\documentclass[10pt]{article}

% version 0.1, 19.10.2013 
% version 1.0, 20.10.2013 
% version 1.1, 28.10.2013 
% version 1.2, 18.11.2013 Zhumagaliev made many corrections

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   28.10.2013}
\newcommand{\firstdate}{28.10.2013}


\addtolength{\topmargin}{-15mm}
\addtolength{\textheight}{30mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
%\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}



\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{7}{��������� ���������� 7: ��������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{����������� ��������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\������
����� $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ -- ���������
�� ������� ����������. ��������, ��� $\nabla$ ����� ����������
�� ��������� �� ������
\begin{equation}\label{_nabla_exte_Equation_}
B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes B
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes B 
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow ...
\end{equation}
����� �������, ���
$\nabla(\eta \otimes b) = d\eta\otimes b + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$
(� ���� ������ 
���� ��������� ������������ ���������, ������������� ���� ��������)
\��

\������
��������, ��� �������� $\nabla^2:\; \Lambda^{i}(M)\otimes B 
\arrow \Lambda^{i+2}(M)\otimes B$ � \eqref{_nabla_exte_Equation_}
�������� $C^\infty M$-��������.
\��

\������[!]
����� $X,Y\in TM$ -- ��������� ����, $(B,\nabla)$ -- ����������
�� ����������, � $b\in B$ -- �������.
��������, ��� ��������
\[ \Theta_B (X, Y, b):= \nabla_X\nabla_Yb-\nabla_Y\nabla_Xb-\nabla_{[X,Y]}b
\]
$C^\infty M$-������ �� ���� ���� ����������.
\��

\������
��������� �� 
$i_X:\; \Lambda^iM \otimes B \arrow \Lambda^{i-1}M \otimes B$ 
����������� ���������� ���� $X$.
��������, ��� $[\nabla_X, i_Y]= [\Lie_X, i_Y]$, ���� $[X,Y]=0$.
\��

\������
����� $X,Y\in TM$ -- ��������� ����, $(B,\nabla)$ -- ����������
�� ����������, � $b\in B$ -- �������. 
\����
\����
��������, ���
$\nabla^2(b)(X,Y)= (i_Xi_Y -i_Yi_X)
\nabla^2(b)$, � 
$\Theta_B(X,Y)(b)=i_X\nabla i_Y\nabla (b)-i_Y\nabla
i_X\nabla(b)$.
\����[!] ��������, ��� 
$\Theta_B(X,Y)(b)=\nabla^2(b)(X,Y)$.
\��
\��

\�������� �������������� ���������� �������.
\��



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{������ ���������������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
����� $X\in TM$ -- ��������� ���� �� ������������,
� $\Psi_t:\; \R \times M \arrow M$ ���������������
����� ���������������, �����, ��� $\Psi_t^{-1}\frac {d\Psi_t}{dt}=X$.
��������� $\Psi_t$ �� $\Exp(tX)$. ���� ����� ������
�������� {\�� �����������} $X$.
\��

\NewVedomost

\������
\����
\����[*]
��������, ��� $\Exp(tX)$ ������ ����������, ���� $M$
���������.
\����[**] ��������, ��� �� ����� ������������
������������ ���������� ��������� ���� $X$ �����,
��� $\Exp(tX)$ �� ���������� �� �� ����� ��������
������� $]a,b[\subset \R$.
\��
\��

\�����������
����� $\Psi:\; M \arrow M$ -- �������������,
� $X$ -- ��������� ����. ���������� �����������������
$(\Psi_* X)(f):= \Psi^{-1}\Lie_X \Psi^*(f)$.
��������� ��������� ���� ��� �����������������,
$\Psi_* X$ ��� ���� ��������� ����.
\��

\������
��������, ��� $\Psi_* X$ � ����� $z\in M$ �����
$D\Psi\left(X\restrict{\Psi^{-1}(z)}\right)$.
\��


\������
����� $X,Y\in TM$ ��������� ����. ��������, ���
$\frac{d\Exp(tX)_* Y}{dt}=[X,Y]$.
\��

\������[!]
����� $X,Y\in TM$ -- ��������� ����, ������� �����������.
��������, ��� ������ ���������������
$\Exp(tX)$ � $\Exp(tY)$ ���� �����������.
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��


