\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, floatflt} %\usepackage[UglyObsolete]{diagrams} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \def\wrappedimage#1#2#3{\par% \begin{wrapfigure}{#1}{#2}% \epsfig{file=#3,width=#2}% \end{wrapfigure}\par% } \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\Av}{\operatorname{Av}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}} \newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}} \def\Aff{\operatorname{\sf Aff}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Алгебраическая геометрия, матфак ВШЭ, осень 2011 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Алгебраическая геометрия, \\[15mm] \small лекция 7: тензорные произведения колец} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 18 ноября 2011 } \end{center} \невпаге {\бф \блуе Зачем нужны тензорные произведения?} \упражнение Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий, а $y\in Y$. {\бф \пурпле Докажите, что $f^{-1}(y)$ аффинно.} \вопрос {\бф \ред Как описать $f^{-1}(y)$ в терминах конечно-порожденных колец?} {\бф \греен ОТВЕТ:} {\бф \блуе Надо использовать тензорное произведение колец!} \упражнение Пусть $X\subset \C^n$, $Y\subset \C^k$ -- алгебраические подмножества. Докажите, что $X \times Y$ -- тоже алгебраическое {\бф \ред Как описать $f^{-1}(y)$ в терминах конечно-порожденных колец?} {\бф \греен ОТВЕТ:} {\бф \блуе Надо использовать тензорное произведение колец!} \newpage {\bf \blue Тензорное произведение (повторение)} \определение Пусть $R$ -- кольцо, $M, M'$ -- $R$-модули Обозначим за $M\otimes_R M'$ $R$-модуль, который порожден символами вида $m\otimes m'$, $m\in M, m'\in M'$, по модулю соотношений вида \\ $r(m\otimes m')= (rm)\otimes m' = m\otimes (rm')$, \\ $(m+m_1) \otimes m'= m\otimes m' + m_1 \otimes m'$,\\ $m \otimes (m'+m_1')= m\otimes m' + m\otimes m'_1$. Такой $R$-модуль называется {\бф \blue тензорным произведением $M$ и $M'$.} \замечание Если $M$ порождено над $R$ набором $\{m_i\}$, а $M'$ порождено $\{m'_j\}$, то $M\otimes_R M'$ порождено $\{m_i\otimes m'_j\}$. \определение Пусть $M_1, M_2, M$ -- $R$-модули. {\бф \блуе Билинейное отображение} $\mu(M_1, M_2) \stackrel \phi\arrow M$ есть отображение, которое удовлетворяет условиям $\phi(rm, m') = \phi(m, rm') = r \phi(m, m')$, $\phi(m+m_1,m')= \phi(m,m') + \phi(m_1, m')$, $\phi(m,m'+m_1')= \phi(m, m') + \phi(m,m'_1)$. \newpage {\бф \блуе Универсальное свойство тензорного произведения} \теорема {\бф \блуе (Универсальное свойство тензорного произведения)} Для каждого билинейного отображения $B:\; M_1\times M_2\arrow M$ {\bf \red существует единственный гомоморфизм $b:\;M_1\otimes M_2 \arrow M$, делающий следующую диаграмму коммутативной:} {\[ \begin{CD} M_1\times M_2 @>>> M_1\otimes M_2\\ @V{\Id}VV @VVV\\ M_1\times M_2 @>>> M. \end{CD} \] } \определение Пусть $M, M'$ -- $R$-модули. Рассмотрим группу $\Hom_R(M, M')$ гомоморфизмов. Определим на $\Hom_R(M, M')$ структуру $R$-модуля, по формуле $r\phi(m):= \phi(rm)$. Этот $R$-модуль называется {\бф\блуе внутренний $\Hom$}. \замечание Из универсального свойства $\otimes$ следует, что \[ \Hom_R(M_1\otimes_R M_2, M) = \Hom_R(M_1, \Hom_R(M_2, M)). \] Действительно, {\bf \пурпле $\Hom_R(M_1, \Hom_R(M_2, M))$ есть то же самое, что и билинейные отображения $M_1\times M_2 \arrow M$.} \newpage {\бф \блуе Точность тензорного произведения (повторение)} \теорема Пусть $0 \arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ -- точная последовательность $R$-модулей. {\бф \ред Тогда последовательность \[ M_1\otimes_R M \arrow M_2\otimes_R M \arrow M_3\otimes_R M\arrow 0 \ \ \ \ (*) \] всегда точна.