\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, wrapfig} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \def\wrappedimage#1#2#3{\par% \begin{wrapfigure}{#1}{#2}% \epsfig{file=#3,width=#2}% \end{wrapfigure}\par% } \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\Av}{\operatorname{Av}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}} \newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}} \def\Aff{\operatorname{\sf Aff}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Алгебраическая геометрия, матфак ВШЭ, осень 2011 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Алгебраическая геометрия, \\[15mm] \small лекция 5: теорема Эмми Нетер} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 7 октября 2011 } \end{center} \невпаге {\бф \блуе Техническое объявление} Сегодня, пожалуйста, принесите мне свои ведомости для ксерокопирования, либо сами скопируйте и принесите копии. Отметьте на копиях, сколько баллов вам причитается. В следующую пятницу (14-го) будет контрольная: каждому выдается по $(3+t)$ задачи, где $t=[(40-b)/10]$, а $b$ - суммарное количество баллов 7-го октября (за листки и первое домашнее задание). Оценка за контрольную {\бф \ред зависит от процента решенных задач.} Зачет случится 28-го октября. К этому дню надо иметь (суммарно) 45 баллов за сдачу листочков, контрольную и первое домашнее задание. Результаты первого домашнего задания доступны на страничке курса: {\tt http://bogomolov-lab.ru/KURSY/AG-2011/} туда же будут выкладываться результаты контрольной и вся собранная мною информация по успехам студентов. 21 и 28-го октября вместо лекций будет сдача задач. \невпаге {\бф \блуе Неприводимые многообразия (повторение)} \определение Пусть $A\subset \C^n$ -- алгебраическое подмножество. Точка $a\in A$ называется {\бф\блуе гладкой $k$-мерной}, если существует открытая окрестность $A\supset U\ni a$, которая диффеоморфна гладкому многообразию, и диффеоморфизм $U\arrow B\subset \C^k$ на открытый шар $B\subset \C^k$. Точка называется {\бф \блуе особой}, или {\бф\блуе особенностью}, если такого диффеоморфизма не существует. Многообразие называется {\бф\блуе гладким}, если у него нет особенностей, и {\бф\блуе особым} в противном случае. \определение Аффинное многообразие $A$ называется {\бф \блуе приводимым}, если оно может быть разбито в объединение $A=A_1\cup A_2$, где $A_1, A_2$ -- аффинные многообразия, причем $A_1\not\subset A_2$ и $A_2 \not\subset A_1$. Если такое разложение невозможно, $A$ называется {\бф \блуе неприводимым}. \утверждение Аффинное многообразие $A$ {\бф \пурпле неприводимо} $\Leftrightarrow$ кольцо регулярных функций $\calo_A$ {\бф \пурпле не имеет делителей нуля.} \невпаге {\бф \блуе Неприводимость гладкого многообразия} \утверждение Пусть множество $A_0$ гладких точек аффинного многообразия $A$ связно и плотно в $A$. {\бф \ред Тогда $A$ неприводимо.} \дшаг Пусть $f\in \calo_A$ ненулевая регулярная функция, а $D_f$ -- множество, где $f=0$. Поскольку $A_0$ гладко и связно, в любой точке $A_0$ ряд Тэйлора $f$ ненулевой (проверьте это). {\бф \пурпле Значит, внутренность $D_f$ - пустое множество}. {\бф \греен Шаг 2:} Из этого следует, что {\бф \пурпле дополнение к $D_f$ плотно в $A$.} {\бф \греен Шаг 3:} Если $fg=0$, то $D_f\cup D_g=A$. Следовательно, {\бф \ред $D_f$ плотно в $A$.} Но поскольку $D_f$ замкнуто, {\бф \пурпле из этого вытекает, что $D_f=A$.