\������
��������, ��� $\Exp(tX)^*f= \sum_{i=0}^n t^i\frac{\Lie_X^if}{i!}+t^{n+1}C$,
��� $|C|\leq \sup_M \frac{\Lie_X^{n+1}f}{(n+1)!}$.
\��


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{�������� � ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\������
����� $X$ -- ��������� ���� �� ������������,
$\Exp(tX):\; \R \times M \arrow M$ ���������������
����� ���������������, $(B,\nabla)$ -- ����������
�� ���������� �� $M$, � $\Phi_t:\; B \arrow B$ -- �������� �������������
�������� ������� ����� ������ $\Exp(tX)(x)$.
\����
\���� ��������, ��� $\nabla_X(b)=\Phi_t\frac{d\Phi_t(b)}{dt}\restrict{t=0}$
��� ������ $b\in B$.
\����[!] ��������, ��� $\nabla_X(b)=\Phi_t^{-1}\frac{d\Phi_t(b)}{dt}$
��� ���� $B\in B, t\in \R$. 
\��
\��


\�����������
�������� $\Psi_t$, ����������� ����, 
���������� {\�� ���������� ������������� �������� 
�� ��������� ����� $X$}, ��� {\�� ���������� ���������},
� ������������ $\Exp(t\nabla_X)$.
\��

\������
\label{_differe_nabla_flow_Zadacha_}
����� $X, Y \in TM$ -- ������������� ���������
���� �� $M$, $(B,\nabla)$ -- ����������
�� ����������, � $\Exp(t\nabla_X)$ -- 
��������������� �������� ������������� ��������.
\����
\���� ��������, ��� 
$\frac{d\nabla_Y\Exp(t\nabla_X)}{dt}\restrict{t=0}=\nabla_Y\nabla_X$.
\����[!] ��������, ��� 
$\frac{d\nabla_Y\Exp(t\nabla_X)}{dt}=\nabla_Y\nabla_X(\Exp(t\nabla_X)(b))$.
\��
\��


\������[!]
\label{_conne_Taylor_Zadacha_}
��������, ��� $\Exp(t\nabla_X)(b)= 
\sum_{i=0}^n t^i\frac{\nabla_X^ib}{i!}+t^{n+1}C$,
��� $|C|\leq \sup_M \frac{\nabla_X^{n+1}b}{(n+1)!}$.
\��


\������[!]
����� $X,Y$ -- ������������� ��������� ����,
� \\ $e^{\epsilon \nabla_X}e^{\epsilon \nabla_Y}e^{-\epsilon
\nabla_X}e^{-\epsilon \nabla_Y}$ -- �������� �������������
�������� ������� ����� ����� \\ $\epsilon X, \epsilon Y, -\epsilon X,
-\epsilon Y$ (�� ���� �������������� ���������,
��������������� ������ ����� �������). ��������, ���
\[ \frac{d^2}{d\epsilon^2}
\bigg[\Exp(\epsilon \nabla_X)\Exp(\epsilon \nabla_Y)\Exp(-\epsilon
\nabla_X)\Exp(-\epsilon \nabla_Y)\bigg](b)= 2\Theta(X,Y)(b),
\]
��� $\Theta(X,Y)$ -- �������� ��������� $\nabla$.
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��

\������
��������, ��� ��������� ������ �� ������� �����  
$\epsilon X, \epsilon Y, -\epsilon X, -\epsilon Y$.
���������� ��� ���� $\epsilon$ ����� � ������ �����,
����� $\Theta(X,Y)=0$.
\��

\������[!]
\label{_triangle_holo_Zadacha_}
����� $X,Y$ -- ������������� ��������� ����,
� \\ $h_\epsilon:=e^{\epsilon \nabla_X}e^{\epsilon \nabla_Y}e^{-\epsilon
\nabla_{X+Y}}$ -- �������� �������������
�������� ������� ����� ������������
$\epsilon X, \epsilon Y, -\epsilon(X+Y)$.
��������, ��� $h_\epsilon=1+\frac 1 2\epsilon^2
\Theta(X,Y)(b)+\epsilon^3 \delta$,
��� $|\delta|$ ��������� ���������� $C$,
������� �� ������� �� $\epsilon$.
\��

