\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig,
  russcorr, russlh, floatflt}

%\usepackage[UglyObsolete]{diagrams}

%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\def\wrappedimage#1#2#3{\par%
\begin{wrapfigure}{#1}{#2}%
\epsfig{file=#3,width=#2}%
\end{wrapfigure}\par%
}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\Av}{\operatorname{Av}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}}
\newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}}
\def\Aff{\operatorname{\sf Aff}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small  Алгебраическая геометрия, 
матфак ВШЭ, осень 2011 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Алгебраическая геометрия, \\[15mm]
\small лекция 7: тензорные произведения колец}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf Матфак ВШЭ, Москва
\\[2mm] 18 ноября 2011
}
\end{center}

\невпаге

{\бф \блуе Зачем нужны тензорные произведения?}

\упражнение
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий,
а $y\in Y$. {\бф \пурпле Докажите, что $f^{-1}(y)$ аффинно.} 

\вопрос
{\бф \ред Как описать $f^{-1}(y)$ в терминах конечно-порожденных
колец?}

{\бф \греен ОТВЕТ:} {\бф \блуе Надо использовать тензорное
произведение колец!}

\упражнение Пусть $X\subset \C^n$, $Y\subset \C^k$ --
алгебраические подмножества. Докажите, что
$X \times Y$ -- тоже алгебраическое

{\бф \ред Как описать $f^{-1}(y)$ в терминах конечно-порожденных
колец?}

{\бф \греен ОТВЕТ:} {\бф \блуе Надо использовать тензорное
произведение колец!}


\newpage

{\bf \blue Тензорное произведение (повторение)}


\определение
Пусть $R$ -- кольцо, $M, M'$ -- $R$-модули
Обозначим за $M\otimes_R M'$ $R$-модуль, который порожден
символами вида $m\otimes m'$, $m\in M, m'\in M'$,
по модулю соотношений вида \\
$r(m\otimes m')= (rm)\otimes m' = m\otimes (rm')$, \\
$(m+m_1) \otimes m'= m\otimes m' + m_1 \otimes m'$,\\
$m \otimes (m'+m_1')= m\otimes m' + m\otimes m'_1$.
Такой $R$-модуль называется {\бф \blue тензорным
произведением $M$ и $M'$.}

\замечание
Если $M$ порождено над $R$ набором $\{m_i\}$, а $M'$ порождено $\{m'_j\}$, то
$M\otimes_R M'$ порождено $\{m_i\otimes m'_j\}$.


\определение
Пусть $M_1, M_2, M$ -- $R$-модули. {\бф \блуе Билинейное отображение}
$\mu(M_1, M_2) \stackrel \phi\arrow M$ есть отображение,
которое удовлетворяет условиям
$\phi(rm, m') = \phi(m, rm') = r \phi(m, m')$,
$\phi(m+m_1,m')= \phi(m,m') + \phi(m_1, m')$,
$\phi(m,m'+m_1')= \phi(m, m') + \phi(m,m'_1)$.

\newpage

{\бф \блуе Универсальное свойство тензорного произведения}

\теорема
{\бф \блуе (Универсальное свойство тензорного произведения)}
Для каждого билинейного отображения
$B:\; M_1\times M_2\arrow  M$ {\bf \red существует единственный
гомоморфизм $b:\;M_1\otimes M_2 \arrow M$, делающий
следующую диаграмму коммутативной:} 
{\[ \begin{CD}
M_1\times M_2 @>>> M_1\otimes M_2\\
@V{\Id}VV @VVV\\
M_1\times M_2 @>>> M.
\end{CD}
\]
}

\определение
Пусть $M, M'$ -- $R$-модули. 
Рассмотрим группу $\Hom_R(M, M')$ гомоморфизмов.
Определим на $\Hom_R(M, M')$ 
структуру $R$-модуля, по формуле
$r\phi(m):= \phi(rm)$. Этот $R$-модуль
называется {\бф\блуе внутренний $\Hom$}.


