\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig,
  russcorr, russlh, floatflt}

\usepackage[UglyObsolete]{diagrams}

%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\def\wrappedimage#1#2#3{\par%
\begin{wrapfigure}{#1}{#2}%
\epsfig{file=#3,width=#2}%
\end{wrapfigure}\par%
}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\Av}{\operatorname{Av}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}}
\newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}}
\def\Aff{\operatorname{\sf Aff}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\��������{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}
\newcommand{\����}{%
     {\bf \green ��������������. ��� 1:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small  �������������� ���������, 
������ ���, ����� 2011 \hfil
  \tiny ���� ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf �������������� ���������, \\[15mm]
\small ������ 6: ��������� ������������ �������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ��������� } 
\\[20mm]

{\tiny\bf ������ ���, ������
\\[2mm] 11 ������ 2011
}
\end{center}

\�������

{\�� \���� �����������: ��������, ������� ������, ���������-��������}


����� $\phi:\; A \arrow B$ -- ������������ �����������
��������. {\bf\blue ��������} ����������� $\phi$ ����������
����������� $\psi:\; B \arrow A$, �����, ���
$\psi\circ \phi=\Id$. 

\begin{center}
\epsfig{file=sechenie.png,width=0.25\linewidth}
\end{center}

{\bf \red ������� ������ ����������, ��� 
������ ������������ ����������� ����� �������}

\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=Zermelo.jpg,width=0.45\linewidth}\\
{Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo\\
(1871 - 1953)}
\end{center}

\newpage

{\bf \blue ������ ������������� ���������}

{\bf \green �����������:}
����� $(X, \prec)$ -- �������
������������� ���������, � $Y \subset X$ -- ���
������������. ������� $y_0\in Y$ ���������� {\bf\blue
�����������}, ����  ��� ������ $y\in Y$, 
����� $y_0\preccurlyeq y$. ������� �������������
��������� ���������� {\bf\blue ������ �������������},
���� ����� ��� ������������ ����� �����������
�������. ��������� ������� �� ����� ���������
���������� {\bf\blue ��������� ������� �������}.


{\bf \green �����������:}
{\bf\blue ��������� ���������} ������ ��������������
��������� ���������� ��� ����������� �������.
{\bf\blue ��������} ������� ��������������
��������� $(X, \prec)$ ���������� ������������ 
$Y\subset X$ �����, ��� ��� ����� $x, z\in Y$,
� ������ $y\in X$ ������, ��� $x\prec y\prec z$,
����� $y\in Y$. {\bf\blue ��������� ��������}
������ ��������������
��������� ���������� �������, ����������
����������� �������. 


\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=Cantor.jpg,width=0.40\linewidth}\\
{Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor\\
(1845 - 1918)}
\end{center}

\newpage


{\bf \blue ��������� ���������}

{\bf \green �����������:}
��� ������ ������������� ��������� ����������
{\bf\blue �����������}, ���� ����� ���� ����
�������, ����������� �������. ������ �����������
������ ������������� �������� ����������
{\bf\blue ����������}, ��� �� {\bf\blue ������������ �������}.


{\bf \green �������:} ����� $X$, $Y$ -- ������
������������� ���������. {\�� \��� ����� 
$X$ ��������� ���������� ������� $Y$,
���� $Y$ ��������� ���������� ������� $X$.}
����� ����, ����� ���������� ���������
����������.

{\bf\green �������������� ������� � ��������� ���������.}
����� $Z$ -- ��������� ��� $(X_1, Y_1)$ 
���������� ��������� �������� $X$ � $Y$.


{\bf\green ��� 1:}
{\bf \purple ���������� ��������� ��������
$(X_1, Y_1)$ ������������ ����������
���������� $X_1$.} � ����� ����,
����� ���������� ��� ��������� ��������
$\phi:\; X_1\arrow Y$ � 
$\phi':\; X_1\arrow Y$,
�������� ���������� $X_1$ � ����������
������� $Y$. ��������� �� $x$ �����������
������� $X_1$, �����, ��� $\phi(x) \neq \phi'(x)$.
����� $\phi\restrict{[x_0, x[}= \phi'\restrict{[x_0, x[}$,
�������������, $\phi(x) = \phi'(x)$.

