


\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig,
  russcorr, russlh, wrapfig}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\def\wrappedimage#1#2#3{\par%
\begin{wrapfigure}{#1}{#2}%
\epsfig{file=#3,width=#2}%
\end{wrapfigure}\par%
}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\Av}{\operatorname{Av}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}}
\newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}}
\def\Aff{\operatorname{\sf Aff}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small  Алгебраическая геометрия, 
матфак ВШЭ, осень 2011 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Алгебраическая геометрия, \\[15mm]
\small лекция 5: теорема Эмми Нетер}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf Матфак ВШЭ, Москва
\\[2mm] 7 октября 2011
}
\end{center}

\невпаге

{\бф \блуе Техническое объявление}

Сегодня,
пожалуйста, принесите мне
свои ведомости для ксерокопирования, либо
сами скопируйте и принесите копии. Отметьте на 
копиях, сколько баллов вам причитается. В следующую
пятницу (14-го) будет контрольная: каждому выдается
по $(3+t)$ задачи, где $t=[(40-b)/10]$,
а $b$ - суммарное количество баллов 7-го октября
(за листки и первое домашнее задание). Оценка 
за контрольную {\бф \ред зависит от процента 
решенных задач.}


Зачет случится 28-го октября.
К этому дню надо иметь (суммарно) 45 баллов 
за сдачу листочков, контрольную и первое
домашнее задание. 

Результаты первого домашнего задания доступны
на страничке курса:

{\tt http://bogomolov-lab.ru/KURSY/AG-2011/}

туда же будут выкладываться результаты
контрольной и вся собранная мною
информация по успехам студентов.

21 и 28-го октября вместо лекций будет сдача задач.

\невпаге

{\бф \блуе Неприводимые многообразия (повторение)}


\определение
Пусть $A\subset \C^n$ -- алгебраическое подмножество.
Точка $a\in A$ называется {\бф\блуе гладкой $k$-мерной}, если
существует открытая окрестность $A\supset U\ni a$,
которая диффеоморфна гладкому многообразию, 
и диффеоморфизм $U\arrow B\subset \C^k$
на открытый шар $B\subset \C^k$. Точка называется 
{\бф \блуе особой}, или {\бф\блуе особенностью},
если такого диффеоморфизма не существует.
Многообразие называется {\бф\блуе гладким}, если у него нет
особенностей, и {\бф\блуе особым} в противном случае.

\определение
Аффинное многообразие $A$ называется
{\бф \блуе приводимым}, если оно может быть разбито
в объединение $A=A_1\cup A_2$, где
$A_1, A_2$ -- аффинные многообразия,
причем $A_1\not\subset A_2$ и $A_2 \not\subset A_1$.
Если такое разложение невозможно, $A$ называется
{\бф \блуе неприводимым}.


\утверждение
Аффинное многообразие $A$ {\бф \пурпле неприводимо} $\Leftrightarrow$
кольцо регулярных функций $\calo_A$ {\бф \пурпле не имеет делителей 
нуля.}


\невпаге

{\бф \блуе Неприводимость гладкого многообразия}

\утверждение
Пусть множество $A_0$ гладких точек аффинного многообразия $A$
связно и плотно в $A$. {\бф \ред Тогда $A$ неприводимо.}

\дшаг 
Пусть $f\in \calo_A$ ненулевая регулярная функция, 
а $D_f$ -- множество, где $f=0$. Поскольку $A_0$ гладко
и связно, в любой точке $A_0$ ряд Тэйлора $f$ ненулевой
(проверьте это). {\бф \пурпле Значит, внутренность $D_f$ -
пустое множество}.

{\бф \греен Шаг 2:} Из этого следует, что {\бф \пурпле дополнение
к $D_f$ плотно в $A$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Если $fg=0$, то $D_f\cup D_g=A$.
Следовательно, {\бф \ред $D_f$ плотно в $A$.} Но поскольку $D_f$
замкнуто, {\бф \пурпле из этого вытекает, что $D_f=A$.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Представления конечных групп}

\определение
{\бф \блуе Представление группы $G$}
есть гомоморфизм \\ $G\arrow GL(V)$.
В этом случае $V$ называется {\бф \блуе
пространством представления}, или {\бф \блуе
представлением}.

\определение
{\бф \блуе Неприводимое представление} группы $G$
есть представление, у которого
нет нетривиальных $G$-инвариантных
подпространств. {\бф \блуе Полупростое
представление} есть прямая сумма неприводимых.

