\documentclass[11pt]{article} % version 0.1, 12.10.2013 % version 1.0, 19.10.2013 % version 1.01, 28.10.2013 n -> n+1 v indeksakh zadacha 6.3 % version 1.1, 18.11.2013 Zhumagaliev made many corrections % version 1.2, 16.12.2013 sign in Chevalley complex corrected \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 16.12.2013} \newcommand{\firstdate}{21.10.2013} \addtolength{\topmargin}{-15mm} \addtolength{\textheight}{30mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-15mm} \addtolength{\textwidth}{30mm} \input{defs-listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{6}{Векторные расслоения 6: кручение и связность Леви-Чивита} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Коммутаторы и дифференциал де Рама} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Векторные поля определяются как дифференцирования кольца гладких функций; их коммутатор - коммутатор дифференцирований, то есть тоже дифференцирование (векторное поле). \ео \задача Пусть $M=\R^n$, с координатами $t_1, ..., t_n$. Рассмотрим векторные поля $X=\sum_i f_i \frac{d}{dt_i}$ и $Y=\sum_i g_i \frac{d}{dt_i}$. Докажите, что \[ [X,Y]= \sum_{i,j}f_i\frac{dg_j}{dt_i} \frac{d}{dt_j} - g_i\frac{df_j}{dt_i} \frac{d}{dt_j}. \] \ез \задача Пусть $X,Y$ -- векторные поля, $f$ -- функция. Докажите, что $[X,fY]=f[X,Y]+ \Lie_X f \cdot Y$. \ез \задача Пусть $\rho\in \Lambda^n M$. Рассмотрим оператор $d_C$, переводящий $\rho$ в $(n+1)$-форму \begin{align*} d_C(\rho)(X_1, ..., X_{n+1})& = \sum_{i=1}^{n+1} (-1)^{i-1}\Lie_{X_i} (\rho(X_1, ..., \check X_i, ..., X_{n+1}))\\ & - \sum_{1\leq i < j \leq n+1}(-1)^{i+j}\rho([X_i, X_j], X_1, ..., \check X_i, ..., \check X_j,..., X_{n+1}), \end{align*} где $\check X_j$ означает, что мы выкинули $X_j$ из последовательности аргументов $X_1, X_2, ..., X_{n+1}$. Докажите, что $d_C(\rho)$ $C^\infty M$-линейна по аргументам $X_1, X_2, ..., X_{n+1}$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] \label{_Chev_Leibniz_Zadacha_} Докажите, что $d_C$ удовлетворяет тождеству Лейбница и равен обычному дифференциалу на функциях. \ез \задача[!] \label{_Chev_diffe_Zadacha_} Докажите, что $d_C^2=0$. \ез \указание Воспользуйтесь тождеством Якоби: $[X,[Y,Z]]= [[X,Y],Z]+ [Y, [X,Z]]$. \еу \задача Докажите, что $d_C$ равен дифференциалу де Рама. \ез \указание Воспользуйтесь задачами \ref{_Chev_Leibniz_Zadacha_} и \ref{_Chev_diffe_Zadacha_}. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Комплекс Шевалле} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $\goth g$ -- алгебра Ли, а $\Lambda^*{\goth g}^*$ -- алгебра Грассмана кососимметричных форм на $\goth g$. {\бф Дифференциал Шевалле} на $\Lambda^*{\goth g}^*$ переводит форму $\rho$ в \[ d_C(\rho) = \sum_{1\leq i < j \leq n+1}(-1)^{i+j}\rho([X_i, X_j], X_1, ..., \check X_i, ..., \check X_j,..., X_{n+1}). \] \ео \задача Докажите, что дифференциал Шевалле удовлетворяет $d_C^2=0$. \ез \определение {\бф Когомологии алгебры Ли} это когомологии комплекса $\left(\Lambda^*{\goth g}^*, d_C\right)$. \ео \определение {\бф Группа Ли} есть топологическая группа, снабженная структурой гладкого многообразия, таким образом, что групповые операции задаются гладкими отображениями. Векторное поле на группе Ли называется {\бф левоинвариантным}, если оно переводится в себя операциями левого сдвига $L_g(x) =gx$. Дифференциальная форма $\alpha$ {\бф левоинвариантна,} если $L_g^*\alpha=\alpha$. \ео \задача Докажите, что коммутатор левоинвариантных векторных полей на группе Ли левоинвариантен. \ез \задача Пусть $G$ -- группа Ли, а $\goth g$ -- алгебра