lambda^* M$ -- дифференциальная форма, а $\ker\eta\subset TM$ -- пучок векторных полей $X\in TM$ таких, что $\eta\cntrct X:= \eta(X, \cdot, \cdot, ..., \cdot)$ равна нулю. Этот подпучок называется {\бф аннулятором}, или {\бф ядром} формы $\eta$. \ео \задача Пусть $\eta\in \Lambda^1 M$ -- нигде не зануляющаяся 1-форма. Докажите, что $\ker\eta$ является подрасслоением в $TM$ ранга $\dim M -1$. \ез \задача Пусть $\eta\in \Lambda^2 M$ -- 2-форма, имеющая ранг $k$ в каждой точке $M$. Докажите, что $\ker\eta$ является подрасслоением в $TM$ ранга $n-2k$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Контактные многообразия} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $\theta\in T^*M$ -- нигде не зануляющаяся 1-форма, а $B=\ker \theta$. \енум \итем Докажите, что $B$ инволютивно, если $d\theta=0$. \итем Пусть $B$ инволютивно. Следует ли из этого, что $d\theta=0$? \итем[*] Докажите, что инволютивность $B$ влечет $\theta\wedge d\theta=0$. \ее \ез \указание Воспользуйтесь формулой Картана. \еу \задача Пусть $\theta\in T^*M$ -- нигде не зануляющаяся 1-форма, а $B=\ker \theta$. \енум \итем Докажите, что $\theta:\; TM\arrow C^\infty M$ задает тривиализацию одномерного расслоения $TM/B$, то есть изоморфизм $TM/B\stackrel \theta \arrow C^\infty M$. \итем Пусть $\Phi:\; \Lambda^2 B \arrow TM/B$ -- форма Фробениуса. Докажите, что $\theta(\Phi(x,y)) = d\theta(x,y)$, где $\theta:\; TM/B\arrow C^\infty M$ -- изоморфизм, определенный выше. \ее \ез \указание Воспользуйтесь формулой Картана. \еу \определение {\бф Симплектическая форма} есть замкнутая, невырожденная 2-форма. \ео \определение Пусть $X$ -- нечетномерное многообразие, $C(X):= X \times ]0, \infty[$, а $\rho_\lambda:\; C(X)\arrow C(X)$ переводит $(x,t)$ в $(x, \lambda t)$. {\бф Симплектический конус над} $X$ есть $C(X)$, снабженный симплектической формой $\omega$, удовлетворяющей $\rho_\lambda^* \omega=\lambda^2 \omega$. \ео \задача Пусть $M=\R^{2n}\backslash 0$, $\omega=\sum dp_i \wedge dq_i$ -- обычная симплектическая структура на $\R^{2n}$, а $\rho_\lambda(x) = \lambda x$. Докажите, что $M$ есть симплектический конус над $S^{2n-1}$. \ез \задача Пусть $(C(X)= X \times ]0, \infty[, \omega)$ -- симплектический конус, а $r:=\frac d {dt}$ -- векторное поле на $C(X)$, соответствующее дифференцированию по второй координате. \енум \итем Докажите, что $\Lie_r\omega=2\omega$. \итем Докажите, что 1-форма $\theta:= \frac 1 2 \omega\cntrct r$ удовлетворяет $d\theta=\omega$. \ее \ез \NewVedomost \задача \label{_konus_=>_konta_Zadacha_} Пусть $X$ -- $(2n-1)$-мерное гладкое многообразие, $t\in ]0, \infty[$, а $X_t=X\times \{t\}\subset C(X)$ -- соответствующее подмножество в симплектическом конусе $(C(X), \omega)$. Рассмотрим 1-форму $\theta:= \omega\cntrct r$. \енум \итем Докажите, что $\theta\wedge (d\theta)^{n-1}$ задает нигде не зануляющуюся форму объема на $X_t$. \итем[!] Пусть $B:= \ker \theta\restrict{X_t}\subset TX_t$ -- ядро ограничения $\theta$ на $X_t$. Докажите, что форма Фробениуса $\Phi:\; \Lambda^2 B \arrow TX/B$ невырождена. \ее \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \определение {\бф Контактная структура} на нечетномерном ориентированном многообразии $X$ есть подрасслоение $B\subset TX$ коразмерности 1, такое, что форма Фробениуса $\Phi:\; \Lambda^2 B \arrow TX/B$ невырождена. \ео \задача Пусть $(C(X), \omega)$ -- симплектический конус. Постройте контактную структуру на $X$. \ез \задача Пусть $X$ -- $(2n-1)$-мерное многообразие, $\theta$ нигде не зануляющаяся 1-форма, а $B\subset TX$ ее ядро. \енум \итем[!] Предположим, что форма