\documentclass[9pt]{extarticle}

% version 1.0, 18.11.2013 
% version 1.1, 18.11.2013, добавил ориентированность к 8.11 и 8.10
% version 1.2, 25.11.2013, 8.25 неподвижные точки, 8.39 O(m) (опечатка)

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   25.11.2013}
\newcommand{\firstdate}{18.11.2013}


\addtolength{\topmargin}{-27mm}
\addtolength{\textheight}{54mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

\input{defs-listki.tex}



\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{8}{Векторные расслоения 8: главные расслоения}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает
$2t$ баллов,
если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Топология фактора}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство, 
а $\sim$ -- отношение эквивалентности. 
Множество классов эквивалентности обозначается
 $M/\!\!\!\sim\!$. 
На $M/\!\!\!\sim\!$ вводится {\bf топология фактора}:
открытые подмножества
$M/\!\!\!\sim\!$ - такие подмножества, прообраз
которых в $M$ открыт.
Если на $M$ действует группа $G$,  возникает
естественное отношение эквивалентности: $x \sim y$ если
существует такое $g \in G$, что $g \cdot x = y$.
Фактор $M$ по этому отношению эквивалентности называется
{\bf факторпространством $M$ по действию $G$}, и обозначается
$M/G$. Классы эквивалентности называются {\bf $G$-орбитами}
в $M$.
\ео

\задача
Пусть $M$ -- хаусдорфово  топологическое пространство, а 
$G$ -- конечная группа, которая действует на $M$
гомеоморфизмами. Рассмотрим
факторпространство $M/G$ с топологией
фактора. Докажите, что $M/G$ хаусдорфово.
\ез


\указание
Пусть $x,y$ -- две точки, не принадлежащие
одной и той же $G$-орбите. Найдите у $x$, $y$
непересекающиеся $G$-инвариантные окрестности $U$, $U'$,
и возьмите $\bigcap_{g\in G} gU$, $\bigcap_{g\in G} gU'$.
\еу

\задача
Приведите пример,
когда $M$ хаусдорфово, а $M/G$ 
нехаусдорфово (и группа, соответственно, не конечна).
\ез




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Главные расслоения}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $G$ -- топологическая группа.
Действие $G\times M$ на топологическом пространстве
{\бф непрерывно}, если отображение $G \times M\arrow M$
непрерывно.
\ео

\задача
Пусть $G$ -- топологическая группа, которая 
свободно действует на хаусдорфовом пространстве $M$.
Докажите, что орбиты этого действия гомеоморфны $G$,
или приведите контрпример.
\ез

\определение
Пусть $М$ -- топологическое пространство, снабженное
свободным, непрерывным действием группы Ли $G$, а 
факторпространство $M/G$ с топологией фактора хаусдорфово.
В такой ситуации проекция $M \arrow M/G$ называется
{\бф главным $G$-расслоением}. Если на $M$ и на $M/G$ заданы
согласованные структуры гладкого многообразия, а 
действие $G\times M \arrow M$ гладко, главное
$G$-расслоение называется {\бф гладким}.
\ео

\замечание
 Все главные $G$-расслоения,
которые мы рассматриваем в дальнейшем, гладкие, если 
не оговорено обратное. Действие группы Ли на многообразии
также предполагается по умолчанию гладким.
\еза

\задача[!]
Пусть $G$ -- компактная группа Ли, которая свободно
действует на гладком многообразии $M$. Докажите, что
фактор $M/G$ гладкий, а $M \arrow M/G$ -- главное $G$-расслоение.
\ез

\определение
{\бф Расслоение Хопфа} $S^3\arrow S^2$ есть ограничение тавтологического
отображения $\C^2\backslash 0 \arrow \C P^1$ на
$S^3\subset \C^2\backslash 0$. 
\ео

\задача
Докажите, что расслоение Хопфа есть гладкое 
главное $S^1$-расслоение.
\ез

\задача
Пусть $\pi:\; S^{2n} \arrow M$ -- гладкое отображение
на многообразие меньшей размерности. Может ли
$\pi$ быть главным $G$-расслоением?
\ез

\задача
Постройте главное $SU(2)$-расслоение $S^7 \arrow S^4$.
\ез

\задача
Постройте главное $S^1$-расслоение $S^{2n+1} \arrow \C P^n$.
\ез

\задача[*]
Пусть $\R$ свободно действует на компактном многообразии
$M$. Докажите, что $M/\R$ нехаусдорфово.
\ез

