\documentclass[10pt]{article} \usepackage{diagrams} % version 1.0, 15.09.2013 % взято из pde-8.tex, version 3.0 -- 09.04.2010 (частично) % version 1.1, 3.12 и 3.20 опечатки \newcommand{\version}{version 1.1,\ \ 07.10.2013} \newcommand{\firstdate}{23.09.2013} \addtolength{\topmargin}{-15mm} \addtolength{\textheight}{35mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-20mm} \addtolength{\textwidth}{35mm} \input{defs-listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{3}{Векторные расслоения 3: алгебра де Рама} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Алгебра де Рама} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $M$ -- гладкое многообразие. Обозначим за $\Lambda^i M$ расслоение дифференциальных $i$-форм на $M$, то есть антисимметричных $i$-форм на $TM$. \ео \задача Пусть $\bigotimes_k T^*M \stackrel \Pi \arrow \Lambda^k M$ -- отображение антисимметризации. Определим умножение $\Lambda^i M\times \Lambda^j M \arrow \Lambda^{i+j} M$ как $\alpha \wedge \beta \arrow \Pi (\alpha \otimes \beta)$, где $\alpha \otimes \beta$ -- сечение $\Lambda^i M\otimes \Lambda^j M \subset \bigotimes_{i+j} T^*M$, полученное перемножением $\alpha$ и $\beta$. Докажите, что это умножение ассоциативно, и удовлетворяет $\alpha \wedge \beta = (-1)^{ij} \beta\wedge \alpha$. \ез \определение Алгебра $\Lambda^* M := \oplus_i\Lambda^i M$ с определенной выше алгебраической структурой называется {\бф алгеброй де Рама} многообразия. \ео \задача Докажите, что алгебра $\Lambda^* M$ мультипликативно порождена $C^\infty M =\Lambda^0M$ и 1-формами вида $df$, где $f\in C^\infty M$. \ез \задача Докажите, что дифференцирование на алгебре однозначно задается своими значениями на любом наборе мультипликативных образующих алгебры. \ез \определение {\бф Дифференциал де Рама} $d:\; \Lambda^*M \arrow \Lambda^{*+1}M$ есть $\R$-линейное отображение, которое удовлетворяет следующим условиям. \begin{description} \item[(i)] Для любого $f \in \Lambda^0=C^\infty M$, $df$ есть элемент $\Lambda^1 M$, равный дифференциалу $df$. \item[(ii)] (Правило Лейбница) $d(a\wedge b) = da \wedge b + (-1)^j a\wedge db$, для любых $a\in \Lambda^i M, b \in \Lambda^j M$. \item[(iii)] $d^2=0$. \end{description} \ео \задача[!] Докажите, что дифференциал де Рама единственный, если существует. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача \label{_de_Rham_locally_Zadacha_} Пусть $t_1, ..., t_n$ -- координатные функции на $\R^n$, а $\alpha\in \Lambda^* \R^n$ -- какой-то моном, полученный произведением нескольких $dt_i$. Докажите, что дифференциал де Рама на $C^\infty \R^n$ задается оператором, который переводит $f \alpha$ в $\sum_i \frac {df}{dt_i} dt_i \wedge \alpha$, для любого $f\in C^\infty \R^n$. \ез \задача \hfill \енум \итем Докажите, что дифференциал де Рама $d:\; \Lambda^*M \arrow \Lambda^{*+1}M$ коммутирует с гомоморфизмом ограничения на открытое подмножество. \итем Выведите из этого, что дифференциал де Рама задает морфизм пучков. \ее \ез \указание Воспользуйтесь единственностью дифференциала де Рама. \еу \задача[!] Докажите, что на любом многообразии существует дифференциал де Рама. \ез \указание Локально, дифференциал де Рама построен в задаче \ref{_de_Rham_locally_Zadacha_}. Чтобы перейти от локального к глобальному, воспользуйтесь предыдущей задачей, и примените аксиомы пучка. \еу %\задача[*] %Пусть $R$ -- кольцо над %полем, а $\Omega^i R:= \Lambda^i_R \Omega^1 R$ %внешняя алгебра, порожденная %кэлеровыми дифференциалами. Докажите, что %существует дифференциал де Рама %$d:\; \Omega^* R\arrow \Omega^{*+1} R$, %удовлетворяющий вышеприведенным аксиомам. %\ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Производная Ли} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $A^* = \oplus_{i\in \Z}A^i$ -- градуированная алгебра над полем. Она называется {\бф