\documentclass[9pt]{extarticle} % version 1.0, 18.11.2013 % version 1.1, 18.11.2013, добавил ориентированность к 8.11 и 8.10 % version 1.2, 25.11.2013, 8.25 неподвижные точки, 8.39 O(m) (опечатка) \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 25.11.2013} \newcommand{\firstdate}{18.11.2013} \addtolength{\topmargin}{-27mm} \addtolength{\textheight}{54mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-20mm} \addtolength{\textwidth}{40mm} \input{defs-listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{8}{Векторные расслоения 8: главные расслоения} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Топология фактора} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство, а $\sim$ -- отношение эквивалентности. Множество классов эквивалентности обозначается $M/\!\!\!\sim\!$. На $M/\!\!\!\sim\!$ вводится {\bf топология фактора}: открытые подмножества $M/\!\!\!\sim\!$ - такие подмножества, прообраз которых в $M$ открыт. Если на $M$ действует группа $G$, возникает естественное отношение эквивалентности: $x \sim y$ если существует такое $g \in G$, что $g \cdot x = y$. Фактор $M$ по этому отношению эквивалентности называется {\bf факторпространством $M$ по действию $G$}, и обозначается $M/G$. Классы эквивалентности называются {\bf $G$-орбитами} в $M$. \ео \задача Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство, а $G$ -- конечная группа, которая действует на $M$ гомеоморфизмами. Рассмотрим факторпространство $M/G$ с топологией фактора. Докажите, что $M/G$ хаусдорфово. \ез \указание Пусть $x,y$ -- две точки, не принадлежащие одной и той же $G$-орбите. Найдите у $x$, $y$ непересекающиеся $G$-инвариантные окрестности $U$, $U'$, и возьмите $\bigcap_{g\in G} gU$, $\bigcap_{g\in G} gU'$. \еу \задача Приведите пример, когда $M$ хаусдорфово, а $M/G$ нехаусдорфово (и группа, соответственно, не конечна). \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Главные расслоения} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $G$ -- топологическая группа. Действие $G\times M$ на топологическом пространстве {\бф непрерывно}, если отображение $G \times M\arrow M$ непрерывно. \ео \задача Пусть $G$ -- топологическая группа, которая свободно действует на хаусдорфовом пространстве $M$. Докажите, что орбиты этого действия гомеоморфны $G$, или приведите контрпример. \ез \определение Пусть $М$ -- топологическое пространство, снабженное свободным, непрерывным действием группы Ли $G$, а факторпространство $M/G$ с топологией фактора хаусдорфово. В такой ситуации проекция $M \arrow M/G$ называется {\бф главным $G$-расслоением}. Если на $M$ и на $M/G$ заданы согласованные структуры гладкого многообразия, а действие $G\times M \arrow M$ гладко, главное $G$-расслоение называется {\бф гладким}. \ео \замечание Все главные $G$-расслоения, которые мы рассматриваем в дальнейшем, гладкие, если не оговорено обратное. Действие группы Ли на многообразии также предполагается по умолчанию гладким. \еза \задача[!] Пусть $G$ -- компактная группа Ли, которая свободно действует на гладком многообразии $M$. Докажите, что фактор $M/G$ гладкий, а $M \arrow M/G$ -- главное $G$-расслоение. \ез \определение {\бф Расслоение Хопфа} $S^3\arrow S^2$ есть ограничение тавтологического отображения $\C^2\backslash 0 \arrow \C P^1$ на $S^3\subset \C^2\backslash 0$. \ео \задача Докажите, что расслоение Хопфа есть гладкое главное $S^1$-расслоение. \ез \задача Пусть $\pi:\; S^{2n} \arrow M$ -- гладкое отображение на многообразие меньшей размерности. Может ли $\pi$ быть главным $G$-расслоением? \ез \задача Постройте главное $SU(2)$-расслоение $S^7 \arrow S^4$. \ез \задача Постройте главное $S^1$-расслоение $S^{2n+1} \arrow \C P^n$. \ез \задача[*] Пусть $\R$ свободно действует на компактном многообразии $M$. Докажите, что $M/\R$ нехаусдорфово. \ез \задача[**] $\pi:\; M\arrow S^2$ -- гладкое отображение, $M$ ориентировано, а прообраз каждой точки -- окружность. Докажите, что $\pi$ допускает структуру главного $S^1$-расслоения, или найдите контрпример. \ез \задача[**] $\pi:\; M\arrow N$ -- гладкое отображение ориентированных многообразий, а прообраз каждой точки -- $S^3$. Докажите, что $\pi$ допускает структуру главного $SU(2)$-расслоения, или найдите контрпример. