\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, wrapfig} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \def\wrappedimage#1#2#3{\par% \begin{wrapfigure}{#1}{#2}% \epsfig{file=#3,width=#2}% \end{wrapfigure}\par% } \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}} \newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}} \def\Aff{\operatorname{\sf Aff}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Алгебраическая геометрия, матфак ВШЭ, осень 2011 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Алгебраическая геометрия, \\[15mm] \small лекция 4: неприводимые многообразия и нетеровы кольца} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 30 сентября 2011 } \end{center} \newpage {\бф \блуе Гладкие точки} \определение Пусть $A\subset \C^n$ -- алгебраическое подмножество. Точка $a\in A$ называется {\бф\блуе гладкой $k$-мерной}, если существует открытая окрестность $A\supset U\ni a$, которая диффеоморфна гладкому многообразию, и диффеоморфизм $U\arrow B\subset \C^k$ на открытый шар $B\subset \C^k$. Точка называется {\бф \блуе особой}, или {\бф\блуе особенностью}, если такого диффеоморфизма не существует. Многообразие называется {\бф\блуе гладким}, если у него нет особенностей, и {\бф\блуе особым} в противном случае. \утверждение Диффеоморфизм между окрестностью $а$ и открытым шаром {\бф \пурпле всегда можно выбрать полиномиальным.} \дшаг {\бф \блуе Теорема об обратной функции:} если $a\in M$ гладкая точка на $k$-мерном многообразии, то любые $k$ функций $f_1,..., f_k$, таких, что $df_i$ линейно независимы на $T_a M$, {\бф \ред задают систему координат в окрестности $a$.} {\бф \греен Шаг 2:} Если $a\in A\subset \C^n$ -- гладкая, $k$-мерная точка, то {\бф \пурпле существуют $k$ линейных функции на $\C^n$, которые линейно независимы на $T_a A$.} {\бф \греен Шаг 3:} Такие функции задают {\бф \пурпле диффеоморфизм из окрестности $a$ в открытое подмножество $\C^k$}. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Максимальный идеал гладкой точки} \следствие Если линейные функции $f_1,..., f_k$ линейно независимы в ограничении на $T_aA$ для гладкой точки $a\in A\subset \C^n$, то соответствующая проекция $\C^n\arrow \C^k$ {\бф \ред задает диффеоморфизм в некоторой окрестности $a\in A$.} \замечание {\бф \пурпле Множество гладких точек $A$ открыто.} \замечание Если $m_x$ -- максимальный идеал гладкой точки $k$-мерного многообразия, то {\бф\red $\dim_\C m_x/m_x^2=k$.} \утверждение Многообразие $A\subset \C^2$, заданное уравнением $xy=0$, {\бф \ред не гладко в точке $a:=(0,0)$.} \дшаг $m_a/m^2_a$ есть фактор пространства всех полиномов степени $\geq 1$ по всем полиномам степени $\geq 2$, {\бф \пурпле то есть двумерно. } {\бф \греен Шаг 2:} Значит, если эта точка гладкая, то $A$ было бы двумерно в окрестности (0,0). {\бф \греен Шаг 3:} Все точки $A$, кроме $a$, гладкие и {\бф \ред $A$ одномерно в их окрестности.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Нетривиальные (но интуитивно очевидные) утверждения} {\бф \греен Трудное упражнение:} Докажите, что {\бф \пурпле множество особых точек аффинного многообразия аффинно.} {\бф \греен Очень трудное упражнение:} Докажите, что {\бф \пурпле любое аффинное многообразие содержит гладкую точку.} \упражнение Выведите из этих утверждений, что {\бф \пурпле множество гладких точек $A$ плотно в $A$.} \newpage {\бф \блуе Неприводимые многообразия} \определение Напомню, что {\бф \блуе квазиаффинное многообразие} есть дополнение аффинного до аффинного. \определение Квазиаффинное многообразие $A$ называется {\бф \блуе приводимым}, если оно может быть разбито в объединение $A=A_1\cup A_2$, где $A_1, A_2$ -- квазиаффинные многообразия, замкнутые в $A$, причем $A_1\not\subset A_2$ и $A_2 \not\subset A_1$. Если такое разложение невозможно, $A$ называется {\бф \блуе неприводимым}. \утверждение Аффинное многообразие $A$ {\бф \пурпле неприводимо} $\Leftrightarrow$ кольцо регулярных функций $\calo_A$ {\бф \пурпле не имеет делителей нуля.