\documentclass[10pt]{article} \input{defs-listki.tex} % version 1.0, 12.12.2013 % version 2.0, 23.12.2013 (два балла переставили, пара опечаток) %\addtolength{\topmargin}{-25mm} %\addtolength{\textheight}{50mm} %\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm} %\addtolength{\textwidth}{40mm} \newcommand{\version}{version 2.0,\ \ 23.12.2013} \newcommand{\firstdate}{23.12.2013} \begin{document} \listok{3}{Векторные расслоения, экзамен} \lhead{\small Векторные расслоения, экзамен} {\scriptsize Каждый студент получает случайный список из 8 задач, по две из каждого раздела, созданный специальной программой. Число очков за это задание вычисляется по формуле $\min(9s,40)$, где $s$ -- сумма баллов за задачи. Сдача устно. Каждое решение должно быть обосновано ссылкой на сданные листочки или литературу; использованные теоремы надо уметь доказывать, и принимающий вправе спросить доказательство любой из использованных теорем. {\bf Пожалуйста, сдайте копии ведомостей к листочкам, с пометками о том, сколько баллов вам причитается по каждому листочку.} } \определение В задачах встречаются стандартные обозначения для групп Ли: $U(n)$ есть группа унитарных преобразований $\C^n$, $SU(n)$ есть группа унитарных преобразований $\C^n$ с единичным детерминантом, $SL(n)$ есть группа матриц с единичным детерминантом, $O(p,q)$ -- группа изометрических линейных автоморфизмов пространства $V$ со скалярным произведением с сигнатурой $(p,q)$, $SO(p,q)\subset O(p,q)$ -- подгруппа, состоящая из матриц с определителем 1. \ео \subsection{Векторные расслоения и расслоенные пространства} \задача Докажите, что любое векторное расслоение на $\R^2$ тривиально. \ез \задача Пусть $B$ -- двумерное комплексное расслоение на $M$, причем $B\cong B^*$. Постройте на $B$ кватернионную структуру (тройку операторов $I,J,K\in \End_\R B$, удовлетворяющих $I^2=J^2=K^2=IJK=-\Id_B$). \ез \задача[2 балла] Постройте 4-мерное расслоение, которое нельзя разложить в прямую сумму двух двумерных. \ез \задача[2 балла] Пусть $X=SO(1,n)/O(n)$. Докажите, что проекция $SO(1,n)\arrow X$ есть главное расслоение, и постройте его тривиализацию. \ез \задача Докажите, что не существует гладкого расслоения над $S^2$ со слоем $S^3$ и тотальным пространством $S^5$. \ез \задача Докажите, что для любого $n>2$ не существует гладкого расслоения с базой $S^n$, слоем $S^1$ и тотальным пространством $S^{n+1}$. \ез \определение {\бф Псевдориманова метрика} сигнатуры $(p,q)$ на многообразии $M$ есть скалярное произведение сигнатуры $(p,q)$ на $TM$. \ео \задача Докажите, что на $S^4$ нет псевдоримановой метрики сигнатуры $(1,3)$. \ез \задача[2 балла] Докажите, что на $S^4$ нет псевдоримановой метрики сигнатуры $(2,2)$. \ез \subsection{Дифференциальные формы, диффеоморфизмы и подрасслоения} \определение Группа Ли действует сама на себе {\бф левыми сдвигами} $L_g(x)=gx$ и {\бф правыми сдвигами} $R_g(x)=xg^{-1}$. {\бф Биинвариантное} подрасслоение в $TM$ есть подрасслоение, которое инвариантно относительно левых и правых сдвигов. \ео \задача Пусть $B\subset TG$ -- биинвариантное подрасслоение в касательном расслоении к группе Ли. Докажите, что оно инволютивно. \ез \определение {\бф Контактная структура} на нечетномерном многообразии есть подрасслоение $B\subset TM$ коразмерности 1, такое, что форма Фробениуса $\Lambda^2 B \arrow TM/B$ невырождена. \ео \задача Пусть $G$ -- некоммутативная, связная группа Ли размерности 3. Постройте контактную структуру на $G$, или найдите контрпример. \ез \задача Пусть $\omega$ -- невырожденная 2-форма на четномерном многообразии $M$, $\dim_\R M\geq 8$. Предположим, что $d\omega^2=0$. Докажите, что $d\omega=0$. \ез \задача Пусть $\omega$ -- невырожденная 2-форма на четномерном многообразии $M$, $\dim_\R M\geq 6$. Предположим, что $d\omega=\omega\wedge \theta$, где $\theta$ есть 1-форма. Докажите, что $d\theta=0$. \ез \определение Пусть $\eta\in \Lambda^* V^*$ -- элемент грассмановой алгебры на $V^*=\R^n$, а $\ker \eta\subset V$ -- множество векторов $v\in V$ таких, что $\eta\cntrct v:=\eta(v, \cdot, \cdot, ..., \cdot)$ равно нулю. Это подпространство называется {\бф аннулятором}, или {\бф ядром} формы $\eta$. \ео \задача Постройте 3-форму $\rho\in \Lambda^3 \R^6$ такую, что $\ker\rho=0$. \ез \задача[2 балла] Пусть $B$ -- инволютивное