


\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig,
  russcorr, russlh, wrapfig}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\def\wrappedimage#1#2#3{\par%
\begin{wrapfigure}{#1}{#2}%
\epsfig{file=#3,width=#2}%
\end{wrapfigure}\par%
}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}}
\newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}}
\def\Aff{\operatorname{\sf Aff}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\��������{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}
\newcommand{\����}{%
     {\bf \green ��������������. ��� 1:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small  �������������� ���������, 
������ ���, ����� 2011 \hfil
  \tiny ���� ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf �������������� ���������, \\[15mm]
\small ������ 3: ������� ������� ��������� � �����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ��������� } 
\\[20mm]

{\tiny\bf ������ ���, ������
\\[2mm] 16 �������� 2011
}
\end{center}

\newpage

{\�� \���� ����������� � ������}


\�����������
{\�� \���� ������������} ������ $R$ �� $F\in R$ ����������
������ $R(F)$, ��������� ����������� ���������� ����
$a/F^n$, ��� $a\in R$, � � �������������
$a/F^n \cdot b/F^m= ab/F^{n+m}$,
 $a/F^n + b/F^m= \frac {a F^m + bF^n}{F^{n+m}}$
� $aF^k/F^{k+n}=a/F^n$.


\������
$\Z(2)$, ������ ������������ �����,
����������� ������� -- ������� ������.

\������
$\C[t](t)$, ������ ��������� ������.

\����������
����� $R$ -- �������-����������� ������ ��� ����� $k$.
{\�� \������ ��������, ��� $R(F)$ -- ���� �������-����������� ������.}

\����������� ����� $F$ �� ����������. {\�� \��� �����  $R(F)\neq 0$. }

{\�� \����� ��������������. ��� 1:}
$R(F)=R[t]/(tF-1)$. {\�� \������ ������, 1=0  ���� $-1= (Ft-1) P$,
��� $P\in R[t]$.}

{\�� \����� ��� 2:} ����� $P=\sum a_i t^i$. ���������� ������, � 
�� $1= (tF-1) P$ �������� $a_i = a_{i-1}F$, ��� $i>0$, � $�_0=1$.

{\�� \����� ��� 3:} {\�� \������ �������������, $P=\sum F^i t^i$, � $F^{n+1}=0.$}
\��������

\newpage

{\�� \���� ������ ������ � �����������}

\�����������
{\��\���� ������} ������ $R$ ���� ���������
$\Spec R$ ��� ������� �������.

\����������
����� $R \stackrel \phi \arrow R_1$ -- �����������
�����. {\�� \��� ����� $\phi^{-1}({\goth p})$ �����, ��� ������
${\goth p}\in \Spec R_1$.}

\���������
����� ������, ���� ����� ������� $R\arrow R_1$,
{\�� \������ �������� ����������� �������� $\Spec R_1 \arrow \Spec R$.}

\�����������
{\bf \red ������������ ����������� $R \arrow R(f)$ ������
�������� ��������, $\Spec R(f) \hookrightarrow \Spec R$}. 

\�������������� ���� ${\goth p}_f$, ${\goth q}_f\in \Spec R(f)$, �
${\goth p}={\goth q}$ �� ������ � $\Spec R$, �� ���
������ $p \in {\goth p}_f$, ����� 
$f^Np\in {\goth q}\subset {\goth q}_f$. \endproof

\newpage

{\�� \���� ����������� ������� �������}

\�����������
{\�� \���� ������������ ������} ������ $R$ ���� ���������
$\Spec_m R$ ��� ������������ �������.


{\�� \���� ������� ��������� � �����:}
����� $A$ -- �������� ������������, � $\calo_A$
��� ������ ���������� �������. 
������ ������������ ����� � $\calo_A$ ��������
������� ���� �������, ������������ � �����-�� ����� $a\in A$.


\��������� 
����� ������, {\�� \��� ������� ��������� � ����� �������������
$\Spec_m\calo_A$ � $A$.}

\���������
����� $\Spec_m\calo_A(f)$ ��� ���� ��������������
������������� ������ $A$, � ������� $f\neq 0$.


