\documentclass[10pt]{article} % version 0.1, 19.10.2013 % version 1.0, 20.10.2013 % version 1.1, 28.10.2013 % version 1.2, 18.11.2013 Zhumagaliev made many corrections \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 28.10.2013} \newcommand{\firstdate}{28.10.2013} \addtolength{\topmargin}{-15mm} \addtolength{\textheight}{30mm} %\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm} %\addtolength{\textwidth}{20mm} \input{defs-listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{7}{Векторные расслоения 7: кривизна} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Определение кривизны} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ -- связность на гладком расслоении. Докажите, что $\nabla$ можно продолжить до оператора на формах \begin{equation}\label{_nabla_exte_Equation_} B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow ... \end{equation} таким образом, что $\nabla(\eta \otimes b) = d\eta\otimes b + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$ (в этой задаче надо проверить корректность оператора, определенного этой формулой) \ез \задача Докажите, что оператор $\nabla^2:\; \Lambda^{i}(M)\otimes B \arrow \Lambda^{i+2}(M)\otimes B$ в \eqref{_nabla_exte_Equation_} является $C^\infty M$-линейным. \ез \задача[!] Пусть $X,Y\in TM$ -- векторные поля, $(B,\nabla)$ -- расслоение со связностью, а $b\in B$ -- сечение. Докажите, что оператор \[ \Theta_B (X, Y, b):= \nabla_X\nabla_Yb-\nabla_Y\nabla_Xb-\nabla_{[X,Y]}b \] $C^\infty M$-линеен по всем трем аргументам. \ез \задача Обозначим за $i_X:\; \Lambda^iM \otimes B \arrow \Lambda^{i-1}M \otimes B$ подстановку векторного поля $X$. Докажите, что $[\nabla_X, i_Y]= [\Lie_X, i_Y]$, если $[X,Y]=0$. \ез \задача Пусть $X,Y\in TM$ -- векторные поля, $(B,\nabla)$ -- расслоение со связностью, а $b\in B$ -- сечение. \енум \итем Докажите, что $\nabla^2(b)(X,Y)= (i_Xi_Y -i_Yi_X) \nabla^2(b)$, а $\Theta_B(X,Y)(b)=i_X\nabla i_Y\nabla (b)-i_Y\nabla i_X\nabla(b)$. \итем[!] Докажите, что $\Theta_B(X,Y)(b)=\nabla^2(b)(X,Y)$. \ее \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Потоки диффеоморфизмов} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $X\in TM$ -- векторное поле на многообразии, а $\Psi_t:\; \R \times M \arrow M$ соответствующий поток диффеоморфизмов, такой, что $\Psi_t^{-1}\frac {d\Psi_t}{dt}=X$. Обозначим $\Psi_t$ за $\Exp(tX)$. Этот поток иногда называют {\бф экспонентой} $X$. \ео \NewVedomost \задача \енум \итем[*] Докажите, что $\Exp(tX)$ всегда существует, если $M$ компактно. \итем[**] Докажите, что на любом некомпактном многообразии существует векторное поле $X$ такое, что $\Exp(tX)$ не существует ни на каком непустом отрезке $]a,b[\subset \R$. \ее \ез \определение Пусть $\Psi:\; M \arrow M$ -- диффеоморфизм, а $X$ -- векторное поле. Рассмотрим дифференцирование $(\Psi_* X)(f):= \Psi^{-1}\Lie_X \Psi^*(f)$. Поскольку векторные поля это дифференцирования, $\Psi_* X$ это тоже векторное поле. \ео \задача Докажите, что $\Psi_* X$ в точке $z\in M$ равно $D\Psi\left(X\restrict{\Psi^{-1}(z)}\right)$. \ез \задача Пусть $X,Y\in TM$ векторные поля. Докажите, что $\frac{d\Exp(tX)_* Y}{dt}=[X,Y]$. \ез \задача[!] Пусть $X,Y\in TM$ -- векторные поля, которые коммутируют. Докажите, что потоки диффеоморфизмов $\Exp(tX)$ и $\Exp(tY)$ тоже коммутируют. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Докажите, что $\Exp(tX)^*f= \sum_{i=0}^n t^i\frac{\Lie_X^if}{i!}+t^{n+1}C$, где $|C|\leq \sup_M \frac{\Lie_X^{n+1}f}{(n+1)!