\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig,
  russcorr, russlh, floatflt}

%\usepackage[UglyObsolete]{diagrams}

%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\def\wrappedimage#1#2#3{\par%
\begin{wrapfigure}{#1}{#2}%
\epsfig{file=#3,width=#2}%
\end{wrapfigure}\par%
}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\Av}{\operatorname{Av}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}}
\newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}}
\def\Aff{\operatorname{\sf Aff}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small  Алгебраическая геометрия, 
матфак ВШЭ, осень 2011 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Алгебраическая геометрия, \\[15mm]
\small лекция 8: целая зависимость}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf Матфак ВШЭ, Москва
\\[2mm] 25 ноября 2011
}
\end{center}


\newpage

{\бф \блуе Тензорное произведение колец (повторение)}

\определение
Пусть $A, B$ -- кольца, а $C \arrow A, C \arrow B$
гомоморфизмы. Рассмотрим $A$ и $B$ как $C$-модули,
и пусть $A\otimes_C B$ -- тензорное произведение
этих $C$-модулей над $C$. Определим на $A\otimes_C B$
произведение по формуле $a\otimes b \cdot a'\otimes b' = aa'\otimes bb'$.
Таким образом определяется  {\бф \блуе тензорнoe произведение колец}.

\пример
$\C[t_1, ..., t_k]\otimes_\C \C[z_1, ..., z_n]=
\C[t_1, ..., t_k,z_1, ..., z_n]$. Действительно,
если обозначить полиномы степени $d$ за $\C_d[t_1, ..., t_k]$,
то $\C_d[t_1, ..., t_k]\otimes_\C \C_{d'}[z_1, ..., z_n]$ -- полиномы
степени $d$ по $t_i$ и степени $d'$ по $z_i$.

\утверждение
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий,
$f^*:\; \calo_Y \arrow \calo_X$
соответствующий гомоморфизм колец, $y\in Y$ точка, 
а ${\goth m}_y$ ее максимальный идеал. Обозначим за $R_1$
фактор кольца $R:=\calo_X \otimes_{\calo Y}(\calo_Y/{\goth m}_y)$
по нильрадикалу. {\бф \ред Тогда $\Spec(R_1)=f^{-1}(y)$.}


\утверждение
Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные кольца над $\C$ без нильпотентов.
{\бф \ред Тогда $\Spec(A\otimes_\C B)= \Spec (A)\times \Spec(B)$.}


\newpage

{\бф \блуе Расслоенное произведение}

\упражнение
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий,
$f^*:\; \calo_Y \arrow \calo_X$
соответствующий гомоморфизм колец, $Z\subset Y$ подмногообразие
а $I_Z$ его  идеал. Обозначим за $R_1$
фактор кольца $R:=\calo_X \otimes_{\calo Y}(\calo_Y/I_Z)$
по нильрадикалу. {\бф \ред Докажите, что $\Spec(R_1)=f^{-1}(Z)$.}

\определение
Пусть $X\stackrel {\pi_X}\arrow M, Y\stackrel {\pi_Y}\arrow M$ --  
отображения множеств.  
{\бф \блуе Расслоенное произведение} $X\times_M Y$
есть множество всех пар $(x, y)\in X\times Y$ таких,
что $\pi_X(x)=\pi_Y(y)$.

\упражнение
Пусть $X\stackrel {\pi_X}\arrow M, Y\stackrel {\pi_Y}\arrow M$ --
морфизмы аффинных многообразий. {\бф \пурпле
Докажите, что $X\times_M Y$ алгебраично
в $X\times Y$.}

\упражнение
Пусть $X\stackrel {\pi_X}\arrow M, Y\stackrel {\pi_Y}\arrow M$ --
морфизмы аффинных многообразий, $R:=\calo_X\otimes{\calo_M}\calo_Y$,
а $R_1$ -- фактор $R$ по нильрадикалу. {\bf \ред Докажите, что
$\Spec(R_1)=X\times_M Y$.}


\newpage

{\бф \блуе Топология Зариского}

\определение
{\бф \блуе Топология Зариского} на квазиаффинном многообразии
есть топология, в которой замкнутыми являются подмногообразия,
заданные системой полиномиальных уравнений.
{\бф \блуе Замыкание по Зарискому} подмножества $Z\subset M$
есть пересечение всех замкнутых по Зарискому подмножеств,
содержащих $Z$.