\замечание
Из универсального свойства $\otimes$ следует, что
\[ \Hom_R(M_1\otimes_R M_2, M) = \Hom_R(M_1,
   \Hom_R(M_2, M)).
\] Действительно, {\bf \пурпле $\Hom_R(M_1, \Hom_R(M_2, M))$ 
есть то же самое, что и билинейные отображения $M_1\times M_2 \arrow M$.}


\newpage

{\бф \блуе Точность тензорного произведения (повторение)}


\теорема
Пусть $0 \arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ --
точная последовательность $R$-модулей. {\бф \ред Тогда
последовательность
\[ 
  M_1\otimes_R M \arrow M_2\otimes_R M \arrow M_3\otimes_R M\arrow 0 \ \ \ \ (*)
\]
всегда точна.}

\следствие
Если $I\subset R$ -- идеал, то $M\otimes_R(R/I)= M/IM$

\доказательство Домножив тензорно точную последовательность
$0\arrow I \arrow R \arrow R/I \arrow 0$ на $M$, получим
$IM \arrow M \arrow (R/I)\otimes_R M \arrow 0$.

\невпаге

{\bf \блуе Теорема Гильберта о нулях (повторение)}

Нам понадобится теорема Гильберта о нулях в следующем формате.

\теорема
{\бф \блуе (теорема Гильберта о нулях)}
Пусть $I\subset A$ -- идеал в конечно-порожденном
кольце над $\C$, $Z$ множество его общих нулей,
а $I_Z$ -- идеал всех функций, которые 
зануляются в $Z$. {\бф \ред Тогда $\calo_Z:= A/I_Z=(A/I)/N$,}
где $N$ есть нильрадикал $A/I$.

\дшаг Пусть $a$ зануляется в $Z$. 
{\бф \ред Тогда какая-то степень $a$ лежит в $I$. }
Иначе $\calo_Z[t]/(ta-1)$ было бы ненулевым кольцом, то есть
у идеала $\langle I, ta-1\rangle$ были бы общие нули,
что невозможно.

{\бф \греен Шаг 2:} Значит, $a\mod I$ есть нильпотент.
Поэтому {\бф \пурпле образ $I_Z$ в $A/I$ совпадает с $N$.} \ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Тензорное произведение колец}

\определение
Пусть $A, B$ -- кольца, а $C \arrow A, C \arrow B$
гомоморфизмы. Рассмотрим $A$ и $B$ как $C$-модули,
и пусть $A\otimes_C B$ -- тензорное произведение
этих $C$-модулей над $C$. Определим на $A\otimes_C B$
произведение по формуле $a\otimes b \cdot a'\otimes b' = aa'\otimes bb'$.
Таким образом определяется  {\бф \блуе тензорнoe произведение колец}.

\пример
$\C[t_1, ..., t_k]\otimes_\C \C[z_1, ..., z_n]=
\C[t_1, ..., t_k,z_1, ..., z_n]$. Действительно,
если обозначить полиномы степени $d$ за $\C_d[t_1, ..., t_k]$,
то $\C_d[t_1, ..., t_k]\otimes_\C \C_{d'}[z_1, ..., z_n]$ -- полиномы
степени $d$ по $t_i$ и степени $d'$ по $z_i$.

\пример
Для любого гомоморфизма $\phi:\; \C \arrow A$, {\бф \ред кольцо
$A\otimes_C (C/I)$ есть фактор $A$ по идеалу $A\cdot \phi(I)$}
(используем $M\otimes_R(R/I)= M/IM$).