Ли левоинвариантных векторных полей на $G$. \енум \итем Постройте изоморфизм $\goth g=T_e G$. \итем Докажите, что пространство $(\Lambda^* G)^G$ левоинвариантных дифференциальных форм на $G$ изоморфно $\Lambda^* {\goth g}^*$. \ее \ез \задача \енум \итем Докажите, что дифференциал де Рама переводит левоинвариантные дифференциальные формы в левоинвариантные. \итем[!] Докажите, что при изоморфизме $(\Lambda^* G)^G\cong \Lambda^* {\goth g}^*$ дифференциал де Рама переходит в дифференциал Шевалле. \ее \ез \задача Пусть $G$ - группа Ли. Рассмотрим гомоморфизм $\psi:\; H^*(\goth g) \arrow H^*(G)$ из когомологий алгебры Ли $\goth g$ в когомологии де Рама $G$, построенный в предыдущей задаче. \енум \итем[*] Докажите, что это изоморфизм для компактных групп Ли. \итем[!] Постройте группу Ли $G$ такую, что $H^i(\goth g)=0$, а $H^i(G,\R)\neq 0$ для какого-то $i>0$. \итем[*] Постройте группу Ли $G$ такую, что $H^i(\goth g)\neq 0$, а $H^i(G,\R)=0$ для какого-то $i>0$. \ее \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Кручение} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $\nabla$ -- связность на $\Lambda^1M$, \[ \Lambda^1M \stackrel \nabla \arrow \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\] {\бф Кручение $\nabla$} задается формулой $T_\nabla(\eta)=d(\eta)-\Alt \circ \nabla(\eta)$, где $\Alt:\; \Lambda^1 M \otimes \Lambda^1M\arrow \Lambda^2 M$ - внешнее умножение. Кручение есть отображение $T_\nabla:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$. \ео \задача Докажите, что $T_\nabla$ $C^\infty M$-линейно. \ез \задача Докажите, что любая связность на $M=\R$ имеет нулевое кручение. \ез \задача[!] Постройте связность на $M=\R^2$ с ненулевым кручением. \ез \задача Пусть $\nabla$ -- связность на $TM$. Определим $T^*_\nabla(X,Y):=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]$, где $X,Y\in TM$. Докажите, что $T^*_\nabla(X,Y)$ $C^\infty M$-линейно по обоим аргументам. \ез \задача Докажите, что $\eta(T_\nabla^*(X,Y))=\eta([X,Y])-\langle \nabla_X\eta, Y\rangle+ \langle \nabla_Y\eta, X\rangle$. \ез \задача Пусть $\eta\in \Lambda^1M$. Докажите следующую формулу Картана: \[ d\eta(X,Y)=\Lie_X(\eta(Y))-\Lie_Y(\eta(X))-\eta([X,Y]).\] \ез \задача[!] Докажите, что два выражения для кручения равны:\\ $T_\nabla^*(X,Y)=T_\nabla(X,Y)$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[*] На каком-нибудь многообразии $M$ найдите связность $\nabla$ с ненулевым кручением $T_\nabla$, которое удовлетворяет $\nabla(T_\nabla)=0$. Здесь $T_\nabla$ рассматривается как сечение расслоения $T^*M \otimes T^*M \otimes TM$, на которое $\nabla$ продолжается как обычно (по формуле Лейбница). \ез \определение {\бф Связность без кручения} есть связность на $TM$ с нулевым кручением. Такая связность иногда называется {\бф симметрической}. \ео \задача Докажите, что пространство связностей без кручения -- аффинное пространство с линеаризацией $\Sym^2 T^*M \otimes TM$. \ез \задача Пусть $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ -- связность на расслоении $B$. Докажите, что $\nabla$ можно продолжить до оператора на формах \begin{equation}\label{_nabla_exte_Equation_} B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{2}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{3}(M)\otimes B \stackrel{\nabla}\arrow ... \end{equation} таким образом, что $\nabla(\eta \otimes b) = d\eta \otimes b + (-1)^{\tilde \eta} \eta \wedge \nabla b$ (в этой задаче надо проверить корректность оператора, определенного этой формулой) \ез \задача[*] Рассмотрим оператор $d_\nabla:\; \Lambda^i(M)\otimes