\documentclass[10pt]{article}

% version 1.0, 09.09.2013 
% version 1.1, 11.09.2013
% version 1.2, 18.09.2013 2 minor corrections

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   18.09.2013}
\newcommand{\firstdate}{09.09.2013}


\addtolength{\topmargin}{-7mm}
\addtolength{\textheight}{15mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-7mm}
\addtolength{\textwidth}{15mm}

\input{defs-listki.tex}



\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{1}{Векторные расслоения 1: гладкие многообразия}


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает
$2t$ баллов,
если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Пучки, многообразия, гладкие структуры}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\замечание
Этот листок служит для напоминания о гладких
многообразиях, разбиении единицы и векторных
расслоениях. Он никак не предназначен для первого
ознакомления с этими понятиями. 
\еза

\задача
\label{_diffeo_gla_fun_Zadacha_}
Пусть $U, V$ -- открытые подмножества в $\R^n$, 
а $\phi:\; U \arrow V$ -- гомеоморфизм, переводящий
гладкие функции в гладкие, причем обратный к нему
тоже переводит гладкие в гладкие. Докажите, что это диффеоморфизм.
\ез

\замечание
Мораль приведенной выше задачи:
для выяснения класса гладкости отображения
достаточно понимать, как оно действует на функциях.
Это позволяет определять "гладкие многообразия" и "гладкие
отображения" в терминах функций.
\еза


\определение
{\бф Предпучок функций} на топологическом пространстве
$M$ задается следующими данными. Для каждого
открытого подмножества $U\subset M$, задано
подкольцо ${\cal F}(U)\subset F(U)$ в кольце
$F(U)$ функций на $U$, причем ограничение
функции $\gamma\in {\cal F}(U)$ с открытого множества 
$U$ на подмножество $U_1 \subset U$ принадлежит 
${\cal F}(U_1)$. Предпучок функций называется
{\бф пучком}, если эти подкольца
удовлетворяют следующему
условию. Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие 
множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$
набор функций, заданных для каждого элемента
покрытия, и удовлетворяющих условию
\[ f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j},
\]
для любой пары элементов покрытия. Тогда
существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения
$f$ на $U_i$ дает $f_i$.
\ео

\определение
{\бф Окольцованное пространство} есть пространство с заданным на
нем пучком функций, которые образуют кольцо по отношению к обычным
операциям умножения и сложения.
\ео

\замечание
Окольцованные пространства образуют категорию.
Морфизмы окольцованных пространств определяются так.
Пусть $A, {\cal F}$ и $B, {\cal G}$ -- окольцованные пространства,
а $\phi:\; A \arrow B$ непрерывное отображение, такое, что
$\phi^* ({\cal G}) \subset {\cal A}$; тогда $\phi$ называется
морфизмом. Изоморфизм окольцованных пространств есть
морфизм, заданный гомеоморфизмом, обратный к которому -- тоже морфизм.
\еза

\задача[*]
Рассмотрим окольцованное пространство
$(\R^n, C^i)$, с функциями, которые $i$-кратно
дифференцируемы. Опишите все морфизмы
из $(\R^n, C^{i+1})$ в $(\R^n, C^{i})$.
\ез

\определение
{\бф Многообразие} есть топологическое пространство,
локально гомеоморфное $\R^n$.
{\бф Гладкое многообразие} есть окольцованное пространство,
локально изоморфное $\R^n$ с пучком гладких функций на нем.
\ео

\замечание
Изоморфизм гладких многообразий называется {\бф
  диффеоморфизмом}. Это гомеоморфизм, который
переводит гладкие функции в гладкие.
\еза

%\задача[*]
%Пусть $U\subset \R^2$ -- открытое подмножество, которое
%гомеоморфно $\R^2$. Докажите, что оно диффеоморфно $\R^2$.
%\ез

%\задача[**]
%Пусть $U\subset \R^33$ -- открытое подмножество, которое
%гомеоморфно $\R^3$. Докажите, что оно диффеоморфно
%$\R^3$, или найдите контрпример.
%\ез

\определение
{\бф Покрытием} топологического пространства
называется набор открытых множеств $\{U_i\}$ такой, что
$\bigcup_i U_i = U$. {\бф Измельчением} покрытия $\{U_i\}$
называется покрытие $\{V_i\}$ такое, что каждое
$V_i$ лежит в каком-то из $U_i$. 
\ео


\задача
Докажите, что любые два покрытия топологического
пространства имеют одинаковое измельчение.
\ез


\определение
Покрытие $\{U_i\}$ многообразия называется
{\бф атласом}, если для каждого $U_i$ задано
отображение $\phi_i :\; U_i \arrow \R^n$, которое
задает гомеоморфизм из $U_i$ на открытое подмножество в $\R^n$. 
{\бф Отображения перехода} суть отображения
\[
\Phi_{ij}:\; \phi_i(U_i \cap U_j) \arrow \phi_i(U_i \cap U_j) 
\]
индуцированные этими гомеоморфизмами.
Атлас называется {\бф гладким}, если все 
отображения перехода гладкие.
\ео

