\documentclass[11pt]{article}

% version 0.1, 12.10.2013 
% version 1.0, 19.10.2013 
% version 1.01, 28.10.2013 n -> n+1 v indeksakh zadacha 6.3
% version 1.1, 18.11.2013 Zhumagaliev made many corrections
% version 1.2, 16.12.2013 sign in Chevalley complex corrected

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   16.12.2013}
\newcommand{\firstdate}{21.10.2013}


\addtolength{\topmargin}{-15mm}
\addtolength{\textheight}{30mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}

\input{defs-listki.tex}



\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{6}{Векторные расслоения 6: кручение и связность Леви-Чивита}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Коммутаторы и дифференциал де Рама}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Векторные поля определяются как дифференцирования
кольца гладких функций; их коммутатор - коммутатор дифференцирований,
то есть тоже дифференцирование (векторное поле).
\ео

\задача
Пусть $M=\R^n$, с координатами $t_1, ..., t_n$.
Рассмотрим векторные поля $X=\sum_i f_i \frac{d}{dt_i}$ 
и $Y=\sum_i g_i \frac{d}{dt_i}$. Докажите, что
\[
 [X,Y]= \sum_{i,j}f_i\frac{dg_j}{dt_i} \frac{d}{dt_j} - 
g_i\frac{df_j}{dt_i} \frac{d}{dt_j}.
\]
\ез

\задача
Пусть $X,Y$ -- векторные поля, $f$ -- функция.
Докажите, что $[X,fY]=f[X,Y]+ \Lie_X f \cdot Y$.
\ез

\задача
Пусть $\rho\in \Lambda^n M$.
Рассмотрим оператор
$d_C$, переводящий $\rho$ в 
$(n+1)$-форму
\begin{align*} 
d_C(\rho)(X_1, ..., X_{n+1})& =
 \sum_{i=1}^{n+1} (-1)^{i-1}\Lie_{X_i} (\rho(X_1, ..., \check X_i, ..., X_{n+1}))\\ &
- 
\sum_{1\leq i < j \leq n+1}(-1)^{i+j}\rho([X_i, X_j], X_1, ..., \check X_i, ...,
\check X_j,...,  X_{n+1}),
\end{align*}
где $\check X_j$ означает, что мы выкинули  $X_j$
из последовательности аргументов $X_1, X_2, ..., X_{n+1}$.
Докажите, что $d_C(\rho)$ $C^\infty M$-линейна по аргументам
$X_1, X_2, ..., X_{n+1}$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
\label{_Chev_Leibniz_Zadacha_}
Докажите, что $d_C$ удовлетворяет тождеству Лейбница
и равен обычному дифференциалу на функциях.
\ез

\задача[!]
\label{_Chev_diffe_Zadacha_}
Докажите, что $d_C^2=0$.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь тождеством Якоби:
$[X,[Y,Z]]= [[X,Y],Z]+ [Y, [X,Z]]$.
\еу

\задача
Докажите, что $d_C$ равен дифференциалу де Рама.
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачами
\ref{_Chev_Leibniz_Zadacha_} и \ref{_Chev_diffe_Zadacha_}.
\еу


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Комплекс Шевалле}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $\goth g$ -- алгебра Ли, 
а $\Lambda^*{\goth g}^*$ -- алгебра Грассмана
кососимметричных форм на $\goth g$.
{\бф Дифференциал Шевалле} на $\Lambda^*{\goth g}^*$ 
переводит форму $\rho$ в 
\[ d_C(\rho) =
\sum_{1\leq i < j \leq n+1}(-1)^{i+j}\rho([X_i, X_j], X_1, ..., \check X_i, ...,
\check X_j,...,  X_{n+1}).
\]
\ео

\задача
Докажите, что дифференциал Шевалле 
удовлетворяет $d_C^2=0$.
\ез

\определение
{\бф Когомологии алгебры Ли} это 
когомологии комплекса $\left(\Lambda^*{\goth g}^*, d_C\right)$.
\ео

\определение
{\бф Группа Ли} есть топологическая группа,
снабженная структурой гладкого многообразия,
таким образом, что групповые операции задаются гладкими
отображениями.
Векторное поле на группе Ли называется
{\бф левоинвариантным}, если оно переводится
в себя операциями левого сдвига $L_g(x) =gx$.
Дифференциальная форма $\alpha$ {\бф левоинвариантна,}
если $L_g^*\alpha=\alpha$.
\ео

\задача
Докажите, что коммутатор левоинвариантных
векторных полей на группе Ли левоинвариантен.
\ез