\newpage


{\bf \blue ��������� ��������� (�����������)}

{\bf\green ��� 2:} {\bf \purple �� ��������, ��� $Z$ ����������� �� ���������,
� ��� ��������� ������ �� $Z$ ������ �������. }
����� $x$ -- ����������� ������� $X$, �� ������������� $X_1$ ��� ������-��
$(X_1, Y_1)\in Z$. ���� ������ ���,
��� ������, ��� $X$ ��������� ����������
������� $Y$.  ���� $Y_1=Y$, �� ��� ��������.
� ��������� ������, ��������� �������
$[x_0, x[$ ��������� ���������� �������
$[y_0, y[$, �������������, �������
$[x_0, x]$ ��������� $[y_0, y]$. �� ������ � ������������!
\��������

{\bf\green ���������:} {\bf \red ��� ������� ����������
������� �� ���������:} ���� ������� ������ �������,
���� ������ ��������� ������� �������. 

{\�� \����� �������� ����������: (23-� �������� ���������)}\\
�������� ��� ������������, ��� ���������� ��������� ������� 
���������� ����������, �.�. $\R$.

{\�� \���� ���� ������ (1940):}
���������-�������� ������ ������������ �� ������� ������
ZFC �������-��������.


{\�� \���� ��� ���� (1963):} 
���������-�������� ������ ������� �� ������� ������
ZFC �������-��������.

\newpage


{\bf \blue ����� ����� � ������� �������}

\�����������
����� $(S, \prec)$ -- �������� �������������
���������. ������� $x\in S$ ����������
{\bf\blue ������������}, ���� �� ���������� $y\in S$ � $x\prec y$.
��� ������������ $S_1\subset S$ � $x\in S$, 
�� ����� $S_1 \preccurlyeq �$, ���� ��� �������
$\xi \in S_1$ ����� $\xi \preccurlyeq x$.


{\bf \green ����� �����} ����� $(S, \prec)$  -- �������� �������������
���������, ������ ��� ������ ������ �������������� 
������������ $S_1\subset S$ �������� ������� $\xi\in S$
�����, ��� $S_1 \preccurlyeq \xi$. ����� � $S$ �������� ������������
�������.

{\bf \green ������� �������:} 
("well-ordering theorem") 
����� ��������� ����� ���� ������ �����������.

{\bf \green �������:} 
��������� ����������� �����������:\\
{\bf \red ZL:} ����� �����\\
{\bf \red WOT:} ������� �������\\
{\bf \red AC:} ������� ������.


{\purple <<The Axiom of Choice is obviously true, the well-ordering
principle obviously false, and who can tell about Zorn's
lemma?>> (�����)}


\newpage 

\begin{center}
\epsfig{file=Zorn.jpg,width=0.40\linewidth}\\
{Max August Zorn\\
(1906 - 1993)}
\end{center}

\�������

{\�� \���� �������� ����������}

{\�� \����� "������������" ���������-�������� (�������):}
\\
{\�� \���� (Christopher Freiling, 1986)}

�����������, ��� ���������-�������� �����. 
����� ����� ����� ��������� ������� ������� 
$\prec$ �� 
������, ������ {\�� \������ ��� ������ ����� $\alpha \in \R$,
��������� $\{\beta \in \R \ \ |\ \ \beta \preceq \alpha\}$
������. }

�������� ���� � ���� ������ � ����� ����.
���� � ����, �� ������������, �������� 
(������) ��������� ����� $z$ �� �������. ���� 
$z_{\text{����}}\prec z_{\text{����}}$,
�� ������� ����, ����� -- ����. 

����� ���� ������ ����� $\alpha$.
{\�� \��� ��������� ��������� $\{\beta \in \R \ \ |\ \ \beta \preceq \alpha\}$
������, ��� ����� ���� 0, ������, ���� ���������� ��������.}

�� ��� �� �������, ���������� �������� ����.
���������!

\�������

\begin{floatingfigure}[r]{0.30\textwidth}
{\hfil\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Mumford.jpg}}
\centerline{ \hfil\purple David Mumford}
\end{floatingfigure}

{\�� \����  ...one of the meaningless
conundrums of set theory...}


{\�� \���� 
This leads us to the stunning result of Christopher Freiling 1986: using the
idea of throwing darts, we can disprove the continuum hypothesis. Why his
theorem is not universally known and considered on a par with the results of
Godel and Cohen, I do not know. 

