\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, floatflt} %\usepackage[UglyObsolete]{diagrams} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \def\wrappedimage#1#2#3{\par% \begin{wrapfigure}{#1}{#2}% \epsfig{file=#3,width=#2}% \end{wrapfigure}\par% } \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\Av}{\operatorname{Av}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}} \newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}} \def\Aff{\operatorname{\sf Aff}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Алгебраическая геометрия, матфак ВШЭ, осень 2011 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Алгебраическая геометрия, \\[15mm] \small лекция 9: целые морфизмы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 2 декабря 2011 } \end{center} \newpage {\бф \блуе 16-го декабря - экзамен!} {\бф \блуе \Huge 16-го декабря - экзамен } \newpage {\бф \блуе Целая зависимость (повторение)} \определение Пусть $A\subset B$ -- кольца. Элемент $b\in B$ называется {\бф \блуе целым над $A$}, если подкольцо $A[b]=A\cdot\langle 1,b,b^2, b^3, ... \rangle$, порожденное $b$ и $A$, конечно порождено как $A$-модуль. \определение Полином называется {\бф \блуе унитарным}, если его старший коэффициент равен 1. \утверждение $x$ цел над $A\subset B$ $\Leftrightarrow$ $x$ является корнем унитарного полинома с коэффициентами из $A$. \ендпрооф \утверждение Пусть $A\subset B$ нетерово кольцо. Тогда {\бф \ред сумма, произведение целых над $A$ элементов $x,y\in B$ -- целые.} \newpage {\бф \блуе Целое замыкание (повторение)} \определение Пусть $A\subset B$ -- кольца. Множество всех элементов $B$, целых над $A$, называется {\бф \блуе целым замыканием $A$ в $B$}. Множество всех элементов поля частных $A$, целых над $A$, называется {\бф\блуе целым замыканием $A$}. Кольцо $A\subset B$ называется {\бф\блуе целозамкнутым в $B$,} если оно совпадает со своим целым замыканием в $B$, и {\бф \блуе целозамкнутым}, если оно совпадает со своим целым замыканием в поле частных $k(A)$. \замечание В силу предыдущего следствия, {\бф \пурпле целое замыкание - это кольцо.} \определение Аффинное многообразие $X$ называется {\бф\блуе нормальным}, если его кольцо функций $\calo_X$ целозамкнуто. \невпаге {\бф \блуе Конечные морфизмы (повторение)} \определение Пусть $X \arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий. Этот морфизм называется {\бф \блуе конечным}, если $\calo_X$ конечно-порожден как $\calo_Y$-модуль. \теорема Пусть $X\stackrel f \arrow Y$ -- конечный морфизм. {\бф \ред Тогда для любой точки $y\in Y$, прообраз $f^{-1}(y)$ конечен.} \дшаг Поскольку $\calo_X$ конечно-порожден как $\calo_Y$-модуль, кольцо $R:=\calo_X\otimes_{\calo_Y}(\calo_Y/{\goth m}_y)$ конечно-порождено как $\calo_Y/{\goth m}_y$-модуль. Но поскольку $\calo_Y/{\goth m}_y=\C$, получаем, что {\бф \пурпле $R$ конечномерно.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $N$ -- нильрадикал $R$. Поскольку $R/N$ конечномерно, число простых идеалов в $R/N$ конечно. Значит, {\бф \пурпле $\Spec(R/N)$ -- конечное множество.} {\бф \греен Шаг 3:} {\бф \ред С другой стороны, $\Spec(R/N)=f^{-1}(y)$.} \ендпрооф \невпаге \begin{floatingfigure}[r]{0.22\textwidth} {\hfil\includegraphics[width=0.22\textwidth]{Nakayama.jpeg}} \begin{center}{\purple \small Tadashi Nakayama (1912-1964)} \end{center} \end{floatingfigure} {\бф \блуе Лемма Накаямы} \вопрос Пусть ${\goth a}\subset A$ -- идеал в нетеровом кольце. {\bf \пурпле Как доказать, что $\bigcap_i {\goth a}^i=0$?} {\bf \греен ОТВЕТ:} {\бф \ред Лемма Накаямы!