\задача[**]
$\pi:\; M\arrow S^2$ -- гладкое отображение, $M$ ориентировано, а
прообраз каждой точки -- окружность.
Докажите, что $\pi$ допускает структуру
главного $S^1$-расслоения,
или найдите контрпример.
\ез

\задача[**]
$\pi:\; M\arrow N$ -- гладкое отображение ориентированных многообразий, а
прообраз каждой точки -- $S^3$.
Докажите, что $\pi$ допускает структуру
главного $SU(2)$-расслоения,
или найдите контрпример.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Главные расслоения и когомологии}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $G$ -- группа Ли, $M$ -- многообразие, а $\{U_i\}$ его покрытие.
{\бф 1-коцикл} со значениями в $G$ есть набор гладких функций
$U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow G$, удовлетворяющих
следующим условиям: 1. $\phi_{ij}=\phi_{ji}^{-1}$ 2.
$\phi_{ij}\phi_{jk}=\phi_{ik}$. 
\ео

\определение
Два 1-коцикла $\phi_{ij}$ и $\psi_{ij}'$
называются {\бф кограничными}, если задан
набор гладких отображений $\psi_i :\; U_i \arrow G$,
причем $\phi_{ij}'=\psi_i^{-1} \phi_{ij}\psi_j$.
\ео

\задача
Докажите, что это отношение эквивалентности.
\ез

\определение
Пусть $G$ -- группа Ли.
Множество $H^1(M,G)$ {\бф неабелевых когомологий с коэффициентами в $G$}
есть множество 1-коциклов с коэффициентами в $G$ с точностью
до кограничности.
\ео

\определение
Два главных $G$-расслоения $E\arrow M$ и $E'\arrow M$ {\бф эквивалентны},
если существует диффеоморфизм $E\arrow E'$ совместимый с проекцией
на $M$ и с действием $G$.
\ео

\задача[!]
Постройте биекцию между множеством классов эквивалентности главных $G$-расслоений
над $M$ и  $H^1(M, G)$.
\ез

\задача[*]
Докажите, что $H^1(M,G)$ не более чем счетно, когда $М$ компактно,
или приведите контрпример.
\ез

\определение
Точная последовательность множеств есть последовательность
отображений таких, что образ $i$-го есть прообраз отмеченной
точки в $(i+1)$-м.
\ео

\задача[!]
Пусть $0\arrow G_1 \arrow G_2 \arrow G_3 \arrow 0 $ -- точная
последовательность групп. Постройте точную последовательность
неабелевых когомологий \[ H^1(M, G_1)\arrow H^1(M, G_2) \arrow H^1(M, G_3).\]
\ез

\задача
Докажите, что 
когомологии
пучка гладких функций $H^i(M, C^\infty M)$ зануляются для всех $i>0$.
\ез

\задача
Пусть $G=\R$. Докажите, что каждое главное $G$-расслоение тривиально.
\ез

\указание 
Докажите, что $H^1(M,\R)= H^1(M, C^\infty M)$, и примените предыдущую задачу.
\еу

\задача[!]
Пусть $M$ -- стягиваемое многообразие. Докажите, что $H^1(M,G)=0$
для любой группы $G$.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Классифицирующие пространства}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение 
Пусть $X,Y$ -- топологические пространства с действием
группы $G$. Определим $X\times_G Y$ как $X\times Y/G$ с
топологией фактора, где $g$ действует на $X\times Y$ "диагонально",
то есть по формуле $g(x,y)=(gx, gy)$.
\ео


\задача
Пусть $X$ -- гладкое многообразие, снабженное 
действием группы Ли $G$, а $E\arrow M$ -- гладкое $G$-расслоение.
Постройте структуру гладкого многообразия на $E\times_G X$.
Докажите, что естественная проекция $E\times_G X\arrow M$
есть локально тривиальное расслоение со слоем $X$.
\ез

\определение
Расслоение $E\times_G X\arrow M$,
полученное таким образом, называется {\бф присоединенным}
по отношению к главному расслоению $E\arrow M$.
\ео

\задача
Пусть $E\arrow M$ -- главное $G$-расслоение.
Докажите, что $E\times_G G$ изоморфно $E$ как расслоенное
пространство.
\ез