} \следствие Если $I\subset R$ -- идеал, то $M\otimes_R(R/I)= M/IM$ \доказательство Домножив тензорно точную последовательность $0\arrow I \arrow R \arrow R/I \arrow 0$ на $M$, получим $IM \arrow M \arrow (R/I)\otimes_R M \arrow 0$. \невпаге {\bf \блуе Теорема Гильберта о нулях (повторение)} Нам понадобится теорема Гильберта о нулях в следующем формате. \теорема {\бф \блуе (теорема Гильберта о нулях)} Пусть $I\subset A$ -- идеал в конечно-порожденном кольце над $\C$, $Z$ множество его общих нулей, а $I_Z$ -- идеал всех функций, которые зануляются в $Z$. {\бф \ред Тогда $\calo_Z:= A/I_Z=(A/I)/N$,} где $N$ есть нильрадикал $A/I$. \дшаг Пусть $a$ зануляется в $Z$. {\бф \ред Тогда какая-то степень $a$ лежит в $I$. } Иначе $\calo_Z[t]/(ta-1)$ было бы ненулевым кольцом, то есть у идеала $\langle I, ta-1\rangle$ были бы общие нули, что невозможно. {\бф \греен Шаг 2:} Значит, $a\mod I$ есть нильпотент. Поэтому {\бф \пурпле образ $I_Z$ в $A/I$ совпадает с $N$.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Тензорное произведение колец} \определение Пусть $A, B$ -- кольца, а $C \arrow A, C \arrow B$ гомоморфизмы. Рассмотрим $A$ и $B$ как $C$-модули, и пусть $A\otimes_C B$ -- тензорное произведение этих $C$-модулей над $C$. Определим на $A\otimes_C B$ произведение по формуле $a\otimes b \cdot a'\otimes b' = aa'\otimes bb'$. Таким образом определяется {\бф \блуе тензорнoe произведение колец}. \пример $\C[t_1, ..., t_k]\otimes_\C \C[z_1, ..., z_n]= \C[t_1, ..., t_k,z_1, ..., z_n]$. Действительно, если обозначить полиномы степени $d$ за $\C_d[t_1, ..., t_k]$, то $\C_d[t_1, ..., t_k]\otimes_\C \C_{d'}[z_1, ..., z_n]$ -- полиномы степени $d$ по $t_i$ и степени $d'$ по $z_i$. \пример Для любого гомоморфизма $\phi:\; \C \arrow A$, {\бф \ред кольцо $A\otimes_C (C/I)$ есть фактор $A$ по идеалу $A\cdot \phi(I)$} (используем $M\otimes_R(R/I)= M/IM$). \утверждение {\бф \блуе (ассоциативность $\otimes$)}\\ Пусть $C\arrow A, C\arrow B, C' \arrow B, C' \arrow D$ -- гомоморфизмы колец. Докажите, что $(A\otimes_C B)\otimes_{C'} D=A\otimes_C (B\otimes_{C'} D)$ \доказательство Из универсального свойства $\otimes$ следует, что\\ $\Hom((A\otimes_C B)\otimes_{C'} D, M)= \Hom(A\otimes_C (B\otimes_{C'} D), M)$ есть пространство полилинейных отображений $A\otimes B\otimes D \arrow M$, удовлетворяющих соотношениям $\phi(ca, b, d)=\phi(a, cb, d)$ и $\phi(a, c'b, d)=\phi(a, b, c'd)$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Тензорное произведение колец и прообраз точки} \утверждение Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий, $f^*:\; \calo_Y \arrow \calo_X$ соответствующий гомоморфизм колец, $y\in Y$ точка, а ${\goth m}_y$ ее максимальный идеал. Обозначим за $R_1$ фактор кольца $R:=\calo_X \otimes_{\calo Y}(\calo_Y/{\goth m}_y)$ по нильрадикалу. {\бф \ред Тогда $\Spec(R_1)=f^{-1}(y)$.} \дшаг Если функция $\alpha \in \calo_Y$ зануляется в $y$, то $f^*(\alpha)$ зануляется во всех точках $f^{-1}(y)$. Значит, {\bf \purple множество общих нулей $\Ann(I)$ идеала $I:=\calo_X\cdot f^*{\goth m}_y$ содержит $f^{-1}(y)$.} {\бф \греен Шаг 2:} Если $f(x)\neq y$, возьмем функцию $\beta\in \calo_Y$, которая равна нулю в $y$ и не равна нулю в $f(x)$. Поскольку $\phi^*(\beta)(x)\neq 0$, а $\beta (y)=0$, $x\notin \Ann(I)$. {\bf \ред Мы доказали, что множество общих нулей идеала $I=\calo_X\cdot f^*{\goth m}_y$ равно $f^{-1}(y)$.} {\бф \греен Шаг 3:} По теореме Гильберта о нулях, {\bf \purple $\calo_{f^{-1}(y)}$ есть фактор $R=\calo_X/I$ по нильрадикалу.