суперкоммутативной}, если $ab = (-1)^{ij} ba$ для любых $a\in A^i, b \in A^j$. \ео \замечание Грассманова алгебра $\Lambda^* V$, очевидно, суперкоммутативна \еза \задача Пусть $A^*, B^*$ -- градуированные суперкоммутативные алгебры, а $A^* \otimes B^*$ их тензорное произведение, с градуировкой $(A^* \otimes B^*)^p := \oplus_{i+j=p} A^i\otimes B^j$, и умножением, определенным формулой $a \otimes b \cdot a' \otimes b' = (-1)^{ij}aa' \otimes bb'$, где $a'\in A^i, b \in B^j$. Докажите, что оно суперкоммутативно. \ез \задача Пусть $V, W$ -- векторные пространства, $A^*:= \Lambda^* V, B^*:=\Lambda^* W$ их супералгебры. Докажите, что $\Lambda^*(V\oplus W)$ изоморфно тензорному произведению $A^* \otimes B^*$, определенному, как в прошлой задаче. \ез \определение Пусть $A^*$ -- суперкоммутативная алгебра, а $D:\; A^* \arrow A^{*+i}$ -- отображение, сдвигающее градуировку на $i$. Оно называется {\бф супердифференцированием}, если $D(ab) = D(a) b + (-1)^{ij} a D(b)$, для любого $a \in A^j$. \ео \замечание Если $i$ четно, супердифференцирование это просто дифференцирование. Если нечетно, оно называется {\бф нечетным дифференцированием}. \еза \замечание Дифференциал де Рама является нечетным дифференцированием (по определению). \еза \определение Пусть $M$ -- гладкое многообразие, а $X\in TM$ -- векторное поле. Рассмотрим операцию {\бф подстановки векторного поля} $i_X:\; \Lambda^i M \arrow \Lambda^{i-1}M$, переводящую $i$-форму $\alpha$ в $(i-1)$-форму $v_1, ..., v_{i-1} \arrow \alpha(X, v_1, ..., v_{i-1})$ \ео \задача Докажите, что $i_X$ есть нечетное дифференцирование. \ез \задача[*] Докажите, что любое нечетное дифференцирование $\delta:\; \Lambda^i M \arrow \Lambda^{i-1}M$ равно $i_X$, для какого-то векторного поля $X$. \ез \задача[*] Пусть $D:\; A^* \arrow A^{*+i}$ -- линейный оператор, причем $i \neq 0$ и четно, а $A$ конечномерно. Докажите, что $e^D:= 1 + D + \frac {D^2}{2} + ... + \frac{D^i}{i!} + ... $ это автоморфизм $A^*$ тогда и только тогда, когда $D$ это дифференцирование. \ез \определение Пусть $A^*$ -- градуированное векторное пространство, а \[ E:\; A^*\arrow A^{*+i}, F:\; A^*\arrow A^{*+j}\] операторы, сдвигающие градуировку на $i, j$. Определим {\бф суперкоммутатор} \[ \{E, F\}:= EF - (-1)^{ij} FE \] \ео \замечание Эндоморфизм, сдвигающий градуировку на $i$, называется {\бф четным}, если $i$ четно, и {\бф нечетным} в противном случае. \еза \задача Докажите, что суперкоммутатор удовлетворяет {\бф супертождеству Якоби,} \[ \{ E, \{F, G\}\} = \{\{ E, F\}, G\} + (-1)^{\tilde E \tilde F} \{ F, \{E, G\}\} \] где $\tilde E$ и $\tilde F$ четные, если $E, F$ четные, и нечетные в противном случае. \ез \замечание Есть простое мнемоническое правило, позволяющее запоминать супертождества, если известен коммутативный аналог. Всякий раз, когда в коммутативном случае меняются местами две буквы, в суперкоммутативном надо домножить на $-1$, если эти две буквы соответствуют нечетным операторам. \еза \задача Пусть $A^*$ -- суперкоммутативная алгебра, $a\in A$. Обозначим за $L_a:\; A \arrow A$ эндоморфизм, переводящий $b$ в $ab$. Докажите, что $D$ является супердифференцированием тогда и только тогда, $D(1)=0$ и для каждого $a\in A^i$, суперкоммутатор $\{D, L_a\}$ равен $L_b$ для какого-то $b\in A^*$. \ез \задача[!] Докажите, что суперкоммутатор супердифференцирований -- снова супердифференцирование. \ез \указание Воспользуйтесь супертождеством Якоби, и примените предыдущую задачу. \еу \определение Пусть $M$ -- гладкое многообразие, а $v\in TM$ -- векторное поле. Эндоморфизм $\Lie_v:\; \Lambda^* M \arrow \Lambda^* M$, сохраняющий градуировку, называется {\бф производной Ли вдоль $v$}, если он обладает следующими свойствами \begin{description} \item[(i)] На функциях, $\Lie_v$ равно производной вдоль $v$. \item[(ii)] $[\Lie_v, d]=0$ \item[(iii)] $\Lie_v$ -- дифференцирование. \end{description} \ео \задача Докажите, что производная Ли вдоль $v$ однозначно задана свойствами (i)-(iii). \ез \указание Воспользуйтесь тем же аргументом, который использовался для доказательства единственности дифференциала де Рама. \еу \задача Докажите, что $\{d, \{d, E\}\}=0$, для любого $E\in \End(\Lambda^* M)$. \ез \указание Воспользуйтесь супер-тождеством Якоби. \еу \задача Докажите, что $\{d, i_v\}$ коммутирует с $d$, где $i_v:\; \Lambda^* M \arrow \Lambda^{*-1}M$ -- подстановка $v$ в форму. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] (Формула Картана) Докажите, что $\{d, i_v\}$ -- производная Ли вдоль $v$. \ез \задача[*] Пусть $v, v'\in TM$ -- два векторных поля, а $i_{v\otimes v'}:\; \Lambda^* M \arrow \Lambda^{*-2}M$ -- подстановка $v, v'$ в 2-форму, $i_{v\otimes v'}= i_v i_{v'}$. Рассмотрим $i$-форму $\alpha \in \Lambda^* M$, и пусть $L_\alpha$ -- оператор умножения на $\alpha$. Докажите, что оператор \[ x\arrow [i_{v\otimes v'}, L_\alpha](x) - i_{v\otimes v'}(\alpha)\wedge x \] является дифференцированием. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Лемма Пуанкаре} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $t$ -- координатная функция на прямой, $f(t)\in C^\infty \R$ -- функция, $f(0)=0$, а $v:= t \frac d {dt}$ -- векторное поле. Докажите, что интеграл \[ R(f)(t):=\int_0^1 \frac{f(\lambda t)}{\lambda} d\lambda \] сходится, и удовлетворяет $\Lie_v R(f)=f$. \ез \задача Пусть $t_1, ..., t_n$ -- координаты в $\R^n$. Рассмотрим радиальное поле $v:=\sum_i t_i \frac d {dt_i}$. Пусть $f\in C^\infty \R^n$ -- функция, которая удовлетворяет $f(0)=0$, а $x=(x_1, ..., x_n)$ -- точка в $\R^n$. Докажите, что интеграл \[ R(f)(x):=\int_0^1 \frac{f(\lambda x)}{\lambda} d\lambda \] сходится, и удовлетворяет $\Lie_v R(f)=f$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей \еу \определение Открытое подмножество $U\subset \R^n$ называется {\бф звездчатым}, если для любой точки $x\in U$, отрезок $[0,x]$ лежит в $U$. \ео \задача \label{_R_kernel_Zadacha_} Докажите, что любая форма $\alpha\in \Lambda^i U$ на звездчатом множестве $U$, удовлетворяющая $\Lie_v \alpha=0$, зануляется, если $i>0$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. Проверьте сходимость интеграла. \еу \задача[!] Пусть $U$ -- звездчатое подмножество в $\R^n$. Постройте оператор \[ R:\; \Lambda^i U \arrow \Lambda^i U\] такой, что $\Lie_v R\alpha=R\Lie_v \alpha = \alpha$ для всех $\alpha \in\Lambda^i U$, $i>0$. \ез \задача[!] Докажите, что $\{R, d\}=0$ \ез \указание Проверьте, что $\{R, d\} \Lie_v \alpha= Rd \Lie_v \alpha + dR \Lie_v \alpha = - R\Lie_v d\alpha + d\alpha = 0$. Воспользуйтесь обратимостью $\Lie_v$. \еу \задача Докажите, что $\{ d, i_v\} R(\alpha) =\alpha$, для любой $i$-формы $\alpha$ на звездчатом множестве, $i>0$. \ез \определение Форма вида $d\alpha$ называется {\бф точной}, форма, на которой зануляется дифференциал -- {\бф замкнутой}. Поскольку $d^2=0$, любая точная форма замкнута. {\бф $i$-е когомологии де Рама многообразия $M$} -- фактор замкнутых $i$-форм по точным, обозначается $H^i(M)$. \ео \задача Вычислите нулевые когомологии де Рама связного многообразия. \ез \задача[!] Пусть $\alpha\in \Lambda^i U$ -- замкнутая форма на звездчатом множестве $U$, где $i>0$. Докажите, что $\alpha = d i_v R(\alpha)$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] (лемма Пуанкаре) Пусть $U$ -- звездчатое множество, Докажите, что $H^i(U)=0$ для всех $i>0$. \ез \задача[*] Пусть на $\R^n$ задано векторное поле $v$, с единственным нулем в точке $x$. Предположим, что производная $Dv\restrict x$ в $х$ невырождена как отображение из $\R^n$ в $\R^n$, причем любая интегральная траектория $v$ проходит через $x$. Докажите, что производная Ли $\Lie_v$ обратима на $\Lambda^i \R^n$ для любого $i>0$. \ез \end{document}