\задача[*]
Пусть $E\arrow B$ -- главное $G$-расслоение, причем $E$ стягиваемо,
а $E_1 \arrow B_1$ -- еще одно главное $G$-расслоение. Докажите, что
$E\times_G E_1$ гомотопически эквивалентно $B_1$.
\ез

\задача[*]
Пусть $E\arrow B$ и $E_1 \arrow B_1$ -- главные $G$-расслоения,
причем $E$ и $E_1$ стягиваемо. Докажите, что $B$ гомотопически
эквивалентно $B_1$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\определение
Пусть $E\arrow B$ -- главное $G$-расслоение, причем $E$ стягиваемо.
Тогда $B$ называется {\бф классифицирующим пространством}
для $G$, и обозначается $BG$.
\ео

\задача[*]
Докажите, что бесконечномерная сфера, полученная объединением
$S^1 \subset S^2 \subset ... \subset S^n \subset ...$, стягиваема.
\ез

\задача[*]
Докажите, что $\C P^\infty=BU(1)$
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[*]
Предположим, что $G$ -- компактная группа Ли,
а $V$ -- бесконечномерное представление $G$,
полученное как сумма конечномерных, нетривиальных 
неприводимых ортогональных представлений.
Докажите, что $G$ свободно действует на соответствующей
бесконечномерной сфере $S^\infty$, а $S^\infty/G$ есть
классифицирующее пространство для $G$.
\ез


\определение
Пусть $B$ -- векторное расслоение над $M$. {\бф Расслоение реперов}
есть множество всех базисов в слоях $B$, снабженное естественной
топологией.
\ео

\задача
Определите топологию на расслоении реперов явно,
и докажите, что это главное $GL(n,\R)$-расслоение
для вещественного расслоения $B$, и главное
$GL(n,\C)$-расслоение для комплексного $B$.
\ез


\определение
Пусть $B$ -- 
векторное расслоение над $M$, снабженное
метрикой (то есть положительно определенной
квадратичной формой). {\бф Расслоение ортонормированных реперов}
есть множество всех ортонормированных базисов в слоях $B$,
снабженное естественной топологией.
\ео

\задача
Определите топологию на расслоении ортонормированных 
реперов явно, и докажите, что это главное $O(n)$-расслоение.
\ез

\newcommand{\St}{\operatorname{St}}
\newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}}

\определение
{\бф Многообразие Штифеля} $\St(m, m+n)$ 
есть пространство последовательностей из $m$
ортонормированных векторов в евклидовом
пространстве $V$ размерности $n+m$. {\бф Грассманиан}
$\Gr(m, m+n)$ есть пространство $m$-мерных
плоскостей в $V$.
\ео

\задача
Введите топологию и гладкую структуру на многообразии Штифеля
и на грассманиане таким образом, что естественная
проекция $\St(m, n+m) \arrow \Gr(m, m+n)$ 
станет главным $O(m)$-расслоением.
\ез

\задача
Докажите, что $\pi_i(\St(m, n+m))=0$ для всех 
$i$ таких, что $0<i<m$.
\ез

\задача[**]
Докажите, что $\bigcup_n \St(m, n+m)$ стягиваемо, 
а $\Gr(m, \infty):=\bigcup_n \Gr(m, n+m)$
является классифицирующим пространством для $O(m)$
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Ассоциированные векторные расслоения}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\задача
Пусть $V$ -- представление группы $G$,
а $E$ -- главное $G$-расслоение над $M$.
Докажите, что аддитивная структура на $V$
определяет структуру векторного расслоения над $M$
на произведении $E\times_G V$.
\ез

\определение
Векторное расслоение $E\times_G V$
называется {\бф ассоциированным векторным расслоением},
связанным с $E$ и представлением $V$.
\ео

\задача
Пусть $V=\R^n$ -- тавтологическое представление
группы $G=GL(n,\R)$, $B$ -- вещественное векторное расслоение
над $M$, а $E\arrow M$ -- расслоение реперов.
Докажите, что $B$ изоморфно ассоциированному
векторному расслоению $E\times_G V$.
\ез

\замечание
Можно определить векторное расслоение как 
"расслоение, ассоциированное с каким-то 
главным $G=GL(n,\R)$-расслоением и тавтологическим
представлением". В силу предыдущей задачи, это
определение эквивалентно обычному.
\еза