}$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Кривизна и голономия} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $X$ -- векторное поле на многообразии, $\Exp(tX):\; \R \times M \arrow M$ соответствующий поток диффеоморфизмов, $(B,\nabla)$ -- расслоение со связностью на $M$, а $\Phi_t:\; B \arrow B$ -- оператор параллельного переноса сечения вдоль кривой $\Exp(tX)(x)$. \енум \итем Докажите, что $\nabla_X(b)=\Phi_t\frac{d\Phi_t(b)}{dt}\restrict{t=0}$ для любого $b\in B$. \итем[!] Докажите, что $\nabla_X(b)=\Phi_t^{-1}\frac{d\Phi_t(b)}{dt}$ для всех $B\in B, t\in \R$. \ее \ез \определение Оператор $\Psi_t$, построенный выше, называется {\бф оператором параллельного переноса по связности вдоль $X$}, или {\бф оператором голономии}, и обозначается $\Exp(t\nabla_X)$. \ео \задача \label{_differe_nabla_flow_Zadacha_} Пусть $X, Y \in TM$ -- коммутирующие векторные поля на $M$, $(B,\nabla)$ -- расслоение со связностью, а $\Exp(t\nabla_X)$ -- соответствующий оператор параллельного переноса. \енум \итем Докажите, что $\frac{d\nabla_Y\Exp(t\nabla_X)}{dt}\restrict{t=0}=\nabla_Y\nabla_X$. \итем[!] Докажите, что $\frac{d\nabla_Y\Exp(t\nabla_X)}{dt}=\nabla_Y\nabla_X(\Exp(t\nabla_X)(b))$. \ее \ез \задача[!] \label{_conne_Taylor_Zadacha_} Докажите, что $\Exp(t\nabla_X)(b)= \sum_{i=0}^n t^i\frac{\nabla_X^ib}{i!}+t^{n+1}C$, где $|C|\leq \sup_M \frac{\nabla_X^{n+1}b}{(n+1)!}$. \ез \задача[!] Пусть $X,Y$ -- коммутирующие векторные поля, а \\ $e^{\epsilon \nabla_X}e^{\epsilon \nabla_Y}e^{-\epsilon \nabla_X}e^{-\epsilon \nabla_Y}$ -- оператор параллельного переноса сечения вдоль ромба \\ $\epsilon X, \epsilon Y, -\epsilon X, -\epsilon Y$ (то есть преобразование голономии, соответствующее обходу этого контура). Докажите, что \[ \frac{d^2}{d\epsilon^2} \bigg[\Exp(\epsilon \nabla_X)\Exp(\epsilon \nabla_Y)\Exp(-\epsilon \nabla_X)\Exp(-\epsilon \nabla_Y)\bigg](b)= 2\Theta(X,Y)(b), \] где $\Theta(X,Y)$ -- кривизна связности $\nabla$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Докажите, что голономия обхода по контуру ромба $\epsilon X, \epsilon Y, -\epsilon X, -\epsilon Y$. тривиальна для всех $\epsilon$ тогда и только тогда, когда $\Theta(X,Y)=0$. \ез \задача[!] \label{_triangle_holo_Zadacha_} Пусть $X,Y$ -- коммутирующие векторные поля, а \\ $h_\epsilon:=e^{\epsilon \nabla_X}e^{\epsilon \nabla_Y}e^{-\epsilon \nabla_{X+Y}}$ -- оператор параллельного переноса сечения вдоль треугольника $\epsilon X, \epsilon Y, -\epsilon(X+Y)$. Докажите, что $h_\epsilon=1+\frac 1 2\epsilon^2 \Theta(X,Y)(b)+\epsilon^3 \delta$, где $|\delta|$ ограничен константой $C$, которая не зависит от $\epsilon$. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_conne_Taylor_Zadacha_}. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Топология на пространстве гладких путей} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $\gamma:\; [0,1] \arrow M$ -- гладкий путь в $M=\R^n$, а \[ \gamma^{(k)}:\; [0,1] \arrow TM=\R^n\] -- $k$-я производная отображения $\gamma$. Определим на пространстве путей $\gamma:\; [0,1] \arrow M$ {\бф $C^r$-метрику} $d_{C^r}$ формулой \[ d_{C^r}(\gamma_1, \gamma_2):= \sup_{z\in[0,1]} \sum_{i=0}^r\|\gamma_1^{(i)}(z)-\gamma_2^{(i)}(z)\|, \] где $\|\cdot\|$ -- евклидова норма на $TM$, индуцированная плоской римановой метрикой на $M=\R^n$. Соответствующая топология называется {\бф $C^r$-топологией.