\��������
�������������� �������
\ref{_conne_Taylor_Zadacha_}.
\��

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{��������� �� ������������ ������� �����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
����� $\gamma:\; [0,1] \arrow M$ -- ������� ���� � $M=\R^n$,
� \[ \gamma^{(k)}:\; [0,1] \arrow TM=\R^n\] -- $k$-�
����������� ����������� $\gamma$. ��������� �� ������������ ����� 
$\gamma:\; [0,1] \arrow M$
{\�� $C^r$-�������} $d_{C^r}$ ��������
\[
d_{C^r}(\gamma_1, \gamma_2):= \sup_{z\in[0,1]}
\sum_{i=0}^r\|\gamma_1^{(i)}(z)-\gamma_2^{(i)}(z)\|,
\]
��� $\|\cdot\|$ -- ��������� ����� �� $TM$,
�������������� ������� ��������� �������� �� $M=\R^n$.
��������������� ��������� ���������� {\�� $C^r$-����������.}
\��

\������
��������, ��� ������������ ����� ��������� $C^r$ �����
� $C^r$-�������.
\��

\������
����� �� ������������ ����� � $C^r$-���������� ������
�����������, ������� ��������� ���������� ������������������
� ����������. ��������, ��� ��� ����������.
\��

\���������
��� ������� ����� ����� � ���������� �������, ������ ������������
���� ������������, ������ ������������� �����������
�� ���������� �������������������.
\���

\������\label{_diffeo_C^r_Zadacha_}
����� $\phi:\; \R^n\arrow \R^n$ -- �������������. 
��������, ��� ��������������� ����������� �� ������������
����� � $C^r$-���������� ������ ������������.
\����
\���� ��� $r=0$.
\����[!] ��� $r=1$.
\����[*] ��� ���� $r$.
\��
\��

\�������� �������������� ���������� �������.
\��

\�����������
����� $M$ -- ������������, � $\Map([a,b], M)$ ������������ �����.
����������� ����� $\{U_\alpha\stackrel {\phi_\alpha}\arrow \R^n\}$ �� $M$.
������ �������� ���� $\gamma$, $\gamma'$ 
� ����������� ����� $\gamma\restrict{[a_i,b_i]}$,
$\gamma'\restrict{[a_i,b_i]}$,
������� ����� � ������ $U_i\cong \R^n$,
��������� $d_{C^r}(\gamma, \gamma')$ ��� 
%
\begin{equation}\label{_C^r_manifold_Equation_}
d_{C^r}(\gamma, \gamma'):=
\inf \sum_i d_{C^r}\left(\gamma\restrict{[a_i,b_i]}, \gamma'\restrict{[a_i,b_i]}\right),
\end{equation}
��� ������� ���� �� ���� ���������� � ������ �� ������,
� ������ �� ��������� $d_{C^r}\left(\gamma\restrict{[a_i,b_i]}, \gamma'\restrict{[a_i,b_i]}\right)$
��������� � ����� ����� $U_i$.
\��

\������
��������, ��� ����� ������� ������������ $d_{C^r}$
������ �������.
\��

\������
��������, ��� ��������� ������������ �����,
������������ $d_{C^r}$ �� �������
\eqref{_C^r_manifold_Equation_}, 
�� ������� �� ������
��������������� $U_\alpha\stackrel {\phi_\alpha}\arrow \R^n$
\����
\���� ��� $r=0$.
\���� ��� $r=1$.
\����[*] ��� ���� $r$.
\��
\��

\��������
�������������� 
������� \ref{_diffeo_C^r_Zadacha_}.
\��

\������
��������, ��� ��������� �� ������������ �����,
������������ $d_{C^r}$ �� �������
\eqref{_C^r_manifold_Equation_}, �� ��������
��� �������� � ����������� ��������.
\��

\������
��������, ��� ��������� ������������ �����,
������������ $d_{C^r}$ �� �������
\eqref{_C^r_manifold_Equation_}, 
�� ������� �� ������ ��������
\����
\���� ��� $r=0$.
\���� ��� $r=1$.
\����[*] ��� ���� $r$.
\��
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��

\������
���������� ������� ${\cal L}:\; \Map([a,b], \R^n)\arrow \R$,
�������� � ������������ ������� ���� ��� �����.
��������, ��� ${\cal L}$  �������� � $C^0$-���������.
\��

\������[*] ����� $\alpha\in \Lambda^1 \R^n$ -- 1-����� (�� �����������
���������), � \[ I_\alpha:\; \Map([a,b], \R^n)\arrow \R\]
������ � ������������ ���� $\gamma$ �������� $\int_{\gamma} \alpha$.
\����[*] �����������, ��� $\alpha$ -- ������� 1-�����.
��������, ��� $I_\alpha$ ���������� � $C^0$-���������
�� ������������ ����� � ������������ �����������, ���
������� �����������.
\����[**] �����������, ��� $\alpha$ -- �����������
1-����� (� ������������ ��������������). 
��������, ���  $I_\alpha$ ���������� � $C^0$-���������
�� ������������ ����� � ������������ �����������, ���
������� �����������.
\��


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{����������� ��������� �� �������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\������
����� $f:\; [0,1] \arrow \R^n$ -- ���������������
�������, $A_t:\; [0,1]\rightarrow \End(\R^n)$ -- �����������,
��������� �� ��������� $t\in [0,1]$,  � 
$f' =A_t(f)$ -- ���������������� ���������.
���������� ������� $\alpha:\; [0,1] \arrow \R^{\geq 0}$,
�������� ����� $t\in [0,1]$ � ������������ �����������
����� (������������ ����������� ��������) $A(t)$.
����� $h:\; \R^n \arrow \R^n$ ��������������,
������� ������ ���������� ������� $f(0)$ �������� $f(1)$
������� ��������� $f' =A_t(f)$, � $\alpha_i$ -- �����������
�������� $h$. ��������, ��� 
$|\log\alpha_i| \leq \int_{[0,1]} \alpha(t)$.
\��

\������
\label{_holo_C^1_estimate_Zadacha_}
����� $(B, \nabla_0)$ -- ����������� ����������
��� $M$ � ����������� ���������� 
$\nabla_0(\sum_i f_i b_i)=\sum_i df_i\otimes b_i$, 
� $\nabla:= \nabla_0+A$ -- ��� ���� ���������. 
���������� ����� $\gamma$ � $M$, � ����� $h_\gamma$ --
��������������� �������������� ���������, ��������������
$\nabla$. ���������� ������� $\alpha:\; [0,1] \arrow \R^{\geq 0}$,
�������� ����� $t\in [0,1]$ � ������������ �����������
����� (������������ ����������� ��������) $A(\dot\gamma(t))$.
��������, ��� ����������� �������� $\alpha_i$ ��������� 
$h_\gamma$ ������������� $|\log\alpha_i| \leq \int_\gamma \alpha(t)dt$.
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��

\������[!]
����� $W_x$ -- ������������ �������-�������
������ � ������� � ������ � $x\in M$, $(B, \nabla)$ -- ����������
�� ����������, � $h_\gamma$ -- ��������������� ��������������
���������. ��������, ��� $h_\gamma$ ���������� � $C^1$-���������
�� $W_x$.
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��


\���������
���� ���������� ����� �������� - ��������, ��� 
$h_\gamma$ ���������� � $C^0$-��������� (��� �������, ���
����������� $\gamma$ ����������).
\���

\������\label{_small_tria_holonomy_Zadacha_}
����� $M=\R^n$, $(B,\nabla)$ -- ����������
�� ���������� �� $M$, � $\gamma_\epsilon$ -- ����, ���������
������� �������� ������������ �� ���������, ������� ����� ��������
$\epsilon X,\epsilon Y, -\epsilon(X+Y)\in \R^n$.
�����������, ��� $\gamma_\epsilon$ ����� � �������� $K\subset \R^n$.
��������, ��� 
$\gamma_\epsilon=1+\frac 1 2 \epsilon^2\Theta(X,Y)+\epsilon^3\delta$,
��� $|\delta|$ ��������� ����������, ������� ������� �� $X,Y,K,B,\nabla$,
� �� ������� �� ������ ������������ $\gamma_\epsilon$.
\��

\��������
�������������� ������� \ref{_triangle_holo_Zadacha_}.
\��

\������[!]
����� $M=\R^n$, $(B,\nabla)$ -- ����������
�� ���������� �� $M$, � $\gamma$ -- ����, ���������
������� �������� ������������ $D$ �� ���������, ������� ����� ��������
$X, Y, -(X+Y)\in \R^n$. ��������, ��� ����������� ��������
$\alpha_i$ ���������������� �������������� ���������
������������� 
\[ |\log\alpha_i|\leq \sup_{z\in D}\left\|\Theta(X,Y)\restrict z\right\|,
\]
��� $\Theta(X,Y)\restrict z\in \End\left(B\restrict z\right)$ --
�������� �������� � $z$, � $\left\|\Theta(X,Y)\restrict z\right\|$
�� ����������� �����, �� ���� �������� ������ ����������� ��������.
\��

\�������� 
�������� ����������� $\gamma$ � ����������� �������������
$\gamma_\epsilon$ �� ��������� 
$\epsilon X,\epsilon Y, -\epsilon(X+Y)\in \R^n$,
� ��������� ���������� ������.
\��

\������
����� $M=\R^n$, $(B,\nabla)$ -- ����������
�� ���������� �� $M$, � $\gamma_i$ -- ������������������ �����, 
��������� ������� �������� ������������ $D_i$, � ������� � ������ � $z\in M$.
�����������, ��� ������� ������������� $D_i$ ��������� � ����,
� ��� $D_i$ ����� � �������� �������� $K$. ��������� �� 
$h_{\gamma_i} \in \End(B\restrict z)$ ��������������� ��������������
���������. ��������, ���
$\lim_i h_{\gamma_i}=\Id$. 
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��

\������
����� $M=\R^n$, $(B,\nabla)$ -- ����������
�� ���������� �� $M$, � $\gamma$ -- ����, ���������
������� �������� ������������ $D$, � ������� � ������ � $z\in M$. ��������, ��� 
��������������� �������������� ��������� ����������
� $C^0$-��������� ��� ������� $\gamma$.
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��

\������[!]
����� $M=\R^n$, $(B,\nabla)$ -- ����������
�� ���������� �� $M$, � $\gamma$ -- �������-�������� �����
� ������� � ������ � $z\in M$. ��������, ��� 
��������������� �������������� ��������� ����������
� $C^0$-��������� ��� ������� $\gamma$, ���� $|\dot\gamma|<C$
(����������� $\gamma$ ���������� ����������).
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��

\������
��������, ��� ������ ������� ���� � $\R^n$
����� ���������� � $C^1$-��������� �������������������
�������-��������.
\��

\������
����� $M=\R^n$, $(B,\nabla)$ -- ����������
�� ���������� �� $M$, � $\gamma$ -- �������-������� �����
� ������� � ������ � $z\in M$, ������� � �������� $K$. ��������, ��� ���
������ �������-������� ����� $\gamma'$ �����, ���
$d_{C^1}(\gamma, \gamma')<\epsilon$, 
��������������� �������������� ���������
������������� $\|h_\gamma-h_{\gamma'}\|<C\epsilon$,
��� $C$ -- �����-�� ���������, ��������� �� $B,\nabla,K$,
� �� ��������� �� $\gamma$, $\gamma'$ � $\epsilon$.
\��

\�������� �������������� ������� \ref{_holo_C^1_estimate_Zadacha_}.
\��

\������[!]
����� $M=\R^n$, $(B,\nabla)$ -- ����������
�� ���������� �� $M$, � $\gamma$ -- �������-������� �����
� ������� � ������ � $z\in M$. ��������, ��� 
��������������� �������������� ��������� ����������
� $C^0$-��������� ��� ������� $\gamma$, ���� $|\dot\gamma|<C$
(����������� $\gamma$ ���������� ����������).
\��

\��������
�������� ������������������ $\gamma_i$ �������-�������
�����, ���������� � $\gamma$ � $C^0$-���������,
� ����� $\gamma_i'$ -- ������������������ �������-��������
�����, �����, ��� $d_{C^1}(\gamma_i, \gamma_i')<\epsilon_i$,
��� $\epsilon_i$ �������� � ����. ��������� ����������
������, ����� ���������, ��� $h_{\gamma_i'}$
�������� � ���� �� �������, ��� � $h_{\gamma_i}$,
� ���� ������ ����� $h_\gamma$.
\��

\������[!]
����� $M$ -- ����� ������������ (�� ����������� $\R^n$),
$(B,\nabla)$ -- ���������� �� ���������� �� $M$, � $W_z$
-- ������������ �������-������� ������ $\gamma$ � ������� � ������
� $z\in M$. ��������, ��� ��������� $h_\gamma$ ����������
��� ������� $\gamma$ � $C^0$-���������.
\��


\������[!]
����� $M$ -- ����������� ������������,
� $(B,\nabla)$ -- ���������� �� ����������.
��������, ��� ��������� $\nabla$ ����� ������
���� ���������� ����� � ������ �����, �����
�������� $B$ ����� ����.
\��



\end{document}