Freiling
used the argument to motivate a new axiom of set theory which disproves the
continuum hypothesis. I believe we should go much further: his `proof' shows
that if we make random variables one of the basic elements of mathematics,
it follows that the C.H. is false and we will get rid of one of the meaningless
conundrums of set theory. The continuum hypothesis is surely similar to the
scholastic issue of how many angels can stand on the head of a pin: an issue
which disappears if you change your point of view.

(David Mumford, 
"The dawning of the age of stochasticity")
}

\�������

{\bf \���� �������� ������������ ���� ��������}

\�����������
{\�� \��� ���� $X$ ����������, �� $X\times X$ ���������� $X$.}

{\�� \����� ��������������. ��� 1:}
����� $R$ -- ���������� �������, �����, ���
$R$ ���������� � �� ���������� $R\times R$. {\�� \������ �� ����������,
���� ���� ���� ���� ����������� ��������� $X$,
�� ����������� $X$.}

{\�� \����� ��� 2:} ���������� ����� ���������
������� �� $R\times R$: $(x,y)\succ (x',y')$,
���� $x+y \succ x'+y'$, ���� $x+y = x'+y'$,
� $x\succ x'$. {\�� \������ ��� ��������� ������� �������},
��� �� ������ ������������ $Z\subset R\times R$
�������� ������� $(x,y)$ � ����������
$x+y$, � ����� ���� ����� ��������� ��������
$(x,y)$ � ���������� $x$.

{\��\����� ��� 3:} ��� ������ $(x,y) \in R\times R$,
��������� \\ 
$V_{x,y}:=\{(x_1, y_1)\in R\times R \ \ |\ \ (x_1, y_1)\prec (x,y)\}$
������� �� ��� \\ $(z:=x_1+y_1, x_1)$
�����, ��� $z\preceq x+y$, $x_1\prec z$. ���������
�������� $x+y$ ������ ������ �������� $R$, {\�� \������ ���������
$V_{x,y}$ ����� �������� 
$|V_{x,y}|\leq |(x+y)\times(x+y)|=|x+y|$,
��� ������ ������, ��� $|R|$.}

{\��\����� ��� 4:} �� �������� �� $R\times R$ ���������
������� �������, �����, ��� ����� ��� ������� �����
�������� ������ ������ $R$. {\�� \��� ������, $R\times R$ --
����������� ������� �������� $|R|$.} {\�� \���� �� ��������, ���
$(R\times R, \prec)$ ������������ $(R, \prec)$.} \��������

\newpage

{\bf \blue  And Now for Something Completely Different}

\hfill\includegraphics[width=0.37\textwidth]{something_completely_different.jpg}\\
{\bf \���� \large �������������� ���������}

\����������
����� $f:\; X \arrow Y$ -- ������� �������� ������������,
� $y\in Y$. {\�� \������ ��������, ��� $f^{-1}(y)$ �������.} 

\������
{\�� \��� ��� ������� $f^{-1}(y)$ � �������� �������-�����������
�����?}

{\�� \����� �����:} {\�� \���� ���� ������������ ���������
������������ �����!}

{\�� \����� �������:} {\�� \������ 
������� �� �������, ��� $M\otimes_R(R/I)= M/IM$.}

\newpage

{\bf \blue ��������� ������������}


\�����������
����� $R$ -- ������, $M, M'$ -- $R$-������
��������� �� $M\otimes_R M'$ $R$-������, ������� ��������
��������� ���� $m\otimes m'$, $m\in M, m'\in M'$,
�� ������ ����������� ���� \\
$r(m\otimes m')= (rm)\otimes m' = m\otimes (rm')$, \\
$(m+m_1) \otimes m'= m\otimes m' + m_1 \otimes m'$,\\
$m \otimes (m'+m_1')= m\otimes m' + m\otimes m'_1$.
����� $R$-������ ���������� {\�� \blue ���������
������������� $M$ � $M'$.}

\���������
���� $M$ ��������� ��� $R$ ������� $\{m_i\}$, � $M'$ ��������� $\{m'_j\}$, ��
$M\otimes_R M'$ ��������� $\{m_i\otimes m'_j\}$.




\newpage

{\bf \blue ���������� �����������}


\�����������
����� $M_1, M_2, M$ -- $R$-������. {\�� \���� ���������� �����������}
$\mu(M_1, M_2) \stackrel \phi\arrow M$ ���� �����������,
������� ������������� ��������
$\phi(rm, m') = \phi(m, rm') = r \phi(m, m')$,
$\phi(m+m_1,m')= \phi(m,m') + \phi(m_1, m')$,
$\phi(m,m'+m_1')= \phi(m, m') + \phi(m,m'_1)$.