\задача
Пусть $G$ -- группа Ли, а $\goth g$ -- алгебра
Ли левоинвариантных векторных полей на $G$. 
\енум
\итем Постройте изоморфизм
$\goth g=T_e G$.
\итем Докажите, что пространство $(\Lambda^* G)^G$  левоинвариантных
дифференциальных форм на $G$ изоморфно $\Lambda^* {\goth g}^*$.
\ее
\ез

\задача
\енум
\итем Докажите, что дифференциал де Рама переводит левоинвариантные
дифференциальные формы в левоинвариантные.
\итем[!] Докажите, что при изоморфизме 
$(\Lambda^* G)^G\cong \Lambda^* {\goth g}^*$ дифференциал
де Рама переходит в дифференциал Шевалле.
\ее
\ез

\задача
Пусть $G$ - группа Ли.
Рассмотрим гомоморфизм $\psi:\; H^*(\goth g) \arrow H^*(G)$ 
из когомологий алгебры Ли $\goth g$
в когомологии де Рама $G$, построенный в предыдущей задаче.
\енум
\итем[*] Докажите, что это изоморфизм для компактных групп Ли.
\итем[!] Постройте группу Ли $G$ такую, что $H^i(\goth g)=0$, а 
$H^i(G,\R)\neq 0$ для какого-то $i>0$.
\итем[*] Постройте группу Ли $G$ такую, что $H^i(\goth g)\neq 0$, а 
$H^i(G,\R)=0$ для какого-то $i>0$.
\ее
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Кручение}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение 
Пусть $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1M$, 
\[ \Lambda^1M \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\]
 {\бф Кручение $\nabla$} 
задается формулой $T_\nabla(\eta)=d(\eta)-\Alt \circ \nabla(\eta)$,
где $\Alt:\;  \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M$
- внешнее умножение. Кручение есть отображение
$T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$.
\ео

\задача
Докажите, что $T_\nabla$ $C^\infty M$-линейно.
\ез

\задача
Докажите, что любая связность на $M=\R$
имеет нулевое кручение.
\ез

\задача[!]
Постройте связность на $M=\R^2$ с ненулевым кручением.
\ез


\задача
Пусть $\nabla$ -- связность на $TM$. Определим
$T^*_\nabla(X,Y):=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]$,
где $X,Y\in TM$. Докажите, что $T^*_\nabla(X,Y)$
$C^\infty M$-линейно по обоим аргументам.
\ез

\задача
Докажите, что
$\eta(T_\nabla^*(X,Y))=\eta([X,Y])-\langle \nabla_X\eta, Y\rangle+
\langle \nabla_Y\eta, X\rangle$.
\ез

\задача
Пусть $\eta\in \Lambda^1M$. Докажите следующую формулу Картана:
\[ d\eta(X,Y)=\Lie_X(\eta(Y))-\Lie_Y(\eta(X))-\eta([X,Y]).\]
\ез

\задача[!]
Докажите, что два выражения для кручения равны:\\
$T_\nabla^*(X,Y)=T_\nabla(X,Y)$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[*]
На каком-нибудь многообразии $M$
найдите связность $\nabla$  с ненулевым
кручением $T_\nabla$, которое удовлетворяет $\nabla(T_\nabla)=0$.
Здесь $T_\nabla$ рассматривается как сечение расслоения 
$T^*M \otimes T^*M \otimes TM$, на которое $\nabla$ продолжается
как обычно (по формуле Лейбница).
\ез

\определение
{\бф Связность без кручения} есть связность на $TM$
с нулевым кручением. Такая связность иногда называется
{\бф симметрической}.
\ео

\задача
Докажите, что пространство связностей без кручения -- аффинное 
пространство с линеаризацией $\Sym^2 T^*M \otimes TM$.
\ез

\задача
Пусть $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ -- связность
на расслоении $B$. Докажите, что $\nabla$ можно продолжить
до оператора на формах
\begin{equation}\label{_nabla_exte_Equation_}
B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes B
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes B 
\stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow ...
\end{equation}
таким образом, что
$\nabla(\eta \otimes b) = d\eta \otimes b 
+ (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$
(в этой задаче 
надо проверить корректность оператора, определенного этой формулой)
\ез

\задача[*]
Рассмотрим оператор 
$d_\nabla:\; \Lambda^i(M)\otimes TM\arrow\Lambda^{i+1}(M)\otimes TM$
заданного как в \eqref{_nabla_exte_Equation_} при $B=TM$,
и пусть $\Id\in \Lambda^1(M)\otimes TM$ -- тождественный
эндоморфизм. Докажите, что $T_\nabla =d_\nabla(\Id)$.
\ез