} \ендпрооф \лемма $A\otimes_C B \otimes_B B'= A\otimes_C B'$ \доказательство Следует из ассоциативности тензорного произведения. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Тензорное произведение колец и произведение многообразий} \лемма $A \otimes_C (B/I) = A\otimes_C B/(1\otimes I)$ \доказательство Пользуясь $M\otimes_R(R/I)= M/IM$, получаем \[ A \otimes_C (B/I)=(A \otimes_C B)\otimes_B(B/I) =(A \otimes_C B)/(1\otimes I) \] \ендпрооф {\бф \греен ЛЕММА 1:} Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные кольца над $\C$ без нильпотентов, $R:= A\otimes_\C B$ их произведение, а $N\subset R$ его нильрадикал. {\бф \ред Тогда $\Spec(R/N)= \Spec (A)\times \Spec(B)$.} \дшаг Пусть $A= \C[t_1, ..., t_n]/I, B= \C[z_1, ..., z_k]/J$. Тогда $\C[t_1, ..., t_n]\otimes_\C\C[z_1, ..., z_k]= \C[t_1, ..., t_n,z_1, ..., z_k]$. Дважды применяя предыдущую лемму, {\бф \пурпле получаем $ A\otimes_\C B=\C[t_1, ..., t_n,z_1, ..., z_k]/(I+J)$.} {\бф \греен Шаг 2:} Множество $\Ann_{I+J}$ общих нулей $I+J$ есть $\Spec (A)\times \Spec(B)\subset \C^n\times \C^k$. {\бф \греен Шаг 3:} Теорема Гильберта о нулях дает $\Spec(R/N)=\Ann_{I+J}=\Spec (A)\times \Spec(B)$. \endproof \newpage {\бф \блуе Тензорное произведение колец и произведение многообразий \\ (часть 2)} \лемма Для любого конечно-порожденного кольца $A$ над $\C$, {\бф\ред пересечение $P$ всех максимальных идеалов есть его нильрадикал.} \доказательство Пусть $A= \C[t_1, ..., t_n]/I$, а $Z$ -- множество общих нулей $I$. По теореме Гильберта о нулях, функция {\бф \пурпле $f\in A$ лежит в нильрадикале $A$ тогда и только тогда, когда $f=0$ в каждой точке $Z$.} Но это в точности значит, что $f$ лежит в $P$. \ендпрооф \упражнение Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные кольца над $\C$, $B \arrow A$ -- гомоморфизм, ${\goth m}\subset B$ максимальный идеал.. Тогда кольцо $A\otimes_B(B/{\goth m})$ {\бф \blue может иметь нильпотенты}, даже если $A, B$ не имеют делителей нуля. {\бф \red Приведите примеры.} \теорема Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные кольца над $\C$ без нильпотентов, а $R:= A\otimes_\C B$ их произведение. {\бф \ред Тогда в $R$ нет нильпотентов.} Доказательство см. следующий слайд. \следствие $\Spec (A)\times \Spec(B)= \Spec(A\otimes_\C B)$. \newpage {\бф \блуе Тензорное произведение колец и произведение многообразий\\ (часть 3)} \теорема Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные кольца над $\C$ без нильпотентов, а $R:= A\otimes_\C B$ их произведение. {\бф \ред Тогда в $R$ нет нильпотентов.} \дшаг В силу предыдущей леммы, {\бф \пурпле достаточно доказать, что пересечение $P$ максимальных идеалов $R$ пусто.} {\бф \греен Шаг 2:} Обозначим за $X,Y$ многообразия $\Spec (A), \Spec(B)$ Пользуясь Леммой 1, получим {\бф \блуе биекцию между точками $X\times Y$ и максимальными идеалами $R$.} {\бф \греен Шаг 3:} Каждый такой идеал имеет вид ${\goth m}_x\otimes 1 + 1 \otimes {\goth m}_y$, где $x\in X, y\in Y$. Тогда \[ P = \bigcap_{X\times Y}({\goth m}_x\otimes 1 + 1 \otimes {\goth m}_y)= \bigcap_Y\left(\left(\bigcap_X {\goth m}_x\otimes 1 \right) + 1\otimes {\goth m}_y\right) = \bigcap_Y 1 \otimes {\goth m}_y= 0 \] потому что $\bigcap_Y 1 \otimes {\goth m}_y= \bigcap_X {\goth m}_x\otimes 1 =0$ в силу отсутствия нильпотентов в $A$ и $B$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Простые идеалы в артиновых кольцах} \теорема Пусть $R$ -- кольцо, конечномерное над полем $k$ \\{\бф \блуе ("артиново").} {\бф \ред Тогда число простых идеалов $R$ конечно.