\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, floatflt} \usepackage[UglyObsolete]{diagrams} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \def\wrappedimage#1#2#3{\par% \begin{wrapfigure}{#1}{#2}% \epsfig{file=#3,width=#2}% \end{wrapfigure}\par% } \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\Av}{\operatorname{Av}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}} \newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}} \def\Aff{\operatorname{\sf Aff}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Алгебраическая геометрия, матфак ВШЭ, осень 2011 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Алгебраическая геометрия, \\[15mm] \small лекция 6: тензорные произведения модулей} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 11 ноября 2011 } \end{center} \невпаге {\бф \блуе Отступление: ординалы, аксиома выбора, континуум-гипотеза} Пусть $\phi:\; A \arrow B$ -- сюрьективное отображение множеств. {\bf\blue Сечением} отображения $\phi$ называется отображение $\psi:\; B \arrow A$, такое, что $\psi\circ \phi=\Id$. \begin{center} \epsfig{file=sechenie.png,width=0.25\linewidth} \end{center} {\bf \red Аксиома выбора утверждает, что каждое сюрьективное отображение имеет сечение} \newpage \begin{center} \epsfig{file=Zermelo.jpg,width=0.45\linewidth}\\ {Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo\\ (1871 - 1953)} \end{center} \newpage {\bf \blue Вполне упорядоченные множества} {\bf \green Определение:} Пусть $(X, \prec)$ -- линейно упорядоченное множество, а $Y \subset X$ -- его подмножество. Элемент $y_0\in Y$ называется {\bf\blue минимальным}, если для любого $y\in Y$, имеем $y_0\preccurlyeq y$. Линейно упорядоченное множество называется {\bf\blue вполне упорядоченным}, если любое его подмножество имеет минимальный элемент. Отношение порядка на таком множестве называется {\bf\blue отношение полного порядка}. {\bf \green Определение:} {\bf\blue Начальным элементом} вполне упорядоченного множества называется его минимальный элемент. {\bf\blue Отрезком} линейно упорядоченного множества $(X, \prec)$ называется подмножество $Y\subset X$ такое, что для любых $x, z\in Y$, и любого $y\in X$ такого, что $x\prec y\prec z$, имеем $y\in Y$. {\bf\blue Начальным отрезком} вполне упорядоченного множества называется отрезок, содержащий минимальный элемент. \newpage \begin{center} \epsfig{file=Cantor.jpg,width=0.40\linewidth}\\ {Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor\\ (1845 - 1918)} \end{center} \newpage {\bf \blue Сравнение ординалов} {\bf \green Определение:} Два вполне упорядоченных множества называются {\bf\blue изоморфными}, если между ними есть биекция, сохраняющая порядок. Классы изоморфизма вполне упорядоченных множеств называются {\bf\blue ординалами}, или же {\bf\blue ординальными числами}. {\bf \green Теорема:} Пусть $X$, $Y$ -- вполне упорядоченные множества. {\бф \ред Тогда $X$ изоморфно начальному отрезку $Y$, либо $Y$ изоморфно начальному отрезку $X$.} Более того, такой изоморфизм определен однозначно. {\bf\green Доказательство теоремы о сравнении ординалов.} Пусть $Z$ -- множество пар $(X_1, Y_1)$ изоморфных начальных отрезков $X$ и $Y$. {\bf\green Шаг 1:} {\bf \purple Изоморфизм начальных отрезков $(X_1, Y_1)$ определяется однозначно множеством $X_1$.