\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig,
  russcorr, russlh, floatflt}

%\usepackage[UglyObsolete]{diagrams}

%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\def\wrappedimage#1#2#3{\par%
\begin{wrapfigure}{#1}{#2}%
\epsfig{file=#3,width=#2}%
\end{wrapfigure}\par%
}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\Av}{\operatorname{Av}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}}
\newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}}
\def\Aff{\operatorname{\sf Aff}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small  Алгебраическая геометрия, 
матфак ВШЭ, осень 2011 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Алгебраическая геометрия, \\[15mm]
\small лекция 9: целые морфизмы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf Матфак ВШЭ, Москва
\\[2mm] 2 декабря 2011
}
\end{center}
\newpage

{\бф \блуе 16-го декабря - экзамен!}

{\бф \блуе \Huge 16-го декабря - экзамен }

\newpage

{\бф \блуе Целая зависимость (повторение)}

\определение
Пусть $A\subset B$ -- кольца.
Элемент $b\in B$ называется 
{\бф \блуе целым над $A$}, если подкольцо
$A[b]=A\cdot\langle 1,b,b^2, b^3, ... \rangle$, 
порожденное $b$ и $A$, конечно порождено
как $A$-модуль.

\определение
Полином называется  {\бф \блуе унитарным}, если его старший
коэффициент равен 1.

\утверждение
$x$ цел над $A\subset B$ $\Leftrightarrow$
$x$ является корнем унитарного полинома с коэффициентами
из $A$. \ендпрооф

\утверждение
Пусть $A\subset B$ нетерово кольцо. Тогда
{\бф \ред сумма, произведение целых 
над $A$ элементов $x,y\in B$ -- целые.}



\newpage

{\бф \блуе Целое замыкание (повторение)}


\определение
Пусть $A\subset B$ -- кольца.
Множество всех элементов $B$, целых над $A$,
называется {\бф \блуе целым замыканием $A$ в $B$}.
Множество всех элементов поля частных $A$,
целых над $A$, называется {\бф\блуе целым замыканием $A$}.
Кольцо $A\subset B$ называется {\бф\блуе целозамкнутым
в $B$,} если оно совпадает со своим целым замыканием
в $B$, и {\бф \блуе целозамкнутым}, если оно 
совпадает со своим целым замыканием в поле частных
$k(A)$.

\замечание В силу предыдущего следствия,
{\бф \пурпле целое замыкание - 
это кольцо.}

\определение
Аффинное многообразие $X$ называется {\бф\блуе нормальным},
если его кольцо функций $\calo_X$ целозамкнуто.

\невпаге

{\бф \блуе Конечные морфизмы (повторение)}


\определение
Пусть $X \arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий.
Этот морфизм называется {\бф \блуе конечным}, если
$\calo_X$ конечно-порожден как $\calo_Y$-модуль.

\теорема
Пусть $X\stackrel f \arrow Y$ -- конечный морфизм.
{\бф \ред Тогда для любой точки $y\in Y$, прообраз $f^{-1}(y)$
конечен.}


\дшаг
Поскольку $\calo_X$ конечно-порожден как $\calo_Y$-модуль,
кольцо $R:=\calo_X\otimes_{\calo_Y}(\calo_Y/{\goth m}_y)$
конечно-порождено как $\calo_Y/{\goth m}_y$-модуль.
Но поскольку $\calo_Y/{\goth m}_y=\C$, 
получаем, что {\бф \пурпле $R$ конечномерно.}

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $N$ -- нильрадикал $R$.
Поскольку $R/N$ конечномерно, число простых идеалов
в $R/N$ конечно. Значит, 
{\бф \пурпле $\Spec(R/N)$ -- конечное множество.}

{\бф \греен Шаг 3:} {\бф \ред С другой стороны, $\Spec(R/N)=f^{-1}(y)$.}
\ендпрооф