объема $\theta \wedge (d\theta)^{n-1}$ невырождена. Докажите, что $(X,B)$ контактно. \итем Предположим, что $(X,B)$ контактно. Докажите, что форма $\theta \wedge (d\theta)^{n-1}$ невырождена. \ее \ез \задача Пусть $(X,B)$ -- контактное многообразие, $M$ -- тотальное пространство расслоения $(TX/B)^*$, a $\pi:\; M \arrow X$ -- естественная проекция. Рассмотрим 1-форму $\theta$ на $M$, которая берет касательный вектор $v\in T_zM$, где $z=(x, a)$, $x\in X, a\in (TX/B)^*\restrict x\subset T^*_x X$, и применяет к нему $v \arrow a(D\pi(v))$. \енум \итем[*] Докажите, что форма $d\theta$ симплектична. \итем[*] Докажите, что $M$ есть симплектический конус над $X$. \ее \ез \замечание Из этой задачи следует, что каждое контактное многообразие получается из симплектического конуса процедурой, которая описана в задаче \ref{_konus_=>_konta_Zadacha_}. \еза \задача Пусть $M$ -- многообразие, а $S^*M$ -- многообразие ориентированных во всех кокасательных пространствах $T^*_xM$ (то есть двулистное накрытие проективизации ${\Bbb P}T^*M$). Постройте контактную структуру на $S^*M$ для каждого гладкого многообразия $M$. \ез \задача[*] Пусть $(M,B)$ -- контактное многообразие. Докажите, что любые две точки $M$ можно соединить гладким путем $\gamma(t)$, касательным к $B$ в любой своей точке, (то есть удовлетворяющим $\gamma'(t)\in B$). \ез \задача Пусть $M$ -- шестимерное гладкое многообразие, а $B\subset TM$ -- трехмерное подрасслоение. Рассмотрим форму Фробениуса $\Phi:\; \Lambda^2 B \arrow TM/B$ (оба расслоения -- размерности 3). \енум \итем[*] Постройте пару $(M,B)$, для которой $\Phi:\; \Lambda^2 B \arrow TM/B$ -- изоморфизм. \итем[**] Может ли такое $M$ быть компактно? \ее \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Базовые формы и расслоения} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение. Дифференциальная форма $\eta\in \Lambda^* M$ называется {\бф базовой относительно $B$} (basic), если для любого векторного поля $X\in B$, имеем $\Lie_X \eta=0$ и $\eta\cntrct X=0$. \ео \задача Пусть $d\eta=0$. Докажите, что $\eta$ базовая относительно $B$ тогда и только тогда, когда $B\subset \ker \eta$. \ез \задача Докажите, что произведение базовых форм -- базовая форма. \ез \задача Докажите, что $d\eta$ базовая форма, если $\eta$ базовая. \ез \указание Воспользуйтесь формулой Картана. \еу \задача Докажите, что для любого векторного поля $X$, функции $f$ и дифференциальной формы $\eta$, имеем $\Lie_{fX}\eta= f \Lie_X \eta + df \wedge(\eta\cntrct X)$. \ез \указание Воспользуйтесь формулой Картана. \еу \задача[!] Докажите, что $\eta$ базовая форма на $(M,B)$ тогда и только тогда, когда $\ker \eta \supset B$ и $\ker d\eta\supset B$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[*] Пусть $B\subset TM$ -- интегрируемое подрасслоение, а $TM/B$ ориентируемо. Постройте ненулевую базовую $k$-форму, где $k=\rk TM/B$ (размерность расслоения $TM/B$), либо приведите пример, когда такой формы нет. \ез \задача[*] Пусть $(M,B)$ -- контактное многообразие, а $\eta$ -- базовая (относительно $B$) форма. Докажите, что $\eta=0$. \ез \определение Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение. Обозначим за $(\Lambda^*_B(M), d)$ комплекс базовых дифференциальных форм. Его когомологии называются {\бф базовыми когомологиями} $(M,B)$. \ео \задача[!] Пусть $\pi\; M \arrow M_1$ гладкая субмерсия со связными слоями, а $B:= T_\pi M$. Постройте биекцию между $\Lambda^*_B(M)$ и $\Lambda^* M_1$. \ез \замечание Базовые формы есть способ говорить о дифференциальных формах на пространстве листов слоения, даже если это пространство