\замечание 
Если $G$ действует на $V$,
то $G$ действует на любых тензорных степенях $V$
(действие продолжается мультипликативно).
В частности, {\бф \пурпле $G$ действует на $V^*\otimes V^*$,
по формуле $g(h(x,y))=h(g(x),g(y))$}, где $g\in G, h\in V^*\otimes V^*,
x,y\in V$.


\определение
Метрика $h$ (евклидова или эрмитова)
на $V$ называется {\бф \блуе $G$-инвариантной},
если соответствующий тензор $h\in V^*\otimes_\R V^*$
$G$-инвариантен.

\невпаге

{\бф \блуе $G$-инвариантные метрики}

\утверждение
Сумма эрмитовых метрик эрмитова.
Сумма евклидовых метрик -- евклидова метрика.

\следствие
Пусть $V$ -- представление конечной
группы (над $\C$ или над $\R$). 
{\бф \ред Тогда $V$ допускает $G$-инвариантную метрику}
(эрмитову или евклидову).

\доказательство
Пусть $h$ -- произвольная метрика, а 
$\frac 1 {|G|}\sum_{g\in G} g(h)$ ее усреднение по $G$.
В силу предыдущего утверждения, это метрика,
а в силу того, что {\бф \пурпле $G$ действует на себе биекциями} -
инвариантная. \ендпрооф

\следствие
Если $W\subset V$ подпредставление в представлении
конечной группы $G$ над $\R$ или $\C$, то {\бф \пурпле $V$
можно разложить в прямую сумму $V=W\oplus W'$, 
причем $W'$ $G$-инвариантно.}

\доказательство
Выберем на $V$ $G$-инвариантную метрику.
Тогда {\бф \ред ортогональное дополнение к $W$ тоже $G$-инвариантно}
(проверьте это). Это дает $V=W\oplus W^\bot$. \ендпрооф

\следствие
{\бф \ред Каждое конечномерное представление 
конечной группы вполне приводимо.}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Инварианты и коинварианты}

\определение
Пусть $G$ -- конечная группа, действующая
не векторном пространстве $V$. Определим
{\бф\блуе пространство $G$-инвариантов} $V^G$
как пространство всех $G$-инвариантных векторов $V$,
а {\бф\блуе пространство коинвариантов} $V_G$ как
фактор $V$ по подпространству, порожденному
векторами вида $v-g(v)$, где $g\in G, v\in V$.


\определение
Функтор $A\arrow FA$ на категории $R$-модулей или векторных пространств
называется {\бф \блуе точным слева}, если любая точная
последовательность $0\arrow A \arrow B \arrow C\arrow 0$
переводится в точную последовательность вида
\[ 0\arrow FA \arrow FB \arrow FC,\] и {\бф \блуе точным справа},
если она
переводится в точную последовательность вида
\[ FA \arrow FB \arrow FC\arrow 0.\] Функтор называется 
{\бф \блуе точным}, если последовательность
\[ 0\arrow FA \arrow FB \arrow FC\arrow 0\]
точна.

\невпаге

{\бф \блуе Отображение усреднения}

\утверждение
Для нетривиального неприводимого представления $V$, инварианты и
коинварианты равны нулю. Для тривиального, они равны $V$.

\следствие
Если $V$ -- полупростое представление, {\бф \ред то $V_G=V^G$.}

\упражнение
Проверьте, что
{\бф \пурпле 
функтор инвариантов точен слева, а функтор коинвариантов точен 
справа.}

\следствие
Пусть  $0\arrow A \arrow B \arrow C\arrow 0$ --
точная последовательность полупростых представлений. Тогда {\бф \пурпле
последовательности\\
$0\arrow A^G \arrow B^G \arrow C^G\arrow 0$ и 
$ 0\arrow A_G \arrow B_G \arrow C_G\arrow 0$
тоже точны.} 

\следствие Если $G$ -- конечная группа, то 
{\бф \ред функтор инвариантов точен}.

\замечание
{\бф \блуе Отображение усреднения по действию $G$}
\[ m \arrow \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} g(m)\] {\бф \ред проектирует
представление $V$ на $V^G$}, причем ядро
этого отображения есть ядро естественной проекции
$V\arrow V_G$.




