\documentclass[10pt]{article}

\input{defs-listki.tex}

% version 1.0, 30.10.2013

\addtolength{\topmargin}{-25mm}
\addtolength{\textheight}{50mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}


\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   30.10.2013}

\newcommand{\firstdate}{04.11.2013}

\begin{document}

\listok{2}{Векторные расслоения, контрольная 2:\\
 связности и расслоения}
\lhead{\small Векторные расслоения, контрольная 2}

{\scriptsize
Число очков за это задание вычисляется по формуле
$1,5 s- 0,3(\max(1,5 s, 20)$, где $s$ -- сумма баллов за задачи.
Решение письменное, сдается до 20:30 понедельника, 4-го 
ноября.
}

\subsection{Расслоения и формы}

\определение
{\бф Псевдориманова метрика} есть невырожденная,
симметрическая форма $g\in \Sym^2T^*M$. {\бф Сигнатура}
псевдоримановой метрики есть сигнатура ее ограничения на 
любой из слоев.
\ео

\задача[2 балла]
Постройте псевдориманову метрику сигнатуры $(1,1)$ на 
двумерной сфере $S^2$, или докажите, что она не существует.
\ез


\задача
Постройте псевдориманову метрику сигнатуры $(2,1)$ на 
трехмерной сфере $S^3$, или докажите, что она не существует.
\ез

\определение
{\бф Симплектическая форма} на многообразии
есть замкнутая, невырожденная 2-форма.
\ео

\задача
Постройте симплектическую форму на
четырехмерной сфере $S^4$, или докажите, что она не существует.
\ез

\задача
Группа $G=SO(2n)$ действует на $S^{2n-1}$ обычным образом.
Докажите, что на $S^{2n-1}$ нет ненулевых $G$-инвариантных
1-форм.
\ез

\задача
Пусть $g$ --  $SO(2n)$-инвариантная псевдориманова
метрика на $S^{2n-1}$. Докажите, что $g$ положительно
определена либо отрицательно определена.
\ез

\subsection{Дифференциальные формы и связности}

\задача[2 балла]
Пусть $\Omega$ -- замкнутая дифференциальная форма на $M$.
Определим $\ker \Omega$ как пучок векторных полей
$X\in TM$ таких, что $\Omega\cntrct X=0$, где $\Omega\cntrct X$
есть результат подстановки, $\Omega\cntrct X:=\Omega(X,...)$.
Докажите, что $\forall X, Y\in \ker \Omega$, имеет место
$[X,Y]\in \ker\Omega$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $\nabla:\; B \arrow B\otimes\Lambda^1M$ -- связность
на расслоении $B$. Докажите, что для любого сечения
$\nu\in B\otimes\Lambda^1M$ найдется $\eta\in B$ такой, что
$\nabla\eta=\nu$, или найдите контрпример.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $B\subset TM$ -- подрасслоение постоянного ранга. 
Докажите, что существует связность $\nabla:\; TM \arrow TM\otimes\Lambda^1M$
такая, что $\nabla(B)\subset B\otimes \Lambda^1M$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $B\subset TM\otimes TM$ -- подрасслоение постоянного ранга. 
Докажите, что существует связность $\nabla:\; TM \arrow TM\otimes\Lambda^1M$
такая, что $\nabla(B)\subset B\otimes \Lambda^1M$, или найдите 
контрпример.\footnote{Каждая связность на $TM$ задает связность на
тензорных степенях по формуле Лейбница; в этой задаче идет речь
о связности на $TM\otimes TM$, индуцированной (заданной) $\nabla$.}
\ез

\subsection{Кручение}

\задача[3 балла]
Пусть $M$ -- трехмерное многообразие, а $\eta\in \Lambda^2M$
нигде не зануляющаяся, замкнутая 2-форма. Докажите, что существует
связность без кручения, такая, что $\nabla\eta=0$.
\ез

\задача[2 балла]
Докажите, что для любой симплектической формы $\omega$ 
найдется связность без кручения, такая, что $\nabla\omega=0$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $B\subset TM$ -- одномерное подрасслоение.
Докажите, что существует связность без кручения, такая, что
$\nabla(B)\subset B\otimes \Lambda^1M$.
\ез

\задача
[2 балла]
Пусть $B\subset TM$ -- двумерное подрасслоение.
Докажите, что существует связность без кручения, такая, что
$\nabla(B)\subset B\otimes \Lambda^1M$, или найдите контрпример.
\ез



\end{document}