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Представления конечных групп} \определение {\бф \блуе Представление группы $G$} есть гомоморфизм \\ $G\arrow GL(V)$. В этом случае $V$ называется {\бф \блуе пространством представления}, или {\бф \блуе представлением}. \определение {\бф \блуе Неприводимое представление} группы $G$ есть представление, у которого нет нетривиальных $G$-инвариантных подпространств. {\бф \блуе Полупростое представление} есть прямая сумма неприводимых. \замечание Если $G$ действует на $V$, то $G$ действует на любых тензорных степенях $V$ (действие продолжается мультипликативно). В частности, {\бф \пурпле $G$ действует на $V^*\otimes V^*$, по формуле $g(h(x,y))=h(g(x),g(y))$}, где $g\in G, h\in V^*\otimes V^*, x,y\in V$. \определение Метрика $h$ (евклидова или эрмитова) на $V$ называется {\бф \блуе $G$-инвариантной}, если соответствующий тензор $h\in V^*\otimes_\R V^*$ $G$-инвариантен. \невпаге {\бф \блуе $G$-инвариантные метрики} \утверждение Сумма эрмитовых метрик эрмитова. Сумма евклидовых метрик -- евклидова метрика. \следствие Пусть $V$ -- представление конечной группы (над $\C$ или над $\R$). {\бф \ред Тогда $V$ допускает $G$-инвариантную метрику} (эрмитову или евклидову). \доказательство Пусть $h$ -- произвольная метрика, а $\frac 1 {|G|}\sum_{g\in G} g(h)$ ее усреднение по $G$. В силу предыдущего утверждения, это метрика, а в силу того, что {\бф \пурпле $G$ действует на себе биекциями} - инвариантная. \ендпрооф \следствие Если $W\subset V$ подпредставление в представлении конечной группы $G$ над $\R$ или $\C$, то {\бф \пурпле $V$ можно разложить в прямую сумму $V=W\oplus W'$, причем $W'$ $G$-инвариантно.} \доказательство Выберем на $V$ $G$-инвариантную метрику. Тогда {\бф \ред ортогональное дополнение к $W$ тоже $G$-инвариантно} (проверьте это). Это дает $V=W\oplus W^\bot$. \ендпрооф \следствие {\бф \ред Каждое конечномерное представление конечной группы вполне приводимо.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Инварианты и коинварианты} \определение Пусть $G$ -- конечная группа, действующая не векторном пространстве $V$. Определим {\бф\блуе пространство $G$-инвариантов} $V^G$ как пространство всех $G$-инвариантных векторов $V$, а {\бф\блуе пространство коинвариантов} $V_G$ как фактор $V$ по подпространству, порожденному векторами вида $v-g(v)$, где $g\in G, v\in V$. \определение Функтор $A\arrow FA$ на категории $R$-модулей или векторных пространств называется {\бф \блуе точным слева}, если любая точная последовательность $0\arrow A \arrow B \arrow C\arrow 0$ переводится в точную последовательность вида \[ 0\arrow FA \arrow FB \arrow FC,\] и {\бф \блуе точным справа}, если она переводится в точную последовательность вида \[ FA \arrow FB \arrow FC\arrow 0.\] Функтор называется {\бф \блуе точным}, если последовательность \[ 0\arrow FA \arrow FB \arrow FC\arrow 0\] точна. \невпаге {\бф \блуе Отображение усреднения} \утверждение Для нетривиального неприводимого представления $V$, инварианты и коинварианты равны нулю. Для тривиального, они равны $V$. \следствие Если $V$ -- полупростое представление, {\бф \ред то $V_G=V^G$.} \упражнение Проверьте, что {\бф \пурпле функтор инвариантов точен слева, а функтор коинвариантов точен справа.} \следствие Пусть $0\arrow A \arrow B \arrow C\arrow 0$ -- точная последовательность полупростых представлений. Тогда {\бф \пурпле последовательности\\ $0\arrow A^G \arrow B^G \arrow C^G\arrow 0$ и $ 0\arrow A_G \arrow B_G \arrow C_G\arrow 0$ тоже точны.