} \замечание {\бф \ред Это неверно,} если $A$ -- кольцо непрерывных функций. \определение $A$-модуль $M$ называется {\бф \блуе модулем без кручения}, если естественный морфизм $M \arrow M\otimes_A k(A)$ -- вложение. {\бф \греен Лемма Накаямы:} Пусть $A$ -- кольцо без делителей нуля над $\C$, а $M$ -- конечно-порожденный $A$-модуль без кручения. {\бф \ред Тогда для любого нетривиального идеала ${\goth a}\subset A$, из ${\goth a}M = M$ следует $M=0$.} \дшаг Поскольку $M$ конечно порожден, {\бф \пурпле $k(A)$-векторное пространство $M_k:=M\otimes_A k(A)$ конечномерно.} Обозначим за $n$ его размерность. \невпаге {\бф \блуе Лемма Накаямы (продолжение)} {\бф \греен Лемма Накаямы (продолжение):} Пусть $A$ -- кольцо без делителей нуля над $\C$ а $M$ -- конечно-порожденный $A$-модуль без кручения, $n=\dim M_k:=M\otimes_A k(A)$. {\бф \ред Тогда для любого нетривиального идеала ${\goth a}\subset A$, из ${\goth a}M = M$ следует $M=0$.} {\бф \греен Шаг 2:} Обозначим за $\Lambda^n_A M$ кососимметрическую часть $M\otimes_A M \otimes_A ... \otimes_A M$. {\бф \пурпле Тогда ${\goth a}\Lambda^n_A M=\Lambda^n_A M$, причем $\Lambda^n_A M\otimes_A k(A) = \Lambda^n_{k(A)} M_k\cong k(A)$.} {\бф \греен Шаг 3:} Обозначим $\Lambda^n_A M\otimes_A k(A)$ за $V$. Коль скоро $\Lambda^n_A M\otimes_A k(A)\neq 0$, естественное отображение $\Lambda^n_A M\arrow V$ нетривиально, значит, {\бф \пурпле его образ -- конечно-порожденный $A$-подмодуль $W$ в $V\cong k(A)$.} {\бф \греен Шаг 4:} Пусть $x_i$ -- образующие $W$. Поскольку ${\goth a}W=W$, имеем $x_i= \sum a_{ij} x_j$, для каких-то $a_{ij}\in {\goth a}$. {\бф \греен Шаг 5:} Обозначим за $A$ матрицу $(a_{ij})$. Поскольку $A-\Id$ имеет ядро $(x_1,..., x_n)$, $\det (A-\Id)=0$. {\бф \ред Раскладывая по столбцам и строкам сей определитель, получим $1= P(a_{ij})$, где $P$ есть полином без свободного члена.} \ендпрооф \замечание {\бф \блуе Эта лемма верна в гораздо большей общности.} \невпаге {\бф \блуе Целые морфизмы} \определение Морфизм $X \stackrel f \arrow Y$ называется {\бф\блуе доминантным}, если $\calo_Y \stackrel{f^*} \arrow \calo_X$ -- вложение. \определение Морфизм $X \arrow Y$ называется {\бф \блуе целым}, если он конечный и доминантный, а $X$ неприводимо. \теорема {\bf \red Целый морфизм всегда сюрьективен.} \дшаг Пусть $X \stackrel f\arrow Y$ -- целый морфизм, $A=\calo_Y$, $B=\calo_X$. {\бф \пурпле Это равносильно тому, что $A\subset B$ -- подкольцо, $B$ без делителей нуля, причем $B$ конечно-порождено как $A$-модуль.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть ${\goth m}_y\subset A$ -- максимальный идеал, соответствующий $y\in Y$. {\бф \ред По лемме Накаямы, ${\goth m}_yB\neq B$.} {\бф \греен Шаг 3:} $f^{-1}(y)= \Spec(B\otimes_A A/{\goth m}_y)= B/{\goth m}_yB$. {\бф \пурпле Поскольку это кольцо ненулевое, множество $f^{-1}(y)$ непусто.} \ендпрооф \замечание Получаем, что {\бф \ред при целом морфизме, прообраз каждой точки -- конечное, непустое множество.} \невпаге {\бф \блуе Конечность целого замыкания} \теорема Пусть $A$ -- нетерово кольцо без делителей нуля, $K:k(A)$ -- конечное расширение, а $B$ -- целое замыкание $A$ в $K$. {\бф \ред Тогда $B$ конечно порождено как $A$-модуль.} \дшаг Для любого $b\in K$, обозначим за $L_b:\; K \arrow K$ оператор умножения на $b$. Рассмотрим $L_b$ как {\бф \пурпле $k(A)$-линейный эндоморфизм конечномерного линейного пространства $K$,} и определим {\бф \блуе след} $\Tr(b):= \Tr(L_b)$. Поскольку $\Tr(b)= \frac d{dt} \det(t\Id_K - L_b)(0)$, для любого $b$, целого над $A$, {\бф \ред след $b$ лежит в $A$.} {\бф \греен Шаг 2:} $x,y \arrow \Tr(xy)$ -- {\бф \пурпле невырожденная $k(A)$-билинейная симметрическая форма на $K$.} В самом деле, $\Tr(xx^{-1})= \dim_{k(A)} K$, а $\ch k(A)= 0$. {\бф \греен Шаг 3:} Выберем в $K:k(A)$ базис $e_1, ..., e_n$, $n=\dim_{k(A)} K$. Пусть $P_i(t)$ -- соответствующие минимальные полиномы, $P_i(e_i)=0$. Запишем $P_i(t) = A_i t^{n_i} + \sum_{j