подрасслоение в $TM$, $\dim B=\dim M-2$, а $\omega\in \Lambda^2 M$ -- 2-форма такая, что $\ker \omega=B$. Докажите, что $d\omega=\omega\wedge\theta$, где $\theta$ -- 1-форма. \ез \задача Пусть $\theta$ -- 1-форма на $M$ такая, что $d\theta=\omega$ симплектична. Докажите, что существует векторное поле $v\in TM$ такое, что $\Lie_v \omega=\omega$. \ез \задача Пусть $M$ -- компактное симплектическое многообразие вещественной размерности 6. Класс когомологий $\eta\in H^2(M,\R)$ называется {\бф симплектическим}, если это класс когомологий какой-то симплектической формы. Докажите, что множество симплектических классов на $M$ несвязно. \ез \subsection{Связности и кривизна} \задача Пусть $L$ -- нетривиальное одномерное комплексное расслоение со связностью на сфере $S^2$, а $\Theta_L\in \Lambda^2 S^2 \otimes\End L=\Lambda^2 S^2$ его кривизна. Докажите, что существует связность на $L$ такая, что $\Theta_L$ есть форма объема на $S^2$. \ез \задача Пусть $L$ -- нетривиальное одномерное комплексное расслоение со связностью на $M$, а $\Theta_L\in \Lambda^2 S \otimes\End L=\Lambda^2 S$ его кривизна. Докажите, что $\Theta_L$ -- замкнутая 2-форма. \ез \задача[2 балла] Пусть $L$ -- нетривиальное одномерное комплексное расслоение со связностью на $S$, а $\Theta_L\in \Lambda^2 S \otimes\End L=\Lambda^2 S$ его кривизна. Предположим, что форма $\Theta_L$ точна, а $\pi_1(S)=0$. Докажите, что расслоение $L$ тривиально. \ез \задача Пусть $\pi:\; E \arrow M$ -- главное $G$-расслоение. Докажите, что на $\pi$ есть $G$-инвариантная связность Эресманна. \ез \задача Пусть $B$ -- векторное расслоение размерности 4, а $\omega\in \Lambda^2 B$ -- 2-форма постоянного ранга. Докажите, что на $B$ существует связность, сохраняющая $\omega$, или приведите контрпример. \ез \задача Пусть $B$ -- векторное расслоение размерности 3, а $\omega\in \Lambda^2 B$ -- 2-форма, которая нигде не зануляется. Докажите, что на $B$ существует связность, сохраняющая $\omega$, или приведите контрпример. \ез \задача Пусть $L\in \End B$ -- эндоморфизм вещественного расслоения, который удовлетворяет $L^2=\Id_B$ (квадрат $L$ -- тождественный эндоморфизм). Докажите, что найдется связность, которая сохраняет $L$, или приведите контрпример. \ез \задача[2 балла] Пусть $L\in \End B$ -- эндоморфизм вещественного расслоения, который удовлетворяет $L^3=L$. Докажите, что найдется связность, которая сохраняет $L$, или приведите контрпример. \ез \задача Пусть $B=B_1 \oplus B_2$, а $\Pi\in \End B$ -- оператор проекции $B$ на $B_1$ вдоль $B_2$. Докажите, что на $B$ найдется связность, которая сохраняет $\Pi$. \ез \задача[2 балла] Пусть $G$ -- группа Ли с биинвариантной римановой метрикой, $\nabla$ связность Леви-Чивита, $X,Y\in TG$ -- левоинвариантные векторные поля. Докажите, что $\nabla_X Y=\frac 1 2 [x,y]$. \ез \subsection{Главные расслоения и $G$-структуры} \задача Приведите пример двумерного комплексного расслоения, структурная группа $GL(2,\C)$ которого не редуцируется к $SU(2)$, или докажите, что их нет. \ез \задача Приведите пример $2$-мерного вещественного расслоения, структурная группа $GL(2,\R)$ которого не редуцируется к группе диагональных матриц $R^*\times R^*\subset GL(2,\R)$, или докажите, что их нет. \ез \задача[2 балла] Приведите пример двумерного вещественного расслоения, структурная группа $GL(2,\R)$ которого не редуцируется к $O(1,1)$, или докажите, что их нет. \ез \задача Пусть $GL(n)$ -- группа линейных автоморфизмов пространства $V=\R^n$, $\phi\in \Lambda^kV$ ненулевая $k$-форма, а $G\subset GL(n)$ -- стабилизатор $\phi$. Пусть $B$ -- векторное расслоение со структурной группой, редуцированной к $G$. Докажите, что у $\Lambda^k B$ есть нигде не зануляющееся сечение. \ез \задача[2 балла] Пусть $M\arrow S^2$ -- главное $S^1$-расслоение, а $\pi_1(M)=0$. Докажите, что $M$ гомеоморфно $S^3$. \ез \задача Пусть $GL(n)$ -- группа линейных автоморфизмов пространства $V=\R^n$, а $G\subset GL(n)$ -- группа, сохраняющая $k$-мерное подпространство $W\subset V$. Пусть $B$ -- векторное расслоение со структурной группой, редуцированной к $G$. Докажите, что у $B$ есть $k$-мерное подрасслоение. \ез \задача Приведите пример главного $SU(2)$-расслоения, которое нетривиально. \ез \задача Приведите пример главного $U(3)$-расслоения, которое нетривиально. \ез \end{document}