\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, wrapfig} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \def\wrappedimage#1#2#3{\par% \begin{wrapfigure}{#1}{#2}% \epsfig{file=#3,width=#2}% \end{wrapfigure}\par% } \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}} \newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}} \def\Aff{\operatorname{\sf Aff}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Алгебраическая геометрия, матфак ВШЭ, осень 2011 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Алгебраическая геометрия, \\[15mm] \small лекция 3: сильная теорема Гильберта о нулях} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 16 сентября 2011 } \end{center} \newpage {\бф \блуе Локализация в кольце} \определение {\бф \блуе Локализацией} кольца $R$ по $F\in R$ называется кольцо $R(F)$, формально порожденное элементами вида $a/F^n$, где $a\in R$, и с соотношениями $a/F^n \cdot b/F^m= ab/F^{n+m}$, $a/F^n + b/F^m= \frac {a F^m + bF^n}{F^{n+m}}$ и $aF^k/F^{k+n}=a/F^n$. \пример $\Z(2)$, кольцо рациональных чисел, знаменатели которых -- степени двойки. \пример $\C[t](t)$, кольцо полиномов Лорана. \упражнение Пусть $R$ -- конечно-порожденное кольцо над полем $k$. {\бф \пурпле Докажите, что $R(F)$ -- тоже конечно-порожденное кольцо.} \утверждение Пусть $F$ не нильпотент. {\бф \ред Тогда $R(F)\neq 0$. } {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} $R(F)=R[t]/(tF-1)$. {\бф \пурпле Значит, 1=0 даст $-1= (Ft-1) P$, где $P\in R[t]$.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $P=\sum a_i t^i$. Раскрываем скобки, и из $1= (tF-1) P$ получаем $a_i = a_{i-1}F$, для $i>0$, и $а_0=1$. {\бф \греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Следовательно, $P=\sum F^i t^i$, а $F^{n+1}=0.$} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Спектр кольца и локализация} \определение {\бф\блуе Спектр} кольца $R$ есть множество $\Spec R$ его простых идеалов. \упражнение Пусть $R \stackrel \phi \arrow R_1$ -- гомоморфизм колец. {\бф \ред Тогда $\phi^{-1}({\goth p})$ прост, для любого ${\goth p}\in \Spec R_1$.} \замечание Иначе говоря, если задан морфизм $R\arrow R_1$, {\бф \пурпле получаем отображение спектров $\Spec R_1 \arrow \Spec R$.} \утверждение {\bf \red Естественное отображение $R \arrow R(f)$ задает вложение спектров, $\Spec R(f) \hookrightarrow \Spec R$}. \доказательство Если ${\goth p}_f$, ${\goth q}_f\in \Spec R(f)$, а ${\goth p}={\goth q}$ их образы в $\Spec R$, то для любого $p \in {\goth p}_f$, имеем $f^Np\in {\goth q}\subset {\goth q}_f$. \endproof \newpage {\бф \блуе Пересечение простых идеалов} \определение {\бф \блуе Максимальный спектр} кольца $R$ есть множество $\Spec_m R$ его максимальных идеалов. {\бф \блуе Теорема Гильберта о нулях:} Пусть $A$ -- аффинное многообразие, а $\calo_A$ его кольцо регулярных функций. Каждый максимальный идеал в $\calo_A$ является идеалом всех функций, зануляющихся в какой-то точке $a\in A$. \замечание Иначе говоря, {\бф \ред теорема Гильберта о нулях отождествляет $\Spec_m\calo_A$ и $A$.} \замечание Точки $\Spec_m\calo_A(f)$ при этом отождествлении соответствуют точкам $A$, в которых $f\neq 0$. \def\Nil{\operatorname{Nil}} \определение {\бф \блуе Нильрадикал} кольца $R$ есть множество $\Nil(R)$ нильпотентных элементов $R$. \теорема Пересечение $P:= \bigcap_{{\goth p}\in \Spec R} {\goth p}$ всех простых идеалов кольца $R$ {\бф \ред равно $\Nil(R)$.