\documentclass[10pt]{article} % version 1.0, 15.09.2013 % (использованы куски из pde-4.tex version 1.2 -- 12.03.2010) % 18.09.2013, version 1.1, zadacha 2.10: kompaktnoe -> некомпактное % 24.09.2013, version 2.0, definition of locality simplified \newcommand{\version}{version 1.1,\ \ 18.09.2013} \newcommand{\firstdate}{16.09.2013} \addtolength{\topmargin}{-7mm} \addtolength{\textheight}{15mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-7mm} \addtolength{\textwidth}{15mm} \input{defs-listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{2}{Векторные расслоения 2: локальные операторы и дифференцирования} {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Локальные операторы и дифференциальные операторы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Здесь решается такая задача. Пусть на пространстве сечений расслоения задан какой-то оператор. Как продолжить его на соответствующий пучок? Оказывается, достаточно свойства локальности. \определение Пусть $f\in F(M)$ -- сечение пучка $F$ над $M$. {\бф Носитель} $f$ есть множество всех точек $x\in M$ таких, что для любой окрестности $U \ni x$, ограничение $f$ на $U$ ненулевое. Носитель обозначается $\sup(f)$. \ео \задача Докажите, что носитель - замкнутое множество. \ез \задача Пусть $\calo$ -- пучок комплексно-аналитических функций на $\C$, а $f\in \calo(\C)$ -- ненулевое сечение. Найдите $\sup(f)$. \ез \определение Пусть $M$ -- гладкое многообразие, ${\cal F}$, ${\cal G}$ -- пучки $F$ и $G$ -- пространства их сечений над $M$. Линейное над базовым полем отображение $\phi:\; F \arrow G$ называется {\бф локальным}, если носитель $\phi(f)$ лежит в носителе $f$ для любого $f\in F$. \ео \задача Докажите, что взятие производной вдоль векторного поля есть локальное отображение из $C^\infty M$ в $C^\infty M$. \ез %\определение %{\бф Линейный оператор} $C^\infty M$-модулей есть морфизм %$C^\infty M$-модулей (то есть оператор, линейный над $C^\infty M$). %\ео \задача[!] Пусть $M$ -- метризуемое многообразие (в частности, допускающее разбиение единицы). ${\cal F}$, ${\cal G}$ -- пучки $C^\infty M$-модулей, а $F$ и $G$ -- пространства их сечений над $M$. Докажите, что любое $C^\infty M$-линейнoe отображение из $F$ в $G$ локально. \ез \задача Докажите, что любое $k$-линейное отображение $\phi:\;C^\infty M\arrow C^\infty M$, удовлетворяющее правилу Лейбница $\phi(xy)=\phi(x)y + x\phi(y)$, локально.\footnote{Такие отображения называются {\бф дифференцированиями}.} \ез \задача[*] Обозначим за $C^0$ пучок непрерывных функций, и пусть $C^0M$ -- кольцо непрерывных функций на многообразии. Докажите, что любой локальный оператор $C^0M\arrow C^0 M$ $C^0M$-линейный, или найдите контрпример. \ез \задача[**] Докажите, что любой локальный оператор $C^1M\arrow C^1 M$ $C^1M$-линейный, или найдите контрпример. \ез \определение {\бф Алгебра дифференциальных операторов} на $C^\infty M$ есть алгебра, порожденная операциями умножения на функцию и взятия производных вдоль векторного поля. \ео \задача Докажите, что любой дифференциальный оператор является локальным. \ез \задача[**] Пусть $M$ -- компактное многообразие. Докажите, что любой локальный оператор на $C^\infty M$ -- дифференциальный. \ез \задача[*] Пусть $M$ -- некомпактное многообразие. Найдите локальный оператор на $C^\infty M$, который не задается никаким дифференциальным оператором. \ез \определение {\бф Дифференциальный оператор порядка $\leq i$} есть эндоморфизм $D\in \End_\R(C^\infty M)$, полученный как линейная комбинация выражений вида $\Lie_{X_1} \Lie_{X_2}...