\documentclass[10pt]{article}

\input{defs-listki.tex}

% version 1.0, 12.12.2013
% version 2.0, 23.12.2013 (два балла переставили, пара опечаток)

%\addtolength{\topmargin}{-25mm}
%\addtolength{\textheight}{50mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
%\addtolength{\textwidth}{40mm}


\newcommand{\version}{version 2.0,\ \   23.12.2013}

\newcommand{\firstdate}{23.12.2013}

\begin{document}

\listok{3}{Векторные расслоения, экзамен}
\lhead{\small Векторные расслоения, экзамен}

{\scriptsize
Каждый студент получает случайный список из 8 задач,
по две из каждого раздела, созданный специальной программой.
Число очков за это задание вычисляется по формуле
$\min(9s,40)$, где $s$ -- сумма баллов за задачи.
Сдача устно. Каждое решение должно быть обосновано
ссылкой на сданные листочки или литературу;
использованные теоремы надо уметь доказывать, и 
принимающий вправе спросить доказательство любой
из использованных теорем.

{\bf Пожалуйста, сдайте копии ведомостей к листочкам,
с пометками о том, сколько баллов вам причитается
по каждому листочку.}
}

\определение
В задачах встречаются стандартные обозначения
для групп Ли: $U(n)$ есть группа унитарных
преобразований $\C^n$, $SU(n)$ есть группа
 унитарных преобразований $\C^n$ с единичным
детерминантом, $SL(n)$ есть группа матриц с
единичным детерминантом, $O(p,q)$ -- группа
изометрических линейных автоморфизмов пространства
$V$ со скалярным произведением с сигнатурой $(p,q)$,
 $SO(p,q)\subset  O(p,q)$ -- подгруппа, состоящая
из матриц с определителем 1. 
\ео

\subsection{Векторные расслоения и расслоенные пространства}

\задача
Докажите, что любое векторное расслоение на $\R^2$
тривиально.
\ез

\задача
Пусть $B$ -- двумерное комплексное расслоение на $M$,
причем $B\cong B^*$. Постройте на $B$ кватернионную 
структуру (тройку операторов $I,J,K\in \End_\R B$, удовлетворяющих
$I^2=J^2=K^2=IJK=-\Id_B$).
\ез

\задача[2 балла]
Постройте 4-мерное расслоение, которое нельзя разложить 
в прямую сумму двух двумерных.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $X=SO(1,n)/O(n)$. Докажите, что проекция
$SO(1,n)\arrow X$ есть главное расслоение, и постройте
его тривиализацию.
\ез

\задача
Докажите, что не существует гладкого расслоения
над $S^2$ со слоем $S^3$ и тотальным пространством $S^5$.
\ез

\задача
Докажите, что для любого $n>2$ не существует
гладкого расслоения с базой $S^n$, слоем $S^1$ и тотальным
пространством $S^{n+1}$.
\ез

\определение
{\бф Псевдориманова метрика} сигнатуры $(p,q)$ на многообразии $M$ есть
скалярное произведение сигнатуры $(p,q)$  на $TM$.
\ео

\задача
Докажите, что
на $S^4$ нет псевдоримановой метрики сигнатуры $(1,3)$.
\ез


\задача[2 балла]
Докажите, что
на $S^4$ нет псевдоримановой метрики сигнатуры $(2,2)$.
\ез



\subsection{Дифференциальные формы, диффеоморфизмы и подрасслоения}

\определение
Группа Ли действует сама на себе {\бф левыми сдвигами}
$L_g(x)=gx$ и {\бф правыми сдвигами} $R_g(x)=xg^{-1}$.
{\бф Биинвариантное} подрасслоение в $TM$ есть
подрасслоение, которое инвариантно относительно
левых и правых сдвигов.
\ео

\задача
Пусть $B\subset TG$ -- биинвариантное подрасслоение
в касательном расслоении к группе Ли. Докажите, что
оно инволютивно.
\ез

\определение
{\бф Контактная структура} на нечетномерном многообразии 
есть подрасслоение $B\subset TM$ коразмерности 1, такое,
что форма Фробениуса $\Lambda^2 B \arrow TM/B$
невырождена.
\ео

\задача
Пусть $G$ -- некоммутативная, связная группа Ли
размерности 3. Постройте контактную структуру на $G$,
или найдите контрпример.
\ез

\задача
Пусть $\omega$ -- невырожденная 2-форма
на четномерном многообразии $M$, $\dim_\R M\geq 8$.
Предположим, что $d\omega^2=0$. Докажите, что $d\omega=0$.
\ез

\задача
Пусть $\omega$ -- невырожденная 2-форма
на четномерном многообразии $M$, $\dim_\R M\geq 6$.
Предположим, что $d\omega=\omega\wedge \theta$,
где $\theta$ есть 1-форма. Докажите, что $d\theta=0$.
\ез

\определение
Пусть $\eta\in \Lambda^* V^*$ -- элемент грассмановой
алгебры на $V^*=\R^n$, а $\ker \eta\subset V$ -- множество
векторов $v\in V$ таких, что  $\eta\cntrct v:=\eta(v, \cdot, \cdot, ..., \cdot)$
равно нулю. Это подпространство называется {\бф аннулятором},
или {\бф ядром} формы $\eta$.
\ео