} В самом деле, пусть существует два различных вложения $\phi:\; X_1\arrow Y$ и $\phi':\; X_1\arrow Y$, задающие изоморфизм $X_1$ и начального отрезка $Y$. Обозначим за $x$ минимальный элемент $X_1$, такой, что $\phi(x) \neq \phi'(x)$. Тогда $\phi\restrict{[x_0, x[}= \phi'\restrict{[x_0, x[}$, следовательно, $\phi(x) = \phi'(x)$. \newpage {\bf \blue Сравнение ординалов (продолжение)} {\bf\green Шаг 2:} {\bf \purple Мы получили, что $Z$ упорядочено по включению, и это отношение задает на $Z$ полный порядок. } Пусть $x$ -- минимальный элемент $X$, не принадлежащий $X_1$ для какого-то $(X_1, Y_1)\in Z$. Если такого нет, это значит, что $X$ изоморфен начальному отрезку $Y$. Если $Y_1=Y$, мы все доказали. В противном случае, начальный отрезок $[x_0, x[$ изоморфен начальному отрезку $[y_0, y[$, следовательно, отрезок $[x_0, x]$ изоморфен $[y_0, y]$. Мы пришли к противоречию! \ендпрооф {\bf\green Замечание:} {\bf \red Эта теорема определяет порядок на ординалах:} один ординал меньше другого, если первый изоморфен отрезку второго. {\бф \греен ГИПОТЕЗА КОНТИНУУМА: (23-я проблема Гильберта)}\\ Докажите или опровергните, что наименьший несчетный ординал равномощен континууму, т.е. $\R$. {\бф \блуе Курт Гедель (1940):} Континуум-гипотезу нельзя опровергнуть из системы аксиом ZFC Цермело-Френкеля. {\бф \блуе Пол Коэн (1963):} Континуум-гипотезу нельзя вывести из системы аксиом ZFC Цермело-Френкеля. \newpage {\bf \blue Лемма Цорна и теорема Цермело} \определение Пусть $(S, \prec)$ -- частично упорядоченное множество. Элемент $x\in S$ называется {\bf\blue максимальным}, если не существует $y\in S$ с $x\prec y$. Для подмножества $S_1\subset S$ и $x\in S$, мы пишем $S_1 \preccurlyeq х$, если для каждого $\xi \in S_1$ имеем $\xi \preccurlyeq x$. {\bf \green Лемма Цорна} Пусть $(S, \prec)$ -- частично упорядоченное множество, причем для любого вполне упорядоченного подмножества $S_1\subset S$ найдется элемент $\xi\in S$ такой, что $S_1 \preccurlyeq \xi$. Тогда в $S$ найдется максимальный элемент. {\bf \green Теорема Цермело:} ("well-ordering theorem") Любое множество может быть вполне упорядочено. {\bf \green Теорема:} Следующие утверждения равносильны:\\ {\bf \red ZL:} Лемма Цорна\\ {\bf \red WOT:} Теорема Цермело\\ {\bf \red AC:} Аксиома выбора. {\purple <> (шутка)} \newpage \begin{center} \epsfig{file=Zorn.jpg,width=0.40\linewidth}\\ {Max August Zorn\\ (1906 - 1993)} \end{center} \невпаге {\бф \блуе Гипотеза континуума} {\бф \греен "Опровержение" континуум-гипотезы (липовое):} \\ {\бф \блуе (Christopher Freiling, 1986)} Предположим, что континуум-гипотеза верна. Тогда можно найти отношение полного порядка $\prec$ на прямой, причем {\бф \пурпле для каждой точки $\alpha \in \R$, множество $\{\beta \in \R \ \ |\ \ \beta \preceq \alpha\}$ счетно. } Студенты Вася и Петя играют в такую игру. Вася и Петя, не сговариваясь, выбирают (каждый) случайную точку $z$ на отрезке. Если $z_{\text{Вася}}\prec z_{\text{Петя}}$, то выиграл Петя, иначе -- Вася. Пусть Петя выбрал точку $\alpha$. {\бф \ред Поскольку множество $\{\beta \in \R \ \ |\ \ \beta \preceq \alpha\}$ счетно, оно имеет меру 0, значит, Вася непременно выиграет.} По той же причине, непременно выиграет Петя. Непорядок! \невпаге \begin{floatingfigure}[r]{0.30\textwidth} {\hfil\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Mumford.jpg}} \centerline{ \hfil\purple David Mumford} \end{floatingfigure} {\бф \блуе ...one of the meaningless conundrums of set theory...