TM\arrow\Lambda^{i+1}(M)\otimes TM$ заданного как в \eqref{_nabla_exte_Equation_} при $B=TM$, и пусть $\Id\in \Lambda^1(M)\otimes TM$ -- тождественный эндоморфизм. Докажите, что $T_\nabla =d_\nabla(\Id)$. \ез \задача[**] Пусть $M$ -- многообразие со связностью $TM \stackrel{\nabla}\arrow \Lambda^{1}(M)\otimes TM$. Предположим, что $TM$ тривиализовано сечениями $v_1, ... v_n$, а $\nabla v_i=0$ для $i=1, ..., n$. Пусть $\gamma:\; [0,1]$ -- петля, переводящая концы отрезка в $x\in M$, а $\pi:\; TM \arrow M$ стандартная проекция. Рассмотрим путь $\tilde \gamma:\; [0,1] \arrow TM$ такой, что $\pi(\tilde\gamma)(t)=\gamma(t)$. В силу свойств параллельного переноса вдоль связности, решение уравнения $\nabla_{\dot\gamma}\tilde \gamma=0$ с начальным условием $\tilde\gamma(0)= v\in T_xM$ единственно. Докажите, что следующие условия равносильны: \begin{itemize} \item $\tilde\gamma(1)=\tilde\gamma(0)$ для всех петель $\gamma$ и всех $\tilde \gamma$, полученных решением уравнения $\nabla_{\dot\gamma}\tilde \gamma=0$. \item $T_\nabla=0$. \end{itemize} \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Связность Леви-Чивита} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\lin}{{\operatorname{\sf lin}}} \определение Пусть $(M,g)$ -- риманово многообразие, $g\in \Sym^2 T^*M$. Связность $\nabla$ называется {\бф ортогональной}, если $\nabla g=0$. \ео \задача Докажите существование ортогональной связности на любом римановом многообразии. \ез \задача Докажите, что пространство ${\cal A}_g$ ортогональных связностей является аффинным пространством над $\Lambda^1 M \otimes \goth{so}(TM)$. \ез \задача Докажите, что отображение $T_\nabla:\; {\cal A}_g\arrow \Lambda^2M \otimes TM$, переводящее связность в ее кручение, является морфизмом аффинных пространств. \ез \задача[!] Докажите, что линеаризация $T_\lin$ отображения $T_\nabla:\; {\cal A}_g\arrow \Lambda^2M \otimes TM$ $C^\infty M$-линейна, и переводит $\xi\in \Lambda^1 M \otimes \goth{so}(TM)$ в кососимметризацию $\xi$ по первым двум аргументам. \ез \задача Докажите, что ядро $T_\lin:\; \Lambda^1 M \otimes \goth{so}(TM)\arrow \Lambda^2M \otimes TM$ состоит из тензоров, симметричных по первым двум аргументам. \ез \определение Размерность слоев расслоение называется {\бф ранг}, и обозначается $\rk B$. \ео \задача Докажите, что $\rk\Lambda^1 M \otimes \goth{so}(TM)=\frac{n^2(n-1)}2$ и $\rk \Lambda^2M \otimes TM=\frac{n^2(n-1)}2$. \ез \задача Пусть $\xi\in V \otimes V \otimes V$ -- тензор, который симметричен по первым двум аргументам, и кососимметричен по последним двум. Докажите, что $\xi =0$. \ез \задача[!] Докажите, что $T_\lin:\; \Lambda^1 M \otimes \goth{so}(TM)\arrow \Lambda^2M \otimes TM$ -- изоморфизм. \ез \указание Воспользовавшись предыдущей задачей, убедитесь, что ядро этого отображения пусто, а размерности слоев одинаковы. \еу \определение {\бф Связность Леви-Чивита} на римановом многообразии есть ортогональная связность без кручения. \ео \задача[!] Пусть $M$ -- риманово многообразие. Докажите, что связность Леви-Чивита существует и единственна. \ез \определение Невырожденная дифференциальная форма $\omega\in \Lambda^2 M$ называется {\бф симплектической}, если $d\omega=0$. \ео \задача Пусть $\omega\in \Lambda^2 M$ -- невырожденная дифференциальная форма на многообразии $M$. \енум \итем[*] Пусть существует связность без кручения, сохраняющая $\omega$. Докажите, что $\omega$ симплектична. \итем[*] Пусть $\omega$ симплектична. Докажите, что существует связность без кручения, сохраняющая $\omega$. \ее \ез \end{document}