\задача
Постройте 3-форму $\rho\in \Lambda^3 \R^6$ такую, что
$\ker\rho=0$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $B$ -- инволютивное подрасслоение в $TM$, $\dim
B=\dim M-2$, а $\omega\in \Lambda^2 M$ -- 2-форма такая,
что $\ker \omega=B$. Докажите, что $d\omega=\omega\wedge\theta$,
где $\theta$ -- 1-форма.
\ез

\задача
Пусть $\theta$ -- 1-форма на $M$ такая, что
$d\theta=\omega$ симплектична. Докажите, что существует
векторное поле $v\in TM$ такое, что $\Lie_v
\omega=\omega$.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- компактное симплектическое многообразие 
вещественной размерности 6.
Класс когомологий $\eta\in H^2(M,\R)$ называется  {\бф симплектическим},
если это класс когомологий какой-то симплектической формы.
Докажите, что множество симплектических классов на $M$ несвязно.
\ез


\subsection{Связности и кривизна}

\задача
Пусть $L$ -- нетривиальное одномерное комплексное
расслоение со связностью
на сфере $S^2$, а $\Theta_L\in \Lambda^2 S^2 \otimes\End L=\Lambda^2 S^2$
его кривизна. Докажите, что существует связность на $L$ такая, что
$\Theta_L$ есть форма объема на $S^2$.
\ез

\задача
Пусть $L$ -- нетривиальное одномерное комплексное
расслоение со связностью на $M$, а 
$\Theta_L\in \Lambda^2 S \otimes\End L=\Lambda^2 S$
его кривизна. Докажите, что $\Theta_L$ -- замкнутая 2-форма.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $L$ -- нетривиальное одномерное комплексное
расслоение со связностью на $S$, а 
$\Theta_L\in \Lambda^2 S \otimes\End L=\Lambda^2 S$
его кривизна. Предположим, что форма $\Theta_L$ точна, а
$\pi_1(S)=0$. Докажите, что расслоение $L$ тривиально.
\ез

\задача
Пусть $\pi:\; E \arrow M$ -- главное $G$-расслоение.
Докажите, что на $\pi$ есть $G$-инвариантная связность
Эресманна.
\ез

\задача
Пусть $B$ -- векторное расслоение размерности 4,
а $\omega\in \Lambda^2 B$ -- 2-форма постоянного ранга.
Докажите, что на $B$ существует связность, сохраняющая
$\omega$, или приведите контрпример.
\ез

\задача
Пусть $B$ -- векторное расслоение размерности 3,
а $\omega\in \Lambda^2 B$ -- 2-форма, которая нигде не
зануляется. Докажите, что на $B$ существует связность, сохраняющая
$\omega$, или приведите контрпример.
\ез

\задача
Пусть $L\in \End B$ -- эндоморфизм вещественного расслоения, который
удовлетворяет $L^2=\Id_B$ (квадрат $L$ -- тождественный
эндоморфизм). Докажите, что найдется связность,
которая сохраняет $L$, или приведите контрпример.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $L\in \End B$ -- эндоморфизм вещественного расслоения, который
удовлетворяет $L^3=L$. Докажите, что найдется связность,
которая сохраняет $L$, или приведите контрпример.
\ез

\задача
Пусть $B=B_1 \oplus B_2$, а $\Pi\in \End B$ -- оператор
проекции $B$ на $B_1$ вдоль $B_2$.
Докажите, что на $B$ найдется связность,
которая сохраняет $\Pi$.
\ез


\задача[2 балла]
Пусть $G$ -- группа Ли с биинвариантной римановой
метрикой, $\nabla$ связность Леви-Чивита, $X,Y\in TG$ --
левоинвариантные векторные поля. Докажите, что $\nabla_X Y=\frac 1 2 [x,y]$.
\ез



\subsection{Главные расслоения и $G$-структуры}

\задача
Приведите пример двумерного комплексного расслоения,
структурная группа $GL(2,\C)$ которого не редуцируется
к $SU(2)$, или докажите, что их нет.
\ез


\задача
Приведите пример $2$-мерного вещественного расслоения,
структурная группа $GL(2,\R)$ которого не редуцируется
к группе диагональных матриц
$R^*\times R^*\subset GL(2,\R)$, или докажите, что их нет.
\ез

\задача[2 балла]
Приведите пример двумерного вещественного расслоения,
структурная группа $GL(2,\R)$ которого не редуцируется
к $O(1,1)$, или докажите, что их нет.
\ез

\задача
Пусть $GL(n)$ -- группа линейных автоморфизмов 
пространства $V=\R^n$, $\phi\in \Lambda^kV$ ненулевая $k$-форма,
а $G\subset GL(n)$ -- стабилизатор $\phi$. Пусть $B$ -- векторное
расслоение со структурной группой, редуцированной к $G$. Докажите, что
у $\Lambda^k B$ есть нигде не зануляющееся сечение.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $M\arrow S^2$ -- главное $S^1$-расслоение, 
а $\pi_1(M)=0$. Докажите, что $M$ гомеоморфно $S^3$.
\ез

\задача
Пусть $GL(n)$ -- группа линейных автоморфизмов 
пространства $V=\R^n$, а $G\subset GL(n)$ -- группа,
сохраняющая $k$-мерное подпространство $W\subset V$.
Пусть $B$ -- векторное
расслоение со структурной группой, редуцированной к $G$. 
Докажите, что у $B$ есть $k$-мерное подрасслоение.
\ез

\задача
Приведите пример главного $SU(2)$-расслоения,
которое нетривиально.
\ез

\задача
Приведите пример главного $U(3)$-расслоения,
которое нетривиально.
\ез




\end{document}
 