\�������
{\�� \���� (������������� �������� ���������� ������������)}
��� ������� ����������� �����������
$B:\; M_1\times M_2\arrow  M$ {\bf \red ���������� ������������
����������� $b:\;M_1\otimes M_2 \arrow M$, ��������
��������� ��������� �������������:} 

{\small \begin{diagram}
M_1\times M_2 & \rTo^B & M_1\otimes M_2\\
&\rdTo^\tau &\dTo^{b}\\
& & M
\end{diagram}
}

\���������
���� $R$ ���� ���� $k$, $R$-������ ���� ��������� ������������,
� ���������� ������� ����������, ��� 
$\operatorname{Bil}(M_1\times M_2,k)= (M_1\otimes M_2)^*$.
��� ������������� $M_i$, ��� ���� 
$M_1\otimes M_2=(M_1\otimes M_2)^{**}=\operatorname{Bil}(M_1\times M_2,k)^*$


\newpage

{\bf \blue ������������� �������� ���������� ������������ � ���������}


\�����������
{\�� \���� ��������� ������} ��������� $\cac$ ���� ������ $X\in \Ob(\cac)$
�����, ��� ��� ������ $Y\in \Ob(\cac)$ ����������
������������ ������� $X\arrow Y$.

\������
������� ������������ � ��������� ��������� �����������.

\������
��������, ��� ��������� ������ ��������� {\�� \��� ������������.}

\�����������
����� $M_1, M_2$ -- $R$-������, � $\cac$ -- ��������� 
���������. ������� $\cac$ ����
���� ($R$-������ $M$, ���������� ����������� $M_1\times
M_2 \arrow M$), � �������� -- ������������ $M\stackrel \phi\arrow M'$
�����, ��� ��������� ��������� ������������:
\[ \small
\begin{CD}
M_1\times M_2 @>>> M\\
@VVV @VV{\phi}V\\
M_1\times M_2 @>>> M'\\
\end{CD}
\]
\�����������\\
{\�� \���� (������������� �������� ���������� ������������)}\\
��������� ������������ $M_1 \otimes M_2$ ���� ���������
������ � ��������� $\cac$.

\��������� {\�� \��� ��������� ������������
���������� ������������ ������������� ���������.}

\�������

{\�� \���� ���������� $\Hom$ � ��������}

\�����������
����� $M, M'$ -- $R$-������. 
���������� ������ $\Hom_R(M, M')$ �������������.
��������� �� $\Hom_R(M, M')$ 
��������� $R$-������, �� �������
$r\phi(m):= \phi(rm)$. ���� $R$-������
���������� {\��\���� ���������� $\Hom$}.

\�����������
����� $0\arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ --
������ ������������������ $R$-�������. {\�� \������ �����
\[ 0 \arrow \Hom_R(M_3, N) \arrow \Hom_R(M_2,N) \arrow \Hom_R(M_1,N)\]
� \[ 0 \arrow \Hom_R(N, M_1) \arrow \Hom_R(N,M_2) \arrow \Hom_R(N,M_3)\]
�����, ��� ������ $R$-������ $N$.}

\�������������� 
������� �������� ������ ������������������.
�������� � $\Hom_R(M_3, N)$ ��������.
���� $\nu\in \Hom_R(M_2,N)$ ��������� � 0 ��� �������� �
$\Hom_R(M_1,N)$, ��� ������, ��� $\nu\restrict M_1=0$, ���
���� ������� $\tilde \nu \in \Hom_R(M_3, N)$, ����������� � $\nu$.
\��������


\���������
{\�� \blue �� ����� ������, ��� ������� $M \arrow M \otimes_R N$
���������� � ������� ��������������������. }��� �����
�� �������, ��� ���� ����� $M \arrow \Hom_R(M, P)$, � ��������
���� �� ���� ��������� ����� ������.

