\documentclass[12pt]{article}

\input{defs-listki.tex}

% version 1.0, 07.09.2013
% version 1.1, 09.09.2013 (после контрольной)
% version 1.2, 16.09.2013 (баллы немного поменял)

\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}


\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   16.09.2013}

\newcommand{\firstdate}{09.09.2013}

\begin{document}

\listok{1}{Главные расслоения, тест 1:
 основы топологии}
\lhead{\small Главные расслоения, тест 1}

{\scriptsize
Число очков за это задание вычисляется по формуле
$\frac 5 4 s$, где $s$ -- сумма баллов за задачи.
Решение письменное, сдается до 22:00 понедельника, 9-го 
сентября.

Успешно учащиеся студенты должны получать
по 10 баллов в неделю, во избежание
пересдач и других эксцессов.
}

\subsection{Общая топология}

\замечание Все топологические пространства 
в этом листочке предполагаются
хаусдорфовыми.
\еза

%\определение Топологическое пространство
%$M$ -- {\bf компакт}, если из любого 
%покрытия $M$ можно выбрать конечное подпокрытие.
%\ео

\определение Топологическое пространство
$M$ {\бф локально компактно,} если у любой точки есть
открытая окрестность, замыкание которой компактно.
\ео

\задача
Докажите, что непрерывная биекция 
компактных топологических пространств -- гомеоморфизм.
\ез

\задача
Пусть $f:\; M \arrow M'$ -- непрерывная биекция
локально компактных топологических пространств.
Всегда ли $f$ -- гомеоморфизм?
\ез

%\определение
%Непрерывное отображение $f:\; M \arrow M'$ топологических пространств
%называется {\бф этальным}, или {\бф локальным гомеоморфизмом},
%если у каждой точки $M$ есть окрестность $U$ такая, что ограничение
%$f\restrict U$ есть гомеоморфизм $U$ на ее образ в $M'$.
%\ео

\задача[4 балла]
Пусть $f:\; M \arrow M'$ -- непрерывная биекция многообразий.
Докажите, что $f$ -- гомеоморфизм, или найдите контрпример.
\ез


%\begin{opredelenie}
%Пусть дано топологическое пространство $M$.
%Подмножество $W\subset M$ называется {\bf открытозамкнутым},
%если оно открыто и замкнуто. $M$ называется {\bf связным},
%если любое открытозамкнутое подмножество $M$
%это либо $\emptyset$, либо само $M$.
%Подмножество $Z\subset M$ называется
%{\bf связным}, если оно связно в индуцированной
%топологии.
%\end{opredelenie}


\задача
Пусть $Z\subset \R^2$ -- счетное подмножество.
Докажите, что дополнение $\R^2\backslash Z$ связно.
\ез

\задача[5 баллов]
Пусть $\phi:\; \R\arrow \R^3$ непрерывное, инъективное
отображение. Докажите, что $\R^3\backslash \im \phi$ связно,
или найдите контрпример.
\ез

\subsection{Гомотопическая топология}

\задача Пусть $V$ -- трехмерное векторное расслоение
над $S^1$. Всегда ли $V$ тривиально?
\ез

\задача
Пусть $\phi:\; M \arrow S^3$ -- локально тривиальное
расслоение со слоем $S^1$. Постройте сечение $\phi$.
\ез

\определение
Пусть $M\subset M'$ -- подмногообразие.
{\бф Нормальное расслоение} есть $TM'\restrict{M}/TM$.
\ео

\задача
Пусть $M\subset M'$ подмногообразие 
в связном многообразии коразмерности 1. Обозначим
нормальное расслоение за $NM$.
Докажите следующие утверждения, или приведите контрпример.
\енум
\итем[2 баллa] $NM$ нетривиально $\Rightarrow$ $M'\backslash M$ связно.
\итем[1 балл] $NM$ тривиально $\Rightarrow$ $M'\backslash M$ несвязно.
\ее
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $Z\subset M$ -- подмногообразие четырехмерного
многообразия, гомеоморфное двумерной сфере.
Докажите, что \\ $\pi_1(M\backslash Z)$ нетривиальна,
или найдите контрпример.
\ез

\end{document}