} {\бф \греен Схема доказательства:} 1. Факторизуем по нильрадикалу. {\бф \пурпле Получаем кольцо с теми же простыми идеалами, тоже конечномерное, но уже без нильпотентов.} 2. Доказываем, что {\бф \пурпле любое кольцо, конечномерное над полем и без нильпотентов, есть прямая сумма полей.} 3. {\бф \пурпле Доказываем теорему для прямой суммы полей.} \невпаге {\бф \блуе Конечномерные алгебры над полем и идемпотенты} \определение Кольцо над полем (ассоциативное, коммутативное, но не обязательно с единицей) будем называть {\бф \блуе коммутативной алгеброй}. \определение {\бф \блуе Идемпотент} в алгебре есть элемент $a$ такой, что $a^2=a$. \утверждение Пусть $A$ -- коммутативная алгебра, в которой нет ненулевых идемпотентов, и конечномерная над полем. {\бф \ред Тогда в $A$ все элементы -- нильпотенты.} \дшаг Поскольку $A$ конечномерно, любая убывающая цепочка идеалов обрывается. Значит, {\бф \пурпле есть идеал $I\subset A$, который не содержит ненулевых идеалов.} {\бф \греен Шаг 2:} Поскольку в $A$ нет нильпотентов, $z^2\neq 0$. А поскольку $I$ минимальный, для любого $z\in I$, имеем $zI=I$. {\бф \греен Шаг 3:} Му доказали, что умножение на $z$ не имеет ядра. Следовательно, {\бф \пурпле все элементы $I$ обратимы.} Мы получаем, кроме того, что $I$ вкладывается (некоммутативную) алгебру матриц $\Mat(I)$. \невпаге {\бф \блуе Конечномерные алгебры над полем и идемпотенты (продолжение)} {\бф \греен Шаг 4:} Поскольку $I$ конечномерно, элементы $z, z^2, z^3, ...\in \End I$ линейно зависимы, что дает выражение вида $P(z)=0$. Если у этого полинома нет свободного члена, разделим на $z$, пользуясь тем, что у $z$ нет ядра. Получим $\Id_I= az+ bz^2+ cz^3+ ...$. {\бф \ред Значит, в $I$ есть идемпотент.} \ендпрооф \замечание Аргумент шага 4 доказывает следующее утверждение. Пусть $I$ -- коммутативная алгебра, конечномерная над полем, причем все элементы $I$ обратимы. {\бф \пурпле Тогда $I$ содержит единицу, т.е. является полем.} \следствие Пусть $A$ есть кольцо, конечномерное над полем, и без нильпотентов. Тогда {\бф \ред $A$ есть прямая сумма полей.} \доказательство В силу доказанного утверждения, $A$ содержит идемпотент $a$. Тогда $a$ и $a-1$ -- идемпотенты, произведение которых равно нулю, а сумма равна 1. {\бф \пурпле Это дает $A= aA \oplus (1-a)A$, где $aA$ и $(1-a)A$ -- подалгебры с единицей.} Воспользовавшись индукцией по $\dim A$, можно считать, что $aA$ и $(1-a)A$ -- прямые суммы полей. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Простые идеалы в артиновых кольцах (продолжение)} \лемма Пусть $A$ есть прямая сумма полей, $A= \bigoplus_i k_i$. {\бф \ред Тогда разложение $A= \bigoplus_i k_i$ определено однозначно} с точностью до перестановки слагаемых. \доказательство Если $A= \bigoplus_i k_i = \bigoplus_i k_i'$, каждое из полей $k_i$ разложится в прямую сумму, $k_i= \bigoplus_j k_i\cap k_j'$. Поскольку поле не имеет нетривиальных разложений такого вида, {\бф \пурпле получаем, что $k_i=k_j'$ для какого-то индекса $j$.} \ендпрооф {\бф \блуе Для доказательства конечности числа простых идеалов в артиновых кольцах, осталось убедиться в следующем.} \лемма Пусть $A$ есть прямая сумма полей, $A= \bigoplus_i k_i$. Тогда {\бф \ред число простых идеалов $A$ конечно.} \доказательство Пусть $I\subset A$ -- простой идеал. Поскольку $A/I$ -- поле, каждое из слагаемых $A$ проектируется в $A/I$ тождественно либо нулем. {\бф \ред Значит, $I$ есть прямая сумма всех $k_i$, кроме одного.} Мы получили биекцию между слагаемыми прямой суммы $A= \bigoplus_i k_i$ и простыми идеалами в $A$. В силу вышеприведенной леммы, {\бф \пурпле разложение $A= \bigoplus_i k_i$ определено однозначно.