\пример
{\бф \блуе Коконечная топология} есть топология на множестве
$S$, в которой замкнуты конечные подмножества $S$
(и только они).

\замечание
{\бф \пурпле
Топология Зариского на $\C$ совпадает с коконечной топологией.}

\замечание
То же верно и для $\Z$.

{\бф \греен Предостережение:} {\бф \ред ОНА НЕХАУСДОРФОВА!}

\newpage

{\бф \блуе Топология Зариского (продолжение)}


\замечание
Мы определили топологию Зариского на 
множестве точек многообразия $A$, то есть на
множестве максимальных идеалов 
$\calo_A$ (так ее определял сам Зариский).
{\бф \ред Следуя Гротендику, топологию Зариского обыкновенно определяют
на множестве $\Spec_{pr}(\calo_A)$ всех простых идеалов $\calo_A$;}
{\бф \блуе замкнутые множества $Z_I$ в этой топологии соответствуют
идеалам $I\subset \calo_A$, а простой идеал ${\goth p}$ лежит в
замкнутом множестве $Z_I$, если он содержит $I$.}


\begin{center}
\epsfig{file=Zariski2.jpg,width=0.35\linewidth}\\
Oscar Zariski \\
(1899 -- 1986)
\end{center}


\newpage

{\бф \блуе Доминантные морфизмы}

\определение
{\бф \блуе Доминантный морфизм} есть морфизм $f:\; X \arrow Y$,
такой, что $Y$ есть замыкание $f(X)$ по Зарискому.

\утверждение
Пусть $f:\; X \arrow Y$ морфизм аффинных многообразий.
Морфизм {\бф \ред $f$ доминантен тогда и только тогда, когда
гомоморфизм $\calo_Y \stackrel {f^*}\arrow \calo_X$ -- вложение.}

\дшаг
Если $f^*$ -- не вложение, то $f(X)$ лежит в множестве
нулей идеала $\ker
f^*$. Действительно, точки $X$ суть гомоморфизмы $\calo_X
\arrow \C$, а точки $f(X)$ суть гомоморфизмы $\calo_Y
\arrow \C$, которые получены композицией
$\calo_Y \stackrel {f^*}\arrow \calo_X\arrow \C$.

{\бф \греен Шаг 2:} Если $f(X)$ лежит в множестве нулей
идеала $J\subset \calo_Y$, все функции $\alpha \in J$ зануляются
на $f(X)$. Значит, $f^*(\alpha)=0$.
\ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Поле частных}

\определение
Пусть $S\subset R$ -- подмножество кольца $R$,
замкнутое относительно умножения, и не содержащее 0.
{\бф \блуе Локализацией} кольца $R$ по $S$ называется
кольцо, формально порожденное элементами вида
$a/F$, где $a\in R$, $F\in S$ и с соотношениями
$a/F \cdot b/G= ab/FG$,
 $a/F + b/G= \frac {a G + bF}{FG}$
и $aF^k/F^{k+n}=a/F^n$.


\определение
Пусть $R$ -- кольцо без делителей нуля, а $S$ -- множество
всех ненулевых элементов $R$.
{\бф\блуе Поле частных} $R$ есть локализация $R$ по $S$.


\следствие
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- доминантный морфизм, где $X$
неприводимо. {\бф \пурпле Тогда $Y$ тоже неприводимо.} Более того,
 $f^*:\; \calo_Y \arrow \calo_X$ {\бф \ред продолжается до 
гомоморфизма полей частных, $k(Y)\arrow k(X)$.}

\дшаг
Поскольку $\calo_Y$ вложено в $\calo_X$, а последнее не
имеет делителей нуля, {\бф \пурпле $\calo_Y$ не имеет делителей, нуля,
а значит $Y$ неприводимо.}

{\бф \греен Шаг 2:} Вложение колец без делителей нуля
продолжается до полей частных: $f^*(a/F)=f^*(a)/f^*(F)$.
\ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Бирациональные морфизмы}


\определение
Доминантный морфизм неприводимых многообразий
называется {\бф \блуе бирациональным}, если
соответствующий гомоморфизм полей частных --
изоморфизм.