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Главные расслоения и когомологии} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $G$ -- группа Ли, $M$ -- многообразие, а $\{U_i\}$ его покрытие. {\бф 1-коцикл} со значениями в $G$ есть набор гладких функций $U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow G$, удовлетворяющих следующим условиям: 1. $\phi_{ij}=\phi_{ji}^{-1}$ 2. $\phi_{ij}\phi_{jk}=\phi_{ik}$. \ео \определение Два 1-коцикла $\phi_{ij}$ и $\psi_{ij}'$ называются {\бф кограничными}, если задан набор гладких отображений $\psi_i :\; U_i \arrow G$, причем $\phi_{ij}'=\psi_i^{-1} \phi_{ij}\psi_j$. \ео \задача Докажите, что это отношение эквивалентности. \ез \определение Пусть $G$ -- группа Ли. Множество $H^1(M,G)$ {\бф неабелевых когомологий с коэффициентами в $G$} есть множество 1-коциклов с коэффициентами в $G$ с точностью до кограничности. \ео \определение Два главных $G$-расслоения $E\arrow M$ и $E'\arrow M$ {\бф эквивалентны}, если существует диффеоморфизм $E\arrow E'$ совместимый с проекцией на $M$ и с действием $G$. \ео \задача[!] Постройте биекцию между множеством классов эквивалентности главных $G$-расслоений над $M$ и $H^1(M, G)$. \ез \задача[*] Докажите, что $H^1(M,G)$ не более чем счетно, когда $М$ компактно, или приведите контрпример. \ез \определение Точная последовательность множеств есть последовательность отображений таких, что образ $i$-го есть прообраз отмеченной точки в $(i+1)$-м. \ео \задача[!] Пусть $0\arrow G_1 \arrow G_2 \arrow G_3 \arrow 0 $ -- точная последовательность групп. Постройте точную последовательность неабелевых когомологий \[ H^1(M, G_1)\arrow H^1(M, G_2) \arrow H^1(M, G_3).\] \ез \задача Докажите, что когомологии пучка гладких функций $H^i(M, C^\infty M)$ зануляются для всех $i>0$. \ез \задача Пусть $G=\R$. Докажите, что каждое главное $G$-расслоение тривиально. \ез \указание Докажите, что $H^1(M,\R)= H^1(M, C^\infty M)$, и примените предыдущую задачу. \еу \задача[!] Пусть $M$ -- стягиваемое многообразие. Докажите, что $H^1(M,G)=0$ для любой группы $G$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Классифицирующие пространства} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $X,Y$ -- топологические пространства с действием группы $G$. Определим $X\times_G Y$ как $X\times Y/G$ с топологией фактора, где $g$ действует на $X\times Y$ "диагонально", то есть по формуле $g(x,y)=(gx, gy)$. \ео \задача Пусть $X$ -- гладкое многообразие, снабженное действием группы Ли $G$, а $E\arrow M$ -- гладкое $G$-расслоение. Постройте структуру гладкого многообразия на $E\times_G X$. Докажите, что естественная проекция $E\times_G X\arrow M$ есть локально тривиальное расслоение со слоем $X$. \ез \определение Расслоение $E\times_G X\arrow M$, полученное таким образом, называется {\бф присоединенным} по отношению к главному расслоению $E\arrow M$. \ео \задача Пусть $E\arrow M$ -- главное $G$-расслоение. Докажите, что $E\times_G G$ изоморфно $E$ как расслоенное пространство. \ез \задача[*] Пусть $E\arrow B$ -- главное $G$-расслоение, причем $E$ стягиваемо, а $E_1 \arrow B_1$ -- еще одно главное $G$-расслоение. Докажите, что $E\times_G E_1$ гомотопически эквивалентно $B_1$. \ез \задача[*] Пусть $E\arrow B$ и $E_1 \arrow B_1$ -- главные $G$-расслоения, причем $E$ и $E_1$ стягиваемо. Докажите, что $B$ гомотопически эквивалентно $B_1$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \определение Пусть $E\arrow B$ -- главное $G$-расслоение, причем $E$ стягиваемо. Тогда $B$ называется {\бф классифицирующим пространством} для $G$, и обозначается $BG$. \ео \задача[*] Докажите, что бесконечномерная сфера, полученная объединением $S^1 \subset S^2 \subset ... \subset S^n \subset ...$, стягиваема. \ез \задача[*] Докажите, что $\C P^\infty=BU(1)$ \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[*] Предположим, что $G$ -- компактная группа Ли, а $V$ -- бесконечномерное представление $G$, полученное как сумма конечномерных, нетривиальных неприводимых ортогональных представлений. Докажите, что $G$ свободно действует на соответствующей бесконечномерной сфере $S^\infty$, а $S^\infty/G$ есть классифицирующее пространство для $G$. \ез \определение Пусть $B$ -- векторное расслоение над $M$. {\бф Расслоение реперов} есть множество всех базисов в слоях $B$, снабженное естественной топологией. \ео \задача Определите топологию на расслоении реперов явно, и докажите, что это главное $GL(n,\R)$-расслоение для вещественного расслоения $B$, и главное $GL(n,\C)$-расслоение для комплексного $B$. \ез \определение Пусть $B$ -- векторное расслоение над $M$, снабженное метрикой (то есть положительно определенной квадратичной формой). {\бф Расслоение ортонормированных реперов} есть множество всех ортонормированных базисов в слоях $B$, снабженное естественной топологией. \ео \задача Определите топологию на расслоении ортонормированных реперов явно, и докажите, что это главное $O(n)$-расслоение. \ез \newcommand{\St}{\operatorname{St}} \newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}} \определение {\бф Многообразие Штифеля} $\St(m, m+n)$ есть пространство последовательностей из $m$ ортонормированных векторов в евклидовом пространстве $V$ размерности $n+m$. {\бф Грассманиан} $\Gr(m, m+n)$ есть пространство $m$-мерных плоскостей в $V$. \ео \задача Введите топологию и гладкую структуру на многообразии Штифеля и на грассманиане таким образом, что естественная проекция $\St(m, n+m) \arrow \Gr(m, m+n)$ станет главным $O(m)$-расслоением. \ез \задача Докажите, что $\pi_i(\St(m, n+m))=0$ для всех $i$ таких, что $0