не определено. \еза \задача[*] Пусть $M=T^2=\R^2/\Z^2$ -- двумерный тор, а $B$ -- расслоение касательных векторов, пропорциональных $(1, \sqrt 2)\in \R^2$ (то есть касательное пространство к иррациональной обмотке тора). Найдите базовые когомологии $(M,B)$. \ез \задача[**] Пусть $B\subset TM$ -- интегрируемое расслоение на компактном многообразии $M$, а $\omega\in \Lambda^2M$ -- замкнутая базовая 2-форма, такая, что соответствующее спаривание $TM/B\times TM/B$ невырожденo (такая форма называется {\бф трансверсально симплектической}). Докажите, что не существует базовой формы $\alpha$ такой, что $d\alpha=\omega$, или простройте контрпример. \ез \определение Пусть $B\subset TM$ подрасслоение, а $B_0\supset B$ -- подрасслоение $TM$, содержащее $B$. Оно называется {\бф базовым}, если для любых векторных полей $X\in B_0$, $Y\in B$, имеем $[X,Y]\in B_0$. \ео \задача Пусть $\eta$ -- базовая форма на $(M,B)$, а $\ker \eta$ -- ее аннигилятор. Докажите, что $\ker\eta$ -- базовое расслоение. \ез \задача Пусть $\eta\in \Lambda^*M$ -- форма, базовая относительно подрасслоения $B\subset TM$. Докажите, что $\eta\cntrct {[X, Y]}=0$ для любых $X,Y\in B$. \ез \задача[*] Пусть $B$ -- подрасслоение $TM$. Докажите, что $B$ инволютивно тогда и только тогда, когда $B=\bigcap_\eta \ker \eta$, где пересечение берется по всем базовым относительно $B$ 1-формам. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $B \subset TM$, а форма Фробениуса $\Lambda^2 B\arrow TM/B$ сюрьективна. Найдите все базовые подрасслоения $B_0 \subset TM$. \ез \задача\label{_basic_bundle_lifted_Zadacha_} Пусть $\pi\; M \arrow M_1$ гладкая субмерсия, $B_1\subset TM_1$ подрасслоение, а \[ B_0=\pi^{-1}(B_1):= \{ x\in TM \ \ |\ \ D\pi(x)\subset B_1\}. \] \енум \итем Докажите, что $B_0\subset TM$ -- базовое подрасслоение. \итем Докажите, что все базовые подрасслоения получаются таким образом. \ее \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Теорема Фробениуса} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание Теорема Фробениуса утверждает, что каждое интегрируемое подрасслоение $B\subset TM$ инволютивно (это просто), и каждое инволютивное подрасслоение интегрируемо (это более трудно). \еза \задача Пусть $B\subset TM$ подрасслоение ранга 1. Докажите, что оно интегрируемо. \ез \задача \label{_bazovye_Frobenius_rk_1_Zadacha_} Пусть $B\subset TM$ -- инволютивное подрасслоение. Докажите, что для каждого подрасслоения $B_1\subset B$ ранга 1, $B$ является базовым на $(M, B_1)$. \ез \задача Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение. Предположим, что для каждого открытого подмножества $U\subset M$, и для каждого подрасслоения $B_1\subset B\restrict U$ ранга 1, $B$ является базовым на $(M, B_1)$. Докажите, что $B$ инволютивно. \ез \указание Переход к подмножеству $U\subset M$ нужен для того, чтобы у $B$ было много одномерных подрасслоений ({\em a priori}, их может не быть вовсе). \еу \задача \label{_podem_inte_inte_Zadacha_} Пусть $M\arrow M_1$ -- гладкая субмерсия, $T_\pi M$ -- послойное касательное расслоение, а $B\supset T_\pi M$ базовое на $(M, T_\pi M)$. Предположим, что $B= \pi^{-1}(B_1)$ (задача \ref{_basic_bundle_lifted_Zadacha_}), где $B_1$ интегрируемо. Докажите, что $B$ интегрируемо. \ез \задача[!] (теорема Фробениуса) \\ Пусть $B\subset TM$ -- инволютивное расслоение. Докажите, что оно интегрируемо. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_basic_bundle_lifted_Zadacha_}, задачей \ref{_bazovye_Frobenius_rk_1_Zadacha_} и задачей \ref{_podem_inte_inte_Zadacha_}; примените индукцию по $\dim M$. \еу \end{document}