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Конечные морфизмы} \упражнение Если $M$ -- конечно-порожденный $R$-модуль, а $R\arrow R'$ -- гомоморфизм колец. {\бф \пурпле Докажите, что $M \otimes_R R'$ -- конечно-порожденный $R'$-модуль.} \определение Пусть $X \arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий. Этот морфизм называется {\бф \блуе конечным}, если $\calo_X$ конечно-порожден как $\calo_Y$-модуль. \теорема Пусть $X\stackrel f \arrow Y$ -- конечный морфизм. {\бф \ред Тогда для любой точки $y\in Y$, прообраз $f^{-1}(y)$ конечен.} \дшаг Поскольку $\calo_X$ конечно-порожден как $\calo_Y$-модуль, кольцо $R:=\calo_X\otimes_{\calo_Y}(\calo_Y/{\goth m}_y)$ конечно-порождено как $\calo_Y/{\goth m}_y$-модуль. Но поскольку $\calo_Y/{\goth m}_y=\C$, получаем, что {\бф \пурпле $R$ конечномерно.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $N$ -- нильрадикал $R$. В силу доказанного выше, {\бф \пурпле $\Spec(R/N)$ -- конечное множество.} {\бф \греен Шаг 3:} {\бф \ред С другой стороны, $\Spec(R/N)=f^{-1}(y)$.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Расширения полей и тензорное произведение} \определение Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение полей. Элемент $x\in K$ называется {\бф \блуе примитивным}, если линейные комбинации $x^i$ с коэффициентами из $k$ порождают $K$. \замечание Для любого конечного расширения $[K:k]$, есть последовательность расширений $K= K_0\supset K_1 \supset K_2\supset...\supset K_n=k$ такая, что $[K_i:K_{i+1}]$ порождено примитивным элементом. \лемма Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение полей характеристики 0. {\бф \ред Тогда $K\otimes_k \bar k$ изоморфно прямой сумме нескольких копий $\bar k$,} где где $\bar k$ есть алгебраическое замыкание $k$. \невпаге {\бф \блуе Расширения полей и тензорное произведение (продолжение)} \дшаг Пусть $K_i$ такие, как в замечании выше. Тогда $K\otimes_k \bar k = K\otimes_{K_1} (K_1\otimes_k \bar k)$. Действуя по индукции, можно считать, что $K_1\otimes_k \bar k$ есть прямая сумма нескольких копий $\bar k$. {\bf \red Осталось доказать, что кольцо \[ K\otimes_k \bar k= K\otimes_{K_1} (K_1\otimes_k \bar k) = K\otimes_{K_1} \left (\bigoplus_i \bar k\right) \] изоморфно $\bigoplus_j \bar k$. } {\бф \греен Шаг 2:} Поскольку $K=K_1[t]/(P)$, где $P$ -- неприводимый полином, корнем которого является $x$, {\бф \пурпле достаточно убедиться, что для любого неприводимого полинома $P(t)$ над $k$, кольцо $(k[t]/(P))\otimes_k \bar k$ изоморфно прямой сумме полей.} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $\alpha_i$ -- корни $P$ в $\bar k$. {\бф \ред Среди них нет кратных,} потому что иначе у $P(t)$ и $P'(t)$ был бы общий делитель, что противоречит неприводимости. {\бф \греен Шаг 4:} Значит, $K\otimes_k \bar k= \bigoplus_i \bar k[t]/(t-\alpha_i)$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Теорема о примитивном элементе } \теорема {\бф \блуе ("теорема о примитивном элементе")}\\ {\бф \ред У каждого конечного расширения полей $[K:k]$ характеристики 0 найдется примитивный элемент.} \дшаг {\бф \пурпле Число промежуточных полей $K\supset K'\supset k$ конечно.} В самом деле, все такие поля соответствуют $\bar k$-подалгебрам в $K\otimes_k\bar k$, а {\бф \ред их конечное число потому, что $K\otimes_k\bar k=\bigoplus_i \bar k$}. {\бф \греен Шаг 2:} Возьмем в качестве $x$ элемент, который не принадлежит никаким промежуточным подполям; их конечное число, и они все являются $k$-подпространствами в $K$ положительной коразмерности. {\бф \пурпле Значит, $x$ примитивен.} \ендпрооф \end{document}