\�������

{\�� \���� ���������� $\Hom_R$ � ��������� ������������}


\���������
�� �������������� �������� $\otimes$ �������, ���
\[ \Hom_R(M_1\otimes_R M_2, M) = \Hom_R(M_1,
   \Hom_R(M_2, M)).
\] �������������, {\bf \������ $\Hom_R(M_1, \Hom_R(M_2, M))$ 
���� �� �� �����, ��� � ���������� ����������� $M_1\times M_2 \arrow M$.}


\���������
����� $0 \arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ --
������ ������������������ $R$-�������. {\�� \������ ����� ��� ����� 
$R$-������� $N, N'$, ������������������
\[
0 \arrow \Hom_R(M_3\otimes N', N) \arrow 
  \Hom_R(M_2\otimes N',N) \arrow \Hom_R(M_1\otimes N',N)
\]
�����.}

\��������������
�������� ����������� � �������� ������ ������, �������
������ ������������������ 
\begin{multline*} 0 \arrow \Hom_R(N',\Hom_R(M_3, N)) \\
\arrow \Hom_R(N',\Hom_R(M_2,N)) \arrow \Hom_R(N',\Hom_R(M_3,N)),
\end{multline*}
� ������������� ������������
$\Hom_R(A\otimes_R B, M) = \Hom_R(A,
\Hom_R(B, M))$.
\��������

\�������

{\�� \���� ������� $\Hom_R$, ����� 2}

\���������
�� �������� $M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$
������� �������� 
$0 \arrow \Hom_R(M_3, N) \arrow \Hom_R(M_2,N) \arrow \Hom_R(M_1,N)$.
�����������, {\�� \��� �������� ���� �����:} �� ��������
������ ������������������ (��� ����� $N$) �������
�������� ������.

\�����������
{\��\���� ��������} $R$-������� ���� ������������������ ����
$M_1 \stackrel {d_1} \arrow M_2 \stackrel {d_2} \arrow M_3
\stackrel {d_3} \arrow ...$ �����, ��� $d_i\circ d_{i+1}=0$.

\�����
����� $E$ ���� $M_1\stackrel\mu \arrow M_2 \stackrel \rho \arrow M_3\arrow 0$ -- ��������
$R$-�������, �����, ��� $0 \arrow \Hom_R(M_3, N) \stackrel{\rho_N}\arrow 
\Hom_R(M_2,N) \stackrel{\mu_N}\arrow \Hom_R(M_1,N)$ ����� ��� ������ $R$-������ 
$N$. {\�� \��� ����� $E$ ���� �����.}

\��������������
������������� $\rho_N$ ������ �������������� $\rho$,
���� �� ������� $N:= M_3/\im \rho$. �������� ������
������������������
� ����� $\Hom_R(M_2,N)$ ������ �������� $E$ � $M_2$ ���
$N=M_2 /\im \mu$.
\��������

\�������

{\�� \���� �������� ���������� ������������}


\�������
����� $0 \arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ --
������ ������������������ $R$-�������. {\�� \��� �����
������������������
\[ 
  M_1\otimes_R M \arrow M_2\otimes_R M \arrow M_3\otimes_R M\arrow 0 \ \ \ \ (*)
\]
������ �����.}

\��������������
���� ������� ����� ���� ��������, ���
\[
0 \arrow \Hom_R(M_3\otimes M, N) \arrow 
  \Hom_R(M_2\otimes M,N) \arrow \Hom_R(M_1\otimes M,N)
\]
����� ��� ������ $M$. �������� ���������� �����,
�������, ��� (*) ���� �����.
\��������


\���������
���� $I\subset R$ -- �����, �� $M\otimes_R(R/I)= M/IM$

\�������������� �������� �������� ������ ������������������
$0\arrow I \arrow R \arrow R/I \arrow 0$ �� $M$, �������
$IM \arrow M \arrow (R/I)\otimes_R M \arrow 0$.

\newpage

{\bf \blue ��������� ������������ ������� (�������)}


\����������
��������, ��� $\Q\otimes_\Z\Z/2\Z=0$.

\��������� 
���� $\Z \stackrel \phi \arrow Z$ -- ��������� �� 2, 
�� ������������������
\[ 
  \Z\otimes_\Z (\Z/2\Z) \stackrel \phi
  \arrow  \Z\otimes_\Z (\Z/2\Z) \arrow (\Z/2\Z)\otimes_\Z (\Z/2\Z)\arrow 0
\]
���������� �� $0\arrow \Z \stackrel \phi
  \arrow  \Z \arrow \Z/2\Z\arrow 0$ ���������� �� $\Z/2\Z$,
{\�� \��� �� ����� �����}.



\end{document}
