\documentclass[12pt]{article}

% version 0.1, 09.10.2013 
% version 1.0, 12.10.2013 
% version 1.1, 20.10.2013 ������ 5.30 �������� ������������ (\dim >1)
% version 1.2, 21.10.2013 5.1, 5.3 ������������
% version 2.0, 28.10.2013 5.8, ������� ��� ������ �� �����������
% version 2.1, 01.12.2013 5.29

\newcommand{\version}{version 2.1,\ \   02.12.2013}
\newcommand{\firstdate}{14.10.2013}


\addtolength{\topmargin}{-7mm}
\addtolength{\textheight}{10mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}



\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{5}{��������� ���������� 5: ���������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{��������� �� ����������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\�����������
����� $B$ --- ������� ���������� ��� $M$,
� $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ --- 
��������, ��������������� �����������
\[
\nabla(fb) = b \otimes df + f \nabla b,
\]
��� ����� ������� $f\in C^\infty M$. 
����� $\nabla$ ���������� {\�� ����������} �� ���������� $B$.
��� ������� ���������� ���� $X\in TM$, ��������� ����������
$\nabla(b)$ � $X$ ������������ $\nabla_X b \in B$
\��

\������
����� ��� ������� ���������� ���� $X\in TM$ �����
�������� $\nabla_X:\; B \arrow B$, ������ $\nabla_X$
$C^\infty M$-������� ��� ������� $X$, � �������������
$\nabla_X(fb) = \Lie_X f b  + f \nabla_X b$.
��������� ��������� �� $B$ �� $\nabla_X$.
\��

\���������
����� �������� $\nabla_X$ ���������� {\�� ������������ �����������}
����� $X$.
\���

\������
��������� ��������� �� �����������
���������� $C^\infty M$.
\�� 

\������
����� $\nabla:\; C^\infty M\arrow C^\infty M$ -- ���������.
��������, ��� $\nabla(f)=df + af$, ��� $a\in \Lambda^1 M$ 
�������.
\��

\������[!]
��������, ��� �� ����� ���������� ���������� ���������.
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��

\������
����� $\nabla_A, \nabla_B$ ��������� �� �����������
$A$ � $B$. ������� �� $A\otimes B$ ����������������
�������� �� ������� ��������:
\begin{equation}\label{_svya_tenzo_pro_Equation_}
\nabla(a\otimes b):= \nabla_A(a) \otimes b + a\otimes \nabla_B(b).
\end{equation}
��������, ��� ��� ���������.
\��

\������[*]
����� $\nabla:\; A\otimes B \arrow A\otimes B\otimes \Lambda^1 M$ --
��������� �� ��������� ������������ ���� ����������.
������ �� $\nabla$ ����� �������� �� ����������
�� $A$ � $B$ �� ������� \eqref{_svya_tenzo_pro_Equation_}?
\��


\������
����� $B:= B_1 \oplus B_2$ --- ������ ����� ���������
����������, ������ �� $B$ ������ ��������� $\nabla$.
��������� �� $\pi_1$ ������������ �������� �� $B$
� $B_1$. ��������, ��� 
\����
\���� \[ 
 \nabla\circ\pi_1\otimes \Id_{\Lambda^1 M}  :\; B_1 \arrow
 B_1 \otimes \Lambda^1 M
\]
��� ��������� �� $B_1$.
\���� ��������, ��� ������ ��������� �� $B_1$ ���������� ����� �������. 
\��
\��


\�����������
���������������� �������� �� ���������� ���������� $A$
� $B$ �������� �������� ��� ���������������� ��������
� �������������� � $\Hom(A,B)$; ���������� ����������������
���������� ������� $k$ �� $A$ � $B$ ���� 
$\Diff^k(A,B):=\Diff^k(M)\otimes\Hom(A,B)$.
� ���� �������� {\�� ������} $D$ ���� ���������������
������� � $\Diff^k(A,B)/\Diff^{k-1}(A,B)= \Sym^k(T^*M)\otimes \Hom(A,B)$.