\утверждение
{\бф \блуе (ассоциативность $\otimes$)}\\
Пусть $C\arrow A, C\arrow B, C' \arrow B, C' \arrow D$ -- гомоморфизмы
колец.
Докажите, что $(A\otimes_C B)\otimes_{C'} D=A\otimes_C (B\otimes_{C'} D)$

\доказательство
Из универсального свойства $\otimes$ следует, что\\
$\Hom((A\otimes_C B)\otimes_{C'} D, M)=
   \Hom(A\otimes_C (B\otimes_{C'} D), M)$
есть пространство
полилинейных отображений $A\otimes B\otimes D \arrow M$,
удовлетворяющих соотношениям $\phi(ca, b, d)=\phi(a, cb, d)$
и $\phi(a, c'b, d)=\phi(a, b, c'd)$.  \ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Тензорное произведение колец и прообраз точки}


\утверждение
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий,
$f^*:\; \calo_Y \arrow \calo_X$
соответствующий гомоморфизм колец, $y\in Y$ точка, 
а ${\goth m}_y$ ее максимальный идеал. Обозначим за $R_1$
фактор кольца $R:=\calo_X \otimes_{\calo Y}(\calo_Y/{\goth m}_y)$
по нильрадикалу. {\бф \ред Тогда $\Spec(R_1)=f^{-1}(y)$.}

\дшаг Если функция $\alpha \in \calo_Y$ зануляется в $y$,
то $f^*(\alpha)$ зануляется во всех точках $f^{-1}(y)$.
Значит, {\bf \purple  множество общих нулей $\Ann(I)$ идеала $I:=\calo_X\cdot f^*{\goth m}_y$
содержит $f^{-1}(y)$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Если $f(x)\neq y$, возьмем функцию
$\beta\in \calo_Y$, которая равна нулю в $y$ и не равна нулю
в $f(x)$. Поскольку $\phi^*(\beta)(x)\neq 0$, а $\beta (y)=0$,
$x\notin \Ann(I)$. {\bf \ред Мы доказали, что 
множество общих нулей идеала $I=\calo_X\cdot f^*{\goth m}_y$
равно $f^{-1}(y)$.}

{\бф \греен Шаг 3:} 
По теореме Гильберта о нулях, 
{\bf \purple $\calo_{f^{-1}(y)}$ есть фактор $R=\calo_X/I$ по нильрадикалу.}
\ендпрооф

\лемма
$A\otimes_C B \otimes_B B'= A\otimes_C B'$

\доказательство
Следует из ассоциативности тензорного произведения.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Тензорное произведение колец и произведение многообразий}

\лемма
$A \otimes_C (B/I) = A\otimes_C B/(1\otimes I)$

\доказательство Пользуясь $M\otimes_R(R/I)= M/IM$,
получаем 
\[ A \otimes_C (B/I)=(A \otimes_C B)\otimes_B(B/I) 
=(A \otimes_C B)/(1\otimes I)
\]
\ендпрооф


{\бф \греен ЛЕММА 1:}
Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные кольца над $\C$ без нильпотентов,
 $R:= A\otimes_\C B$ их произведение, а $N\subset R$
его нильрадикал. {\бф \ред Тогда $\Spec(R/N)= \Spec (A)\times \Spec(B)$.}

\дшаг
Пусть $A= \C[t_1, ..., t_n]/I, B= \C[z_1, ..., z_k]/J$.
Тогда $\C[t_1, ..., t_n]\otimes_\C\C[z_1, ..., z_k]=
\C[t_1, ..., t_n,z_1, ..., z_k]$. Дважды применяя предыдущую
лемму, {\бф \пурпле
получаем $ A\otimes_\C B=\C[t_1, ..., t_n,z_1, ..., z_k]/(I+J)$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Множество $\Ann_{I+J}$ общих нулей $I+J$ есть 
$\Spec (A)\times \Spec(B)\subset \C^n\times \C^k$. 

{\бф \греен Шаг 3:} Теорема Гильберта о нулях
дает $\Spec(R/N)=\Ann_{I+J}=\Spec (A)\times \Spec(B)$. \endproof


\newpage

{\бф \блуе Тензорное произведение колец и произведение многообразий
\\ (часть 2)}

\лемма 
Для любого конечно-порожденного кольца $A$ над $\C$,
{\бф\ред 
пересечение $P$ всех максимальных идеалов есть его нильрадикал.}