} \следствие Если $G$ -- конечная группа, то {\бф \ред функтор инвариантов точен}. \замечание {\бф \блуе Отображение усреднения по действию $G$} \[ m \arrow \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} g(m)\] {\бф \ред проектирует представление $V$ на $V^G$}, причем ядро этого отображения есть ядро естественной проекции $V\arrow V_G$. \невпаге {\бф \блуе Аффинные многообразия (повторение)} \определение Пусть $R$ есть конечно-порожденное кольцо над $\C$, \\ $R:= \C[z_1, ..., z_n]/I$. {\бф \блуе Аффинное многообразие} есть множество $V(I)$ общих нулей идеала $I$ в $\C^n$. Оно обозначается $\Spec_m R$. Здесь $\Spec_m$ обозначает {\бф \блуе максимальный спектр кольца}, то есть множество максимальных идеалов в $R$. \замечание По теореме Гильберта о нулях, {\бф \ред точки $V(I)$ взаимно однозначно соответствуют максимальным идеалам $R$}. \определение {\бф \блуе Регулярная функция} на аффинном многообразии есть полиномиальная функция. \определение {\бф \блуе Морфизм} аффинных многообразий есть отображение $X \arrow Y$, заданное полиномами. \определение {\бф \блуе Изоморфизм} аффинных многообразий есть морфизм, который обратим справа и слева. \замечание По теореме Гильберта о нулях, {\бф \пурпле аффиные многообразия изоморфны тогда и только тогда, когда их кольца регулярных функций изоморфны.} \невпаге {\бф \блуе Кольцо инвариантов и факторпространство} \определение {\бф\блуе Действие группы $G$ на аффинном многообразии $A$} есть действие $G$ на кольце $\calo_A$ регулярных функций на $A$. \замечание Это то же самое, что действие $G$ на $A$ автоморфизмами. \замечание {\бф \ред Хочется определить $A/G$ как спектр кольца инвариантов $\calo_A^G$.} {\бф \греен Трудность 1:} Надо доказать, что $\calo_A^G$ конечно порождено (теорема Нетер). {\бф \греен Трудность 2:} Надо отождествить максимальные идеалы в $\calo_A^G$ с элементами фактормножества $A/G$. \невпаге {\бф \блуе Теорема Нетер (схема доказательства)} \теорема Пусть $R$ -- конечно-порожденное кольцо над $\C$, $G$ -- конечная группа, действующая на $R$ автоморфизмами. Тогда {\бф \ред кольцо инвариантов $R^G$ конечно порождено.} {\bf \греен Схема доказательства:} 1. Из нетеровости $R$ выводим нетеровость $R^G$. 2. Доказываем конечно-порожденность $R^G$ для $R=\C[z_1, ..., z_n]$, где $G$ действует на полиномах степени 1 линейными автоморфизмами. 3. Выводим из точности функтора $V \arrow V^G$ общий случай. \невпаге {\бф \блуе Нетеровы кольца (повторение)} \определение Кольцо называется {\бф \блуе нетеровым}, если любая возрастающая цепочка вложенных друг в друга идеалов обрывается. \определение {\бф \блуе Конечно порожденный идеал в кольце} есть идеал $\langle a_1, ..., a_n\rangle$ линейных комбинаций вида $\sum b_i a_i$, где $a_i$ -- фиксированный набор элементов, которые называются {\бф \блуе образующими} идеала. \утверждение {\бф \ред (Кольцо $R$ нетерово) $\Leftrightarrow$ (все идеалы в $R$ конечно порождены).} \теорема {\бф \блуе (теорема Гильберта о базисе)} {\бф \ред Любое конечно порожденное кольцо над $\C$ нетерово.} \доказательство Была доказана на прошлой лекции. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Идеалы в $R$ и в $R^G$} \лемма Пусть $R$ -- кольцо, снабженное действием группы, $R^G$ -- кольцо $G$-инвариантов, а $I\subset R^G$ идеал. Тогда {\бф \пурпле идеал $RI$ удовлетворяет $\Av_G(RI) = \Av_G(R)I=R^GI=I$,} где $\Av_G:\; R \arrow R^G$ -- отображение усреднения по группе. \ендпрооф \следствие Если $I_1 \subsetneq I$ -- строго вложенные идеалы в $R^G$, то $RI_1 \subsetneq RI$ тоже строго вложенные идеалы. \следствие {\bf \red Если $R$ нетерово, то $R^G$ тоже нетерово.