\утверждение
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- бирациональный морфизм.
Тогда существует замкнутое по Зарискому подмножество
$Z\subset Y$ такое, что $f:\;( X\backslash f^{-1}(Z))
\arrow Y \backslash Z$ -- изоморфизм. 

\дшаг
Поскольку $\calo_X$ конечно порождено,
{\бф \пурпле найдется такое $F\in \calo_Y$,
что для любого $а \in \calo_X$, существует
$b\in \calo_Y$ такой, что $a = f\left(\frac
b{F^k}\right)$.} Действительно, для каждой из образующих
$\calo_X$ такое $F$ существует; перемножим полученные
$F$-ы, благо их конечное число.. 

{\бф \греен Шаг 2:} 
Обозначим за $Z$ дивизор нулей $F$. Тогда
на $Y \backslash Z$ функция $F$ обратима, 
и в силу шага 1 {\бф \ред гомоморфизм $f^*:\;( X\backslash f^{-1}(Z))
\arrow Y \backslash Z$ биективен на функциях.}
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Целая зависимость}


\определение
Пусть $A\subset B$ -- кольца.
Элемент $b\in B$ называется 
{\бф \блуе целым над $A$}, если подкольцо
$A[b]=A\cdot\langle 1,b,b^2, b^3, ... \rangle$, 
порожденное $b$ и $A$, конечно порождено
как $A$-модуль.

\определение
Полином называется  {\бф \блуе унитарным}, если его старший
коэффициент равен 1.

\утверждение
Элемент {\бф \пурпле $x\in B$ цел над $A\subset B$ тогда
и только тогда, когда цепочка $A$-подмодулей
\[ A\subset A\cdot \langle 1,x\rangle \subset 
A\cdot \langle 1,x, x^2\rangle\subset 
A\cdot \langle 1,x, x^2, x^3\rangle \subset ...
\]
обрывается.}

\доказательство 
Из обрывания цепочки конечная порожденность
очевидна. Наоборот, если $A[x]$ конечно-порождено,
то любая степень $x$ выражается через конечный 
набор образующих, которые сами выражаются через
степени $x$. \ендпрооф

\следствие
$x$ цел над $A\subset B$ $\Leftrightarrow$
$x$ является корнем унитарного полинома с коэффициентами
из $A$. \ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Целое замыкание}

\упражнение 
$x,y\in B\supset A$, причем 
$y$ цело над $A[x]$. {\бф \пурпле 
Докажите, что $y$ цело над $A$.}
\ендпрооф

\следствие
Пусть $A\subset B$ нетерово кольцо. Тогда
{\бф \ред сумма, произведение целых 
над $A$ элементов $x,y\in B$ -- целые.}

\доказательство
Поскольку $y$ цело над $A[x]$, кольцо $A[x,y]$
цело над $A$ {\бф \ред (проверьте это).}
Поскольку {\бф \пурпле подмодуль конечно-порожденного
$A$-модуля конечно порожден,} $x+y$ и $xy\in A[x,y]$ тоже целые.
\endproof


\определение
Пусть $A\subset B$ -- кольца.
Множество всех элементов $B$, целых над $A$,
называется {\бф \блуе целым замыканием $A$ в $B$}.
Множество всех элементов поля частных $A$,
целых над $A$, называется {\бф\блуе целым замыканием $A$}.
Кольцо $A\subset B$ называется {\бф\блуе целозамкнутым
в $B$,} если оно совпадает со своим целым замыканием
в $B$, и {\бф \блуе целозамкнутым}, если оно 
совпадает со своим целым замыканием в поле частных
$k(A)$.