} {\ем \блуе This leads us to the stunning result of Christopher Freiling 1986: using the idea of throwing darts, we can disprove the continuum hypothesis. Why his theorem is not universally known and considered on a par with the results of Godel and Cohen, I do not know. Freiling used the argument to motivate a new axiom of set theory which disproves the continuum hypothesis. I believe we should go much further: his `proof' shows that if we make random variables one of the basic elements of mathematics, it follows that the C.H. is false and we will get rid of one of the meaningless conundrums of set theory. The continuum hypothesis is surely similar to the scholastic issue of how many angels can stand on the head of a pin: an issue which disappears if you change your point of view. (David Mumford, "The dawning of the age of stochasticity") } \невпаге {\bf \блуе Мощность произведения двух множеств} \утверждение {\бф \ред Если $X$ бесконечно, то $X\times X$ равномощно $X$.} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Пусть $R$ -- наименьший ординал, такой, что $R$ бесконечно и не равномощно $R\times R$. {\бф \пурпле Он существует, если есть хоть одно бесконечное множество $X$, не равномощное $X$.} {\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим такое отношение порядка на $R\times R$: $(x,y)\succ (x',y')$, если $x+y \succ x'+y'$, либо $x+y = x'+y'$, а $x\succ x'$. {\бф \пурпле Это отношение полного порядка}, ибо во всяком подмножестве $Z\subset R\times R$ найдется элемент $(x,y)$ с наименьшим $x+y$, а среди всех таких элементов найдется $(x,y)$ с наименьшим $x$. {\бф\греен Шаг 3:} Для любого $(x,y) \in R\times R$, множество \\ $V_{x,y}:=\{(x_1, y_1)\in R\times R \ \ |\ \ (x_1, y_1)\prec (x,y)\}$ состоит из пар \\ $(z:=x_1+y_1, x_1)$ таких, что $z\preceq x+y$, $x_1\prec z$. Поскольку мощность $x+y$ строго меньше мощности $R$, {\бф \пурпле множество $V_{x,y}$ имеет мощность $|V_{x,y}|\leq |(x+y)\times(x+y)|=|x+y|$, что строго меньше, чем $|R|$.} {\бф\греен Шаг 4:} Мы получили на $R\times R$ отношение полного порядка, такое, что любой его отрезок имеет мощность строго меньше $R$. {\бф \ред Значит, $R\times R$ -- минимальный ординал мощности $|R|$.} {\бф \блуе Мы доказали, что $(R\times R, \prec)$ эквивалентно $(R, \prec)$.} \ендпрооф \newpage {\bf \blue And Now for Something Completely Different} \hfill\includegraphics[width=0.37\textwidth]{something_completely_different.jpg}\\ {\bf \блуе \large Алгебраическая геометрия} \упражнение Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий, а $y\in Y$. {\бф \пурпле Докажите, что $f^{-1}(y)$ аффинно.} \вопрос {\бф \ред Как описать $f^{-1}(y)$ в терминах конечно-порожденных колец?} {\бф \греен ОТВЕТ:} {\бф \блуе Надо использовать тензорное произведение колец!} {\бф \греен СЕГОДНЯ:} {\бф \пурпле Сегодня мы докажем, что $M\otimes_R(R/I)= M/IM$.} \newpage {\bf \blue Тензорное произведение} \определение Пусть $R$ -- кольцо, $M, M'$ -- $R$-модули Обозначим за $M\otimes_R M'$ $R$-модуль, который порожден символами вида $m\otimes m'$, $m\in M, m'\in M'$, по модулю соотношений вида \\ $r(m\otimes m')= (rm)\otimes m' = m\otimes (rm')$, \\ $(m+m_1) \otimes m'= m\otimes m' + m_1 \otimes m'$,\\ $m \otimes (m'+m_1')= m\otimes m' + m\otimes m'_1$. Такой $R$-модуль называется {\бф \blue тензорным произведением $M$ и $M'$.