


\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig,
  russcorr, russlh, wrapfig}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\def\wrappedimage#1#2#3{\par%
\begin{wrapfigure}{#1}{#2}%
\epsfig{file=#3,width=#2}%
\end{wrapfigure}\par%
}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}}
\newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}}
\def\Aff{\operatorname{\sf Aff}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small  Алгебраическая геометрия, 
матфак ВШЭ, осень 2011 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Алгебраическая геометрия, \\[15mm]
\small лекция 4: неприводимые многообразия и нетеровы кольца}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf Матфак ВШЭ, Москва
\\[2mm] 30 сентября 2011
}
\end{center}

\newpage

{\бф \блуе Гладкие точки}


\определение
Пусть $A\subset \C^n$ -- алгебраическое подмножество.
Точка $a\in A$ называется {\бф\блуе гладкой $k$-мерной}, если
существует открытая окрестность $A\supset U\ni a$,
которая диффеоморфна гладкому многообразию, 
и диффеоморфизм $U\arrow B\subset \C^k$
на открытый шар $B\subset \C^k$. Точка называется 
{\бф \блуе особой}, или {\бф\блуе особенностью},
если такого диффеоморфизма не существует.
Многообразие называется {\бф\блуе гладким}, если у него нет
особенностей, и {\бф\блуе особым} в противном случае.

\утверждение Диффеоморфизм между окрестностью
$а$ и открытым шаром {\бф \пурпле всегда можно выбрать полиномиальным.}

\дшаг
{\бф \блуе Теорема об обратной функции:} 
если $a\in M$ гладкая точка на $k$-мерном многообразии, то
любые $k$ функций $f_1,..., f_k$, таких, что 
$df_i$ линейно независимы на $T_a M$, {\бф \ред задают систему
координат в окрестности $a$.}

{\бф \греен Шаг 2:}
Если $a\in A\subset \C^n$ -- гладкая, $k$-мерная точка, 
то {\бф \пурпле существуют $k$ линейных функции на $\C^n$,
которые линейно независимы на $T_a A$.}

{\бф \греен Шаг 3:}
Такие функции задают {\бф \пурпле диффеоморфизм из окрестности $a$
в открытое подмножество $\C^k$}.
\ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Максимальный идеал гладкой точки}


\следствие
Если линейные функции $f_1,..., f_k$ линейно
независимы в ограничении на $T_aA$ для 
гладкой точки $a\in A\subset \C^n$, то
соответствующая проекция $\C^n\arrow \C^k$ 
{\бф \ред задает диффеоморфизм в некоторой окрестности $a\in A$.}

\замечание
{\бф \пурпле Множество гладких точек $A$ открыто.}

\замечание
Если $m_x$ -- максимальный идеал гладкой точки
$k$-мерного многообразия, то {\бф\red  $\dim_\C m_x/m_x^2=k$.}

\утверждение
Многообразие $A\subset \C^2$, заданное
уравнением $xy=0$, {\бф \ред не гладко в точке $a:=(0,0)$.}

\дшаг
$m_a/m^2_a$ есть фактор пространства всех полиномов
степени $\geq 1$ по всем полиномам степени $\geq 2$,
{\бф \пурпле то есть двумерно. }

{\бф \греен Шаг 2:} Значит, если эта точка гладкая, 
то $A$ было бы двумерно в окрестности (0,0).

{\бф \греен Шаг 3:} Все точки $A$, кроме $a$,
гладкие и {\бф \ред $A$ одномерно в их окрестности.} \ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Нетривиальные (но интуитивно очевидные) утверждения}

{\бф \греен Трудное упражнение:}
Докажите, что {\бф \пурпле множество особых точек аффинного
многообразия аффинно.}

{\бф \греен Очень трудное упражнение:}
Докажите, что {\бф \пурпле любое аффинное многообразие
содержит гладкую точку.}


\упражнение
Выведите из этих утверждений, что {\бф \пурпле множество
гладких точек $A$ плотно в $A$.}

\newpage

{\бф \блуе Неприводимые многообразия}

\определение
Напомню, что {\бф \блуе квазиаффинное
многообразие} есть дополнение аффинного до аффинного.