\невпаге

{\бф \блуе Аффинные многообразия (повторение)}

\определение
Пусть $R$ есть конечно-порожденное 
кольцо над $\C$, \\ $R:= \C[z_1, ..., z_n]/I$.
{\бф \блуе Аффинное многообразие} есть множество $V(I)$
общих нулей идеала $I$ в $\C^n$. Оно обозначается
$\Spec_m R$. Здесь $\Spec_m$ обозначает {\бф \блуе максимальный
спектр кольца}, то есть
множество максимальных идеалов в $R$.

\замечание
По теореме Гильберта о нулях,
{\бф \ред точки $V(I)$ взаимно однозначно соответствуют 
максимальным идеалам $R$}.

\определение
{\бф \блуе Регулярная функция} на аффинном многообразии
есть полиномиальная функция.

\определение
{\бф \блуе Морфизм} аффинных многообразий
есть отображение $X \arrow Y$, заданное полиномами.

\определение
{\бф \блуе Изоморфизм} аффинных многообразий есть
морфизм, который обратим справа и слева.

\замечание
По теореме Гильберта о нулях, {\бф \пурпле аффиные многообразия
изоморфны тогда и только тогда, когда их кольца
регулярных функций изоморфны.}


\невпаге

{\бф \блуе Кольцо инвариантов и факторпространство}

\определение
{\бф\блуе Действие группы $G$ на аффинном многообразии $A$}
есть действие $G$ на кольце $\calo_A$ регулярных функций на $A$.

\замечание
Это то же самое, что действие $G$ на $A$ автоморфизмами.

\замечание
{\бф 
\ред Хочется определить $A/G$ как спектр кольца инвариантов $\calo_A^G$.}

{\бф \греен Трудность 1:} Надо доказать, что 
$\calo_A^G$ конечно порождено (теорема Нетер).

{\бф \греен Трудность 2:} Надо отождествить максимальные
идеалы в $\calo_A^G$ с элементами фактормножества $A/G$.


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Нетер (схема доказательства)}

\теорема
Пусть $R$ -- конечно-порожденное
кольцо над $\C$, $G$ -- конечная группа,
действующая на $R$ автоморфизмами. Тогда
{\бф \ред кольцо инвариантов $R^G$ конечно порождено.}

{\bf \греен Схема доказательства:}

1. Из нетеровости $R$ выводим нетеровость $R^G$.

2. Доказываем конечно-порожденность $R^G$ для
$R=\C[z_1, ..., z_n]$, где $G$ действует
на полиномах степени 1 линейными автоморфизмами.

3. Выводим из точности функтора $V \arrow V^G$
общий случай.

\невпаге

{\бф \блуе Нетеровы кольца (повторение)}

\определение
Кольцо называется {\бф \блуе нетеровым},
если любая возрастающая цепочка вложенных
друг в друга идеалов обрывается.


\определение
{\бф \блуе Конечно порожденный идеал в кольце}
есть идеал  $\langle a_1, ..., a_n\rangle$ линейных комбинаций 
вида $\sum b_i a_i$, где $a_i$ -- фиксированный набор
элементов, которые называются {\бф \блуе образующими} идеала.

\утверждение
{\бф \ред (Кольцо $R$ нетерово) $\Leftrightarrow$ (все идеалы
в $R$ конечно порождены).}

\теорема {\бф \блуе (теорема Гильберта о базисе)}
{\бф \ред Любое конечно порожденное кольцо над $\C$ нетерово.}

\доказательство Была доказана на прошлой лекции. \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Идеалы в $R$ и в $R^G$}

\лемма
Пусть $R$ -- кольцо, снабженное
действием группы, $R^G$ -- кольцо
$G$-инвариантов, а $I\subset R^G$ идеал.
Тогда {\бф \пурпле идеал $RI$ удовлетворяет
$\Av_G(RI) = \Av_G(R)I=R^GI=I$,}
где $\Av_G:\; R \arrow R^G$ -- 
отображение усреднения по группе.
\ендпрооф

\следствие 
Если $I_1 \subsetneq I$ -- строго вложенные идеалы в $R^G$, то
$RI_1 \subsetneq RI$ тоже строго вложенные идеалы.