} \доказательство Каждая бесконечная, строго возрастающая цепочка идеалов $I_0 \subsetneq I_1 \subsetneq ... $ в $R^G$ даст строго возрастающую цепочку идеалов $RI_0 \subsetneq RI_1 \subsetneq ... $ в $R$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Градуированные кольца} \определение {\бф\блуе Градуированное кольцо} есть кольцо $A^*$ вида $A^*=\bigoplus_{i=0}^\infty A^i$, где умножение удовлетворяет закону $A^i\cdot A^j \subset A^{i+j}$. Градуированное кольцо называется кольцом {\бф \блуе конечного типа}, если все $A^i$ конечномерны. \пример Кольцо полиномов $\C[V]=\bigoplus_i \Sym^iV$. \утверждение Пусть $A^*$ -- градуированное кольцо конечного типа. {\бф \ред $A^*$ нетерово $\Leftrightarrow$ оно конечно порождено.} \дшаг Нетеровость $A^*$ следует из конечно-поро\-жденности $A^*$ по теореме Гильберта о базисе. {\бф \греен Шаг 2:} Если $A^*$ нетерово, то {\bf \red идеал $\bigoplus_{i>0} A^i\subset A^*$ конечно-порожден.} Выберем конечный набор образующих $a_i\in A^{n_i}$. Я докажу, что их произведения порождают $A^*$. {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $z\in A^N$ -- элемент наименьшей градуировки, который не порожден $a_i$. Поскольку $a_i$ порождают идеал $\bigoplus_{i>0} A^i\subset A^*$, $z= \sum_i f_i a_i$, где $f_i\in A^*$. Но $\deg f_i < \deg z$, потому что $a_i \in \bigoplus_{i>0} A^i\subset A^*$. {\bf \purple Значит, $f_i$ порождены произведениями $a_i$.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Доказательство теоремы Нетер для полиномиальных инвариантов} \определение Пусть $V$ -- векторное пространство с базисом $z_1,..., z_n$, $\C[V]=\bigoplus_i \Sym^iV=\C[z_1,..., z_n]$ -- соответствующее кольцо полиномов. Предположим, что на $V$ задано действие $G$ линейными автоморфизмами. Это действие продолжается мультипликативно на все тензорные степени $V$, и в том числа на $\bigoplus_i \Sym^iV$. Поэтому {\бф \пурпле группа $G$ действует на $\C[V]$ автоморфизмами.} Такое действие $G$ на $\C[V]$ называется {\бф \блуе линейным}. \утверждение\\ {\бф \блуе (Теорема Нетер для полиномиальных инвариантов)}\\ Пусть задано линейное действие $G$ на $\C[V]$. Тогда кольцо инвариантов $\C[V]^G$ конечно порождено. \дшаг Поскольку действие $G$ сохраняет градуировку на $\C[V]$, {\бф \пурпле кольцо $\C[V]^G$ -- градуированное и конечного типа. } {\бф \блуе Шаг 2:} {\бф \ред $\C[V]^G$ нетерово,} так как $\C[V]$ нетерово, а кольца инвариантов нетеровы. {\бф \блуе Шаг 2:} {\бф \пурпле Градуировка конечного типа вместе с нетеровостью влечет конечно-порожденность.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Теорема Нетер} \теорема {\бф \блуе (Теорема Нетер)}\\ Пусть $R$ -- конечно порожденное кольцо над $\C$, а $G$ -- конечная группа, действующая на $R$ автоморфизмами. {\бф \ред Тогда $R^G$ конечно порождено.} \дшаг Пусть $f_1, ..., f_m$ -- образующие $R$, а $\{g_1, ..., g_k\}=G$. Рассмотрим пространство $V\subset R$, порожденное векторами вида $g_i f_k$. Тогда $V$ снабжено линейным действием $G$, и {\бф \пурпле гомоморфизм $\C[V]\arrow R = \C[V]/I$ сюрьективен и $G$-инвариантен}. {\бф \греен Шаг 2:} {\бф \пурпле Отображение $\C[V]^G \arrow R^G$ сюрьективно, потому что функтор инвариантов точен.} {\бф \греен Шаг 3:} По теореме Нетер для полиномиальных инвариантов, {\bf \пурпле $\C[V]^G$ конечно порождено.} \endproof \end{document}