\def\Nil{\operatorname{Nil}}
\�����������
{\�� \���� �����������} ������ $R$ ���� ���������
$\Nil(R)$ ������������� ��������� $R$.


\�������
����������� $P:= \bigcap_{{\goth p}\in \Spec R} {\goth p}$ 
���� ������� ������� ������ $R$ 
{\�� \��� ����� $\Nil(R)$.}

\�������������� $P\supset \Nil(R)$ ��������. �����, ��������,
$x\notin \Nil(R)$. ����� {\�� \���� $R(x)$ �������� ������� �����}
(������������), � ��� ����� � $\Spec R$ �� �������� $x$.
\��������


\newpage


{\bf \blue ���� ����������}

\�����������
����� $I \subset \C[t_1, ..., t_n]$ -- ����� � ������ ���������.
{\bf \���� ���������  ����� �����} $I$ ������������ �� $V(I)$.
����� ���� ���������, ������� ���������� � $Z\subset \C^n$,
������������ $I_Z$; �� ���������� {\��\���� �����������} $Z$.

\�����������
����� $I\subset \C[t_1, ..., t_n]$ -- �����,
� $f$ -- �������������� �������, ������� ����� ����
�� $V(I)$. {\�� \��� ����� $f^N\in I$, ��� ������-�� $N\in {\Bbb N}$.}

\���� ���������� ����� $I_1\subset \C[t_1, ..., t_{n+1}]$
����������� $I$ � $ft_{n+1}-1$. {\�� \������
��������� $ft_{n+1}-1, I$ �� �����
����� �����, $I_1 \ni 1$.}

{\�� \����� ��� 2:} ����� $R:= \C[t_1, ..., t_n]/I$. 
���������� ����������� $\C[t_1, ..., t_{n+1}]\arrow R(f)$,
������������� �� $t_1, .., t_n$, � ����������� $t_{n+1}$ � $f^{-1}$.
{\�� \������ ��� �����������}, � 
��������� $I_1\ni 1$ � ��������� � 0, {\�� \������  ������
$R(f)$ �������, �� ���� ����� $f$ ������������ � $R$.}
\��������

\���������
{\bf \blue (``Strong Nullstellensatz'')}
{\���\�� ���� � $R:= \C[t_1, ..., t_n]/I$ ��� ������������,
�� $I_{V(I)}=I$.}

\�������������� ���� $a\in I_{V(I)}$, �� $a^n\in I$. \��������

\newpage

{\�� \���� �������� ������������ (����������)}

\�����������
 {\�� \���� �������������� ���������} ���� ��������� ����� �����
������ � ������ ���������.

\�����������
{\�� \���� ���������� (��������������) �����������}
�������� ������������ $A, A'\subset \C^n$ 
���� ����������� $\phi:\; A \arrow A'$,
�������� � ����������� ������� �� $n$
�������������� �������.

\�����������
{\�� \���� ��������� �������� ������������}
$\Aff$ ���� ���������, ������� ������� ���� 
�������� ������������, � �������� -- ����������
�����������. {\�� \���� �������� ������������}
���� ������ ���� ���������, � ���������  
�� ����������� (�� ���� {\�� \��� ��� �������������
���������}).


\newpage

{\bf \blue ���������������� �������� (����������)}

{\bf \green �����������:} 
���� ������ ��������� $\cac$, ��������� 
{\bf \blue  ������������ ���������}
$\cac^{op}$. ��������� �������� � $\cac^{op}$ -- �� �� �����,
��� � � $\cac$, � $\Mor_{\cac^{op}}(A,B)= \Mor_{\cac}(B,A)$.
��������������, ���������� $\phi\circ \psi$ � $\cac$ ����
���������� $\psi^{op}\circ \phi^{op}$ � $\cac^{op}$.

{\bf \green �����������:}
{\bf \blue  ���������������� �������} �� $\cac_1$ � $\cac_2$ --
��� ������������ ������� �� $\cac_1^{op}$ � $\cac_2$.

{\bf \green ������:}
�����������, ��������
� ������������ ��������������� ������������ $M$ ������
����������� $\R$-\-���\-�\-��� ������� �� $M$ --
���������������� �������
�� �������������� ����������� � ������.


\���������� 
��������� ������ ����������������� ��������. 



