\documentclass[12pt]{article} % version 0.1, 09.10.2013 % version 1.0, 12.10.2013 % version 1.1, 20.10.2013 задача 5.30 поправил формулировку (\dim >1) % version 1.2, 21.10.2013 5.1, 5.3 косметически % version 2.0, 28.10.2013 5.8, пояснил про символ на расслоениях % version 2.1, 01.12.2013 5.29 \newcommand{\version}{version 2.1,\ \ 02.12.2013} \newcommand{\firstdate}{14.10.2013} \addtolength{\topmargin}{-7mm} \addtolength{\textheight}{10mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-10mm} \addtolength{\textwidth}{20mm} \input{defs-listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{5}{Векторные расслоения 5: связности} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Связности на расслоении} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $B$ --- гладкое расслоение над $M$, а $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ --- оператор, удовлетворяющий соотношению \[ \nabla(fb) = b \otimes df + f \nabla b, \] для любой функции $f\in C^\infty M$. Тогда $\nabla$ называется {\бф связностью} на расслоении $B$. Для каждого векторного поля $X\in TM$, результат спаривания $\nabla(b)$ и $X$ обозначается $\nabla_X b \in B$ \ео \задача Пусть для каждого векторного поля $X\in TM$ задан оператор $\nabla_X:\; B \arrow B$, причем $\nabla_X$ $C^\infty M$-линейно как функция $X$, и удовлетворяет $\nabla_X(fb) = \Lie_X f b + f \nabla_X b$. Постройте связность на $B$ по $\nabla_X$. \ез \замечание Такой оператор $\nabla_X$ называется {\бф ковариантной производной} вдоль $X$. \еза \задача Постройте связность на тривиальном расслоении $C^\infty M$. \ез \задача Пусть $\nabla:\; C^\infty M\arrow C^\infty M$ -- связность. Докажите, что $\nabla(f)=df + af$, где $a\in \Lambda^1 M$ функция. \ез \задача[!] Докажите, что на любом расслоении существует связность. \ез \указание Воспользуйтесь разбиением единицы. \еу \задача Пусть $\nabla_A, \nabla_B$ связности на расслоениях $A$ и $B$. Зададим на $A\otimes B$ дифференциальный оператор по формуле Лейбница: \begin{equation}\label{_svya_tenzo_pro_Equation_} \nabla(a\otimes b):= \nabla_A(a) \otimes b + a\otimes \nabla_B(b). \end{equation} Докажите, что это связность. \ез \задача[*] Пусть $\nabla:\; A\otimes B \arrow A\otimes B\otimes \Lambda^1 M$ -- связность на тензорном произведении двух расслоений. Всегда ли $\nabla$ можно получить из связностей на $A$ и $B$ по формуле \eqref{_svya_tenzo_pro_Equation_}? \ез \задача Пусть $B:= B_1 \oplus B_2$ --- прямая сумма векторных расслоений, причем на $B$ задана связность $\nabla$. Обозначим за $\pi_1$ естественную проекцию из $B$ в $B_1$. Докажите, что \енум \итем \[ \nabla\circ\pi_1\otimes \Id_{\Lambda^1 M} :\; B_1 \arrow B_1 \otimes \Lambda^1 M \] это связность на $B_1$. \итем Докажите, что каждая связность на $B_1$ получается таким образом. \ее \ез \определение Дифференциальный оператор из векторного расслоения $A$ в $B$ задается локально как дифференциальный оператор с коэффициентами в $\Hom(A,B)$; расслоение дифференциальных операторов порядка $k$ из $A$ в $B$ есть $\Diff^k(A,B):=\Diff^k(M)\otimes\Hom(A,B)$. В этой ситуации {\бф символ} $D$ есть соответствующий элемент в $\Diff^k(A,B)/\Diff^{k-1}(A,B)= \Sym^k(T^*M)\otimes \Hom(A,B)$. \ео \newcommand{\Symb}{\operatorname{Symb}} % \newcommand{\Hol}{\operatorname{Hol}} \задача Рассмотрим дифференциал де Рама $d:\;C^\infty