\доказательство
Пусть $A= \C[t_1, ..., t_n]/I$, а $Z$ -- множество общих нулей $I$.
По теореме Гильберта о нулях, функция 
{\бф \пурпле $f\in A$ лежит в нильрадикале $A$ тогда и 
только тогда, когда $f=0$ в каждой точке $Z$.}
Но это в точности значит, что $f$ лежит в $P$.
\ендпрооф



\упражнение
Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные кольца над $\C$,
$B \arrow A$ -- гомоморфизм, ${\goth m}\subset B$ 
максимальный идеал..
Тогда кольцо $A\otimes_B(B/{\goth m})$
{\бф \blue может иметь нильпотенты}, даже если
$A, B$ не имеют делителей нуля.
{\бф \red Приведите примеры.}


\теорема
Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные кольца над $\C$ без нильпотентов,
а $R:= A\otimes_\C B$ их произведение. {\бф \ред 
Тогда в $R$ нет нильпотентов.}


Доказательство см. следующий слайд.

\следствие 
$\Spec (A)\times \Spec(B)= \Spec(A\otimes_\C B)$.

\newpage

{\бф \блуе Тензорное произведение колец и произведение многообразий\\
(часть 3)}

\теорема
Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные кольца над $\C$ без нильпотентов,
а $R:= A\otimes_\C B$ их произведение. {\бф \ред 
Тогда в $R$ нет нильпотентов.}

\дшаг В силу предыдущей леммы,
{\бф \пурпле достаточно доказать, что пересечение $P$ максимальных
идеалов $R$ пусто.}

{\бф \греен Шаг 2:} Обозначим за $X,Y$
многообразия $\Spec (A), \Spec(B)$
Пользуясь Леммой 1, получим {\бф \блуе биекцию
между точками $X\times Y$ и максимальными
идеалами $R$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Каждый такой идеал имеет вид
${\goth m}_x\otimes 1 + 1 \otimes {\goth m}_y$,
где $x\in X, y\in Y$. Тогда
\[
P = \bigcap_{X\times Y}({\goth m}_x\otimes 1 + 1 \otimes {\goth m}_y)=
\bigcap_Y\left(\left(\bigcap_X {\goth m}_x\otimes 1 \right) + 1\otimes
{\goth m}_y\right) = \bigcap_Y 1 \otimes {\goth m}_y= 0
\]
потому что $\bigcap_Y 1 \otimes {\goth m}_y=
\bigcap_X {\goth m}_x\otimes 1 =0$ в силу отсутствия
нильпотентов в $A$ и $B$. \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Простые идеалы в артиновых кольцах}

\теорема
Пусть $R$ -- кольцо, конечномерное над полем $k$ 
\\{\бф \блуе ("артиново").}
{\бф \ред Тогда число простых идеалов $R$ конечно.}

{\бф \греен Схема доказательства:}

1. Факторизуем по нильрадикалу. {\бф \пурпле Получаем кольцо
с теми же простыми идеалами, тоже конечномерное,
но уже без нильпотентов.}

2. Доказываем, что {\бф \пурпле любое кольцо, конечномерное над полем
и без нильпотентов, есть прямая сумма полей.}

3. {\бф \пурпле Доказываем теорему для прямой суммы полей.}

\невпаге

{\бф \блуе Конечномерные алгебры над полем и идемпотенты}


\определение
Кольцо над полем (ассоциативное, коммутативное, но не
обязательно с единицей) будем называть {\бф \блуе
коммутативной алгеброй}.

\определение
{\бф \блуе Идемпотент} в алгебре есть элемент $a$ такой,
что $a^2=a$.


\утверждение
Пусть  $A$ -- коммутативная алгебра, в которой нет ненулевых идемпотентов,
и конечномерная над полем. {\бф \ред Тогда в $A$ все элементы --
нильпотенты.}

\дшаг
Поскольку $A$ конечномерно, любая убывающая
цепочка идеалов обрывается. Значит, {\бф \пурпле есть идеал $I\subset A$,
который не содержит ненулевых идеалов.}

{\бф \греен Шаг 2:} 
Поскольку в $A$ нет нильпотентов, $z^2\neq 0$. 
А поскольку $I$ минимальный, 
для любого $z\in I$, имеем $zI=I$. 