\��

\newcommand{\Symb}{\operatorname{Symb}}
% \newcommand{\Hol}{\operatorname{Hol}}

\������ 
���������� ������������ �� ���� 
$d:\;C^\infty M\arrow \Lambda^1 M$. ��������, ��� 
��� ���������������� �������� ������� �������, � ���
������ 
\[ \Symb(d)
  \in TM\otimes \Hom(C^\infty M,\Lambda^1 M) = TM \otimes
  T^*M
\]
�������� ������������� ������������
$\Id_{TM}\in \End(TM)= TM \otimes T^*M$.
\��

\������
��������, ��� ������ $\Symb(\nabla)\in TM \otimes \Hom(B,
\Lambda^1 M \otimes B)$ ��������� 
$\nabla$ �������� ������������� ������������
$\Id_{TM}\otimes \Id_B:\; TM \otimes T^* M \otimes
\Hom(B,B)$.
\��

\������[!]
��������, ��� ���������������� �������� 
$\delta:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ ������� �������
�������� ���������� ����� � ������ �����,
����� ��� ������ ����� $\Id_{TM}\otimes \Id_B$.
\��


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{������ ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\������[!]
����� $B$ -- �����������
���������� �� ���������� ��� $\R$. ��������, ���
������ ����� $x\in \R$, � ������� ������� $b_x \in B\restrict x$, 
� ���� ���������� $B$ ��� $x$ ���������� � 
����������� ������� $b\in B$ �����, ��� $\nabla b=0$,
$b\restrict x= b_x$.
\��

\��������
�������������� �������� � ������������� � ��������������
������� ���; ��������� �� ������������, � ��������, ���
�� ��� ��������� ����������� ������.
\��

\�����������
����� $\gamma:\; [0, 1] \arrow M$ -- ������� ���� �� ������������
$M$, ����������� $x$ � $y$, � $(B, \nabla)$ -- ���������� �� ����������.
���������� $b_x \in B_x$, ��������� $(B, \nabla)$ �� $\gamma([0,1])$,
� ����� ��������� $\nabla(b)=0$, ��� $b\in B\restrict{\gamma([0,1])}$
� ��������� �������� $b\restrict x= b_x$. ���� ������� ����������
{\�� ������������ ���������} ������� $b_x$ ����� ���������,
� $b_y:= b\restrict y$ ���������� {\�� ��������,
���������� � ���������� ������������� ��������} $b_x$ �����
��������� �� ���� $\gamma:\; [0, 1] \arrow M$.
\��

\�����������
����� $x\in M$, � $(B, \nabla)$ -- ���������� �� ���������� ��� $M$.
{\bf ������ ���������} ��������� $\Hol_x(\nabla)$ ���� ������ �������������
���� $B_x$, ����������� ����� ������������� ����������
����� ����� �� $x$ � $x$, ��� $x\in M$.
\��

\������[!]
����� $B, \nabla$ -- ���������� �� ���������� ��� $M$,
� $x, y$ -- ����� � ����� � ��� �� ���������� ���������.
��������� ���������� $\Hol_x(\nabla)\arrow \Hol_y(\nabla)$.
\��

\������
������� ���������� �� ���������� ��� $S^1$,
������ ��������� �������� ������������.
\��

\������
����� $B$ ���� ���������� �� ���������� ��� $\R$.
��������, ��� ������ ��������� $B$ ����������.
\��

\������[*]
������� ���������� �� ���������� ��� $\R^2$,
������ ��������� �������� ������������.
\��


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{������������ �������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\����������� 
����� $B$ -- ����������. ������� ��������� �������
\[ \psi \in \underbrace{B\otimes ... B}_{\text{$k$ ���}} \otimes \underbrace{B^* \otimes ... \otimes B^*}_{\text{$l$ ���}}
\]
���������� {\bf �������� ��� $B$}; ����� $B=TM$, ����� �������
���������� {\�� �������� �� $M$}.
\��

\�����������
����� $\nabla$ -- ��������� �� $B$. ��������� ���������
(���� ������������ ������ $\nabla$) �� ������������
���������� ��������
\begin{equation}\label{_dual_connection_Equation}
  \langle \nabla_X(b), \xi\rangle+ \langle b, \nabla_X(\xi)\rangle
  = \Lie_X(\langle b, \xi\rangle).
\end{equation}
\��

\������[!]
��������, ��� ��������� �� $B^*$,
��������������� \eqref{_dual_connection_Equation}, 
���������� � �����������.
\��

