\documentclass[10pt]{article} % version 1.0, 09.09.2013 % version 1.1, 11.09.2013 % version 1.2, 18.09.2013 2 minor corrections \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 18.09.2013} \newcommand{\firstdate}{09.09.2013} \addtolength{\topmargin}{-7mm} \addtolength{\textheight}{15mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-7mm} \addtolength{\textwidth}{15mm} \input{defs-listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{1}{Векторные расслоения 1: гладкие многообразия} {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Пучки, многообразия, гладкие структуры} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание Этот листок служит для напоминания о гладких многообразиях, разбиении единицы и векторных расслоениях. Он никак не предназначен для первого ознакомления с этими понятиями. \еза \задача \label{_diffeo_gla_fun_Zadacha_} Пусть $U, V$ -- открытые подмножества в $\R^n$, а $\phi:\; U \arrow V$ -- гомеоморфизм, переводящий гладкие функции в гладкие, причем обратный к нему тоже переводит гладкие в гладкие. Докажите, что это диффеоморфизм. \ез \замечание Мораль приведенной выше задачи: для выяснения класса гладкости отображения достаточно понимать, как оно действует на функциях. Это позволяет определять "гладкие многообразия" и "гладкие отображения" в терминах функций. \еза \определение {\бф Предпучок функций} на топологическом пространстве $M$ задается следующими данными. Для каждого открытого подмножества $U\subset M$, задано подкольцо ${\cal F}(U)\subset F(U)$ в кольце $F(U)$ функций на $U$, причем ограничение функции $\gamma\in {\cal F}(U)$ с открытого множества $U$ на подмножество $U_1 \subset U$ принадлежит ${\cal F}(U_1)$. Предпучок функций называется {\бф пучком}, если эти подкольца удовлетворяют следующему условию. Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$ набор функций, заданных для каждого элемента покрытия, и удовлетворяющих условию \[ f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j}, \] для любой пары элементов покрытия. Тогда существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения $f$ на $U_i$ дает $f_i$. \ео \определение {\бф Окольцованное пространство} есть пространство с заданным на нем пучком функций, которые образуют кольцо по отношению к обычным операциям умножения и сложения. \ео \замечание Окольцованные пространства образуют категорию. Морфизмы окольцованных пространств определяются так. Пусть $A, {\cal F}$ и $B, {\cal G}$ -- окольцованные пространства, а $\phi:\; A \arrow B$ непрерывное отображение, такое, что $\phi^* ({\cal G}) \subset {\cal A}$; тогда $\phi$ называется морфизмом. Изоморфизм окольцованных пространств есть морфизм, заданный гомеоморфизмом, обратный к которому -- тоже морфизм. \еза \задача[*] Рассмотрим окольцованное пространство $(\R^n, C^i)$, с функциями, которые $i$-кратно дифференцируемы. Опишите все морфизмы из $(\R^n, C^{i+1})$ в $(\R^n, C^{i})$. \ез \определение {\бф Многообразие} есть топологическое пространство, локально гомеоморфное $\R^n$. {\бф Гладкое многообразие} есть окольцованное пространство, локально изоморфное $\R^n$ с пучком гладких функций на нем. \ео \замечание Изоморфизм гладких многообразий называется {\бф диффеоморфизмом}. Это гомеоморфизм, который переводит гладкие функции в гладкие. \еза %\задача[*] %Пусть $U\subset \R^2$ -- открытое подмножество, которое %гомеоморфно $\R^2$. Докажите, что оно диффеоморфно $\R^2$. %\ез %\задача[**] %Пусть $U\subset \R^33$ -- открытое подмножество, которое %гомеоморфно $\R^3$. Докажите, что оно диффеоморфно %$\R^3$, или найдите контрпример. %\ез \определение {\бф Покрытием} топологического пространства называется набор открытых множеств $\{U_i\}$ такой, что $\bigcup_i U_i = U$. {\бф Измельчением} покрытия $\{U_i\}$ называется покрытие $\{V_i\}$ такое, что каждое $V_i$ лежит в каком-то из $U_i$. \ео \задача Докажите, что любые два покрытия топологического пространства имеют одинаковое измельчение. \ез \определение Покрытие $\{U_i\}$ многообразия называется {\бф атласом}, если для каждого $U_i$ задано отображение $\phi_i :\; U_i \arrow \R^n$, которое задает гомеоморфизм из $U_i$ на открытое подмножество в $\R^n$. {\бф Отображения перехода} суть отображения \[ \Phi_{ij}:\; \phi_i(U_i \cap U_j) \arrow \phi_i(U_i \cap U_j) \] индуцированные этими гомеоморфизмами. Атлас называется {\бф гладким}, если все отображения перехода гладкие. \ео \задача Пусть $M$ -- гладкое многообразие, а $\{U_i\}$ покрытие $M$, такое, что каждое $U_i$ изоморфно $\R^n$ с пучком гладких функций на нем. Докажите, что $\{U_i\}$ -- гладкий атлас $M$. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_diffeo_gla_fun_Zadacha_}. \еу \определение Пусть $\{U_i, \phi_i\}$ -- гладкий атлас на многообразии $M$. Функция $f$ на $M$ называется {\бф гладкой в координатах, заданных атласом $\{U_i\}$}, если \\ $(\phi^{-1})^*(f\restrict{U_i})$ -- гладкая функция для каждого $i$. \ео \задача Докажите, что функции, гладкие в координатах, заданных атласом, образуют пучок. \ез \определение Гладкие атласы эквивалентны, если соответствующие пучки гладких функций совпадают. {\бф Гладкая структура} на многообразии есть класс эквивалентности гладких атласов. \ео \задача Приведите пример двух неэквивалентных гладких структур на $\R$. \ез \задача Докажите, что множество классов эквивалентности гладких структур на многообразии со счетной базой имеет мощность не больше континуума. \ез \задача[!] Докажите, что гладкая структура на $\R$ единственна с точностью до изоморфизма. \ез \задача[**] Докажите, что гладкая структура на $S^2$ единственна с точностью до изоморфизма. \ез \определение Пусть $(M, {\cal F})$ -- топологическое многообразие с заданным на нем пучком функций. Оно называется {\бф гладким многообразием класса $C^i$ или $C^\infty$}, если у каждой точки $(M, {\cal F})$ есть окрестность, изоморфная окольцованному пространству $(\R^n, {\cal F}')$, где ${\cal F}'$ -- функции той же гладкости на $\R^n$. Многообразия класса гладкости $C^0$ называются {\бф топологическими многообразиями}; это топологические пространства, локально гомеоморфные $\R^n$. \ео \задача[**] Пусть $(M, {\cal F})$ -- компактное многообразие класса гладкости $C^1$. Докажите, что у ${\cal F}$ есть подпучок ${\cal F}'\subset {\cal F}$ такой, что $(M, {\cal F})'$ -- многообразие класса гладкости $C^2$. \ез \указание Воспользуйтесь теоремой Уитни о вложении. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Разбиение единицы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $M$ -- многообразие класса гладкости $C^i$ или $C^\infty$, а $\{U_i\}$ -- локально конечное покрытие. {\бф Разбиением единицы, подчиненным покрытию $\{U_i\}$} называется набор функций $f_i:\; M \arrow [0,1]$ того же класса гладкости, пронумерованный тем же набором индексов, что $U_i$, и удовлетворяющий следующим условиям. (а) Каждая из функций $f_i$ имеет компактный носитель и зануляется вне соответствующего $U_i$ (б) $\sum_i f_i =1$ \ео \задача Докажите, что многообразие, допускающее разбиение единицы, метризуемо (допускает метрику, индуцирующую ту же топологию). \ез \задача[!] Докажите, что каждое компактное топологическое многообразие допускает разбиение единицы. \ез \задача[!] Пусть $Z,Z'\subset M$ -- непересекающиеся замкнутые подмножества компактного топологического многообразия. Докажите, что найдется непрерывная функция, которая равна 1 на $Z$ и 0 на $Z'$. \ез \задача[*] Пусть $Z\subset M$ -- подмногообразие компактного топологического многообразия. Докажите, что каждую непрерывную функцию $f:\; Z \arrow \R$ можно продолжить до непрерывной функции $M \arrow \R$. \ез \определение Пусть $(X, \prec)$ -- частично упорядоченное множество. Если для каких-то $x, y\in X$ имеет место $x\prec y$, $x=y$, либо $y\prec x$, мы говорим, что $x$ и $y$ {\бф сравнимы}. Отношение $\prec$ называется {\бф отношением линейного порядка} (total order), если любые два элемента сравнимы. Множество $(X, \prec)$ с отношением линейного порядка называется {\бф линейно упорядоченное множество}. Линейно упорядоченные множества также называются {\бф монотонно упорядоченными}, или просто {\бф упорядоченными}. \ео \определение Пусть $(X, \prec)$ -- линейно упорядоченное множество, а $Y \subset X$ -- его подмножество. Элемент $y_0\in Y$ называется {\бф минимальным}, если для любого $y\in Y$, имеем $y_0\preccurlyeq y$. Линейно упорядоченное множество называется {\бф вполне упорядоченным} (well-ordered set), если любое его подмножество имеет минимальный элемент. Отношение порядка на таком множестве называется {\бф отношение полного порядка}. \ео \определение Два вполне упорядоченных множества называются {\бф изоморфными}, если между ними есть биекция, сохраняющая порядок. Классы изоморфизма вполне упорядоченных множеств называются {\бф ординалами}, или же {\бф ординальными числами}. \ео \замечание Нетрудно доказать, что любые два ординала сравнимы: либо первый из них изоморфен начальному отрезку во втором, либо второй -- начальному отрезку в первом. Это задает отношение линейного порядка на ординалах, превращая любой набор ординалов во вполне упорядоченное множество. \еза \определение {\бф Минимальный несчетный ординал} обозначается $\omega_1$. \ео \определение {\бф Луч Александрова} есть множество $\R^{\geq 0}\times \omega_1$ снабженное линейным порядком и топологией, следующим образом. Если ординал $\xi$ меньше $\xi'$, то $(x,\xi)\prec(x',\xi')$, а если $\xi=\xi'$, то $(x,\xi)\prec(x',\xi')$ если $x< x'$. Базой топологии на луче Александрова являются интервалы вида $](x,\xi), (x',\xi')[$. {\бф Прямая Александрова} есть объединение двух лучей, склеенное в нуле. \ео \задача Докажите, что прямая Александрова является топологическим многообразием, а луч Александрова -- многообразием с краем. \ез \задача Докажите, что любая возрастающая последовательность на прямой Александрова сходится. \ез \задача Докажите, что любая последовательность на прямой Александрова имеет сходящуюся подпоследовательность. \ез \задача[!] Докажите, что прямая Александрова не компактна. \ез \задача[!] Докажите, что прямая Александрова не метризуема. \ез \задача[*] Докажите, что прямая Александрова не допускает разбиения единицы. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Векторные расслоения} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание Начиная от настоящего момента, вы можете свободно пользоваться теоремой о существовании разбиения единицы на метризуемом гладком многообразии. \еза \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство. {\бф Пучок} ${\cal F}$ на $M$ это набор векторных пространств ${\cal F}(U)$, заданных для каждого открытого подмножества $U\subset M$, с {\бф отображениями ограничения} -- гомоморфизмами ${\cal F}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal F}(U')$, заданными для каждого $U'\subset U$, и удовлетворяющие следующим свойствам. \begin{description} \item[(а)] Композиция ограничений -- снова ограничение: если $U_1\subset U_2 \subset U_3$ вложенные открытые множества, а \[ {\cal F}(U_1) \stackrel{\phi_{U_1,U_2}}\arrow {\cal F}(U_2) \stackrel{\phi_{U_2,U_3}}\arrow {\cal F}(U_3) \] соответствующие им отображения ограничений, то $\phi_{U_1,U_2}\circ \phi_{U_2,U_3}=\phi_{U_1,U_3}$. \item[(б)] Если $U\subset M$ есть объединение открытых множеств $U_i\subset U$, а ограничение $f\in {\cal F}(U)$ на все $U_i$ равно нулю, то $f=0$. \item[(в)] Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$ набор сечений, заданных для каждого элемента покрытия, и удовлетворяющих условию \[ f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j}, \] для любой пары элементов покрытия. Тогда существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения $f$ на $U_i$ дает $f_i$. \end{description} Пространство ${\cal F}(U)$ называется {\бф пространство сечений пучка ${\cal F}$ над $U$}. Отображение ограничения na $U$ часто обозначается $f \arrow f\restrict U$ \ео \замечание Для пучка функций условия (а) и (б) выполняются автоматически. \еза \определение {\бф Пространство глобальных сечений} пучка ${\cal F}$ на $M$ это ${\cal F}(M)$. \ео \задача Постройте ненулевой пучок, у которого нулевое пространство глобальных сечений. \ез \замечание Пусть $A:\; \phi \arrow B$ -- гомоморфизм колец, а $V$ -- $B$-модуль. Тогда на $V$ есть естественная структура $A$-модуля, $a v:= \phi(a) v$. \еза \определение Пусть ${\cal F}$ есть пучок функций, замкнутый относительно умножения, а ${\cal B}$ - пучок на топологическом пространстве $M$. Он называется {\бф пучком ${\cal F}$-модулей}, если для каждого $U$, пространство сечений ${\cal B}(U)$ наделено структурой ${\cal F}(U)$-модуля, причем для каждого $U'\subset U$, отображение ограничения ${\cal B}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal B}(U')$, задают гомоморфизм ${\cal F}(U)$-модулей (воспользуйтесь предыдущим замечанием, чтобы получить на ${\cal B}(U')$ структуру ${\cal F}(U)$-модуля). \ео \задача[!] Пусть $M$ -- гладкое многообразие, а $F$ -- пучок $C^\infty M$-модулей, пространство глобальных сечений которого тривиально. Докажите, что $F$ -- нулевой пучок. \ез \определение {\бф Тривиальный пучок модулей} ${\cal F}^n$ над пучком функций ${\cal F}$ сопоставляет каждому $U$ пучок ${\cal F}^n(U)$. \ео \определение {\бф Локально тривиальный пучок модулей} над пучком функций ${\cal F}$ это такой пучок ${\cal B}$, что у каждой точки $x\in M$ найдется окрестность $U$ такая, что ограничение ${\cal B}\restrict U$ тривиально. \ео \определение {\бф Векторное расслоение} на гладком многообразии $M$ есть локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей. \ео \задача[*] Пусть $B_1$, $B_2$ -- два векторных расслоения над $M$ таких, что пространства сечений $B_1(M)$ и $B_2(M)$ изоморфны как $C^\infty (M)$-модули. Докажите, что $B_1$ и $B_2$ изоморфны. \ез \определение Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, а $\{U_i\}$ его покрытие. {\бф 1-коцикл} со значениями в $G$ есть набор функций $U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow G$, удовлетворяющих следующим условиям: 1. $\phi_{ij}=\phi_{ji}^{-1}$ 2. $\phi_{ij}\phi_{jk}=\phi_{ik}$. \ео \задача Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, $\{U_i\}$ его покрытие, a $U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow G$ -- 1-коцикл. Рассмотрим набор отображений $\psi_i :\; U_i \arrow G$, и пусть $\phi_{ij}':\; U_i\cap U_j\arrow G$ -- отображение, заданное формулой $\phi_{ij}'=\psi_i^{-1} \phi_{ij}\psi_j$. Докажите, что это тоже коцикл. \ез \определение Два 1-коцикла называются {\бф кограничными}, если один из них получен из другого вышеописанной процедурой. \ео \задача Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, $\{U_i\}$ его покрытие, а ${\goth G}$ -- группа всех отображений $\coprod U_i \arrow G$. Постройте действие ${\goth G}$ на множестве 1-коциклов, таким образом, что кограничные 1-коциклы лежат в одной орбите ${\goth G}$. \ез \задача Пусть $B$ -- $n$-мерное векторное расслоение над $M$, а $\{U_i\}$ -- покрытие $M$, такое, что $B\restrict {U_i}$ -- тривиальный $C^\infty$-модуль. Зафиксируем тривиализации $B\restrict {U_i}$ и рассмотрим базисы в $B\restrict {U_i}$ и $B\restrict {U_j}$, определенные этими тривиализациями. Пусть $U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow GL(n)$ -- функции перехода от одного базиса к другому. \енум \итем Докажите, что $\phi_{ij}$ задает 1-коцикл. \итем Докажите, что два расслоения изоморфны $\Leftrightarrow$ соответствующие коциклы кограничны. \ее \ез \задача Докажите, что векторное расслоение однозначно задается покрытием, где оно тривиализовано, и функциями перехода, удовлетворяющими уравнению коцикла. \ез \задача[*] Постройте нетривиальное векторное расслоение $B$ над каким-\-ни\-будь многообразием $M$, такое, что прямая сумма $B$ и тривиального расслоения тривиальна. \ез \задача[*] Пусть $M$ -- компактное четномерное многообразие. Постройте нетривиальное векторное расслоение над $M$. \ез %\задача[**] %Пусть $M$ -- компактное нечетномерное многообразие. %Постройте нетривиальное векторное расслоение над $M$. %\ез %\задача[*] %Пусть $M$ -- многообразие, которое стягиваемо (гомотопически %эквивалентно точке). Докажите, что любое векторное расслоение над %$M$ тривиально. %\ез \end{document}