\newpage

{\bf \blue ���������� � ��������������� ���������}

{\bf \green �����������:}
����� $X, Y\in \Ob(\cac)$ -- ������� ��������� $\cac$.
������� $\phi\in \Mor(X,Y)$ ���������� {\bf \blue  ������������},
���� ���������� $\psi\in \Mor(Y,X)$ �����, ���
$\phi \circ \psi = \Id_X$ � $\psi\circ\phi = \Id_Y$.
� ����� ������, ������� $X$ � $Y$ ����������
{\bf \blue  �����������}.

{\bf \green �����������:}
��� �������� $F, G:\;\cac_1\arrow \cac_2$ 
���������� {\bf \blue  ��������������}, ���� ��� ������� 
$X \in \Ob(\cac_1)$ ����� ���������� $\Psi_X:\; F(X) \arrow
G(X),$ ������ ��� ������ �������� $\phi\in \Mor(X,Y)$, �����
$ F(\phi) \circ \Psi_Y= \Psi_X\circ G(\phi)$.


{\bf \green ���������:}
�������� �������������� ��������� ������� ����������
{\bf \blue  �������������� �����������}. ���, � �������,
������� $ F(\phi) \circ \Psi_Y= \Psi_X\circ G(\phi)$  ����� �������� ���������
������������� ����������
\begin{equation*}
\begin{CD}
F(X) @>{F(\phi)}>> F(Y)\\
@V{\Psi_X}VV @VV{\Psi_Y}V\\
G(X) @>{G(\phi)}>> G(Y)
\end{CD}
\end{equation*}

\newpage

{\bf \blue ��������������� ���������}

{\bf \green �����������:}
������� $F:\; \cac_1 \arrow \cac_2$ ����������
{\bf \blue  ���������������� ���������}, ����
�� ����� ������� $G:\;\cac_2 \arrow \cac_1$
�����, ��� ���������� $G\circ F$ � $F\circ G$ ������������ 
������������ ��������� $\Id_{\cac_1}$, $\Id_{\cac_2}$.

{\bf \green ���������:}
����� ���������, ��� ��� ����������� ����������:
$F$ ������ ������� �� ������� �����������
��������, � ������� \[ \Mor(X,Y) \arrow \Mor(F(X), F(Y)).\]

{\bf \purple � ����� ������ ������ ���������, ������������� ���������
�����������.}


\newpage

{\bf \red �������-����������� ������}

\�����������
{\�� \���� �������-����������� ������ ��� $\C$} ���� ������
$\C[t_1, ..., t_n]$ �� ������. ��������� �� $\cac$ ��������� �������-�����������
����� ��� $\C$, �� ���������� ������������.

\�����������
����� $\phi:\; A \arrow B$ -- ����������� �������-�����������
����� ��� $\C$, � $\Spec B \stackrel {\hat \phi} \arrow \Spec A$ --
�������������� ����������� ������� �������, ${\goth p}
\arrow \phi^{-1}({\goth p})$. {\�� \������ ����� ${\hat \phi}$
��������� ������������ ������ � ������������.}

\�������������� 
{\�� \������ $\phi$ ���������� �������� 
$A/\phi^{-1}({\goth p}) \arrow B/{\goth p}$,
������������� �� ����������.} ��������� $B/{\goth p}=\C$
(������� ��������� � �����), {\�� \��� ��� �����������.} \��������

\�������
��������� �������� ������������ $\Aff$  {\�� \��� ������������ 
��������� $\cac^{op}$}.



\������
������� $\Aff\arrow \cac$ ����: �������� ������������ $A$
����������� � $\calo_A$.
{\�� \���� ��� ��������� ������� $\cac^{op}\arrow \Aff$, �����������
$A= \C[t_1, ..., t_n]/I$ � $V(I)$?}

\newpage

{\bf \red �������� �������-����������� ����� � ������������ ������}

\�����������
�����   
$A, B\in \Ob(\cac)$, �
$\phi\in \Mor(A,B)$ ������ $A= \C[t_1, ..., t_n]/I$, � 
$B= \C[z_1, ..., z_m]/J$. ���������� ��������������
����������� ������������ �������� $\Spec_m B \stackrel{\hat \phi}
\arrow \Spec_m A$. ����� $\hat \phi$ 
�������� ��������� �������� ������������ 
$\Spec_m A=V(I) \arrow \Spec_m B=V(J)$.