\замечание В силу предыдущего следствия,
{\бф \пурпле целое замыкание - 
это кольцо.}

\определение
Аффинное многообразие $X$ называется {\бф\блуе нормальным},
если его кольцо функций $\calo_X$ целозамкнуто.


\newpage

{\бф \блуе Факториальные кольца}


\определение
Кольцо называется {\бф\блуе факториальным},
если в нем имеет место однозначность разложения
на простые сомножители.

\утверждение
{\бф \ред Пусть кольцо $A$ факториально. Тогда 
оно целозамкнуто.}

\дшаг
Пусть $u,v\in A$, а $u/v\in k(A)$ -- корень
унитарного многочлена степени $n$.
{\бф \пурпле Тогда $v^n$ делится на $u$ в $A$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Если $A$ факториально, а
$u/v\in k(A)$ -- корень
унитарного многочлена, то $v$ делится на $u$, в
силу шага 1. Значит, {\бф \пурпле $u/v\in A$,
а это и есть целозамкнутость.} \ендпрооф

\теорема 
{\бф \блуе (Гаусс)}
\\ Пусть $A$ -- факториальное кольцо.
{\бф \ред Тогда $A[t]$ тоже факториально.}

Доказательство см. листочки

%\newpage
%
%{\бф \блуе Лемма Гаусса}
%
%
%\определение
%Полином $P(t)\in A[t]$ называется
%{\бф \блуе примитивным}, если наибольший общий
%делитель его коэффициентов равен 1.
%
%{\бф \греен Лемма Гаусса:}
%Пусть $A$-- факториальное кольцо,
%а $P(t)$, $Q(t)\in A[t]$ -- примитивные
%полиномы. Тогда полином  $P(t)Q(t)$
%примитивен.
%
%\дшаг
%Пусть $P(t), Q(t)\in A[t]$, и не все
%коэффициенты $P(t)$ и $Q(t)$ делятся на 
%простой элемент $p\in A$. {\бф \ред Тогда
%$P(t)Q(t)\neq 0$ по модулю $p$.}
%В самом деле, $A/(p)$ не имеет делитей нуля,
%а значит $A[t]/(p)$ тоже.
%
%{\бф Шаг 2:} Если $P(t)Q(t)$ не примитивен,
%значит, $P(t)Q(t)$ делится на простой $p\in A$.
%Это невозможно в силу шага 1. 
%\ендпрооф
%
%\следствие
%Пусть $A$ факториально, а $P(t)\in A[t]$ 
%неприводим. Тогда $P(t)$ неприводим над $k(A)$.
%
%\доказательство
%Пусть $P(t)=P_1(t)P_2(t)$. Домножим $P_1(t)$, $P_2(t)$
%на 
%

\невпаге

{\бф \блуе Конечные морфизмы (повторение)}



\определение
Пусть $X \arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий.
Этот морфизм называется {\бф \блуе конечным}, если
$\calo_X$ конечно-порожден как $\calo_Y$-модуль.

\теорема
Пусть $X\stackrel f \arrow Y$ -- конечный морфизм.
{\бф \ред Тогда для любой точки $y\in Y$, прообраз $f^{-1}(y)$
конечен.}


\дшаг
Поскольку $\calo_X$ конечно-порожден как $\calo_Y$-модуль,
кольцо $R:=\calo_X\otimes_{\calo_Y}(\calo_Y/{\goth m}_y)$
конечно-порождено как $\calo_Y/{\goth m}_y$-модуль.
Но поскольку $\calo_Y/{\goth m}_y=\C$, 
получаем, что {\бф \пурпле $R$ конечномерно.}

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $N$ -- нильрадикал $R$.
Поскольку $R/N$ конечномерно, число простых идеалов
в $R/N$ конечно. Значит, 
{\бф \пурпле $\Spec(R/N)$ -- конечное множество.}

{\бф \греен Шаг 3:} {\бф \ред С другой стороны, $\Spec(R/N)=f^{-1}(y)$.}
\ендпрооф



\end{document}