\следствие
{\bf \red Если $R$ нетерово, то  $R^G$ тоже нетерово.}

\доказательство
Каждая бесконечная, строго возрастающая цепочка
идеалов $I_0 \subsetneq I_1 \subsetneq ... $ в $R^G$ 
даст строго возрастающую цепочку идеалов
$RI_0 \subsetneq RI_1 \subsetneq ... $ в $R$. \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Градуированные кольца}


\определение
{\бф\блуе Градуированное кольцо} есть кольцо $A^*$ вида 
$A^*=\bigoplus_{i=0}^\infty A^i$, 
где умножение удовлетворяет закону $A^i\cdot A^j \subset
A^{i+j}$. Градуированное кольцо называется кольцом
{\бф \блуе конечного типа}, если все $A^i$ конечномерны.

\пример
Кольцо полиномов $\C[V]=\bigoplus_i \Sym^iV$.

\утверждение
Пусть $A^*$ -- градуированное кольцо конечного типа.
{\бф \ред $A^*$ нетерово $\Leftrightarrow$ оно конечно порождено.}

\дшаг
Нетеровость $A^*$ следует из конечно-поро\-жденности $A^*$
по теореме Гильберта о базисе. 

{\бф \греен Шаг 2:} Если $A^*$ нетерово, то {\bf \red идеал
$\bigoplus_{i>0} A^i\subset A^*$ конечно-порожден.}
Выберем конечный набор образующих $a_i\in A^{n_i}$.
Я докажу, что их произведения порождают $A^*$.

{\бф \греен Шаг 3:} Пусть $z\in A^N$ -- элемент наименьшей
градуировки, который не порожден $a_i$. Поскольку
$a_i$ порождают идеал $\bigoplus_{i>0} A^i\subset A^*$,
$z= \sum_i f_i a_i$, где $f_i\in A^*$. Но $\deg f_i < \deg z$,
потому что $a_i \in \bigoplus_{i>0} A^i\subset A^*$.
{\bf \purple Значит, $f_i$ порождены произведениями $a_i$.}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Доказательство теоремы Нетер для полиномиальных инвариантов}

\определение
Пусть $V$ -- векторное пространство с базисом
$z_1,..., z_n$, $\C[V]=\bigoplus_i \Sym^iV=\C[z_1,..., z_n]$ --
соответствующее кольцо полиномов. Предположим, что
на $V$ задано действие $G$ линейными автоморфизмами.
Это действие продолжается мультипликативно
на все тензорные степени $V$, и в том числа на
$\bigoplus_i \Sym^iV$. Поэтому {\бф \пурпле группа $G$ действует на 
$\C[V]$ автоморфизмами.} Такое действие $G$ 
на $\C[V]$ называется {\бф \блуе линейным}.

\утверждение\\
{\бф \блуе (Теорема Нетер для полиномиальных инвариантов)}\\
Пусть задано линейное действие $G$ на $\C[V]$.
Тогда кольцо инвариантов $\C[V]^G$ конечно порождено.

\дшаг
Поскольку действие $G$ сохраняет градуировку на
$\C[V]$, {\бф \пурпле кольцо $\C[V]^G$ -- градуированное и конечного
типа. }

{\бф \блуе Шаг 2:} {\бф \ред $\C[V]^G$ нетерово,} так как $\C[V]$
нетерово, а кольца инвариантов нетеровы.
 
{\бф \блуе Шаг 2:}  {\бф \пурпле 
Градуировка конечного типа вместе с нетеровостью
влечет конечно-порожденность.} \ендпрооф



\невпаге

{\бф \блуе Теорема Нетер}

\теорема
{\бф \блуе (Теорема Нетер)}\\
Пусть $R$ -- конечно порожденное кольцо над $\C$, а $G$ -- конечная
группа, действующая на $R$ автоморфизмами. {\бф \ред Тогда $R^G$ конечно
порождено.}

\дшаг 
Пусть $f_1, ..., f_m$ -- образующие $R$, а $\{g_1, ..., g_k\}=G$.
Рассмотрим пространство $V\subset R$, порожденное векторами
вида $g_i f_k$. Тогда $V$ снабжено линейным действием
$G$, и {\бф \пурпле гомоморфизм $\C[V]\arrow R = \C[V]/I$ сюрьективен и 
$G$-инвариантен}.

{\бф \греен Шаг 2:} {\бф \пурпле Отображение
$\C[V]^G \arrow R^G$ сюрьективно, потому что
функтор инвариантов точен.}

{\бф \греен Шаг 3:} По теореме Нетер для полиномиальных
инвариантов, {\bf \пурпле $\C[V]^G$ конечно порождено.}
\endproof


\end{document}