\задача[**]
Пусть $M$ -- многообразие со связностью 
$TM \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes TM$.
Предположим, что $TM$ тривиализовано сечениями
$v_1, ... v_n$, а $\nabla v_i=0$ для $i=1, ..., n$.
Пусть $\gamma:\; [0,1]$ -- петля, переводящая концы 
отрезка в $x\in M$, а $\pi:\; TM \arrow M$
стандартная проекция. Рассмотрим путь $\tilde \gamma:\; [0,1] \arrow TM$
такой, что $\pi(\tilde\gamma)(t)=\gamma(t)$. В силу свойств
параллельного переноса вдоль связности, 
решение уравнения $\nabla_{\dot\gamma}\tilde \gamma=0$
с начальным условием $\tilde\gamma(0)= v\in T_xM$ единственно.
Докажите, что следующие условия равносильны:
\begin{itemize}
\item $\tilde\gamma(1)=\tilde\gamma(0)$ для
всех петель $\gamma$ и всех $\tilde \gamma$, полученных решением
уравнения $\nabla_{\dot\gamma}\tilde \gamma=0$.
\item $T_\nabla=0$.
\end{itemize}
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Связность Леви-Чивита}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\lin}{{\operatorname{\sf lin}}}

\определение
Пусть $(M,g)$ -- риманово многообразие, $g\in \Sym^2 T^*M$.
Связность $\nabla$ называется {\бф ортогональной}, если
$\nabla g=0$.
\ео

\задача
Докажите существование ортогональной связности на любом
римановом многообразии.
\ез

\задача
Докажите, что пространство ${\cal A}_g$ ортогональных связностей
является аффинным пространством над $\Lambda^1 M \otimes \goth{so}(TM)$.
\ез

\задача
Докажите, что отображение $T_\nabla:\; {\cal A}_g\arrow \Lambda^2M \otimes TM$,
переводящее связность в ее кручение, является морфизмом аффинных
пространств.
\ез

\задача[!]
Докажите, что линеаризация $T_\lin$ отображения 
$T_\nabla:\; {\cal A}_g\arrow \Lambda^2M \otimes TM$
$C^\infty M$-линейна, и переводит $\xi\in \Lambda^1 M \otimes \goth{so}(TM)$
в кососимметризацию $\xi$ по первым двум аргументам.
\ез

\задача
Докажите, что 
ядро $T_\lin:\; \Lambda^1 M \otimes \goth{so}(TM)\arrow \Lambda^2M \otimes TM$
состоит из тензоров, симметричных по первым двум
аргументам.
\ез

\определение
Размерность слоев расслоение называется {\бф ранг},
и обозначается $\rk B$.
\ео

\задача
Докажите, что $\rk\Lambda^1 M \otimes \goth{so}(TM)=\frac{n^2(n-1)}2$
 и $\rk \Lambda^2M \otimes TM=\frac{n^2(n-1)}2$.
\ез

\задача
Пусть $\xi\in V \otimes V \otimes V$ -- тензор,
который симметричен по первым двум аргументам,
и кососимметричен по последним двум. Докажите, что
$\xi =0$.
\ез

\задача[!]
Докажите, что 
$T_\lin:\; \Lambda^1 M \otimes \goth{so}(TM)\arrow \Lambda^2M \otimes TM$
-- изоморфизм.
\ез

\указание
Воспользовавшись предыдущей задачей,
убедитесь, что ядро этого отображения пусто, а размерности слоев одинаковы.
\еу

\определение
{\бф Связность Леви-Чивита} на римановом многообразии
есть ортогональная связность без кручения.
\ео

\задача[!]
Пусть $M$ -- риманово многообразие.
Докажите, что связность Леви-Чивита существует и единственна.
\ез

\определение
Невырожденная дифференциальная
форма $\omega\in \Lambda^2 M$  называется
{\бф симплектической}, если $d\omega=0$.
\ео

\задача
Пусть $\omega\in \Lambda^2 M$ -- невырожденная дифференциальная
форма на многообразии $M$. 
\енум
\итем[*] Пусть существует связность
без кручения, сохраняющая $\omega$. Докажите, что $\omega$ симплектична.
\итем[*] Пусть $\omega$ симплектична. Докажите, что
существует связность
без кручения, сохраняющая $\omega$.
\ее
\ез



\end{document}