\определение
Квазиаффинное многообразие $A$ называется
{\бф \блуе приводимым}, если оно может быть разбито
в объединение $A=A_1\cup A_2$, где
$A_1, A_2$ -- квазиаффинные многообразия, замкнутые в $A$,
причем $A_1\not\subset A_2$ и $A_2 \not\subset A_1$.
Если такое разложение невозможно, $A$ называется
{\бф \блуе неприводимым}.

\утверждение
Аффинное многообразие $A$ {\бф \пурпле неприводимо} $\Leftrightarrow$
кольцо регулярных функций $\calo_A$ {\бф \пурпле не имеет делителей 
нуля.}

\доказательство
Если $A=A_1\cup A_2$ -- разложение $A$ в
объединение подмногообразий, то {\бф \пурпле есть функция $f$, зануляющаяся
на $A_1$ и не зануляющаяся на $A_2$,} и функция $g$,
которая наоборот. {\бф \пурпле Произведение $fg$ равно нулю на $A$.}
\ендпрооф

\упражнение
Докажите, что 
многообразие, которое гладко и связно, {\бф \ред
обязательно неприводимо.}

\newpage

{\бф \блуе Плотные подмножества неприводимых многообразий}

\утверждение
Пусть $A$ -- неприводимое квазиаффинное
многообразие, плотное в аффинном многообразии
$B$. Тогда {\бф \ред $B$ неприводимо $\Leftrightarrow$ $A$ неприводимо.}

\доказательство
Если $A=A_1\cup A_2$, то $B$ есть замыкание их объединений.
Наоборот, если $B=B_2 \cup B_2$, то $A= (A\cap B_1) \cup (A\cup B_2)$.
\ендпрооф

\следствие
Пусть $A$ -- аффинное многообразие, {\бф \пурпле множество $A_0$ гладких точек
которого плотно в $A$ и связно.} {\бф \ред Тогда $A$ неприводимо.}

\доказательство
Если есть ненулевые функции $f$ и $g$, такие, что 
$fg=0$, то кольцо полиномиальных функций на $A_0$
содержит делители нуля. {\бф \пурпле Это невозможно, потому что
$A_0$ гладко и связно.} \ендпрооф

\упражнение
Пусть $X\arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий,
причем $X$ неприводимо, а его образ в $Y$ плотен.
{\бф \пурпле Докажите, что $Y$ тоже неприводимо.}

\newpage

{\бф \блуе Нетеровость колец и неприводимые компоненты}

\определение
Кольцо называется {\бф \блуе нетеровым},
если любая возрастающая цепочка вложенных
друг в друга идеалов обрывается.

\определение
{\бф \блуе Неприводимая компонента} алгебраического множества $A$
есть неприводимое подмножество $A'\subset A$ такое, что
$A=A'\cup A''$, причем $A'\not\subset A''$. 


\замечание
Пусть $A_1 \supset A_2 \supset ... \supset A_n \supset ... $
последовательность убывающих алгебраических подмножеств в
аффинном многообразии. {\бф \пурпле Тогда соответствующие идеалы
образуют возрастающую цепочку идеалов.}

\утверждение
Пусть $A$ -- аффинное многообразие, 
$A= \Spec \calo_A$, причем $\calo_A$ нетерово.
Тогда {\бф \ред $A$ есть объединение
своих неприводимых компонент, которых конечное число.}

\доказательство
См. следующий слайд.