\невпаге


\begin{floatingfigure}[r]{0.22\textwidth}
{\hfil\includegraphics[width=0.22\textwidth]{Nakayama.jpeg}}
\begin{center}{\purple \small Tadashi Nakayama (1912-1964)}
\end{center}
\end{floatingfigure}

{\бф \блуе  Лемма Накаямы}


\вопрос
Пусть ${\goth a}\subset A$ -- идеал в нетеровом кольце.
{\bf \пурпле Как доказать, что $\bigcap_i {\goth a}^i=0$?}

{\bf \греен ОТВЕТ:} {\бф \ред Лемма Накаямы!}

\замечание
{\бф \ред Это неверно,} если $A$ -- кольцо непрерывных функций.


\определение
$A$-модуль $M$ называется {\бф \блуе модулем без кручения},
если естественный морфизм $M \arrow M\otimes_A k(A)$ -- вложение.

{\бф \греен Лемма Накаямы:} 
Пусть $A$ -- кольцо без делителей нуля над $\C$,
а $M$ -- конечно-порожденный $A$-модуль без кручения. 
{\бф \ред Тогда для любого нетривиального идеала ${\goth a}\subset A$, из
${\goth a}M = M$ следует $M=0$.}

\дшаг  Поскольку $M$  конечно порожден,
{\бф \пурпле $k(A)$-векторное пространство $M_k:=M\otimes_A k(A)$
конечномерно.} Обозначим за $n$ его размерность.


\невпаге

{\бф \блуе  Лемма Накаямы (продолжение)}

{\бф \греен Лемма Накаямы (продолжение):} 
Пусть $A$ -- кольцо без делителей нуля над $\C$
а $M$ -- конечно-порожденный $A$-модуль без кручения,
$n=\dim M_k:=M\otimes_A k(A)$.
{\бф \ред Тогда для любого нетривиального идеала ${\goth a}\subset A$, из
${\goth a}M = M$ следует $M=0$.} 

{\бф \греен Шаг 2:} Обозначим за $\Lambda^n_A M$
кососимметрическую часть $M\otimes_A M \otimes_A ... \otimes_A M$.
{\бф \пурпле Тогда ${\goth a}\Lambda^n_A M=\Lambda^n_A M$, причем
$\Lambda^n_A M\otimes_A k(A) = \Lambda^n_{k(A)} M_k\cong k(A)$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Обозначим $\Lambda^n_A M\otimes_A k(A)$ за $V$.
Коль скоро $\Lambda^n_A M\otimes_A k(A)\neq 0$,
естественное отображение $\Lambda^n_A M\arrow V$ нетривиально,
значит, {\бф \пурпле
его образ -- конечно-порожденный $A$-подмодуль $W$ в $V\cong k(A)$.}

{\бф \греен Шаг 4:} Пусть $x_i$ -- образующие $W$. Поскольку
${\goth a}W=W$, имеем
$x_i= \sum a_{ij} x_j$, для каких-то $a_{ij}\in {\goth a}$.

{\бф \греен Шаг 5:} Обозначим за $A$ матрицу $(a_{ij})$.
Поскольку $A-\Id$ имеет ядро $(x_1,..., x_n)$,
$\det (A-\Id)=0$. {\бф \ред Раскладывая по столбцам и строкам
сей определитель, получим $1= P(a_{ij})$, где
$P$ есть полином без свободного члена.}
\ендпрооф

\замечание {\бф \блуе
Эта лемма верна в гораздо большей общности.}


\невпаге

{\бф \блуе  Целые морфизмы}

\определение
Морфизм $X \stackrel f \arrow Y$ называется {\бф\блуе доминантным},
если $\calo_Y \stackrel{f^*} \arrow \calo_X$ -- вложение.

\определение 
Морфизм $X \arrow Y$ называется {\бф \блуе целым},
если он конечный и доминантный, а $X$ неприводимо.

