\documentclass[10pt]{article}

\usepackage{diagrams}

% version 1.0, 15.09.2013 
% ����� �� pde-8.tex, version 3.0 -- 09.04.2010 (��������)
% version 1.1, 3.12 � 3.20 ��������

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   07.10.2013}
\newcommand{\firstdate}{23.09.2013}


\addtolength{\topmargin}{-15mm}
\addtolength{\textheight}{35mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{35mm}

\input{defs-listki.tex}



\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{3}{��������� ���������� 3: ������� �� ����}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{������� �� ����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
����� $M$ -- ������� ������������.
��������� �� $\Lambda^i M$ ���������� ����������������
$i$-���� �� $M$, �� ���� ���������������� $i$-���� ��
$TM$. 
\��

\������
����� $\bigotimes_k T^*M \stackrel \Pi \arrow \Lambda^k M$ --
����������� �����������������. ��������� ���������
$\Lambda^i M\times \Lambda^j M \arrow \Lambda^{i+j} M$
��� $\alpha \wedge \beta \arrow \Pi (\alpha \otimes \beta)$,
��� $\alpha \otimes \beta$ -- ������� 
$\Lambda^i M\otimes \Lambda^j M \subset \bigotimes_{i+j}
T^*M$, ���������� ������������� $\alpha$ � $\beta$.
��������, ��� ��� ��������� ������������, �
������������� $\alpha \wedge \beta = (-1)^{ij} \beta\wedge \alpha$.
\��

\�����������
������� $\Lambda^* M := \oplus_i\Lambda^i M$ 
� ������������ ���� �������������� ����������
���������� {\�� �������� �� ����} ������������.
\��

\������
��������, ��� ������� $\Lambda^* M$ ���������������� 
��������� $C^\infty M =\Lambda^0M$ � 1-�������
���� $df$, ��� $f\in C^\infty M$.
\��


\������
��������, ��� �����������������
�� ������� ���������� ��������
������ ���������� �� ����� ������ �����������������
���������� �������.
\��

\�����������
{\�� ������������ �� ����} $d:\; \Lambda^*M \arrow \Lambda^{*+1}M$
���� $\R$-�������� �����������, ������� ������������� ���������
��������.
\begin{description}

\item[(i)] ��� ������ $f \in \Lambda^0=C^\infty M$,
$df$ ���� ������� $\Lambda^1 M$, ������ ������������� $df$.

\item[(ii)] (������� ��������)
$d(a\wedge b) = da \wedge b + (-1)^j a\wedge
db$, ��� ����� $a\in \Lambda^i M, b \in \Lambda^j M$.

\item[(iii)] $d^2=0$.
\end{description}
\��

\������[!]
��������, ��� ������������ 
�� ���� ������������, ���� ����������.
\��

\�������� 
�������������� ���������� �������.
\��

\������
\label{_de_Rham_locally_Zadacha_}
����� $t_1, ..., t_n$ -- ������������
������� �� $\R^n$, � $\alpha\in \Lambda^* \R^n$ -- �����-��
�����, ���������� ������������� ���������� $dt_i$.
��������, ��� ������������ �� ����
�� $C^\infty \R^n$ �������� ����������, �������
��������� $f \alpha$ � 
$\sum_i \frac {df}{dt_i} dt_i \wedge \alpha$,
��� ������ $f\in C^\infty \R^n$.
\��

\������
\hfill
\����
\���� 
��������, ��� ������������ �� ����
$d:\; \Lambda^*M \arrow \Lambda^{*+1}M$
����������� � ������������� �����������
�� �������� ������������.

\���� �������� �� �����, ��� ������������ �� ����
������ ������� ������.
\��
\��

\��������
�������������� ��������������� ������������� �� ����.
\��

\������[!]
��������, ��� �� ����� ������������
���������� ������������ �� ����.
\��

\��������
��������, ������������ �� ���� ��������
� ������ \ref{_de_Rham_locally_Zadacha_}.
����� ������� �� ���������� � �����������,
�������������� ���������� �������, � ���������
������� �����.
\��

%\������[*]
%����� $R$ --  ������ ���
%�����, � $\Omega^i R:= \Lambda^i_R \Omega^1 R$
%������� �������, �����������
%���������� ���������������. ��������, ��� 
%���������� ������������ �� ����
%$d:\; \Omega^* R\arrow \Omega^{*+1} R$,
%��������������� ��������������� ��������.
%\��


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{����������� ��}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
����� $A^* = \oplus_{i\in \Z}A^i$ -- ��������������
������� ��� �����. ��� ���������� {\��
������������������}, ���� $ab = (-1)^{ij} ba$
��� ����� $a\in A^i, b \in A^j$. 
\��

\���������
����������� ������� $\Lambda^* V$,
��������, �����������������
\���

\������
����� $A^*, B^*$ -- �������������� 
������������������ �������, � $A^* \otimes B^*$
�� ��������� ������������, � 
������������ 
$(A^* \otimes B^*)^p := \oplus_{i+j=p} A^i\otimes B^j$,
� ����������, ������������ ��������
$a \otimes b \cdot a' \otimes b' = (-1)^{ij}aa' \otimes bb'$,
��� $a'\in A^i, b \in B^j$.
��������, ��� ��� �����������������.
\��

\������
����� $V, W$ -- ��������� ������������,
$A^*:= \Lambda^* V, B^*:=\Lambda^* W$ �� ������������.
��������, ��� $\Lambda^*(V\oplus W)$ ���������
���������� ������������ $A^* \otimes B^*$,
�������������, ��� � ������� ������.
\��

\�����������
����� $A^*$ -- ������������������ �������,
� $D:\; A^* \arrow A^{*+i}$ -- �����������,
���������� ����������� �� $i$. ��� ����������
{\�� �����������������������}, ����
$D(ab) = D(a) b + (-1)^{ij} a D(b)$,
��� ������ $a \in A^j$. 
\��

\���������
���� $i$ �����, ���������������������� ���
������ �����������������. ���� �������,
��� ���������� {\�� �������� ������������������}.
\���

\���������
������������ �� ���� �������� �������� ������������������
(�� �����������).
\���

\�����������
����� $M$ -- ������� ������������, � $X\in TM$ --
��������� ����. ���������� �������� {\�� �����������
���������� ����} 
$i_X:\; \Lambda^i M \arrow \Lambda^{i-1}M$, 
����������� $i$-����� $\alpha$ � $(i-1)$-�����
$v_1, ..., v_{i-1} \arrow \alpha(X, v_1, ..., v_{i-1})$
\��

\������
��������, ��� $i_X$ ���� �������� �����������������.
\��

\������[*]
��������, ��� ����� �������� �����������������
$\delta:\; \Lambda^i M \arrow \Lambda^{i-1}M$
����� $i_X$, ��� ������-�� ���������� ���� $X$.
\��

\������[*]
����� $D:\; A^* \arrow A^{*+i}$ -- �������� ��������,
������ $i \neq 0$ � �����, � $A$ ������������. ��������, ��� $e^D:= 1 + D + \frac
{D^2}{2} + ... + \frac{D^i}{i!} + ... $ ��� ����������� $A^*$
����� � ������ �����, ����� $D$ ��� �����������������.
\��

\�����������
����� $A^*$ -- �������������� ��������� ������������,
� \[ E:\; A^*\arrow A^{*+i}, F:\; A^*\arrow A^{*+j}\] 
���������, ���������� ����������� �� $i, j$.
��������� {\�� ���������������} 
\[ 
  \{E, F\}:= EF - (-1)^{ij} FE
\]
\��

\���������
�����������, ���������� ����������� �� $i$,
���������� {\�� ������}, ���� $i$ �����,
� {\�� ��������} � ��������� ������.
\���


\������
��������, ��� ��������������� �������������
{\�� �������������� �����,}
\[
\{ E, \{F, G\}\} = \{\{ E, F\}, G\} + (-1)^{\tilde E
\tilde F}  \{ F, \{E, G\}\}
\]
��� $\tilde E$ � $\tilde F$ ������, ����
$E, F$ ������, � �������� � ��������� ������.
\��

\���������
���� ������� ������������� �������,
����������� ���������� ��������������, ����
�������� ������������� ������. ������ ���,
����� � ������������� ������ �������� �������
��� �����, � ������������������ ���� ���������
�� $-1$, ���� ��� ��� ����� �������������
�������� ����������.
\���

\������
����� $A^*$ -- ������������������ �������,
$a\in A$. ��������� �� $L_a:\; A \arrow A$
�����������, ����������� $b$ � $ab$.
��������, ��� $D$ �������� �����������������������
����� � ������ �����, $D(1)=0$ � ��� �������
$a\in A^i$, ���������������
$\{D, L_a\}$ ����� $L_b$ ��� ������-�� $b\in A^*$.
\�� 

\������[!]
��������, ��� ��������������� ���������������������� --
����� ����������������������.
\��

\��������
�������������� ��������������� �����,
� ��������� ���������� ������.
\��

\�����������
����� $M$ -- ������� ������������,
� $v\in TM$ -- ��������� ����.
����������� $\Lie_v:\; \Lambda^* M \arrow \Lambda^* M$,
����������� �����������, ����������
{\�� ����������� �� ����� $v$}, ���� ��
�������� ���������� ����������
\begin{description}
\item[(i)] �� ��������, $\Lie_v$ ����� ����������� ����� $v$.
\item[(ii)] $[\Lie_v, d]=0$
\item[(iii)] $\Lie_v$ -- �����������������.
\end{description}
\��

\������
��������, ��� ����������� �� ����� $v$ ����������
������ ���������� (i)-(iii).
\��

\��������
�������������� ��� �� ����������, 
������� ������������� ��� ��������������
�������������� ������������� �� ����.
\��

\������
��������, ��� $\{d, \{d, E\}\}=0$,
��� ������ $E\in \End(\Lambda^* M)$.
\��

\��������
�������������� �����-���������� �����.
\��

\������
��������, ��� $\{d, i_v\}$ ����������� � $d$, ���
$i_v:\; \Lambda^* M \arrow \Lambda^{*-1}M$ -- ����������� 
$v$ � �����.
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��

\������[!]
(������� �������)
��������, ��� $\{d, i_v\}$ -- ����������� �� ����� $v$.
\��

\������[*]
����� $v, v'\in TM$ -- ��� ��������� ����, �
$i_{v\otimes v'}:\; \Lambda^* M \arrow \Lambda^{*-2}M$ --
����������� $v, v'$ � 2-�����, $i_{v\otimes v'}= i_v i_{v'}$.
���������� $i$-����� $\alpha \in \Lambda^* M$,
� ����� $L_\alpha$ -- �������� ��������� �� $\alpha$.
��������, ��� ��������
\[
x\arrow [i_{v\otimes v'}, L_\alpha](x) - i_{v\otimes
v'}(\alpha)\wedge x
\]
�������� ������������������.
\��



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{����� ��������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\������
����� $t$ -- ������������ ������� �� ������, 
$f(t)\in C^\infty \R$ -- �������, $f(0)=0$,
� $v:= t \frac d {dt}$ -- ��������� ����.
��������, ��� ��������
\[
R(f)(t):=\int_0^1 \frac{f(\lambda t)}{\lambda} d\lambda
\]
��������, � ������������� $\Lie_v R(f)=f$.
\��

\������
����� $t_1, ..., t_n$ -- ���������� � $\R^n$.
���������� ���������� ���� $v:=\sum_i t_i \frac d {dt_i}$.
����� $f\in C^\infty \R^n$ -- �������, �������
������������� $f(0)=0$, � $x=(x_1, ..., x_n)$ -- ����� �
$\R^n$. ��������, ��� ��������
\[
R(f)(x):=\int_0^1 \frac{f(\lambda x)}{\lambda} d\lambda
\]
��������, � ������������� $\Lie_v R(f)=f$.
\��

\��������
�������������� ���������� �������
\��

\�����������
�������� ������������ $U\subset \R^n$
���������� {\�� ����������}, ����
��� ����� ����� $x\in U$, �������
$[0,x]$ ����� � $U$.
\��

\������
\label{_R_kernel_Zadacha_}
��������, ��� ����� ����� 
$\alpha\in \Lambda^i U$ �� ���������� ��������� $U$,
��������������� $\Lie_v \alpha=0$, ����������, ���� $i>0$.
\��

\�������� 
�������������� ���������� �������. ��������� ���������� ���������.
\��

\������[!]
����� $U$ -- ���������� ������������ � $\R^n$.
��������� �������� \[ R:\; \Lambda^i U \arrow \Lambda^i U\]
�����, ��� $\Lie_v R\alpha=R\Lie_v \alpha = \alpha$ 
��� ���� $\alpha \in\Lambda^i U$,  $i>0$.
\��

\������[!]
��������, ��� $\{R, d\}=0$
\��

\��������
���������, ��� 
$\{R, d\} \Lie_v \alpha=  Rd \Lie_v \alpha + dR \Lie_v \alpha
= - R\Lie_v d\alpha + d\alpha = 0$. 
�������������� ������������ $\Lie_v$.
\��

\������
��������, ��� 
$\{ d, i_v\} R(\alpha) =\alpha$, ��� ����� $i$-����� 
$\alpha$ �� ���������� ���������, $i>0$.
\��

\�����������
����� ���� $d\alpha$ ���������� {\�� ������},
�����, �� ������� ���������� ������������ --
{\�� ���������}. ��������� $d^2=0$, �����
������ ����� ��������. {\�� $i$-� ����������� �� ����
������������ $M$} -- ������ ��������� $i$-����
�� ������, ������������ $H^i(M)$.
\��

\������
��������� ������� ����������� �� ���� ��������
������������.
\��

\������[!]
����� $\alpha\in \Lambda^i U$ -- ��������� ����� 
�� ���������� ��������� $U$, ��� $i>0$.
��������, ��� $\alpha = d i_v R(\alpha)$.
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��

\������[!]
(����� ��������)
����� $U$ -- ���������� ���������, ��������, ���
$H^i(U)=0$ ��� ���� $i>0$.
\��

\������[*]
����� �� $\R^n$ ������ ��������� ���� $v$, � ������������
����� � ����� $x$. �����������, ��� ����������� 
$Dv\restrict x$ � $�$ ����������� ��� �����������
�� $\R^n$ � $\R^n$, ������ ����� ������������
���������� $v$ �������� ����� $x$. ��������, ��� �����������
�� $\Lie_v$ �������� �� $\Lambda^i \R^n$ ��� ������ $i>0$.
\��



\end{document}