\Lie_{X_d}$, где $d\leq i$, $X_i$ -- векторные поля, a $\Lie_{X_i}$ -- дифференцирования вдоль этих векторных полей. \ео \задача[*] Обозначим за $\Diff^i(M)$ пространство дифференциальных операторов порядка $\leq i$. Пусть $D$ есть оператор такой, что для любого векторного поля $X$, коммутатор $D$ и оператора $\Lie_X$ взятия производной вдоль $X$ лежит в $\Diff^{i-1}(M)$. Докажите, что $D\in \Diff^i(M)$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Продолжение локального оператора на пучок} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть ${\cal F}$, ${\cal G}$ -- пучки на многообразии $M$, ${\cal F}(M)$, ${\cal G}(M)$ -- пространство сечений. Оператор $\phi:\; {\cal F}(M)\arrow {\cal G}(M)$ называется {\бф локальным}, если если носитель $\phi(f)$ лежит в носителе $f$ для любого $f\in{\cal F}(M)$. Оператор $\phi$ {\бф продолжается на пучок}, если существует морфизм пучков $\tilde \phi:\; {\cal F} \arrow {\cal G}$ такой, что $\tilde \phi \restrict{{\cal F}(M)}= \phi$. \ео \замечание В этом разделе мы доказываем, что для пучков $C^\infty M$-модулей эти условия равносильны. \еза \задача Пусть $f\in {\cal F}(M)$ -- сечение, которое равно нулю на $U\subset M$, а $\phi:\; {\cal F}(M)\arrow {\cal G}(M)$ -- оператор, который продолжается на пучок. Докажите, что $\phi(f)$ тоже равно нулю на $U\subset M$. \ез \задача[!] Пусть ${\cal G}$, ${\cal F}$ -- пучки $C^\infty M$-модулей, а $\phi:\; {\cal F}(M)\arrow {\cal G}(M)$ -- оператор, который продолжается на пучок. Докажите, что он локальный. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача \label{_seche_pro_Zadacha_} Пусть $U\subset M$ -- открытое подмножество, ${\cal F}$ пучок, а $f\in {\cal F}(U)$ -- сечение с компактным носителем. Докажите, что существует единственное сечение $\tilde f\in {\cal F}(M)$, удовлетворяющее $\sup(\tilde f)=\sup(f)$ и $\tilde f\restrict U=f$. \ез \определение Говорится, что {\бф сечение $f\in {\cal F}(U)$ продолжается с $U$ на $M$}, если найдется $\tilde f\in {\cal F}(M)$, удовлетворяющее $\tilde f\restrict U=f$. \ео \определение Говорится, что {\бф пучок ${\cal F}$ допускает разбиение единицы}, если для любого открытого $U\subset M$, $f\in {\cal F}(U)$, и любого локально конечного покрытия $\{U_i\}$ множества $U$, найдется набор сечений $f_i$ с носителями в $U_i$ такой, что $f=\sum f_i$. \ео \замечание Чтобы придать смысл бесконечной сумме $f=\sum f_i$, воспользуйтесь локальной конечностью покрытия. \еза \задача Докажите, что любой пучок $C^\infty M$-модулей допускает разбиение единицы. \ез \NewVedomost \задача[!] Пусть ${\cal F}$, ${\cal G}$ -- пучки на $M$, причем ${\cal F}$ допускает разбиение единицы, а $\phi:\; {\cal F}(M)\arrow {\cal G}(M)$ -- локальный оператор. Докажите, что $\phi$ продолжается на пучок. \ез \указание Выведите из локальности $\phi$ то, что сумма $\sum \phi(f_i)$ корректно определена. \еу \задача Докажите, что любой дифференциальный оператор $\phi\in \End_\R(C^\infty M)$ продолжается на пучок. \ез \задача[!]\label{_diffe_puchok_Zadacha_} Докажите, что дифференцирования кольца гладких функций на многообразии $M$ образуют пучок. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Дифференцирования кольца} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\Der{\operatorname{Der}} \замечание Все кольца в этих листочках предполагаются коммутативными и с единицей. Алгебры над полем -- ассоциативные, но не обязательно коммутативные (например, матричная алгебра). Дифференцирование на кольце над $k$ есть $k$-линейное отображение $\delta$, удовлетворяющее $\delta(xy)=\delta(x) y+ x\delta(y)$. \еза \задача Пусть $D_1, D_2$ - дифференцирования. Докажите, что коммутатор $[D_1, D_2]:= D_1 D_2 - D_2 D_1$ это тоже дифференцирование. \ез \задача Пусть $D\in \Der_k(R)$ -- дифференцирование кольца, $I\subset R$ -- идеал. Докажите, что $D(I^k)\subset I^{k-1}$. \ез \замечание Пусть $R$ -- кольцо над полем $k$. Тогда $\Der_k(R)$ -- модуль над кольцом $R$, структура $R$-модуля определяется формулой $rD(f) = r D(f)$. \еза \задача Пусть $R= k[t_1, .., t_k]$ -- кольцо полиномов. Докажите, что $\Der_k(R)$ -- свободный модуль, изоморфный $R^n$, с образующими $\frac d {dt_1}, \frac d{dt_2}, ...,\frac d{dt_n}$ \ез \указание Постройте отображение $\Der_k(R) \arrow R^n$, \[ D \arrow (D(t_1), D(t_2), ..., D(t_n)) \] и докажите, что это изоморфизм. \еу \задача Докажите {\бф лемму Адамара:} каждая гладкая функция на $\R^n$ разлагается в сумму $f(x)= f(0)+ \sum_{i=1}^n x_i g_i(x)$, где $x_i$ -- координатные функции, а $g_i \in C^\infty \R^n$. \ез \задача Обозначим за ${\goth m}_x\subset C^\infty\R^n$ идеал всех функций, зануляющихся в $x\in \R^n$. Докажите, что он максимальный. \ез \задача[!] Докажите, что любая функция $f\in C^\infty\R^n$, зануляющаяся в $x$, и такая, что $f'(x)=0$, лежит в идеале ${\goth m}_x^2$. \ез \указание Воспользуйтесь леммой Адамара. \еу \определение Возьмем в $\R^n$ координаты $t_1, ..., t_n$. Определим отображение \[ \Der(C^\infty\R^n) \stackrel \Pi \arrow(C^\infty\R^n)^n, \] $D \arrow (D(t_1), D(t_2), ..., D(t_n))$. \ео \задача Докажите, что $\Pi$ -- наложение. \ез \замечание {\бф Аффинная функция} на $\R^n$ есть сумма линейной функции и константы. \еза \задача Пусть $f\in C^\infty\R^n$. Докажите, что для каждого $x\in \R^n$ найдется аффинная функция $l$ такая, что $f-l\in {\goth m}_x^2$ \ез \указание Воспользуйтесь леммой Адамара. \еу \задача Пусть $D \in \ker \Pi$. Докажите, что для каждой функции $f\in C^\infty\R^n$ и каждого $x\in \R^n$ имеет место $D(f)\in {\goth m}_x$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей \еу \задача[!] Докажите, что отображение \[ \Der(C^\infty\R^n) \stackrel \Pi \arrow(C^\infty\R^n)^n \] есть изоморфизм. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Докажите, что пучок $\Der(C^\infty M)$ дифференцирований кольца $C^\infty M$ (определенный в задаче \ref{_diffe_puchok_Zadacha_}) локально свободен как пучок $C^\infty M$-модулей. \ез \определение Пучок $\Der(C^\infty M)$ называется {\бф касательным расслоением} многообразия $M$. \ео \задача[*] Найдите нетривиальный элемент $\gamma\in\Der_\R(C^0\R)$ в пространстве дифференцирований кольца непрерывных функций, или докажите, что оно пусто. \ез \задача[**] Найдите нетривиальный элемент $\gamma\in\Der_\R(C^1\R)$ в пространстве дифференцирований кольца функций класса $C^1$, или докажите, что оно пусто. \ез \end{document}