\задача
Пусть $M$ -- гладкое многообразие,
а $\{U_i\}$ покрытие $M$, такое, что 
каждое $U_i$ изоморфно $\R^n$ с пучком гладких функций на нем.
Докажите, что $\{U_i\}$ -- гладкий атлас $M$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачей 
\ref{_diffeo_gla_fun_Zadacha_}.
\еу

\определение
Пусть $\{U_i, \phi_i\}$ -- гладкий атлас на многообразии $M$.
Функция $f$ на $M$ называется {\бф гладкой в координатах,
заданных атласом $\{U_i\}$}, если \\ $(\phi^{-1})^*(f\restrict{U_i})$ --
гладкая функция для каждого $i$.
\ео

\задача
Докажите, что функции, гладкие в координатах, заданных
атласом, образуют пучок.
\ез

\определение
Гладкие атласы эквивалентны, если соответствующие
пучки гладких функций совпадают. {\бф Гладкая структура}
на многообразии есть класс эквивалентности гладких атласов.
\ео


\задача
Приведите пример двух неэквивалентных гладких
структур на $\R$.
\ез


 
\задача
Докажите, что множество классов эквивалентности
гладких структур на многообразии со счетной базой
имеет мощность не больше континуума.
\ез


\задача[!]
Докажите, что гладкая структура
на $\R$ единственна с точностью до изоморфизма.
\ез

\задача[**]
Докажите, что гладкая структура на $S^2$ единственна
с точностью до изоморфизма.
\ез


\определение
Пусть $(M, {\cal F})$ -- топологическое многообразие
с заданным на нем пучком функций.
Оно называется {\бф гладким многообразием класса
$C^i$ или $C^\infty$}, если у каждой точки $(M, {\cal F})$
есть окрестность, изоморфная окольцованному пространству
$(\R^n, {\cal F}')$, где ${\cal F}'$ -- функции той же гладкости
на $\R^n$.  Многообразия класса гладкости $C^0$ называются
{\бф топологическими многообразиями}; это топологические
пространства, локально гомеоморфные $\R^n$.
\ео


\задача[**]
Пусть $(M, {\cal F})$ -- компактное многообразие класса гладкости
$C^1$. Докажите, что у ${\cal F}$ есть подпучок 
${\cal F}'\subset {\cal F}$ такой, что 
$(M, {\cal F})'$ -- многообразие класса гладкости
$C^2$.
\ез

\указание Воспользуйтесь теоремой Уитни о вложении.
\еу


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Разбиение единицы}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $M$ -- многообразие класса гладкости $C^i$ или
$C^\infty$, а $\{U_i\}$ -- локально
конечное покрытие. {\бф Разбиением единицы, подчиненным
покрытию $\{U_i\}$} называется набор 
функций $f_i:\; M \arrow [0,1]$ того же класса гладкости,
пронумерованный тем же набором индексов, что $U_i$, 
и удовлетворяющий следующим условиям.

(а) Каждая из функций $f_i$ имеет компактный носитель и 
зануляется вне соответствующего $U_i$

(б) $\sum_i f_i =1$
\ео

\задача
Докажите, что многообразие, допускающее 
разбиение единицы, метризуемо (допускает метрику,
индуцирующую ту же топологию).
\ез

\задача[!]
Докажите, что каждое компактное топологическое многообразие допускает
разбиение единицы.
\ез

\задача[!]
Пусть $Z,Z'\subset M$ -- 
непересекающиеся замкнутые подмножества компактного
топологического многообразия.
Докажите, что найдется непрерывная функция, 
которая равна 1 на $Z$ и 0 на $Z'$.
\ез

\задача[*] 
Пусть $Z\subset M$ -- подмногообразие 
компактного топологического многообразия.
Докажите, что каждую непрерывную
функцию $f:\; Z \arrow \R$ можно продолжить до непрерывной
функции $M \arrow \R$.
\ез


\определение
Пусть $(X, \prec)$ -- частично
упорядоченное множество. Если для каких-то $x, y\in X$ имеет
место  $x\prec y$, $x=y$, либо $y\prec x$, мы говорим,
что $x$ и $y$ {\бф сравнимы}.
Отношение $\prec$ называется {\бф отношением линейного
порядка} (total order), если любые два элемента сравнимы. Множество
$(X, \prec)$ с отношением линейного порядка
называется {\бф линейно упорядоченное множество}.