} \доказательство $P\supset \Nil(R)$ очевидно. Пусть, наоборот, $x\notin \Nil(R)$. Тогда {\бф \блуе $R(x)$ содержит простой идеал} (максимальный), и его образ в $\Spec R$ не содержит $x$. \ендпрооф \newpage {\bf \blue Трюк Рабиновича} \определение Пусть $I \subset \C[t_1, ..., t_n]$ -- идеал в кольце полиномов. {\bf \блуе Множество общих нулей} $I$ обозначается за $V(I)$. Идеал всех полиномов, которые зануляются в $Z\subset \C^n$, обозначается $I_Z$; он называется {\бф\блуе аннулятором} $Z$. \утверждение Пусть $I\subset \C[t_1, ..., t_n]$ -- идеал, а $f$ -- полиномиальная функция, которая равна нулю на $V(I)$. {\бф \ред Тогда $f^N\in I$, для какого-то $N\in {\Bbb N}$.} \дшаг Рассмотрим идеал $I_1\subset \C[t_1, ..., t_{n+1}]$ порожденный $I$ и $ft_{n+1}-1$. {\бф \пурпле Поскольку $ft_{n+1}-1, I$ не имеют общих нулей, $I_1 \ni 1$.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $R:= \C[t_1, ..., t_n]/I$. Рассмотрим отображение $\C[t_1, ..., t_{n+1}]\arrow R(f)$, тождественное на $t_1, .., t_n$, и переводящее $t_{n+1}$ в $f^{-1}$. {\бф \пурпле Оно сюрьективно}, а поскольку $I_1\ni 1$ и переходит в 0, {\бф \пурпле кольцо $R(f)$ нулевое, то есть образ $f$ нильпотентен в $R$.} \ендпрооф \следствие {\bf \blue (``Strong Nullstellensatz'')} {\ред\бф Если в $R:= \C[t_1, ..., t_n]/I$ нет нильпотентов, то $I_{V(I)}=I$.} \доказательство Если $a\in I_{V(I)}$, то $a^n\in I$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Аффинные многообразия (повторение)} \определение {\бф \блуе Алгебраическое множество} есть множество общих нулей идеала в кольце полиномов. \определение {\бф \блуе Регулярное (алгебраические) отображение} аффинных многообразий $A, A'\subset \C^n$ есть отображение $\phi:\; A \arrow A'$, заданное в координатах набором из $n$ полиномиальных функций. \определение {\бф \блуе Категория аффинных многообразий} $\Aff$ есть категория, объекты которой суть аффинные многообразия, а морфизмы -- регулярные отображения. {\бф \блуе Аффинное многообразие} есть объект этой категории, с точностью до изоморфизма (то есть {\бф \ред без фиксированных координат}). \newpage {\bf \blue Контравариантные функторы (повторение)} {\bf \green Определение:} Если задана категория $\cac$, определим {\bf \blue двойственную категорию} $\cac^{op}$. Множество объектов в $\cac^{op}$ -- то же самое, что и в $\cac$, а $\Mor_{\cac^{op}}(A,B)= \Mor_{\cac}(B,A)$. Соответственно, композиция $\phi\circ \psi$ в $\cac$ дает композицию $\psi^{op}\circ \phi^{op}$ в $\cac^{op}$. {\bf \green Определение:} {\bf \blue Контравариантный функтор} из $\cac_1$ в $\cac_2$ -- это ковариантный функтор из $\cac_1^{op}$ в $\cac_2$. {\bf \green Пример:} Отображение, ставящее в соответствие топологическому пространству $M$ кольцо непрерывных $\R$-\-зна\-ч\-ных функций на $M$ -- контравариантный функтор из топологических пространств в кольца. \упражнение Приведите пример контравариантного функтора. \newpage {\bf \blue Изоморфизм и эквивалентность функторов} {\bf \green Определение:} Пусть $X, Y\in \Ob(\cac)$ -- объекты категории $\cac$. Морфизм $\phi\in \Mor(X,Y)$ называется {\bf \blue изоморфизмом}, если существует $\psi\in \Mor(Y,X)$ такой, что $\phi \circ \psi = \Id_X$ и $\psi\circ\phi = \Id_Y$. В таком случае, объекты $X$ и $Y$ называются {\bf \blue изоморфными}. {\bf \green Определение:} Два функтора $F, G:\;\cac_1\arrow \cac_2$ называются {\bf \blue эквивалентными}, если для каждого $X \in \Ob(\cac_1)$ задан изоморфизм $\Psi_X:\; F(X) \arrow G(X),$ причем для любого морфизма $\phi\in \Mor(X,Y)$, имеем $ F(\phi) \circ \Psi_Y= \Psi_X\circ G(\phi)$. {\bf \green Замечание:} Подобные коммутационные отношения принято изображать {\bf \blue коммутативными диаграммами}. Так, к примеру, условие $ F(\phi) \circ \Psi_Y= \Psi_X\circ G(\phi)$ можно записать следующей коммутативной диаграммой \begin{equation*} \begin{CD} F(X) @>{F(\phi)}>> F(Y)\\ @V{\Psi_X}VV @VV{\Psi_Y}V\\ G(X) @>{G(\phi)}>> G(Y) \end{CD} \end{equation*} \newpage {\bf \blue Эквивалентность категорий} {\bf \green Определение:} Функтор $F:\; \cac_1 \arrow \cac_2$ называется {\bf \blue эквивалентностью категорий}, если он задан функтор $G:\;\cac_2 \arrow \cac_1$ такой, что композиции $G\circ F$ и $F\circ G$ эквивалентны тождественым функторам $\Id_{\cac_1}$, $\Id_{\cac_2}$. {\bf \green Замечание:} Можно проверить, что это равносильно следующему: $F$ задает биекцию на классах изоморфизма объектов, и биекцию \[ \Mor(X,Y) \arrow \Mor(F(X), F(Y)).