\newpage

{\бф \блуе Нетеровость колец и неприводимые компоненты (продолжение)}

\утверждение
Пусть $A$ -- аффинное многообразие, 
$A= \Spec \calo_A$, причем $\calo_A$ нетерово.
Тогда {\бф \ред $A$ есть объединение
своих неприводимых компонент, которых конечное число.}

\дшаг
Каждая точка $a\in A$ лежит в какой-то неприводимой
компоненте. В самом деле, если такой компоненты нет,
то для каждого разбиения $A=A_1\cup A_2$, подмножество
$A_i$, содержащее $a$, может быть снова разбито в
объединение замкнутых подмножеств, и так до бесконечности.
Это дает  строго убывающую бесконечную последовательность
аффинных подмножеств 
$A_1 \supset A_2 \supset ... \supset A_n \supset ... $
Но {\бф \пурпле тогда соответствующая
последовательность идеалов не обрывается.}

{\бф \греен Шаг 2:} Число неприводимых компонент
конечно. Пусть их бесконечно, $A= \bigcup_i A_i$.
Поскольку $A=A_i\cup A_i'$, {\бф \пурпле дополнение
$A \backslash A_i$ содержится в аффинном подмножестве
$A$, которое не содержит $A_i$.}

{\бф \греен Шаг 3:}
Обозначим за $B_n$ минимальное аффинное
подмножество $A$, которое содержит $A\backslash A_n$. 
В силу предыдущего шага, {\бф \ред последовательность
\[
B_1 \supset B_1 \cap B_2 \supset B_1 \cap B_2 \cap B_3
\]
строго убывает,} что снова дает строго возрастающую
последовательность идеалов.
\ендпрооф



\newpage

{\бф \блуе Нетеровы кольца}

\теорема {\бф \блуе (теорема Гильберта о базисе)}
{\бф \ред Любое конечно порожденное кольцо над $\C$ нетерово.}

\следствие
Для любого аффинного многообразия $A$, $A= \Spec \calo_A$,
{\бф \пурпле кольцо $\calo_A$ нетерово.}

\замечание
{\бф \пурпле Достаточно доказать теорему Гильберта для кольца
полиномов.} В самом деле, любое конечно порожденное
кольцо является фактором кольца полиномов, но 
{\бф \блуе множество идеалов факторкольца $R/I$ инъективно отображается 
в множество идеалов $R$. }

\замечание
Для этого достаточно доказать, что {\бф \пурпле $R[t]$
нетерово для любого нетерова кольца $R$.}

\упражнение
{\бф \ред Приведите пример колец, которые не нетеровы.}


\newpage

{\бф \блуе Конечно порожденные идеалы}

\определение
{\бф \блуе Конечно порожденный идеал в кольце}
есть идеал  $\langle a_1, ..., a_n\rangle$ линейных комбинаций 
вида $\sum b_i a_i$, где $a_i$ -- фиксированный набор
элементов, которые называются {\бф \блуе образующими} идеала.

\лемма
Пусть $I\subset R$ -- конечно порожденный идеал,
а $I_0 \subset I_1 \subset I_2 \subset ... $ --
цепочка вложенных идеалов, таких, что $\bigcup_n I_n=I$.
{\бф \ред Тогда эта цепочка обрывается.}

\доказательство
Пусть $I=\langle a_1, ..., a_n\rangle$,
a $I_N$ -- {\бф \пурпле такой идеал в цепочке $I_n$, который
содержит все $a_i$.} Тогда $I_N=I$.
\ендпрооф

\утверждение
{\бф \ред (Кольцо $R$ нетерово) $\Leftrightarrow$ (все идеалы
в $R$ конечно порождены).}

\доказательство
Если $I_0 \subset I_1 \subset I_2 \subset ... $
цепочка идеалов, а $I$ ее объединение, то {\бф \пурпле из конечной
порожденности $I$ следует обрыв цепочки } в силу леммы.

Наоборот, если $R$ нетерово, а $I$ -- идеал,
возьмем идеал $I_0=0$, а $I_{n+1}$ сделаем
из $I_n$, добавив к $I_n$ элемент, лежащий в $I$
и не лежащий в $I_n$. {\бф \пурпле Поскольку эта цепочка
обрывается, $I=I_N$.} \ендпрооф



\newpage

{\бф \блуе Нетеровы модули}


\определение
Модуль $M$ над кольцом называется {\бф \блуе нетеровым},
если любая возрастающая цепочка подмодулей $M$
обрывается.