{\бф \греен Шаг 3:} Му доказали, что умножение на $z$ 
не имеет ядра. Следовательно, {\бф \пурпле все элементы
$I$ обратимы.} Мы получаем, кроме того, что $I$ вкладывается 
(некоммутативную) алгебру матриц $\Mat(I)$.

\невпаге

{\бф \блуе Конечномерные алгебры над полем 
и идемпотенты (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 4:} Поскольку $I$ конечномерно,
элементы $z, z^2, z^3, ...\in \End I$ линейно зависимы, что дает
выражение вида $P(z)=0$. Если у этого полинома нет
свободного члена, разделим на $z$, пользуясь тем, что
у $z$ нет ядра. Получим $\Id_I= az+ bz^2+ cz^3+ ...$.
{\бф \ред Значит, в $I$ есть идемпотент.}
\ендпрооф

\замечание
Аргумент шага 4 доказывает следующее утверждение.
Пусть $I$ -- коммутативная алгебра, 
конечномерная над полем, причем все элементы $I$ обратимы.
{\бф \пурпле Тогда $I$ содержит единицу, т.е. является полем.}

\следствие
Пусть $A$ есть кольцо, конечномерное над полем, и без
нильпотентов. Тогда {\бф \ред $A$ есть прямая сумма полей.}

\доказательство
В силу доказанного утверждения, $A$ содержит идемпотент $a$.
Тогда $a$ и $a-1$ -- идемпотенты, произведение которых
равно нулю, а сумма равна 1. {\бф \пурпле Это дает $A= aA \oplus (1-a)A$,
где $aA$ и $(1-a)A$ -- подалгебры с единицей.} Воспользовавшись
индукцией по $\dim A$, можно считать, что $aA$ и $(1-a)A$ --
прямые суммы полей. \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Простые идеалы в артиновых кольцах (продолжение)}

\лемма
Пусть $A$ есть прямая сумма полей, $A= \bigoplus_i k_i$.
{\бф \ред Тогда разложение $A= \bigoplus_i k_i$ определено
однозначно} с точностью до перестановки слагаемых.

\доказательство
Если $A= \bigoplus_i k_i = \bigoplus_i k_i'$,
каждое из полей $k_i$ разложится в прямую сумму,
$k_i= \bigoplus_j k_i\cap k_j'$.
Поскольку поле не имеет нетривиальных разложений
такого вида, {\бф \пурпле получаем, что $k_i=k_j'$ для
какого-то индекса $j$.} \ендпрооф


{\бф \блуе Для доказательства конечности числа простых идеалов
в артиновых кольцах, осталось убедиться в следующем.}

\лемма
Пусть $A$ есть прямая сумма полей, $A= \bigoplus_i k_i$. Тогда 
{\бф \ред число простых идеалов $A$ конечно.}

\доказательство
Пусть $I\subset A$ -- простой идеал. Поскольку
$A/I$ -- поле, каждое из слагаемых $A$ проектируется
в $A/I$ тождественно либо нулем. {\бф \ред Значит, $I$
есть прямая сумма всех $k_i$, кроме одного.}
Мы получили биекцию между слагаемыми прямой суммы
$A= \bigoplus_i k_i$ и простыми идеалами в $A$.
В силу вышеприведенной леммы, {\бф \пурпле разложение 
$A= \bigoplus_i k_i$ определено однозначно.}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Конечные морфизмы}

\упражнение
Если $M$ -- конечно-порожденный $R$-модуль,
а $R\arrow R'$ -- гомоморфизм колец.
{\бф \пурпле Докажите, что $M \otimes_R R'$ 
-- конечно-порожденный $R'$-модуль.}


\определение
Пусть $X \arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий.
Этот морфизм называется {\бф \блуе конечным}, если
$\calo_X$ конечно-порожден как $\calo_Y$-модуль.

