\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, floatflt} %\usepackage[UglyObsolete]{diagrams} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \def\wrappedimage#1#2#3{\par% \begin{wrapfigure}{#1}{#2}% \epsfig{file=#3,width=#2}% \end{wrapfigure}\par% } \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\Av}{\operatorname{Av}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}} \newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}} \def\Aff{\operatorname{\sf Aff}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Алгебраическая геометрия, матфак ВШЭ, осень 2011 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Алгебраическая геометрия, \\[15mm] \small лекция 8: целая зависимость} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 25 ноября 2011 } \end{center} \newpage {\бф \блуе Тензорное произведение колец (повторение)} \определение Пусть $A, B$ -- кольца, а $C \arrow A, C \arrow B$ гомоморфизмы. Рассмотрим $A$ и $B$ как $C$-модули, и пусть $A\otimes_C B$ -- тензорное произведение этих $C$-модулей над $C$. Определим на $A\otimes_C B$ произведение по формуле $a\otimes b \cdot a'\otimes b' = aa'\otimes bb'$. Таким образом определяется {\бф \блуе тензорнoe произведение колец}. \пример $\C[t_1, ..., t_k]\otimes_\C \C[z_1, ..., z_n]= \C[t_1, ..., t_k,z_1, ..., z_n]$. Действительно, если обозначить полиномы степени $d$ за $\C_d[t_1, ..., t_k]$, то $\C_d[t_1, ..., t_k]\otimes_\C \C_{d'}[z_1, ..., z_n]$ -- полиномы степени $d$ по $t_i$ и степени $d'$ по $z_i$. \утверждение Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий, $f^*:\; \calo_Y \arrow \calo_X$ соответствующий гомоморфизм колец, $y\in Y$ точка, а ${\goth m}_y$ ее максимальный идеал. Обозначим за $R_1$ фактор кольца $R:=\calo_X \otimes_{\calo Y}(\calo_Y/{\goth m}_y)$ по нильрадикалу. {\бф \ред Тогда $\Spec(R_1)=f^{-1}(y)$.} \утверждение Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные кольца над $\C$ без нильпотентов. {\бф \ред Тогда $\Spec(A\otimes_\C B)= \Spec (A)\times \Spec(B)$.} \newpage {\бф \блуе Расслоенное произведение} \упражнение Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий, $f^*:\; \calo_Y \arrow \calo_X$ соответствующий гомоморфизм колец, $Z\subset Y$ подмногообразие а $I_Z$ его идеал. Обозначим за $R_1$ фактор кольца $R:=\calo_X \otimes_{\calo Y}(\calo_Y/I_Z)$ по нильрадикалу. {\бф \ред Докажите, что $\Spec(R_1)=f^{-1}(Z)$.} \определение Пусть $X\stackrel {\pi_X}\arrow M, Y\stackrel {\pi_Y}\arrow M$ -- отображения множеств. {\бф \блуе Расслоенное произведение} $X\times_M Y$ есть множество всех пар $(x, y)\in X\times Y$ таких, что $\pi_X(x)=\pi_Y(y)$. \упражнение Пусть $X\stackrel {\pi_X}\arrow M, Y\stackrel {\pi_Y}\arrow M$ -- морфизмы аффинных многообразий. {\бф \пурпле Докажите, что $X\times_M Y$ алгебраично в $X\times Y$.} \упражнение Пусть $X\stackrel {\pi_X}\arrow M, Y\stackrel {\pi_Y}\arrow M$ -- морфизмы аффинных многообразий, $R:=\calo_X\otimes{\calo_M}\calo_Y$, а $R_1$ -- фактор $R$ по нильрадикалу. {\bf \ред Докажите, что $\Spec(R_1)=X\times_M Y$.} \newpage {\бф \блуе Топология Зариского} \определение {\бф \блуе Топология Зариского} на квазиаффинном многообразии есть топология, в которой замкнутыми являются подмногообразия, заданные системой полиномиальных уравнений. {\бф \блуе Замыкание по Зарискому} подмножества $Z\subset M$ есть пересечение всех замкнутых по Зарискому подмножеств, содержащих $Z$. \пример {\бф \блуе Коконечная топология} есть топология на множестве $S$, в которой замкнуты конечные подмножества $S$ (и только они). \замечание {\бф \пурпле Топология Зариского на $\C$ совпадает с коконечной топологией.} \замечание То же верно и для $\Z$. {\бф \греен Предостережение:} {\бф \ред ОНА НЕХАУСДОРФОВА!} \newpage {\бф \блуе Топология Зариского (продолжение)} \замечание Мы определили топологию Зариского на множестве точек многообразия $A$, то есть на множестве максимальных идеалов $\calo_A$ (так ее определял сам Зариский). {\бф \ред Следуя Гротендику, топологию Зариского обыкновенно определяют на множестве $\Spec_{pr}(\calo_A)$ всех простых идеалов $\calo_A$;} {\бф \блуе замкнутые множества $Z_I$ в этой топологии соответствуют идеалам $I\subset \calo_A$, а простой идеал ${\goth p}$ лежит в замкнутом множестве $Z_I$, если он содержит $I$.