\теорема
{\bf \red Целый морфизм всегда сюрьективен.}

\дшаг
Пусть $X \stackrel f\arrow Y$ -- целый морфизм, $A=\calo_Y$, $B=\calo_X$.
{\бф \пурпле Это равносильно тому, что 
$A\subset B$ -- подкольцо, $B$ без делителей нуля,
причем $B$ конечно-порождено как $A$-модуль.}


{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть ${\goth m}_y\subset A$ -- максимальный идеал,
соответствующий $y\in Y$.
{\бф \ред По лемме Накаямы, ${\goth m}_yB\neq B$.}

{\бф \греен Шаг 3:}
$f^{-1}(y)= \Spec(B\otimes_A A/{\goth m}_y)= B/{\goth m}_yB$.
{\бф \пурпле 
Поскольку это кольцо ненулевое, множество $f^{-1}(y)$ непусто.}
\ендпрооф


\замечание Получаем, что {\бф \ред при целом морфизме,
прообраз каждой точки -- конечное, непустое множество.}


\невпаге

{\бф \блуе  Конечность целого замыкания}

\теорема
Пусть $A$ -- нетерово кольцо без делителей нуля,
$K:k(A)$ -- конечное расширение, 
а $B$ -- целое замыкание $A$ в $K$.
{\бф \ред Тогда $B$ конечно порождено как $A$-модуль.}

\дшаг
Для любого $b\in K$, обозначим за $L_b:\; K \arrow K$
оператор умножения на $b$. Рассмотрим $L_b$
как {\бф \пурпле $k(A)$-линейный эндоморфизм конечномерного
линейного пространства $K$,} и определим {\бф \блуе след} 
$\Tr(b):= \Tr(L_b)$.
Поскольку $\Tr(b)= \frac d{dt} \det(t\Id_K - L_b)(0)$,
для любого $b$, целого над $A$, {\бф \ред след $b$ лежит в $A$.}


{\бф \греен Шаг 2:} $x,y \arrow \Tr(xy)$ -- {\бф \пурпле невырожденная
$k(A)$-билинейная симметрическая форма на $K$.}
В самом деле, $\Tr(xx^{-1})= \dim_{k(A)} K$, а $\ch k(A)= 0$. 

{\бф \греен Шаг 3:} Выберем в $K:k(A)$ базис $e_1, ..., e_n$, 
$n=\dim_{k(A)} K$. Пусть $P_i(t)$ -- соответствующие минимальные
полиномы, $P_i(e_i)=0$. Запишем 
$P_i(t) = A_i t^{n_i} + \sum_{j<n_i} a_{ij}t^j$, где
$A_i, a_{ij}\in A$.
Тогда $A_i e_i$ -- корень унитарного полинома
$\tilde P_i(t) = t^{n_i}+ \sum_{j<n_i} A^{n_i-j}a_{ij}t^j$.
Мы доказали, что {\бф \ред базис в $K:k(A)$ можно выбрать
из векторов $e_i\in K$, которые целы над $A$.}

\невпаге

{\бф \блуе  Конечность целого замыкания (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 4:} 
Пусть $e_i^*\in K$ вектора, заданные формулой
$\Tr(e_i^* e_j) = \delta_{ij}$. {\бф \блуе Это
базис, двойственный к базису $e_i$, относительно
невырожденной формы $\Tr$}.
Обозначим за $M\subset K$ $A$-модуль
$M:= \{b\in K\ \ |\ \  \Tr(be_i)\in A\}$.
Очевидно, $M$ -- свободный модуль
с базисом $e_1^*$, $e_2^*$, ..., $e_n^*$.

{\бф \греен Шаг 5:} Поскольку $e_i\in B$, а
для любого $b\in B$, $\Tr(b)\in A$,
имеем $B\subset M$. Значит, {\бф \пурпле 
$B$ -- подмодуль конечно-порожденного модуля над нетеровым 
кольцом}, то есть {\бф \ред конечно-порожден.} \ендпрооф

\следствие
Пусть $B$ -- целое замыкание $A$, где $A$ и
$B$ -- конечно-порожденные кольца над $\C$. 
{\бф \пурпле Тогда $\Spec B \arrow \Spec A$ -- целый морфизм.}

\следствие
Пусть $A\subset B$ -- нетеровы кольца без делителей нуля,
причем все элементы $B$ целы над $A$. {\бф \пурпле Тогда
$B$ -- конечно-порожденный $A$-модуль}.