\������\label{_tensor_connection_}
��������, ��� ��������� �� $B$ ������ ��������� �� ����� ���������
������� $B$ �� ������� �������� � \eqref{_dual_connection_Equation}.
\��

\������[*]
�����������, ��� �� $B\otimes B^*=\End B$ ������ ��������� $\nabla$,
������� ������������� $\nabla(f\circ g)= \nabla(f)\circ g+ f\circ\nabla(g)$.
��������, ��� $\nabla$ ���������� �� ��������� �� $B$
����� �� �������, ��� � ������ \ref{_tensor_connection_}.
\��

\�����������
����� $B, \nabla$ -- ���������� �� ����������.
������ $\psi$ �� $B$ ���������� {\�� ������������},
���� $\nabla\psi=0$. � ����� �������� ���������, ���
��������� {\�� ��������� ������ $\psi$}.
\��

\������[!]
����� $B$ -- ����������. ��������� ������ ������� ��� $B$,
������� �� ����� ���� ������������ �� ��� ����� ���������,
�� ����� �� ����������.
\��

\������
����� $g$ -- ������ �� ���������� $B$ ��� ������������� $M$. 
��������� ���������, ������� ��������� $g$, ���� $g$ ���:
\����
\���� ������������� ���������� �������������� �����.
\����[!] ������������� ���������� ������������������ �����.
\����[*] ���������� �������������� ����� ����������� �����.
\����[*] �������� �������� � ���������� ����������
������, ������� ��������� ����� $M$.
\��
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{������������� ������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\�����������
{\��  ������� ��} ���� ��������� ������������ $A$,
���������� �����������������, ���������� ���������
$[\cdot, \cdot]:\; A \otimes A \arrow A$, �������
������������� {\�� ��������� �����:}
$[a,[b,c]]=[[a,b],c]+ [b, [a,c]]$.
\��

\���������
��������� ����� ���� ��������� ��������: ��� ��������, ���
�������� $[a, \cdot]$ �������� ������������������.
\���

\������
��������, ��� ������� $\End(V)$ � ��������� $[a, b] =ab-ba$ ��������
�������� ��.
\��

\������
��������, ��� ������������ ����������������� ������ $R$ 
� ��������� $[a, b] =ab-ba$ ��������
�������� ��.
\��

\�����������
{\��  �������������} ������� �� $A$ ���� �����������
$A \arrow \End V$, ��� $\End V$ ��������������� ��� ������� ��.
������������ $V$ ���������� {\��  ������������� �������������}.
� ����� �������� �������, ��� $A$ {\�� ��������� �� 
������������ $V$}.
\��

\������[!]
����� $V_1, ..., V_n$ -- ������������� ������� �� $A$.
��������, ��� $V_1\otimes V_2\otimes ... \otimes V_n$ �������� 
��������� $A$ �� ������� ��������
\begin{multline}\label{_Leibniz_tenzor_Equation_} 
a(b_1 \otimes b_2\otimes ... \otimes b_n) = \\
= a(b_1) \otimes b_2\otimes ... \otimes b_n + 
b_1 \otimes a(b_2)\otimes ... \otimes b_n +
...+ b_1 \otimes b_2\otimes ... \otimes a(b_n).
\end{multline}
\��

\������
����� $V$ -- ������������� ������� �� $A$.
��������, ��� ������������ ������������ $V^*$ ��������
��������� $A$ �� ������� 
\[ \langle a(b), \xi\rangle+ \langle b, a(\xi)\rangle = 0.
\]
\��

\�����������
����� $A$ -- ������� ��, ����������� �� ���������
������������ $V$. ������ $v\in V$ ����������
{\��  $a$-������������}, ���� $a(v)=0$,
� {\�� $A$-������������,} ���� $a(v)=0$ ��� ������
$a\in A$.
\��

\������
����� $A$ -- ������� ��, ����������� �� ���������
������������ $V$, � $v\in V^{\otimes i}\otimes (V^*)^{\otimes j}$
������ �� $V$. ��������, ��� ��������� ����
$a\in A$, �����, ��� $a(v)=0$, �������� ���������� �� � $A$.
\��

\�����������
����� $h\in V^* \otimes V^*$ -- ��������� ������������.
{\�� ������������� ������� ��} $\goth {so}(V)$ ���� ��������� ����
������������� $a\in \End V$, ������� ������������� $a(h)=0$.
\��

\������
��������, ��� 
$\goth {so}(V)=\{a \in \End V\ \ |\ \ h(a\cdot, \cdot)=-h(\cdot, a\cdot)\}$.
\��

\������[!]
����� ����� $h$ �����������.
��������� ���������� $\goth {so}(V)=\Lambda^2 V^*$.
\��

%\������[*]
%����� ����������� ����� ���� �
%$\goth {so}(V)$ ��� ����������� $h$?
%\��

\������[*]
��������� ���������� ������� �� $\goth {so}(\R^4, +,+,+,-)$
(����� $h$ � ���������� $+,+,+,-$) � $\goth {so}(3, \C)$.
\��




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{�������� ������������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\�����������
����� $V$ -- �������� ������������.
{\�� �������� ������������ ��� $V$}
���� ��������� $A$, �� ������� $V$ ���������
�������� � �����������. � ���� ��������
$V$ ���������� {\�� �������������} $A$.
�������� $V$ �� $A$ ������������ $v, a \arrow v+a$.
\��

\�����������
{\�� �������} $\phi:\; A_1 \arrow A_2$ �������� �����������
���� ����������� �� $A_1$ � $A_2$, ������� �������������
$\phi(v+a)= \psi(v)+\phi(a)$, ��� $\psi:\; V_1 \arrow V_2$ --
�������� ����������� �� ������������. � ����� ��������,
$\psi$ ���������� {\�� �������������} �������� $\phi$.
\��

\������
����� $G$ -- ������ ����������� �� �����������
��������� ������������ ��� $\R$ � ����, ����������� ������������
�������� � ������������ ��������.
\����
\���� ��������,
��� $G$ ����������� $\R^2$.
\���� ��������, ��� $G$ ���������������, ����������
������.
\��
\��

\������[**]
����� $\phi:\; A_1 \arrow A_2$ -- ����������� ��������
����������� ��� $\R$ ����������� ������ 1, ������� ��������� 
������ (���������� �������� ���������������) � ������.
��������, ��� ��� ������� �������� �����������.
\��

\������
��������, ��� ������������ ���������� �� ����������
$B$ ��� $M$ ���� �������� ������������ � �������������
$\Lambda^1 M \otimes \End B$.
\��

\������
���������� �������� ������ $GL(B)$ ��������� �������������
$B$ �� ������������ ���������� ${\cal A}_B$.
\����
\���� ����� $B$ ���������. ��������, ��� $GL(B)$ ����
����������������� ������ ��������� ������� �� $M$.
\���� ��������, ��� $GL(B)$
��������� ��������� ���������� �� ${\cal A}_B$.
\����[!] ���������, ��� $GL(B)$ �� ���������
������� ����� ${\cal A}_B$.
\����[!] ����� $\rk B=1$, $f\in GL(B)$ -- ���������
�������, � $\nabla$ -- ���������. ��������, ���
$f$ ��������� $\nabla$ � $\nabla + f^{-1} df$.
\��
\��

\������
��������, ��� ������������ ������������� ����������
���� �������� ������������ ��� $\Lambda^1 M \otimes \goth{so}(TM)$.
\��

\������
����� $B$ -- ���������� �� ������������, � 
$\psi\in B^{\otimes i}\otimes (B^*)^{\otimes j}$ -- 
������ ��� $B$. �����������, ��� ����������
��������� $\nabla$, ������� ��������� $\psi$.
\����
\���� ����� $A\subset \End(B)$ -- ������������ ����
������������� $a\in \End(B)$ �����, ��� $a(\psi)=0$
(�������� ������������ �� �������� ������������
��� � \eqref{_Leibniz_tenzor_Equation_}, �� ���� �� 
������� ��������). ��������, ��� $A$ -- ������� ��.

\���� ��������, ��� ������������ ����������, �����������
$\psi$ -- �������� ������������ ��� �����-�� �������� 
������������� $S$.

\����[!] ��������, ��� $S=\Lambda^1 M \otimes A$.
\��
\��


\end{document}