Линейно упорядоченные множества также называются
{\бф монотонно упорядоченными}, или просто {\бф упорядоченными}.
\ео

\определение
Пусть $(X, \prec)$ -- линейно
упорядоченное множество, а $Y \subset X$ -- его
подмножество. Элемент $y_0\in Y$ называется {\бф
минимальным}, если  для любого $y\in Y$, 
имеем $y_0\preccurlyeq y$. Линейно упорядоченное
множество называется {\бф вполне упорядоченным}
(well-ordered set),
если любое его подмножество имеет минимальный
элемент. Отношение порядка на таком множестве
называется {\бф отношение полного порядка}.
\ео


\определение
Два вполне упорядоченных множества называются
{\бф изоморфными}, если между ними есть
биекция, сохраняющая порядок. Классы изоморфизма
вполне упорядоченных множеств называются
{\бф ординалами}, или же {\бф ординальными числами}.
\ео


\замечание
Нетрудно доказать, что любые два ординала сравнимы:
либо первый из них изоморфен начальному отрезку во втором, либо
второй -- начальному отрезку в первом. Это задает отношение 
линейного порядка
на ординалах, превращая любой набор ординалов во вполне
упорядоченное множество.
\еза

\определение
{\бф Минимальный несчетный ординал} обозначается
$\omega_1$.
\ео

\определение
{\бф Луч Александрова} есть множество $\R^{\geq 0}\times \omega_1$
снабженное линейным порядком и топологией, следующим образом.
Если ординал $\xi$ меньше $\xi'$, то
$(x,\xi)\prec(x',\xi')$, а если $\xi=\xi'$, то $(x,\xi)\prec(x',\xi')$ если $x< x'$.
Базой топологии на луче Александрова являются
интервалы вида $](x,\xi), (x',\xi')[$. {\бф Прямая
Александрова} есть объединение двух лучей, склеенное в нуле.
\ео

\задача
Докажите, что прямая Александрова является топологическим
многообразием, а луч Александрова -- многообразием с краем.
\ез

\задача
Докажите, что любая возрастающая последовательность
на прямой Александрова сходится.
\ез

\задача
Докажите, что любая последовательность на прямой
Александрова имеет сходящуюся подпоследовательность.
\ез

\задача[!]
Докажите, что прямая Александрова не компактна.
\ез

\задача[!]
Докажите, что прямая Александрова не метризуема.
\ез

\задача[*]
Докажите, что прямая Александрова не допускает
разбиения единицы.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Векторные расслоения}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\замечание
Начиная от настоящего момента,
вы можете свободно пользоваться теоремой
о существовании разбиения единицы на метризуемом
гладком многообразии.
\еза

\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство.
{\бф Пучок} ${\cal F}$ на $M$  это набор векторных
пространств ${\cal F}(U)$, заданных для каждого открытого
подмножества $U\subset M$, с {\бф отображениями
ограничения} -- гомоморфизмами ${\cal F}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal F}(U')$,
заданными для каждого $U'\subset U$, и удовлетворяющие
следующим свойствам.
\begin{description}
\item[(а)] Композиция ограничений -- снова ограничение:
если $U_1\subset U_2 \subset U_3$ вложенные открытые
множества, а 
\[
{\cal F}(U_1) \stackrel{\phi_{U_1,U_2}}\arrow {\cal
F}(U_2) \stackrel{\phi_{U_2,U_3}}\arrow {\cal F}(U_3)
\]
соответствующие им отображения ограничений, то 
$\phi_{U_1,U_2}\circ \phi_{U_2,U_3}=\phi_{U_1,U_3}$.

\item[(б)] Если $U\subset M$ есть объединение
открытых множеств $U_i\subset U$, а ограничение 
$f\in {\cal F}(U)$ на все $U_i$ равно нулю, то
$f=0$.


\item[(в)]  Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие 
множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$
набор сечений, заданных для каждого элемента
покрытия, и удовлетворяющих условию
\[ f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j},
\]
для любой пары элементов покрытия. Тогда
существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения
$f$ на $U_i$ дает $f_i$.
\end{description}
Пространство ${\cal F}(U)$ называется {\бф 
пространство сечений пучка ${\cal F}$ над $U$}.
Отображение ограничения na $U$ часто обозначается
$f \arrow f\restrict U$
\ео

\замечание
Для пучка функций условия (а) и (б) выполняются автоматически.
\еза


\определение
{\бф Пространство глобальных сечений} пучка
${\cal F}$ на $M$ это ${\cal F}(M)$.
\ео

\задача
Постройте ненулевой пучок, 
у которого нулевое пространство глобальных сечений.
\ез


\замечание
Пусть $A:\; \phi \arrow B$ -- гомоморфизм колец, а
$V$ -- $B$-модуль. Тогда на $V$ есть естественная
структура $A$-модуля, $a v:= \phi(a) v$.
\еза