\доказательство В самом деле, $B$ есть подмодуль
целого замыкания $A$ в $k(B)$, а оно конечно порождено.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Факторпространство}

\утверждение
Пусть $R$ -- нетерово кольцо без делителей нуля, снабженное действием
конечной группы $G$, а $R^G$ -- кольцо инвариантов. {\бф \пурпле Тогда
$\Spec R \arrow \Spec R^G$ -- целый морфизм.} 

\доказательство Доминантность очевидна, потому что $R^G\subset R$,
а конечность следует из того, что каждый $f\in R$ удовлетворяет
уравнению $\prod_{g\in G}(t-g(f))=0$ с коэффициентами в $R^G$,
{\бф \пурпле то есть цел над $R^G$.}
\ендпрооф

\определение
Пусть $G$ -- конечная группа, действующая на аффинном
многообразии $Х$ автоморфизмами. {\бф \блуе Факторпространство}
$X/G$ есть спектр кольца $\calo_X^G$.

\пример
$\C^2/\{\pm 1\}= \C[x^2, y^2, xy]= \C[t_1,t_2,t_3]/(t_1t_2=t_3^2)$.
Действительно, $\C^2/\{\pm 1\}=\Spec A$, где $A=\C[x,y]^\{\pm 1\}$,
то есть $A$ есть {\бф \пурпле кольцо четных полиномов.}

\пример
Пусть группа $G=\Z/n\Z$ действует на одномерной
аффинной плоскости $\C$ умножением на примитивный корень
$\sqrt[n]{1}$. Тогда $\C/G= \Spec(\C[t]^G)= \Spec(\C[t^n])$,
то есть {\бф \ред факторпространство $\C/G$ изоморфно $\C$.}



\невпаге

{\бф \блуе Факторпространство (продолжение)}


\теорема Рассмотрим естественный морфизм  $\Spec R\stackrel \phi
\arrow \Spec R^G$. Тогда $\phi(x)=\phi(y)$ тогда и только тогда,
когда $x \in G\cdot y$, т.е. {\бф \ред $\Spec R^G$ есть пространство $G$-орбит.}

\дшаг
Если два максимальных идеала $R$ сопряжены посредством элемента
$g\in G$, их пересечения с $R^G\subset G$ равны. То есть 
$\phi(gx) = \phi(x)$: {\бф \пурпле каждая $G$-орбита отображается
в одну точку.} {\бф \ред Осталось доказать, что прообраз каждой
точки -- ровно одна $G$-орбита.}

{\бф \греен Шаг 2:} Для любого идеала ${\goth m}\subset R^G$,
$({\goth m}R)^G= {\goth m}$ (см. лекцию про теорему Нетер).
Значит, $A^G=R^G/{\goth m}$, где 
$A:=R\otimes_{R^G} (R^G/{\goth m})= R/{\goth m}R$.

{\бф \греен Шаг 3:} Пусть ${\goth m}$ - максимальный
идеал точки $y\in \Spec R^G$, a $N$ -- нильрадикал $A$.
Поскольку $\phi^{-1}(y) = \Spec(A/N)$,
{\бф \пурпле точки $\phi^{-1}(y)$ -- это максимальные идеалы 
кольца $A/N$.} 

{\бф \греен Шаг 4:} Полупростое артиново кольцо
$A/N$ есть прямая сумма конечных расширений $\C$, то есть
$A/N = \bigoplus \C$. Поскольку $A^G=\C$ (шаг 2), {\бф \пурпле $G$ действует
на слагаемых этой прямой суммы транзитивно.} Значит,
{\бф \ред все точки $\phi^{-1}(y)$ образуют одну $G$-орбиту.}
\ендпрооф





\end{document}