\��������������
���������� ���������, ��� � ����������� $t_i, z_i$, 
$\hat \phi$ �������� ����������. �� ��� ������ �������� $f\in A$
� ������ ����� $I_a\in \Spec_m A$, ����� $f(a) =\pi_a(f)$,
��� $\pi_a:\; A \arrow A/I_a=\C$ -- ������������ ��������. 
�������
{\bf \purple $\hat \phi$ ��������� ����� � ������������
$(b_1,..., b_m)\in \C^m$ � 
$(\phi(t_1)(b_1, ..., b_m),\phi(t_2)(b_1, ..., b_m),..., 
\phi(t_n)(b_1, ..., b_m))\in \C^n$.}
\endproof

{\�� \����� ������:} 1. {\�� \��� ����� $a\in \Spec_m A$ ���������������
� ������������� �������������� $B \stackrel {\pi_a}\arrow \C$.}
������� �� $\Spec_m A$ ���������, ���� ��� ��������
�� �����-�� $f\in A$ ��� $a\arrow \pi_a(f)$.

2. ����������� $\Spec_m B \stackrel{\hat \phi}
\arrow \Spec_m A$ �� ������ $\Spec_m B$ (�������������� �
�������������� $B \arrow \C$)  ������������
����� {\�� \��� ���������� $\phi$ � $B \arrow \C$}.

3. {\�� \������ �������������� ����������� ��������� ����������
$t_i$ �� $\Spec_m A$ � ���������� �������} $\phi(t_i)$ ��
$\Spec_m B$.

\newpage

{\bf \���� �������� ������� �������������� ���������}

\������� ({\�� \���� "�������� ������� ��������������
���������"})\\
�������� $R \stackrel \Psi \arrow \Spec_m R$ �� ��������� $\cac$
�������-����������� ����� ��� ������������ � �������� ������������
� $A \stackrel \Phi \arrow \calo_A$ �� �������� ������������ � $\cac$
{\�� \��� �������-������� � ������ ��������������� ��������� 
$\Aff$ � $\cac^{op}$.}

\��������������
�� ������� ������� ��������� � �����, $I_{V(I)}=I$, ��� ����
$R\cong \Phi(\Psi(R))$. ���������������
���������� $A \cong \Psi(\Phi(A))$ �������� 
�� $V(I_A)=A$, ��� ������� ����� �� �����������.
\��������

\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=Zariski2.jpg,width=0.75\linewidth}\\
Oscar Zariski \\
(1899 -- 1986)
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=severi.png,width=0.95\linewidth}\\
Francesco Severi (1879-1961)
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=Grothendieck-hippie.png,width=0.65\linewidth}\\
{Alexander Grothendieck \\
(���. 28 ����� 1928)}
\end{center}

\newpage

{\bf \blue My feeling is
very well expressed when you mention Rip van Winkle!}

Siegel to Mordell:\\
{\it  ...When I first saw [Lang's Diophantine geometry], about a year ago, I
was disgusted with the way in which my own contributions to the
subject had been disfigured and made unintelligible. My feeling is
very well expressed when you mention Rip van Winkle!

 The whole style of the author contradicts the sense for simplicity and honesty
 which we admire in the works of the masters in number theory - Lagrange, Gauss,
 or on a smaller scale, Hardy, Landau. Just now Lang has published another book
 on algebraic numbers which, in my opinion, is still worse than the former one.
 I see a pig broken into a beautiful garden and rooting up all flowers and trees.
 
These people remind me of the impudent behaviour of the
   national socialists who sang: 
"Wir werden weiter marschieren, bis alles in
   Scherben zerfallt!''
}

Timothy Murphy, 2007:\\
{\bf \blue I once heard Mordell reprimand a speaker for using the term "variety"
(or it may have been "algebraic variety"):\\
Mordell, "Do you mean the points satisfying a set of polynomial equations?"
Speaker, "Well ... yes".\\
Mordell, "Why don't you say so, then."}




\end{document}