M\arrow \Lambda^1 M$. Докажите, что это дифференциальный оператор первого порядка, а его символ \[ \Symb(d) \in TM\otimes \Hom(C^\infty M,\Lambda^1 M) = TM \otimes T^*M \] задается тождественным отображением $\Id_{TM}\in \End(TM)= TM \otimes T^*M$. \ез \задача Докажите, что символ $\Symb(\nabla)\in TM \otimes \Hom(B, \Lambda^1 M \otimes B)$ связности $\nabla$ задается тождественным отображением $\Id_{TM}\otimes \Id_B:\; TM \otimes T^* M \otimes \Hom(B,B)$. \ез \задача[!] Докажите, что дифференциальный оператор $\delta:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ первого порядка является связностью тогда и только тогда, когда его символ равен $\Id_{TM}\otimes \Id_B$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Группа голономии} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача[!] Пусть $B$ -- тривиальное расслоение со связностью над $\R$. Докажите, что каждой точки $x\in \R$, и каждого вектора $b_x \in B\restrict x$, в слое расслоения $B$ над $x$ существует и единственно сечение $b\in B$ такое, что $\nabla b=0$, $b\restrict x= b_x$. \ез \указание Воспользуйтесь теоремой о существовании и единственности решений ОДУ; приведите ее формулировку, и докажите, что из нее выводится утверждение задачи. \еу \определение Пусть $\gamma:\; [0, 1] \arrow M$ -- гладкий путь на многообразии $M$, соединяющий $x$ и $y$, а $(B, \nabla)$ -- расслоение со связностью. Рассмотрим $b_x \in B_x$, ограничим $(B, \nabla)$ на $\gamma([0,1])$, и решим уравнение $\nabla(b)=0$, где $b\in B\restrict{\gamma([0,1])}$ с начальным условием $b\restrict x= b_x$. Этот процесс называется {\бф параллельным переносом} вектора $b_x$ вдоль связности, а $b_y:= b\restrict y$ называется {\бф вектором, полученным в результате параллельного переноса} $b_x$ вдоль связности по пути $\gamma:\; [0, 1] \arrow M$. \ео \определение Пусть $x\in M$, а $(B, \nabla)$ -- расслоение со связностью над $M$. {\bf Группа голономии} связности $\Hol_x(\nabla)$ есть группа эндоморфизмов слоя $B_x$, порожденная всеми параллельными переносами вдоль путей из $x$ в $x$, где $x\in M$. \ео \задача[!] Пусть $B, \nabla$ -- расслоение со связностью над $M$, а $x, y$ -- точки в одной и той же компоненте связности. Постройте изоморфизм $\Hol_x(\nabla)\arrow \Hol_y(\nabla)$. \ез \задача Найдите расслоение со связностью над $S^1$, группа голономии которого нетривиальна. \ез \задача Пусть $B$ есть расслоение со связностью над $\R$. Докажите, что группа голономии $B$ тривиальна. \ез \задача[*] Найдите расслоение со связностью над $\R^2$, группа голономии которого нетривиальна. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Параллельные тензоры} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $B$ -- расслоение. Сечение тензорной степени \[ \psi \in \underbrace{B\otimes ... B}_{\text{$k$ раз}} \otimes \underbrace{B^* \otimes ... \otimes B^*}_{\text{$l$ раз}} \] называется {\bf тензором над $B$}; когда $B=TM$, такое сечение называется {\бф тензором на $M$}. \ео \определение Пусть $\nabla$ -- связность на $B$. Определим связность (тоже обозначенную буквой $\nabla$) на двойственном расслоении формулой \begin{equation}\label{_dual_connection_Equation} \langle \nabla_X(b), \xi\rangle+ \langle b, \nabla_X(\xi)\rangle = \Lie_X(\langle b, \xi\rangle). \end{equation} \ео \задача[!] Докажите, что связность на $B^*$, удовлетворяющая \eqref{_dual_connection_Equation}, существует и единственна. \ез \задача\label{_tensor_connection_} Докажите, что связность на $B$ задает связность на любой тензорной степени $B$ по формуле Лейбница и \eqref{_dual_connection_Equation}. \ез \задача[*] Предположим, что на $B\otimes B^*=\End B$ задана связность $\nabla$, которая удовлетворяет $\nabla(f\circ g)= \nabla(f)\circ g+ f\circ\nabla(g)$. Докажите, что $\nabla$ получается из связности на $B$ таким же образом, как в задаче \ref{_tensor_connection_}. \ез \определение Пусть $B, \nabla$ -- расслоение со связностью. Тензор $\psi$ на $B$ называется {\бф параллельным}, если $\nabla\psi=0$. В такой ситуации говорится, что связность {\бф сохраняет тензор $\psi$}. \ео \задача[!] Пусть $B$ -- расслоение. Приведите пример тензора над $B$, который не может быть параллельным ни для какой связности, но нигде не зануляется. \ез \задача Пусть $g$ -- тензор на расслоении $B$ над многообразием $M$. Постройте связность, которая сохраняет $g$, если $g$ это: \енум \итем Невырожденная билинейная симметрическая форма. \итем[!] Невырожденная билинейная кососимметрическая форма. \итем[*] Билинейная симметрическая форма постоянного ранга. \итем[*] Линейный оператор с жордановой нормальной формой, которая постоянна вдоль $M$. \ее \ез \указание Воспользуйтесь разбиением единицы. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Ортогональная группа} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Алгебра Ли} есть векторное пространство $A$, снабженное антикоммутативной, билинейной операцией $[\cdot, \cdot]:\; A \otimes A \arrow A$, которая удовлетворяет {\бф тождеству Якоби:} $[a,[b,c]]=[[a,b],c]+ [b, [a,c]]$. \ео \замечание Тождество Якоби есть тождество Лейбница: оно означает, что операция $[a, \cdot]$ является дифференцированием. \еза \задача Докажите, что алгебра $\End(V)$ с операцией $[a, b] =ab-ba$ является алгеброй Ли. \ез \задача Докажите, что пространство дифференцирований кольца $R$ с операцией $[a, b] =ab-ba$ является алгеброй Ли. \ез \определение {\бф Представление} алгебры Ли $A$ есть гомоморфизм $A \arrow \End V$, где $\End V$ рассматривается как алгебра Ли. Пространство $V$ называется {\бф пространством представления}. В такой ситуации говорят, что $A$ {\бф действует на пространстве $V$}. \ео \задача[!] Пусть $V_1, ..., V_n$ -- представления алгебры Ли $A$. Докажите, что $V_1\otimes V_2\otimes ... \otimes V_n$ снабжено действием $A$ по формуле Лейбница \begin{multline}\label{_Leibniz_tenzor_Equation_} a(b_1 \otimes b_2\otimes ... \otimes b_n) = \\ = a(b_1) \otimes b_2\otimes ... \otimes b_n + b_1 \otimes a(b_2)\otimes ... \otimes b_n + ...+ b_1 \otimes b_2\otimes ... \otimes a(b_n). \end{multline} \ез \задача Пусть $V$ -- представление алгебры Ли $A$. Докажите, что двойственное пространство $V^*$ снабжено действием $A$ по формуле \[ \langle a(b), \xi\rangle+ \langle b, a(\xi)\rangle = 0. \] \ез \определение Пусть $A$ -- алгебра Ли, действующая на векторном пространстве $V$. Вектор $v\in V$ называется {\бф $a$-инвариантным}, если $a(v)=0$, и {\бф $A$-инвариантным,} если $a(v)=0$ для любого $a\in A$. \ео \задача Пусть $A$ -- алгебра Ли, действующая на векторном пространстве $V$, а $v\in V^{\otimes i}\otimes (V^*)^{\otimes j}$ тензор на $V$. Докажите, что множество всех $a\in A$, таких, что $a(v)=0$, является подалгебра Ли в $A$. \ез \определение Пусть $h\in V^* \otimes V^*$ -- скалярное произведение. {\бф Ортогональная алгебра Ли} $\goth {so}(V)$ есть множество всех эндоморфизмов $a\in \End V$, которые удовлетворяют $a(h)=0$. \ео \задача Докажите, что $\goth {so}(V)=\{a \in \End V\ \ |\ \ h(a\cdot, \cdot)=-h(\cdot, a\cdot)\}$. \ез \задача[!] Пусть форма $h$ невырождена. Постройте изоморфизм $\goth {so}(V)=\Lambda^2 V^*$. \ез %\задача[*] %Какие размерности могут быть у %$\goth {so}(V)$ для вырожденных $h$? %\ез \задача[*] Постройте изоморфизм алгебры Ли $\goth {so}(\R^4, +,+,+,-)$ (форма $h$ с сигнатурой $+,+,+,-$) и $\goth {so}(3, \C)$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Аффинные пространства} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $V$ -- линейное пространство. {\бф Аффинное пространство над $V$} есть множество $A$, на котором $V$ действует свободно и транзитивно. В этой ситуации $V$ называется {\бф линеаризацией} $A$. Действие $V$ на $A$ обозначается $v, a \arrow v+a$. \ео \определение {\бф Морфизм} $\phi:\; A_1 \arrow A_2$ аффинных пространств есть отображение из $A_1$ в $A_2$, которое удовлетворяет $\phi(v+a)= \psi(v)+\phi(a)$, где $\psi:\; V_1 \arrow V_2$ -- линейное отображение их линеаризаций. В такой ситуации, $\psi$ называется {\бф линеаризацией} морфизма $\phi$. \ео \задача Пусть $G$ -- группа отображений из одномерного аффинного пространства над $\R$ в себя, переводящая параллельные переносы в параллельные переносы. \енум \итем Докажите, что $G$ гомеоморфна $\R^2$. \итем Докажите, что $G$ некоммутативная, разрешимая группа. \ее \ез \задача[**] Пусть $\phi:\; A_1 \arrow A_2$ -- отображение аффинных пространств над $\R$ размерности больше 1, которое переводит прямые (одномерные аффинные подпространства) в прямые. Докажите, что это морфизм аффинных пространств. \ез \задача Докажите, что пространство связностей на расслоении $B$ над $M$ есть аффинное пространство с линеаризацией $\Lambda^1 M \otimes \End B$. \ез \задача Рассмотрим действие группы $GL(B)$ послойных автоморфизмов $B$ на пространстве связностей ${\cal A}_B$. \енум \итем Пусть $B$ одномерно. Докажите, что $GL(B)$ есть мультипликативная группа обратимых функций на $M$. \итем Докажите, что $GL(B)$ действует аффинными морфизмами на ${\cal A}_B$. \итем[!] Проверьте, что $GL(B)$ не сохраняет никакой точки ${\cal A}_B$. \итем[!] Пусть $\rk B=1$, $f\in GL(B)$ -- обратимая функция, а $\nabla$ -- связность. Докажите, что $f$ переводит $\nabla$ в $\nabla + f^{-1} df$. \ее \ез \задача Докажите, что пространство ортогональных связностей есть аффинное пространство над $\Lambda^1 M \otimes \goth{so}(TM)$. \ез \задача Пусть $B$ -- расслоение на многообразии, а $\psi\in B^{\otimes i}\otimes (B^*)^{\otimes j}$ -- тензор над $B$. Предположим, что существует связность $\nabla$, которая сохраняет $\psi$. \енум \итем Пусть $A\subset \End(B)$ -- пространство всех эндоморфизмов $a\in \End(B)$ таких, что $a(\psi)=0$ (действие эндоморфизма на тензорах определяется как в \eqref{_Leibniz_tenzor_Equation_}, то есть по формуле Лейбница). Докажите, что $A$ -- алгебра Ли. \итем Докажите, что пространство связностей, сохраняющих $\psi$ -- аффинное пространство над каким-то линейным пространством $S$. \итем[!] Докажите, что $S=\Lambda^1 M \otimes A$. \ее \ез \end{document}