\определение
Пусть ${\cal F}$ есть пучок функций, замкнутый
относительно умножения, а ${\cal B}$ -
пучок на топологическом пространстве $M$.
Он называется {\бф пучком ${\cal F}$-модулей},
если для каждого $U$, пространство сечений
${\cal B}(U)$ наделено структурой ${\cal F}(U)$-модуля, 
причем для каждого $U'\subset U$, отображение ограничения 
${\cal B}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal B}(U')$,
задают гомоморфизм ${\cal F}(U)$-модулей
(воспользуйтесь предыдущим замечанием, чтобы
получить на ${\cal B}(U')$ структуру ${\cal
F}(U)$-модуля).
\ео


\задача[!]
Пусть $M$ -- гладкое многообразие, а $F$ -- пучок
$C^\infty M$-модулей, пространство глобальных сечений
которого тривиально. Докажите, что $F$ -- нулевой пучок.
\ез


\определение
{\бф Тривиальный пучок модулей} ${\cal F}^n$ над пучком
функций ${\cal F}$ сопоставляет каждому $U$ пучок
${\cal F}^n(U)$. 
\ео

\определение
{\бф Локально тривиальный пучок модулей} над пучком
функций ${\cal F}$ это такой пучок ${\cal B}$, что у 
каждой точки $x\in M$ найдется окрестность $U$
такая, что ограничение ${\cal B}\restrict U$ тривиально.
\ео

\определение
{\бф Векторное расслоение} на гладком многообразии $M$
 есть локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей.
\ео

\задача[*]
Пусть $B_1$, $B_2$ -- два векторных расслоения над $M$
таких, что пространства сечений $B_1(M)$ и
$B_2(M)$ изоморфны как $C^\infty (M)$-модули.
Докажите, что $B_1$ и $B_2$ изоморфны.
\ез

\определение
Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, а $\{U_i\}$ его покрытие.
{\бф 1-коцикл} со значениями в $G$ есть набор функций
$U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow G$, удовлетворяющих
следующим условиям: 1. $\phi_{ij}=\phi_{ji}^{-1}$ 2.
$\phi_{ij}\phi_{jk}=\phi_{ik}$. 
\ео

\задача
Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, $\{U_i\}$ его
покрытие,
a $U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow G$ -- 1-коцикл.
Рассмотрим набор отображений $\psi_i :\; U_i \arrow G$,
и пусть $\phi_{ij}':\; U_i\cap U_j\arrow G$ --
отображение, заданное формулой 
$\phi_{ij}'=\psi_i^{-1} \phi_{ij}\psi_j$.
Докажите, что это тоже коцикл.
\ез

\определение
Два 1-коцикла называются {\бф кограничными}, если
один из них получен из другого вышеописанной процедурой.
\ео

\задача
Пусть $G$ -- группа, $M$ -- многообразие, $\{U_i\}$ его
покрытие, а ${\goth G}$ -- группа всех отображений
$\coprod U_i \arrow G$. 
Постройте действие ${\goth G}$ на множестве
1-коциклов, таким образом, что кограничные
1-коциклы лежат в одной орбите ${\goth G}$. 
\ез


\задача
Пусть $B$ -- $n$-мерное векторное расслоение над $M$,
а $\{U_i\}$ -- покрытие $M$, такое, что $B\restrict {U_i}$
-- тривиальный $C^\infty$-модуль. Зафиксируем
тривиализации $B\restrict {U_i}$ и рассмотрим базисы в
$B\restrict {U_i}$ и $B\restrict {U_j}$, определенные
этими тривиализациями. Пусть 
$U_i\cap U_j\stackrel{\phi_{ij}}\arrow GL(n)$ --
функции перехода от одного базиса к другому.
\енум
\итем Докажите, что $\phi_{ij}$ задает 1-коцикл.
\итем Докажите, что два расслоения изоморфны
$\Leftrightarrow$ соответствующие коциклы кограничны.
\ее
\ез

\задача
Докажите, что векторное расслоение однозначно задается покрытием,
где оно тривиализовано, 
и функциями перехода, удовлетворяющими уравнению коцикла.
\ез


\задача[*]
Постройте нетривиальное векторное расслоение $B$ над
каким-\-ни\-будь многообразием $M$, такое, что прямая
сумма $B$ и тривиального расслоения тривиальна.
\ез


\задача[*]
Пусть $M$ -- компактное четномерное многообразие.
Постройте нетривиальное векторное расслоение над $M$.
\ез

%\задача[**]
%Пусть $M$ -- компактное нечетномерное многообразие.
%Постройте нетривиальное векторное расслоение над $M$.
%\ез


%\задача[*]
%Пусть $M$ -- многообразие, которое стягиваемо (гомотопически
%эквивалентно точке). Докажите, что любое векторное расслоение над 
%$M$ тривиально.
%\ез







\end{document}