} \замечание Если $M$ порождено над $R$ набором $\{m_i\}$, а $M'$ порождено $\{m'_j\}$, то $M\otimes_R M'$ порождено $\{m_i\otimes m'_j\}$. \newpage {\bf \blue Билинейные отображения} \определение Пусть $M_1, M_2, M$ -- $R$-модули. {\бф \блуе Билинейное отображение} $\mu(M_1, M_2) \stackrel \phi\arrow M$ есть отображение, которое удовлетворяет условиям $\phi(rm, m') = \phi(m, rm') = r \phi(m, m')$, $\phi(m+m_1,m')= \phi(m,m') + \phi(m_1, m')$, $\phi(m,m'+m_1')= \phi(m, m') + \phi(m,m'_1)$. \теорема {\бф \блуе (Универсальное свойство тензорного произведения)} Для каждого билинейного отображения $B:\; M_1\times M_2\arrow M$ {\bf \red существует единственный гомоморфизм $b:\;M_1\otimes M_2 \arrow M$, делающий следующую диаграмму коммутативной:} {\small \begin{diagram} M_1\times M_2 & \rTo^B & M_1\otimes M_2\\ &\rdTo^\tau &\dTo^{b}\\ & & M \end{diagram} } \замечание Если $R$ есть поле $k$, $R$-модули суть векторные пространства, и предыдущая теорема доказывает, что $\operatorname{Bil}(M_1\times M_2,k)= (M_1\otimes M_2)^*$. Для конечномерных $M_i$, это дает $M_1\otimes M_2=(M_1\otimes M_2)^{**}=\operatorname{Bil}(M_1\times M_2,k)^*$ \newpage {\bf \blue Универсальное свойство тензорного произведения и категории} \определение {\бф \блуе Начальный объект} категории $\cac$ есть обьект $X\in \Ob(\cac)$ такой, что для любого $Y\in \Ob(\cac)$ существует единственный морфизм $X\arrow Y$. \пример Нулевое пространство в категории векторных пространств. \задача Докажите, что начальный объект категории {\бф \ред единственный.} \определение Пусть $M_1, M_2$ -- $R$-модули, а $\cac$ -- следующая категория. Объекты $\cac$ суть пары ($R$-модуль $M$, билинейное отображение $M_1\times M_2 \arrow M$), а морфизмы -- гомоморфизмы $M\stackrel \phi\arrow M'$ такие, что следующая диаграмма коммутативна: \[ \small \begin{CD} M_1\times M_2 @>>> M\\ @VVV @VV{\phi}V\\ M_1\times M_2 @>>> M'\\ \end{CD} \] \утверждение\\ {\бф \блуе (Универсальное свойство тензорного произведения)}\\ Тензорное произведение $M_1 \otimes M_2$ есть начальный объект в категории $\cac$. \следствие {\бф \ред Тензорное произведение однозначно определяется универсальным свойством.} \невпаге {\бф \блуе Внутренний $\Hom$ и точность} \определение Пусть $M, M'$ -- $R$-модули. Рассмотрим группу $\Hom_R(M, M')$ гомоморфизмов. Определим на $\Hom_R(M, M')$ структуру $R$-модуля, по формуле $r\phi(m):= \phi(rm)$. Этот $R$-модуль называется {\бф\блуе внутренний $\Hom$}. \утверждение Пусть $0\arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ -- точная последовательность $R$-модулей. {\бф \пурпле Тогда \[ 0 \arrow \Hom_R(M_3, N) \arrow \Hom_R(M_2,N) \arrow \Hom_R(M_1,N)\] и \[ 0 \arrow \Hom_R(N, M_1) \arrow \Hom_R(N,M_2) \arrow \Hom_R(N,M_3)\] точны, для любого $R$-модуля $N$.} \доказательство Докажем точность первой последовательности. Точность в $\Hom_R(M_3, N)$ очевидна. Если $\nu\in \Hom_R(M_2,N)$ переходит в 0 при проекции в $\Hom_R(M_1,N)$, это значит, что $\nu\restrict M_1=0$, что дает морфизм $\tilde \nu \in \Hom_R(M_3, N)$, переходящий в $\nu$. \ендпрооф \замечание {\бф \blue Мы хотим понять, как функтор $M \arrow M \otimes_R N$ обращается с точными последовательностями. }Для этого мы изучаем, как себя ведет $M \arrow \Hom_R(M, P)$, и выражаем один из этих функторов через другой. \невпаге {\бф \блуе Внутренний $\Hom_R$ и тензорное произведение} \замечание Из универсального свойства $\otimes$ следует, что \[ \Hom_R(M_1\otimes_R M_2, M) = \Hom_R(M_1, \Hom_R(M_2, M)). \] Действительно, {\bf \пурпле $\Hom_R(M_1, \Hom_R(M_2, M))$ есть то же самое, что и билинейные отображения $M_1\times M_2 \arrow M$.