} \begin{center} \epsfig{file=Zariski2.jpg,width=0.35\linewidth}\\ Oscar Zariski \\ (1899 -- 1986) \end{center} \newpage {\бф \блуе Доминантные морфизмы} \определение {\бф \блуе Доминантный морфизм} есть морфизм $f:\; X \arrow Y$, такой, что $Y$ есть замыкание $f(X)$ по Зарискому. \утверждение Пусть $f:\; X \arrow Y$ морфизм аффинных многообразий. Морфизм {\бф \ред $f$ доминантен тогда и только тогда, когда гомоморфизм $\calo_Y \stackrel {f^*}\arrow \calo_X$ -- вложение.} \дшаг Если $f^*$ -- не вложение, то $f(X)$ лежит в множестве нулей идеала $\ker f^*$. Действительно, точки $X$ суть гомоморфизмы $\calo_X \arrow \C$, а точки $f(X)$ суть гомоморфизмы $\calo_Y \arrow \C$, которые получены композицией $\calo_Y \stackrel {f^*}\arrow \calo_X\arrow \C$. {\бф \греен Шаг 2:} Если $f(X)$ лежит в множестве нулей идеала $J\subset \calo_Y$, все функции $\alpha \in J$ зануляются на $f(X)$. Значит, $f^*(\alpha)=0$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Поле частных} \определение Пусть $S\subset R$ -- подмножество кольца $R$, замкнутое относительно умножения, и не содержащее 0. {\бф \блуе Локализацией} кольца $R$ по $S$ называется кольцо, формально порожденное элементами вида $a/F$, где $a\in R$, $F\in S$ и с соотношениями $a/F \cdot b/G= ab/FG$, $a/F + b/G= \frac {a G + bF}{FG}$ и $aF^k/F^{k+n}=a/F^n$. \определение Пусть $R$ -- кольцо без делителей нуля, а $S$ -- множество всех ненулевых элементов $R$. {\бф\блуе Поле частных} $R$ есть локализация $R$ по $S$. \следствие Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- доминантный морфизм, где $X$ неприводимо. {\бф \пурпле Тогда $Y$ тоже неприводимо.} Более того, $f^*:\; \calo_Y \arrow \calo_X$ {\бф \ред продолжается до гомоморфизма полей частных, $k(Y)\arrow k(X)$.} \дшаг Поскольку $\calo_Y$ вложено в $\calo_X$, а последнее не имеет делителей нуля, {\бф \пурпле $\calo_Y$ не имеет делителей, нуля, а значит $Y$ неприводимо.} {\бф \греен Шаг 2:} Вложение колец без делителей нуля продолжается до полей частных: $f^*(a/F)=f^*(a)/f^*(F)$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Бирациональные морфизмы} \определение Доминантный морфизм неприводимых многообразий называется {\бф \блуе бирациональным}, если соответствующий гомоморфизм полей частных -- изоморфизм. \утверждение Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- бирациональный морфизм. Тогда существует замкнутое по Зарискому подмножество $Z\subset Y$ такое, что $f:\;( X\backslash f^{-1}(Z)) \arrow Y \backslash Z$ -- изоморфизм. \дшаг Поскольку $\calo_X$ конечно порождено, {\бф \пурпле найдется такое $F\in \calo_Y$, что для любого $а \in \calo_X$, существует $b\in \calo_Y$ такой, что $a = f\left(\frac b{F^k}\right)$.} Действительно, для каждой из образующих $\calo_X$ такое $F$ существует; перемножим полученные $F$-ы, благо их конечное число.. {\бф \греен Шаг 2:} Обозначим за $Z$ дивизор нулей $F$. Тогда на $Y \backslash Z$ функция $F$ обратима, и в силу шага 1 {\бф \ред гомоморфизм $f^*:\;( X\backslash f^{-1}(Z)) \arrow Y \backslash Z$ биективен на функциях.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Целая зависимость} \определение Пусть $A\subset B$ -- кольца. Элемент $b\in B$ называется {\бф \блуе целым над $A$}, если подкольцо $A[b]=A\cdot\langle 1,b,b^2, b^3, ... \rangle$, порожденное $b$ и $A$, конечно порождено как $A$-модуль. \определение Полином называется {\бф \блуе унитарным}, если его старший коэффициент равен 1. \утверждение Элемент {\бф \пурпле $x\in B$ цел над $A\subset B$ тогда и только тогда, когда цепочка $A$-подмодулей \[ A\subset A\cdot \langle 1,x\rangle \subset A\cdot \langle 1,x, x^2\rangle\subset A\cdot \langle 1,x, x^2, x^3\rangle \subset ... \] обрывается.