} \доказательство Если $A=A_1\cup A_2$ -- разложение $A$ в объединение подмногообразий, то {\бф \пурпле есть функция $f$, зануляющаяся на $A_1$ и не зануляющаяся на $A_2$,} и функция $g$, которая наоборот. {\бф \пурпле Произведение $fg$ равно нулю на $A$.} \ендпрооф \упражнение Докажите, что многообразие, которое гладко и связно, {\бф \ред обязательно неприводимо.} \newpage {\бф \блуе Плотные подмножества неприводимых многообразий} \утверждение Пусть $A$ -- неприводимое квазиаффинное многообразие, плотное в аффинном многообразии $B$. Тогда {\бф \ред $B$ неприводимо $\Leftrightarrow$ $A$ неприводимо.} \доказательство Если $A=A_1\cup A_2$, то $B$ есть замыкание их объединений. Наоборот, если $B=B_2 \cup B_2$, то $A= (A\cap B_1) \cup (A\cup B_2)$. \ендпрооф \следствие Пусть $A$ -- аффинное многообразие, {\бф \пурпле множество $A_0$ гладких точек которого плотно в $A$ и связно.} {\бф \ред Тогда $A$ неприводимо.} \доказательство Если есть ненулевые функции $f$ и $g$, такие, что $fg=0$, то кольцо полиномиальных функций на $A_0$ содержит делители нуля. {\бф \пурпле Это невозможно, потому что $A_0$ гладко и связно.} \ендпрооф \упражнение Пусть $X\arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий, причем $X$ неприводимо, а его образ в $Y$ плотен. {\бф \пурпле Докажите, что $Y$ тоже неприводимо.} \newpage {\бф \блуе Нетеровость колец и неприводимые компоненты} \определение Кольцо называется {\бф \блуе нетеровым}, если любая возрастающая цепочка вложенных друг в друга идеалов обрывается. \определение {\бф \блуе Неприводимая компонента} алгебраического множества $A$ есть неприводимое подмножество $A'\subset A$ такое, что $A=A'\cup A''$, причем $A'\not\subset A''$. \замечание Пусть $A_1 \supset A_2 \supset ... \supset A_n \supset ... $ последовательность убывающих алгебраических подмножеств в аффинном многообразии. {\бф \пурпле Тогда соответствующие идеалы образуют возрастающую цепочку идеалов.} \утверждение Пусть $A$ -- аффинное многообразие, $A= \Spec \calo_A$, причем $\calo_A$ нетерово. Тогда {\бф \ред $A$ есть объединение своих неприводимых компонент, которых конечное число.} \доказательство См. следующий слайд. \newpage {\бф \блуе Нетеровость колец и неприводимые компоненты (продолжение)} \утверждение Пусть $A$ -- аффинное многообразие, $A= \Spec \calo_A$, причем $\calo_A$ нетерово. Тогда {\бф \ред $A$ есть объединение своих неприводимых компонент, которых конечное число.} \дшаг Каждая точка $a\in A$ лежит в какой-то неприводимой компоненте. В самом деле, если такой компоненты нет, то для каждого разбиения $A=A_1\cup A_2$, подмножество $A_i$, содержащее $a$, может быть снова разбито в объединение замкнутых подмножеств, и так до бесконечности. Это дает строго убывающую бесконечную последовательность аффинных подмножеств $A_1 \supset A_2 \supset ... \supset A_n \supset ... $ Но {\бф \пурпле тогда соответствующая последовательность идеалов не обрывается.} {\бф \греен Шаг 2:} Число неприводимых компонент конечно. Пусть их бесконечно, $A= \bigcup_i A_i$. Поскольку $A=A_i\cup A_i'$, {\бф \пурпле дополнение $A \backslash A_i$ содержится в аффинном подмножестве $A$, которое не содержит $A_i$.} {\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за $B_n$ минимальное аффинное подмножество $A$, которое содержит $A\backslash A_n$. В силу предыдущего шага, {\бф \ред последовательность \[ B_1 \supset B_1 \cap B_2 \supset B_1 \cap B_2 \cap B_3 \] строго убывает,} что снова дает строго возрастающую последовательность идеалов. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Нетеровы кольца} \теорема {\бф \блуе (теорема Гильберта о базисе)} {\бф \ред Любое конечно порожденное кольцо над $\C$ нетерово.} \следствие Для любого аффинного многообразия $A$, $A= \Spec \calo_A$, {\бф \пурпле кольцо $\calo_A$ нетерово.} \замечание {\бф \пурпле Достаточно доказать теорему Гильберта для кольца полиномов.} В самом деле, любое конечно порожденное кольцо является фактором кольца полиномов, но {\бф \блуе множество идеалов факторкольца $R/I$ инъективно отображается в множество идеалов $R$. } \замечание Для этого достаточно доказать, что {\бф \пурпле $R[t]$ нетерово для любого нетерова кольца $R$.} \упражнение {\бф \ред Приведите пример колец, которые не нетеровы.} \newpage {\бф \блуе Конечно порожденные идеалы} \определение {\бф \блуе Конечно порожденный идеал в кольце} есть идеал $\langle a_1, ..., a_n\rangle$ линейных комбинаций вида $\sum b_i a_i$, где $a_i$ -- фиксированный набор элементов, которые называются {\бф \блуе образующими} идеала. \лемма Пусть $I\subset R$ -- конечно порожденный идеал, а $I_0 \subset I_1 \subset I_2 \subset ... $ -- цепочка вложенных идеалов, таких, что $\bigcup_n I_n=I$. {\бф \ред Тогда эта цепочка обрывается.} \доказательство Пусть $I=\langle a_1, ..., a_n\rangle$, a $I_N$ -- {\бф \пурпле такой идеал в цепочке $I_n$, который содержит все $a_i$.} Тогда $I_N=I$. \ендпрооф \утверждение {\бф \ред (Кольцо $R$ нетерово) $\Leftrightarrow$ (все идеалы в $R$ конечно порождены).} \доказательство Если $I_0 \subset I_1 \subset I_2 \subset ... $ цепочка идеалов, а $I$ ее объединение, то {\бф \пурпле из конечной порожденности $I$ следует обрыв цепочки } в силу леммы. Наоборот, если $R$ нетерово, а $I$ -- идеал, возьмем идеал $I_0=0$, а $I_{n+1}$ сделаем из $I_n$, добавив к $I_n$ элемент, лежащий в $I$ и не лежащий в $I_n$. {\бф \пурпле Поскольку эта цепочка обрывается, $I=I_N$.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Нетеровы модули} \определение Модуль $M$ над кольцом называется {\бф \блуе нетеровым}, если любая возрастающая цепочка подмодулей $M$ обрывается. \замечание Любые подмодули и фактормодули нетерова $R$-модуля снова нетеровы. {\бф \пурпле Прямые суммы нетеровых модулей тоже нетеровы.} \определение {\бф \блуе Конечно порожденный $R$-модуль} есть фактормодуль $R^n$ по какому-то подмодулю. \замечание Любой нетеров модуль {\бф \ред конечно порожден.} \лемма Кольцо $R$ является нетеровым, если оно нетерово как $R$-модуль. \доказательство {\бф \пурпле Идеалы в $R$ -- это то же самое, что $R$-подмодули.} \ендпрооф \замечание Если $M$ -- модуль над $R[t]$, который нетеров как $R$-модуль, то {\бф \пурпле он нетеров как $R[t]$-модуль.} \следствие Если $R$ нетерово, то $R[t]/(t^N)$ есть нетеров $R$-модуль, а значит, {\бф \пурпле кольцо $R[t]/(t^N)$ нетерово.} \невпаге {\бф \блуе Доказательство теоремы Гильберта о базисе.} \утверждение Если $R$ -- нетерово кольцо, то {\бф \ред $R[t]$ тоже нетерово.} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Пусть $I\subset R[t]$ идеал. Мы докажем, что $I$ конечно порожден. Рассмотрим идеал $I_0\subset R$, порожденный старшими коэффициентами всех полиномов из $I$. Поскольку $R$ нетерово, любая цепочка идеалов, содержащихся в $I$, обрывается. Значит, {\bf \purple $I_0$ порождено $a_1, ..., a_n$, где все $a_i$ -- старшие коэффициенты полиномов $P_i(t)\in I$.} {\bf \green Шаг 2:} Пусть $N$ -- наибольшая степень $P_i(t)$. Для каждого $Q(t)\in I$ со старшим коэффициентом $\sum a_i b_i$, {\бф \пурпле существует полином $P_Q(t)$ степени не больше $N$ с тем же старшим коэффициентом}, $P_Q(T)=\sum_i P_i(t) b_i t^{N-\deg P_i}$. {\bf \green Шаг 3:} Обозначим за $\tilde Q(t)$ остаток от деления в столбик $Q(t)$ на $P_Q(t)$. {\бф \пурпле Тогда $\tilde Q(t)=Q(t) \mod \langle P_1(t), ..., P_n(t)\rangle$, а $\deg \tilde Q(t)