\задача
Пусть $V=\R^n$ -- тавтологическое представление
группы $G=O(n)$, $B$ -- евклидово векторное расслоение
над $M$, а $E\arrow M$ -- расслоение ортонормированных реперов.
Докажите, что $B$ изоморфно ассоциированному
векторному расслоению $E\times_G V$.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Редукция главных расслоений}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $E\arrow M$ -- главное $G_1$-расслоение,
а $G_1\arrow G$ -- гомоморфизм групп. Докажите, что
$E\times_{G_1} G$ есть главное $G$-расслоение.
\ез

\определение
Пусть $G_1\arrow G$ -- гомоморфизм групп, а 
$E\arrow M$ -- главное $G$-расслоение.
{\бф Редукция $E$ к $G_1$} есть главное $G_1$-расслоение
$E_1\arrow M$ вместе с изоморфизмом главных $G$-расслоений
$E\cong E_1\times_{G_1} G$.
\ео

\задача
Пусть $G_1\arrow G$ -- гомоморфизм групп,
а $\Psi:\; H^1(M,G_1) \arrow H^1(M, G)$ -- соответствующее
отображение когомологий. Докажите, что расслоение
$E$ редуцируется к $G_1$ тогда и только тогда, когда
соответствующий коцикл лежит в образе $\Psi$.
\ез

\NewVedomost


\определение
Пусть $B= E\times_G V$ -- векторное расслоение, которое получено
из главного $G$-расслоения $Е$ и представления $V$ группы $G$.
Тогда $G$ называется {\бф структурной группой расслоения $B$}.
\ео

\задача
Пусть $B$ -- векторное расслоение над $M$ со структурной
группой $G$, $G_1\arrow G$ -- гомоморфизм групп,
а $E_1\arrow M$ -- главное $G_1$-расслоение,
которое получено редукцией $E$ к $G_1$.
Докажите, что $B$ ассоциировано с $E_1$
и представлением $G_1$, которое получено
из гомоморфизма $G_1\arrow G$.
\ез

\определение
В такой ситуации говорится, что 
произведена {\bf редукция структурной группы $B$ к $G_1$.}
\ео

\задача
Докажите, что задание метрики на вещественном векторном расслоении
равносильно редукции структурной группы $GL(n,\R)$ к
$O(n)\subset GL(n,\R)$.
\ез

\задача
Докажите, что задание комплексной
структуры на вещественном векторном расслоении
равносильно редукции структурной группы $GL(2n,\R)$ к
$GL(n,\C)\subset GL(2n,\R)$.
\ез

\задача
Докажите, что задание эрмитовой
структуры на вещественном векторном расслоении
равносильно редукции структурной группы $GL(2n,\R)$ к
$U(n)\subset GL(2n,\R)$.
\ез

\задача 
Пусть $e\in \R^n$ есть ненулевой вектор, а $G=\St(e)$
его стабилизатор в $GL(n,\R)$.
Докажите, что выбор нигде не зануляющегося
векторного поля на $n$-мерном многообразии
равносилен редукции структурной группы касательного
расслоения к $G\subset GL(n,\R)$.
\ез

\определение
Структурная группа многообразия есть структурная группа
его касательного расслоения.
\ео

%\замечание
%Структурная группа риманова многообразия есть $O(n)$,
%структурная группа многообразия с выбранной 
%на нем невырожденной формой объема
%есть $SL(n,\R)$ и т. д.
%\еза

\задача
Пусть $M$ -- $n$-мерное риманово многообразие.
Докажите, что выбор $p$-мерного подрасслоения 
в $TM$ равносильно редукции структурной группы
к $O(p)\times O(n-p) \subset O(n)$.
\ез

\задача
Докажите, что $SO(4)=SU(2)\times SU(2)/(\pm 1)$,
где $\pm1$ действует диагонально на $SU(2)\times SU(2)$.
\ез

\определение
{\бф Спин-структура} на 4-мерном, ориентированном римановом многообразии
есть редукция структурной группы $SO(4)$ к $SU(2)\times SU(2)$
\ео

\задача[!]
Докажите, что стягиваемое 4-мерное многообразие
допускает спин-структуру.
\ез

\задача[*]
Постройте односвязное, компактное 4-мерное многообразие, 
допускающее спин-структуру.
\ез

\задача[**]
Постройте односвязное, компактное 4-мерное многообразие, 
не допускающее спин-структуру.
\ез




\end{document}