} \доказательство Из обрывания цепочки конечная порожденность очевидна. Наоборот, если $A[x]$ конечно-порождено, то любая степень $x$ выражается через конечный набор образующих, которые сами выражаются через степени $x$. \ендпрооф \следствие $x$ цел над $A\subset B$ $\Leftrightarrow$ $x$ является корнем унитарного полинома с коэффициентами из $A$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Целое замыкание} \упражнение $x,y\in B\supset A$, причем $y$ цело над $A[x]$. {\бф \пурпле Докажите, что $y$ цело над $A$.} \ендпрооф \следствие Пусть $A\subset B$ нетерово кольцо. Тогда {\бф \ред сумма, произведение целых над $A$ элементов $x,y\in B$ -- целые.} \доказательство Поскольку $y$ цело над $A[x]$, кольцо $A[x,y]$ цело над $A$ {\бф \ред (проверьте это).} Поскольку {\бф \пурпле подмодуль конечно-порожденного $A$-модуля конечно порожден,} $x+y$ и $xy\in A[x,y]$ тоже целые. \endproof \определение Пусть $A\subset B$ -- кольца. Множество всех элементов $B$, целых над $A$, называется {\бф \блуе целым замыканием $A$ в $B$}. Множество всех элементов поля частных $A$, целых над $A$, называется {\бф\блуе целым замыканием $A$}. Кольцо $A\subset B$ называется {\бф\блуе целозамкнутым в $B$,} если оно совпадает со своим целым замыканием в $B$, и {\бф \блуе целозамкнутым}, если оно совпадает со своим целым замыканием в поле частных $k(A)$. \замечание В силу предыдущего следствия, {\бф \пурпле целое замыкание - это кольцо.} \определение Аффинное многообразие $X$ называется {\бф\блуе нормальным}, если его кольцо функций $\calo_X$ целозамкнуто. \newpage {\бф \блуе Факториальные кольца} \определение Кольцо называется {\бф\блуе факториальным}, если в нем имеет место однозначность разложения на простые сомножители. \утверждение {\бф \ред Пусть кольцо $A$ факториально. Тогда оно целозамкнуто.} \дшаг Пусть $u,v\in A$, а $u/v\in k(A)$ -- корень унитарного многочлена степени $n$. {\бф \пурпле Тогда $v^n$ делится на $u$ в $A$.} {\бф \греен Шаг 2:} Если $A$ факториально, а $u/v\in k(A)$ -- корень унитарного многочлена, то $v$ делится на $u$, в силу шага 1. Значит, {\бф \пурпле $u/v\in A$, а это и есть целозамкнутость.} \ендпрооф \теорема {\бф \блуе (Гаусс)} \\ Пусть $A$ -- факториальное кольцо. {\бф \ред Тогда $A[t]$ тоже факториально.} Доказательство см. листочки %\newpage % %{\бф \блуе Лемма Гаусса} % % %\определение %Полином $P(t)\in A[t]$ называется %{\бф \блуе примитивным}, если наибольший общий %делитель его коэффициентов равен 1. % %{\бф \греен Лемма Гаусса:} %Пусть $A$-- факториальное кольцо, %а $P(t)$, $Q(t)\in A[t]$ -- примитивные %полиномы. Тогда полином $P(t)Q(t)$ %примитивен. % %\дшаг %Пусть $P(t), Q(t)\in A[t]$, и не все %коэффициенты $P(t)$ и $Q(t)$ делятся на %простой элемент $p\in A$. {\бф \ред Тогда %$P(t)Q(t)\neq 0$ по модулю $p$.} %В самом деле, $A/(p)$ не имеет делитей нуля, %а значит $A[t]/(p)$ тоже. % %{\бф Шаг 2:} Если $P(t)Q(t)$ не примитивен, %значит, $P(t)Q(t)$ делится на простой $p\in A$. %Это невозможно в силу шага 1. %\ендпрооф % %\следствие %Пусть $A$ факториально, а $P(t)\in A[t]$ %неприводим. Тогда $P(t)$ неприводим над $k(A)$. % %\доказательство %Пусть $P(t)=P_1(t)P_2(t)$. Домножим $P_1(t)$, $P_2(t)$ %на % \невпаге {\бф \блуе Конечные морфизмы (повторение)} \определение Пусть $X \arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий. Этот морфизм называется {\бф \блуе конечным}, если $\calo_X$ конечно-порожден как $\calo_Y$-модуль. \теорема Пусть $X\stackrel f \arrow Y$ -- конечный морфизм. {\бф \ред Тогда для любой точки $y\in Y$, прообраз $f^{-1}(y)$ конечен.} \дшаг Поскольку $\calo_X$ конечно-порожден как $\calo_Y$-модуль, кольцо $R:=\calo_X\otimes_{\calo_Y}(\calo_Y/{\goth m}_y)$ конечно-порождено как $\calo_Y/{\goth m}_y$-модуль. Но поскольку $\calo_Y/{\goth m}_y=\C$, получаем, что {\бф \пурпле $R$ конечномерно.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $N$ -- нильрадикал $R$. Поскольку $R/N$ конечномерно, число простых идеалов в $R/N$ конечно. Значит, {\бф \пурпле $\Spec(R/N)$ -- конечное множество.} {\бф \греен Шаг 3:} {\бф \ред С другой стороны, $\Spec(R/N)=f^{-1}(y)$.} \ендпрооф \end{document}