\теорема
Пусть $X\stackrel f \arrow Y$ -- конечный морфизм.
{\бф \ред Тогда для любой точки $y\in Y$, прообраз $f^{-1}(y)$
конечен.}

\дшаг
Поскольку $\calo_X$ конечно-порожден как $\calo_Y$-модуль,
кольцо $R:=\calo_X\otimes_{\calo_Y}(\calo_Y/{\goth m}_y)$
конечно-порождено как $\calo_Y/{\goth m}_y$-модуль.
Но поскольку $\calo_Y/{\goth m}_y=\C$, 
получаем, что {\бф \пурпле $R$ конечномерно.}

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $N$ -- нильрадикал $R$.
В силу доказанного выше, {\бф \пурпле $\Spec(R/N)$ -- конечное множество.}

{\бф \греен Шаг 3:} {\бф \ред С другой стороны, $\Spec(R/N)=f^{-1}(y)$.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Расширения полей и тензорное произведение}



\определение
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение полей.
Элемент $x\in K$ называется {\бф \блуе примитивным},
если линейные
комбинации $x^i$ с коэффициентами из $k$ порождают $K$.

\замечание
Для любого конечного расширения
$[K:k]$, есть последовательность расширений
$K= K_0\supset K_1 \supset K_2\supset...\supset K_n=k$
такая, что $[K_i:K_{i+1}]$ порождено примитивным элементом.

\лемма
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение полей характеристики 0.
{\бф \ред Тогда $K\otimes_k \bar k$ изоморфно прямой сумме
нескольких копий $\bar k$,} где где $\bar k$ есть алгебраическое
замыкание $k$.

\невпаге

{\бф \блуе Расширения полей и тензорное произведение
(продолжение)}

\дшаг
Пусть $K_i$ такие, как в замечании выше.
Тогда $K\otimes_k \bar k = K\otimes_{K_1} (K_1\otimes_k \bar k)$. 
Действуя по индукции, можно считать, что 
$K_1\otimes_k \bar k$ есть прямая сумма нескольких копий $\bar k$.
{\bf \red Осталось доказать, что кольцо
\[ 
  K\otimes_k \bar k= K\otimes_{K_1} (K_1\otimes_k \bar k) =
  K\otimes_{K_1} \left (\bigoplus_i \bar k\right)
\]
изоморфно $\bigoplus_j \bar k$. }


{\бф \греен Шаг 2:} Поскольку
$K=K_1[t]/(P)$, где $P$ -- неприводимый полином,
корнем которого является $x$, {\бф \пурпле достаточно убедиться, что
для любого неприводимого полинома $P(t)$ над $k$, кольцо 
$(k[t]/(P))\otimes_k \bar k$ изоморфно прямой сумме полей.}

{\бф \греен Шаг 3:} Пусть $\alpha_i$ -- корни $P$ в $\bar k$.
{\бф \ред Среди них нет кратных,} потому что иначе у $P(t)$ и $P'(t)$
был бы общий делитель, что противоречит неприводимости.

{\бф \греен Шаг 4:} Значит, 
$K\otimes_k \bar k= \bigoplus_i \bar k[t]/(t-\alpha_i)$.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Теорема о примитивном элементе }


\теорема {\бф \блуе ("теорема о примитивном элементе")}\\
{\бф \ред У каждого конечного расширения полей
 $[K:k]$ характеристики 0 найдется  примитивный элемент.}

\дшаг 
{\бф \пурпле Число промежуточных
полей $K\supset K'\supset k$ конечно.} В самом деле, все такие поля
соответствуют $\bar k$-подалгебрам в $K\otimes_k\bar k$,
а {\бф \ред 
их конечное число потому, что $K\otimes_k\bar k=\bigoplus_i \bar k$}.

{\бф \греен Шаг 2:} Возьмем в качестве $x$ элемент, который не принадлежит
никаким промежуточным подполям; их конечное число, и они все являются
$k$-подпространствами в $K$ положительной коразмерности.
{\бф \пурпле Значит, $x$ примитивен.}
\ендпрооф







\end{document}