} \следствие Пусть $0 \arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ -- точная последовательность $R$-модулей. {\бф \пурпле Тогда для любых $R$-модулей $N, N'$, последовательность \[ 0 \arrow \Hom_R(M_3\otimes N', N) \arrow \Hom_R(M_2\otimes N',N) \arrow \Hom_R(M_1\otimes N',N) \] точна.} \доказательство Применим утверждение с прошлого слайда дважды, получив точную последовательность \begin{multline*} 0 \arrow \Hom_R(N',\Hom_R(M_3, N)) \\ \arrow \Hom_R(N',\Hom_R(M_2,N)) \arrow \Hom_R(N',\Hom_R(M_3,N)), \end{multline*} и воспользуемся изоморфизмом $\Hom_R(A\otimes_R B, M) = \Hom_R(A, \Hom_R(B, M))$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Функтор $\Hom_R$, часть 2} \замечание Из точности $M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ следует точность $0 \arrow \Hom_R(M_3, N) \arrow \Hom_R(M_2,N) \arrow \Hom_R(M_1,N)$. Оказывается, {\бф \ред обратное тоже верно:} из точности второй последовательности (для любых $N$) следует точность первой. \определение {\бф\блуе Комплекс} $R$-модулей есть последовательность вида $M_1 \stackrel {d_1} \arrow M_2 \stackrel {d_2} \arrow M_3 \stackrel {d_3} \arrow ...$ такой, что $d_i\circ d_{i+1}=0$. \лемма Пусть $E$ есть $M_1\stackrel\mu \arrow M_2 \stackrel \rho \arrow M_3\arrow 0$ -- комплекс $R$-модулей, такой, что $0 \arrow \Hom_R(M_3, N) \stackrel{\rho_N}\arrow \Hom_R(M_2,N) \stackrel{\mu_N}\arrow \Hom_R(M_1,N)$ точно для любого $R$-модуля $N$. {\бф \ред Тогда $E$ тоже точен.} \доказательство Инъективность $\rho_N$ влечет сюрьективность $\rho$, если мы положим $N:= M_3/\im \rho$. Точность второй последовательности в члене $\Hom_R(M_2,N)$ влечет точность $E$ в $M_2$ при $N=M_2 /\im \mu$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Точность тензорного произведения} \теорема Пусть $0 \arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ -- точная последовательность $R$-модулей. {\бф \ред Тогда последовательность \[ M_1\otimes_R M \arrow M_2\otimes_R M \arrow M_3\otimes_R M\arrow 0 \ \ \ \ (*) \] всегда точна.} \доказательство Пару слайдов назад было доказано, чтп \[ 0 \arrow \Hom_R(M_3\otimes M, N) \arrow \Hom_R(M_2\otimes M,N) \arrow \Hom_R(M_1\otimes M,N) \] точна для любого $M$. Применив предыдущую лемму, получим, что (*) тоже точна. \ендпрооф \следствие Если $I\subset R$ -- идеал, то $M\otimes_R(R/I)= M/IM$ \доказательство Домножив тензорно точную последовательность $0\arrow I \arrow R \arrow R/I \arrow 0$ на $M$, получим $IM \arrow M \arrow (R/I)\otimes_R M \arrow 0$. \newpage {\bf \blue Тензорное произведение модулей (примеры)} \упражнение Докажите, что $\Q\otimes_\Z\Z/2\Z=0$. \замечание Если $\Z \stackrel \phi \arrow Z$ -- умножение на 2, то последовательность \[ \Z\otimes_\Z (\Z/2\Z) \stackrel \phi \arrow \Z\otimes_\Z (\Z/2\Z) \arrow (\Z/2\Z)\otimes_\Z (\Z/2\Z)\arrow 0 \] полученная из $0\arrow \Z \stackrel \phi \arrow \Z \arrow \Z/2\Z\arrow 0$ умножением на $\Z/2\Z$, {\бф \ред не точна слева}. \end{document}