\documentclass[10pt]{article}

% version 1.0, 15.09.2013 
% (������������ ����� �� pde-4.tex version 1.2 -- 12.03.2010)
% 18.09.2013, version 1.1, zadacha 2.10: kompaktnoe -> ������������
% 24.09.2013, version 2.0, definition of locality simplified

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   18.09.2013}
\newcommand{\firstdate}{16.09.2013}


\addtolength{\topmargin}{-7mm}
\addtolength{\textheight}{15mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-7mm}
\addtolength{\textwidth}{15mm}

\input{defs-listki.tex}



\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{2}{��������� ���������� 2: ��������� ��������� � �����������������}


{\scriptsize
{\�� �������:} ������ �� ������� ������ ���� �����:
����� ����� ��� (��� 1/3, ��� 2/3) ������ �� �����������,
���� ��� (��� 1/3, ��� 2/3) ������ ��� ���������.
������ � ����� �����������
����� �� �������. ������� $k$ ����� � ����� �����������
����������� �� ������� $2k$ ����� �� ����������� 
�� ���� �� ��������. ������, ������������ (!),
������� ������� ����.

���� ����� 1/3 ����� � (*) � (!), ������� ��������
$2t$ ������,
���� 2/3 �����, $6t$ ������, ���� ���, ����� 
(��������) ���� -- $10t$ ������.

���� ����� 1/3 ����� ��� ��������� � � (!), 
������� �������� $2t$ ������, ���� 2/3 �����, 
������� �������� $6t$ ������, ���� ���, ����� 
(��������) ���� -- $10t$ ������.

��� ���� ������ �� ������������, �� ����
������ $10t$ �� �������� �������� ������.

����������� $t$ ����� 1.5, ���� ������ �����
�� �����, ��� ����� 20 ���� ����� ������,
1, ���� ����� 20 � 35 �����, � 0.7, ���� �����.

���������� ����� ������������ �� ������
���������, ������� �������� ��������, � �� ����
������� �� ��������� ������������� ������
�� �����.}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{��������� ��������� � ���������������� ���������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


����� �������� ����� ������. ����� �� ������������
������� ���������� ����� �����-�� ��������. ��� ����������
��� �� ��������������� �����? �����������, ����������
�������� �����������.


\�����������
����� $f\in F(M)$ -- ������� ����� $F$ ��� $M$.
{\�� ��������} $f$ ���� ��������� ���� �����
$x\in M$ �����, ��� ��� ����� �����������
$U \ni x$, ����������� $f$ �� $U$ ���������.
�������� ������������ $\sup(f)$.
\��

\������
��������, ��� �������� - ��������� ���������.
\��

\������
����� $\calo$ -- ����� ����������-�������������
������� �� $\C$, � $f\in \calo(\C)$ -- ��������� �������. ������� 
$\sup(f)$.
\��

\�����������
����� $M$ -- ������� ������������, ${\cal F}$,
${\cal G}$ -- ����� 
$F$ � $G$ -- ������������ �� ������� ��� $M$.
�������� ��� ������� ����� 
����������� $\phi:\; F \arrow G$
���������� {\�� ���������}, ���� �������� $\phi(f)$ ����� � ��������
$f$ ��� ������ $f\in F$.
\��

\������
��������, ��� ������ ����������� ����� ���������� ����
���� ��������� ����������� �� $C^\infty M$ � $C^\infty M$.
\��

%\�����������
%{\�� �������� ��������} $C^\infty M$-������� ���� �������
%$C^\infty M$-������� (�� ���� ��������, �������� ��� $C^\infty M$).
%\��

\������[!]
����� $M$ -- ����������� ������������ (� ���������,
����������� ��������� �������).
${\cal F}$,
${\cal G}$ -- ����� $C^\infty M$-�������, 
 � $F$ � $G$ -- ������������ �� ������� ��� $M$.
��������, ��� ����� $C^\infty M$-������oe
����������� �� $F$ � $G$ ��������.
\��

\������
��������, ��� ����� $k$-��������
����������� $\phi:\;C^\infty M\arrow C^\infty M$,
��������������� ������� �������� $\phi(xy)=\phi(x)y + x\phi(y)$,
��������.\footnote{����� ����������� ���������� {\�� �������������������}.}
\��



\������[*]
��������� �� $C^0$ ����� ����������� �������, 
� ����� $C^0M$ -- ������ ����������� ������� �� ������������.
��������, ��� ����� ��������� �������� $C^0M\arrow C^0 M$
$C^0M$-��������, ��� ������� �����������.
\��

\������[**]
��������, ��� ����� ��������� �������� $C^1M\arrow C^1 M$
$C^1M$-��������, ��� ������� �����������.
\��

\�����������
{\�� ������� ���������������� ����������} �� $C^\infty M$
���� �������, ����������� ���������� ��������� �� ������� � 
������ ����������� ����� ���������� ����.
\��

\������
��������, ��� ����� ���������������� �������� �������� ���������.
\��

\������[**]
����� $M$ -- ���������� ������������. ��������, ��� 
����� ��������� �������� �� $C^\infty M$ -- ����������������. 
\��

\������[*]
����� $M$ -- ������������ ������������. �������
��������� �������� �� $C^\infty M$, ������� �� ��������
������� ���������������� ����������.
\��

\�����������
{\�� ���������������� �������� ������� $\leq i$} ���� 
����������� $D\in \End_\R(C^\infty M)$, ���������� ��� ��������
���������� ��������� ���� $\Lie_{X_1}
\Lie_{X_2}...\Lie_{X_d}$, ��� $d\leq i$, $X_i$ --
��������� ����, a $\Lie_{X_i}$ -- �����������������
����� ���� ��������� �����.
\��

\������[*] 
��������� �� $\Diff^i(M)$ ������������ ����������������
���������� ������� $\leq i$. ����� $D$ ���� �������� �����,
��� ��� ������ ���������� ���� $X$, ���������� $D$ � 
��������� $\Lie_X$ ������ ����������� ����� $X$
����� � $\Diff^{i-1}(M)$. ��������, ��� $D\in \Diff^i(M)$.
\��

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{����������� ���������� ��������� �� �����}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
����� ${\cal F}$, ${\cal G}$ -- ����� �� ������������ $M$,
${\cal F}(M)$, ${\cal G}(M)$ -- ������������ �������.
�������� $\phi:\; {\cal F}(M)\arrow {\cal G}(M)$ ����������
{\�� ���������}, ���� ���� �������� $\phi(f)$ ����� � ��������
$f$ ��� ������ $f\in{\cal F}(M)$. �������� $\phi$
{\�� ������������ �� �����}, ���� ���������� �������
������ $\tilde \phi:\; {\cal F} \arrow {\cal G}$
�����, ��� $\tilde \phi \restrict{{\cal F}(M)}= \phi$.
\��

\���������
� ���� ������� �� ����������, ��� ��� ������ $C^\infty M$-�������
��� ������� �����������.
\���

\������
����� $f\in {\cal F}(M)$ -- �������, �������
����� ���� �� $U\subset M$, � $\phi:\; {\cal F}(M)\arrow {\cal G}(M)$
-- ��������, ������� ������������ �� �����. ��������, ���
$\phi(f)$ ���� ����� ���� �� $U\subset M$.
\��

\������[!]
����� ${\cal G}$, ${\cal F}$ -- ����� $C^\infty M$-�������, �
$\phi:\; {\cal F}(M)\arrow {\cal G}(M)$ -- ��������, ������� ������������
�� �����. ��������, ��� �� ���������.
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��

\������
\label{_seche_pro_Zadacha_}
����� $U\subset M$ -- �������� ������������, ${\cal F}$ �����, 
� $f\in {\cal F}(U)$ -- ������� � ���������� ���������.
��������, ��� ���������� ������������ ������� 
$\tilde f\in {\cal F}(M)$, ���������������
$\sup(\tilde f)=\sup(f)$ � $\tilde f\restrict U=f$.
\��

\�����������
���������, ���  
{\�� ������� $f\in {\cal F}(U)$ ������������ � $U$ �� $M$},
���� �������� $\tilde f\in {\cal F}(M)$, ���������������
$\tilde f\restrict U=f$.
\��

\�����������
���������, ��� {\�� ����� ${\cal F}$ ��������� ��������� �������},
���� ��� ������ ��������� $U\subset M$, $f\in {\cal F}(U)$, 
� ������ �������� ��������� �������� $\{U_i\}$ ��������� $U$,
�������� ����� ������� $f_i$ � ���������� � $U_i$ �����,
��� $f=\sum f_i$.
\��

\���������
����� ������� ����� ����������� ����� $f=\sum f_i$,
�������������� ��������� ����������� ��������.
\���

\������
��������, ��� ����� ����� $C^\infty M$-�������
��������� ��������� �������.
\��


\NewVedomost

\������[!]
����� ${\cal F}$,  ${\cal G}$ -- 
����� �� $M$, ������ ${\cal F}$ ��������� ��������� �������,
� $\phi:\; {\cal F}(M)\arrow {\cal G}(M)$ -- ���������
��������. ��������, ��� $\phi$ ������������ �� �����.
\��

\�������� 
�������� �� ����������� $\phi$ ��, ��� �����
$\sum \phi(f_i)$ ��������� ����������.
\��


\������
��������, ��� ����� ���������������� ��������
$\phi\in \End_\R(C^\infty M)$ ������������ �� �����.
\��

\������[!]\label{_diffe_puchok_Zadacha_}
��������, ��� �����������������
������ ������� ������� �� ������������ $M$ �������� �����.
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{����������������� ������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\Der{\operatorname{Der}}

\���������
��� ������ � ���� ��������� �������������� ��������������
� � ��������. ������� ��� ����� -- �������������, �� ��
����������� ������������� (��������, ��������� �������).
����������������� �� ������ ��� $k$ ���� $k$-�������� ����������� $\delta$,
��������������� $\delta(xy)=\delta(x) y+ x\delta(y)$.
\���

\������
����� $D_1, D_2$ - �����������������.
��������, ��� ���������� $[D_1, D_2]:= D_1 D_2 - D_2 D_1$
��� ���� �����������������.
\��

\������
����� $D\in \Der_k(R)$ --
����������������� ������, $I\subset R$ --
�����. ��������, ��� $D(I^k)\subset I^{k-1}$.
\��



\���������
����� $R$ -- ������ ��� ����� $k$.
����� $\Der_k(R)$ -- ������ ��� ������� $R$,
��������� $R$-������ ������������ �������� $rD(f) = r D(f)$.
\���


\������
����� $R= k[t_1, .., t_k]$ -- ������ ���������.
��������, ��� $\Der_k(R)$ -- ��������� ������, 
���������� $R^n$, � ����������� $\frac d {dt_1}, 
\frac d{dt_2}, ...,\frac d{dt_n}$
\��





\��������
��������� �����������
$\Der_k(R) \arrow R^n$, 
\[ D \arrow (D(t_1), D(t_2), ..., D(t_n))
\]
� ��������, ��� ��� ����������.
\��

\������
�������� {\�� ����� �������:} ������ ������� �������
�� $\R^n$ ����������� � ����� 
$f(x)= f(0)+ \sum_{i=1}^n x_i g_i(x)$,
��� $x_i$ -- ������������ �������, � $g_i \in C^\infty
\R^n$.
\��



\������
��������� �� ${\goth m}_x\subset 
C^\infty\R^n$ ����� ���� �������,
������������ � $x\in \R^n$. ��������, ��� �� ������������.
\��

\������[!]
��������, ��� ����� ������� $f\in C^\infty\R^n$, ������������ � $x$,
� �����, ��� $f'(x)=0$, ����� � ������ ${\goth m}_x^2$.
\��

\��������
�������������� ������ �������.
\��


\�����������
������� � $\R^n$ ���������� $t_1, ..., t_n$.
��������� ����������� 
\[ 
  \Der(C^\infty\R^n) \stackrel \Pi \arrow(C^\infty\R^n)^n,
\]
$D \arrow (D(t_1), D(t_2), ..., D(t_n))$.
\��

\������ 
��������, ��� $\Pi$ -- ���������.
\��


\���������
{\�� �������� �������} �� $\R^n$ ���� ����� �������� 
������� � ���������. 
\���

\������
����� $f\in C^\infty\R^n$. 
��������, ��� ��� ������� $x\in \R^n$ ��������
�������� ������� $l$ �����, ��� $f-l\in {\goth m}_x^2$
\��

\�������� 
�������������� ������ �������.
\��

\������
����� $D \in \ker \Pi$. ��������, ��� ��� ������ �������
$f\in C^\infty\R^n$ � ������� $x\in \R^n$ ����� �����
$D(f)\in {\goth m}_x$.
\��


\�������� 
�������������� ���������� �������
\��

\������[!]
��������, ��� �����������
\[ 
\Der(C^\infty\R^n) \stackrel \Pi \arrow(C^\infty\R^n)^n
\]
���� ����������.
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��

\������
��������, ��� ����� $\Der(C^\infty M)$ ����������������� ������
$C^\infty M$ (������������ � ������ \ref{_diffe_puchok_Zadacha_})
�������� �������� ��� ����� $C^\infty M$-�������.
\��

\�����������
����� $\Der(C^\infty M)$ ���������� {\�� �����������
�����������} ������������ $M$.
\��


\������[*]
������� ������������� �������
$\gamma\in\Der_\R(C^0\R)$ � ������������ �����������������
������ ����������� �������, ��� ��������, ��� ��� �����.
\��

\������[**]
������� ������������� �������
$\gamma\in\Der_\R(C^1\R)$ � ������������ �����������������
������ ������� ������ $C^1$, ��� ��������, ��� ��� �����.
\��



\end{document}