} \ео \задача Докажите, что пространство путей гладкости $C^r$ полно в $C^r$-метрике. \ез \задача Пусть на пространстве путей с $C^r$-топологией задано отображение, которое переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся. Докажите, что оно непрерывно. \ез \замечание При решении задач этого и следующего раздела, удобно пользоваться этим утверждением, выводя непрерывность отображений из сходимости последовательностей. \еза \задача\label{_diffeo_C^r_Zadacha_} Пусть $\phi:\; \R^n\arrow \R^n$ -- диффеоморфизм. Докажите, что соответствующее отображение на пространстве путей с $C^r$-топологией задает гомеоморфизм. \енум \итем Для $r=0$. \итем[!] Для $r=1$. \итем[*] Для всех $r$. \ее \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \определение Пусть $M$ -- многообразие, а $\Map([a,b], M)$ пространство путей. Зафиксируем атлас $\{U_\alpha\stackrel {\phi_\alpha}\arrow \R^n\}$ на $M$. Разбив заданные пути $\gamma$, $\gamma'$ в объединение путей $\gamma\restrict{[a_i,b_i]}$, $\gamma'\restrict{[a_i,b_i]}$, которые лежат в картах $U_i\cong \R^n$, определим $d_{C^r}(\gamma, \gamma')$ как % \begin{equation}\label{_C^r_manifold_Equation_} d_{C^r}(\gamma, \gamma'):= \inf \sum_i d_{C^r}\left(\gamma\restrict{[a_i,b_i]}, \gamma'\restrict{[a_i,b_i]}\right), \end{equation} где инфимум взят по всем разбиениям и картам из атласа, а каждое из слагаемых $d_{C^r}\left(\gamma\restrict{[a_i,b_i]}, \gamma'\restrict{[a_i,b_i]}\right)$ вычислено в своей карте $U_i$. \ео \задача Докажите, что таким образом определенное $d_{C^r}$ задает метрику. \ез \задача Докажите, что топология пространетве путей, определенная $d_{C^r}$ по формуле \eqref{_C^r_manifold_Equation_}, не зависит от выбора диффеоморфизмов $U_\alpha\stackrel {\phi_\alpha}\arrow \R^n$ \енум \итем Для $r=0$. \итем Для $r=1$. \итем[*] Для всех $r$. \ее \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_diffeo_C^r_Zadacha_}. \еу \задача Докажите, что топология на пространстве путей, определенная $d_{C^r}$ по формуле \eqref{_C^r_manifold_Equation_}, не меняется при переходе к измельчению покрытия. \ез \задача Докажите, что топология пространетве путей, определенная $d_{C^r}$ по формуле \eqref{_C^r_manifold_Equation_}, не зависит от выбора покрытия \енум \итем Для $r=0$. \итем Для $r=1$. \итем[*] Для всех $r$. \ее \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Рассмотрим функцию ${\cal L}:\; \Map([a,b], \R^n)\arrow \R$, ставящую в соответствие каждому пути его длину. Докажите, что ${\cal L}$ разрывна в $C^0$-топологии. \ез \задача[*] Пусть $\alpha\in \Lambda^1 \R^n$ -- 1-форма (не обязательно замкнутая), а \[ I_\alpha:\; \Map([a,b], \R^n)\arrow \R\] ставит в соответствие пути $\gamma$ интеграл $\int_{\gamma} \alpha$. \итем[*] Предположим, что $\alpha$ -- гладкая 1-форма. Докажите, что $I_\alpha$ непрерывна в $C^0$-топологии на пространстве путей с ограниченной производной, или найдите контрпример. \итем[**] Предположим, что $\alpha$ -- непрерывная 1-форма (с непрерывными коэффициентами). Докажите, что $I_\alpha$ непрерывна в $C^0$-топологии на пространстве путей с ограниченной производной, или найдите контрпример. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Зависимость голономии от контура} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $f:\; [0,1] \arrow \R^n$ -- векторнозначная функция, $A_t:\; [0,1]\rightarrow \End(\R^n)$ -- эндоморфизм, зависящий от параметра $t\in [0,1]$, а $f' =A_t(f)$ -- дифференциальное уравнение. Рассмотрим функцию $\alpha:\; [0,1] \arrow \R^{\geq 0}$, ставящую точке $t\in [0,1]$ в соответствие операторную норму (максимальное собственное значение) $A(t)$. Пусть $h:\; \R^n \arrow \R^n$ преобразование, которое ставит начальному условию $f(0)$ значение $f(1)$ решения уравнения $f' =A_t(f)$, а $\alpha_i$ -- собственные значения $h$. Докажите, что $|\log\alpha_i| \leq \int_{[0,1]} \alpha(t)$. \ез \задача \label{_holo_C^1_estimate_Zadacha_} Пусть $(B, \nabla_0)$ -- тривиальное расслоение над $M$ с тривиальной связностью $\nabla_0(\sum_i f_i b_i)=\sum_i df_i\otimes b_i$, а $\nabla:= \nabla_0+A$ -- еще одна связность. Рассмотрим петлю $\gamma$ в $M$, и пусть $h_\gamma$ -- соответствующее преобразование голономии, индуцированное $\nabla$. Рассмотрим функцию $\alpha:\; [0,1] \arrow \R^{\geq 0}$, ставящую точке $t\in [0,1]$ в соответствие операторную норму (максимальное собственное значение) $A(\dot\gamma(t))$. Докажите, что собственные значения $\alpha_i$ оператора $h_\gamma$ удовлетворяют $|\log\alpha_i| \leq \int_\gamma \alpha(t)dt$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Пусть $W_x$ -- пространство кусочно-гладких петель с началом и концом в $x\in M$, $(B, \nabla)$ -- расслоение со связностью, а $h_\gamma$ -- соответствующее преобразование голономии. Докажите, что $h_\gamma$ непрерывно в $C^1$-топологии на $W_x$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \замечание Цель оставшихся задач листочка - доказать, что $h_\gamma$ непрерывно в $C^0$-топологии (при условии, что производная $\gamma$ ограничена). \еза \задача\label{_small_tria_holonomy_Zadacha_} Пусть $M=\R^n$, $(B,\nabla)$ -- расслоение со связностью на $M$, а $\gamma_\epsilon$ -- путь, обходящий границы плоского треугольника со сторонами, которые равны векторам $\epsilon X,\epsilon Y, -\epsilon(X+Y)\in \R^n$. Предположим, что $\gamma_\epsilon$ лежит в компакте $K\subset \R^n$. Докажите, что $\gamma_\epsilon=1+\frac 1 2 \epsilon^2\Theta(X,Y)+\epsilon^3\delta$, где $|\delta|$ ограничен константой, которая зависит от $X,Y,K,B,\nabla$, и не зависит от выбора треугольника $\gamma_\epsilon$. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_triangle_holo_Zadacha_}. \еу \задача[!] Пусть $M=\R^n$, $(B,\nabla)$ -- расслоение со связностью на $M$, а $\gamma$ -- путь, обходящий границы плоского треугольника $D$ со сторонами, которые равны векторам $X, Y, -(X+Y)\in \R^n$. Докажите, что собственные значения $\alpha_i$ соответствующего преобразования голономии удовлетворяют \[ |\log\alpha_i|\leq \sup_{z\in D}\left\|\Theta(X,Y)\restrict z\right\|, \] где $\Theta(X,Y)\restrict z\in \End\left(B\restrict z\right)$ -- значение кривизны в $z$, а $\left\|\Theta(X,Y)\restrict z\right\|$ ее операторная норма, то есть максимум модуля собственных значений. \ез \указание Разбейте треугольник $\gamma$ в объединение треугольников $\gamma_\epsilon$ со сторонами $\epsilon X,\epsilon Y, -\epsilon(X+Y)\in \R^n$, и примените предыдущую задачу. \еу \задача Пусть $M=\R^n$, $(B,\nabla)$ -- расслоение со связностью на $M$, а $\gamma_i$ -- последовательность путей, обходящих границы плоского треугольника $D_i$, с началом и концом в $z\in M$. Предположим, что площадь треугольников $D_i$ стремится к нулю, а все $D_i$ лежат в заданном компакте $K$. Обозначим за $h_{\gamma_i} \in \End(B\restrict z)$ соответствующие преобразования голономии. Докажите, что $\lim_i h_{\gamma_i}=\Id$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $M=\R^n$, $(B,\nabla)$ -- расслоение со связностью на $M$, а $\gamma$ -- путь, обходящий границы плоского треугольника $D$, с началом и концом в $z\in M$. Докажите, что соответствующее преобразование голономии непрерывно в $C^0$-топологии как функция $\gamma$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Пусть $M=\R^n$, $(B,\nabla)$ -- расслоение со связностью на $M$, а $\gamma$ -- кусочно-линейная петля с началом и концом в $z\in M$. Докажите, что соответствующее преобразование голономии непрерывно в $C^0$-топологии как функция $\gamma$, если $|\dot\gamma|