\замечание
Любые подмодули и фактормодули нетерова 
$R$-модуля снова нетеровы. {\бф \пурпле Прямые суммы
нетеровых модулей тоже нетеровы.}

\определение
{\бф \блуе Конечно порожденный $R$-модуль}
есть фактормодуль $R^n$ по какому-то подмодулю.

\замечание
Любой нетеров модуль {\бф \ред конечно порожден.}

\лемма
Кольцо $R$ является нетеровым, если оно нетерово
как $R$-модуль.

\доказательство
{\бф \пурпле Идеалы в $R$ -- это то же самое, что
$R$-подмодули.} \ендпрооф

\замечание
Если $M$ -- модуль над $R[t]$, который нетеров как
$R$-модуль, то {\бф \пурпле он нетеров как $R[t]$-модуль.}

\следствие
Если $R$ нетерово, то
$R[t]/(t^N)$ есть нетеров $R$-модуль,
а значит, {\бф \пурпле кольцо $R[t]/(t^N)$ нетерово.}

\невпаге

{\бф \блуе Доказательство теоремы Гильберта о базисе.}

\утверждение Если $R$ -- нетерово кольцо,
то {\бф \ред $R[t]$ тоже нетерово.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} 
Пусть $I\subset R[t]$
идеал. Мы докажем, что $I$ конечно порожден.
Рассмотрим идеал $I_0\subset R$, порожденный старшими
коэффициентами всех полиномов из $I$. Поскольку $R$
нетерово, любая цепочка идеалов, содержащихся в $I$,
обрывается. Значит, {\bf \purple $I_0$ порождено $a_1, ..., a_n$,
где все $a_i$ -- старшие коэффициенты полиномов
$P_i(t)\in I$.}

{\bf \green Шаг 2:} Пусть $N$ -- наибольшая степень
$P_i(t)$. Для каждого $Q(t)\in I$ со старшим
коэффициентом $\sum a_i b_i$, {\бф \пурпле существует
полином $P_Q(t)$ степени не больше $N$ с тем же
старшим коэффициентом},
 $P_Q(T)=\sum_i P_i(t) b_i t^{N-\deg P_i}$.

{\bf \green Шаг 3:} Обозначим за $\tilde Q(t)$
остаток от деления в столбик $Q(t)$ на $P_Q(t)$.
{\бф \пурпле Тогда $\tilde Q(t)=Q(t) \mod \langle P_1(t),
..., P_n(t)\rangle$, а $\deg \tilde Q(t)<N$.}

{\bf \green Шаг 4:} 
Мы построили вложение $R$-модулей $I/\langle P_1(t),
..., P_n(t)\arrow R[t]/(t^N)$.
{\бф \пурпле Поэтому модуль $I/\langle P_1(t),
..., P_n(t)\rangle$ нетеров, значит, конечно порожден.}

{\bf \green Шаг 5:} Выберем полиномы
$Q_1(t),..., Q_m(t)\in I$, которые
порождают\\ $I/\langle P_1(t),
..., P_n(t)\rangle$. {\бф \ред Тогда
$Q_i(t),P_i(t)$ порождают $I$.} \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Техническое объявление}

В следующую пятницу (7-го октября),
пожалуйста, принесите мне
свои ведомости для ксерокопирования, либо
сами скопируйте и принесите копии. Через
пятницу (14-го) будет контрольная: каждому выдается
по $(3+t)$ задачи, где $t=[(40-b)/10]$,
а $b$ - суммарное количество баллов 7-го октября
(за листки и первое домашнее задание). Оценка 
за контрольную {\бф \ред зависит от процента 
решенных задач.}

\невпаге

\begin{center}
\epsfig{file=Emmy_Noether_by_Fleener.jpg,width=0.43\linewidth}\\[10mm]
{ \small
Emmy Noether\\
by Mary Fleener}
\end{center}



\end{document}