\] {\bf \purple С точки зрения теории категорий, эквивалентные категории неразличимы.} \newpage {\bf \red Конечно-порожденные кольца} \определение {\бф \блуе Конечно-порожденное кольцо над $\C$} есть фактор $\C[t_1, ..., t_n]$ по идеалу. Обозначим за $\cac$ категорию конечно-порожденных колец над $\C$, не содержащих нильпотентов. \утверждение Пусть $\phi:\; A \arrow B$ -- гомоморфизм конечно-порожденных колец над $\C$, а $\Spec B \stackrel {\hat \phi} \arrow \Spec A$ -- индуцированное отображение простых идеалов, ${\goth p} \arrow \phi^{-1}({\goth p})$. {\бф \пурпле Тогда ${\hat \phi}$ переводит максимальные идеалы в максимальные.} \доказательство {\бф \пурпле $\phi$ индуцирует вложение $A/\phi^{-1}({\goth p}) \arrow B/{\goth p}$, тождественное на константах.} Поскольку $B/{\goth p}=\C$ (теорема Гильберта о нулях), {\бф \ред оно сюрьективно.} \ендпрооф \теорема Категория аффинных многообразий $\Aff$ {\бф \ред эквивалентна категории $\cac^{op}$}. \вопрос Функтор $\Aff\arrow \cac$ есть: аффинное многообразие $A$ переводится в $\calo_A$. {\бф \блуе Как построить функтор $\cac^{op}\arrow \Aff$, переводящий $A= \C[t_1, ..., t_n]/I$ в $V(I)$?} \newpage {\bf \red Морфизмы конечно-порожденных колец и максимальные идеалы} \утверждение Пусть $A, B\in \Ob(\cac)$, а $\phi\in \Mor(A,B)$ причем $A= \C[t_1, ..., t_n]/I$, а $B= \C[z_1, ..., z_m]/J$. Рассмотрим индуцированное отображение максимальных спектров $\Spec_m B \stackrel{\hat \phi} \arrow \Spec_m A$. Тогда $\hat \phi$ задается морфизмом аффинных многообразий $\Spec_m A=V(I) \arrow \Spec_m B=V(J)$. \доказательство Достаточно убедиться, что в координатах $t_i, z_i$, $\hat \phi$ задается полиномами. Но для любого полинома $f\in A$ и идеала точки $I_a\in \Spec_m A$, имеем $f(a) =\pi_a(f)$, где $\pi_a:\; A \arrow A/I_a=\C$ -- естественная проекция. Поэтому {\bf \purple $\hat \phi$ переводит точку с координатами $(b_1,..., b_m)\in \C^m$ в $(\phi(t_1)(b_1, ..., b_m),\phi(t_2)(b_1, ..., b_m),..., \phi(t_n)(b_1, ..., b_m))\in \C^n$.} \endproof {\бф \греен Мораль:} 1. {\бф \ред Точки $a\in \Spec_m A$ отождествляются с сюрьективными гомоморфизмами $B \stackrel {\pi_a}\arrow \C$.} Функция на $\Spec_m A$ регулярна, если она получена из какой-то $f\in A$ как $a\arrow \pi_a(f)$. 2. Отображение $\Spec_m B \stackrel{\hat \phi} \arrow \Spec_m A$ на точках $\Spec_m B$ (отождественных с гомоморфизмами $B \arrow \C$) представляет собой {\бф \ред композицию $\phi$ с $B \arrow \C$}. 3. {\бф \пурпле Полиномиальные отображения переводят координаты $t_i$ на $\Spec_m A$ в регулярные функции} $\phi(t_i)$ на $\Spec_m B$. \newpage {\bf \блуе Основная теорема алгебраической геометрии} \теорема ({\бф \блуе "основная теорема алгебраической геометрии"})\\ Функторы $R \stackrel \Psi \arrow \Spec_m R$ из категории $\cac$ конечно-порожденных колец без нильпотентов в аффинные многообразия и $A \stackrel \Phi \arrow \calo_A$ из аффинных многообразий в $\cac$ {\бф \ред взаимно-обратны и задают эквивалентность категорий $\Aff$ и $\cac^{op}$.} \доказательство По сильной теореме Гильберта о нулях, $I_{V(I)}=I$, что дает $R\cong \Phi(\Psi(R))$. Противоположный изоморфизм $A \cong \Psi(\Phi(A))$ вытекает из $V(I_A)=A$, что следует сразу из определения. \ендпрооф \newpage \begin{center} \epsfig{file=Zariski2.jpg,width=0.75\linewidth}\\ Oscar Zariski \\ (1899 -- 1986) \end{center} \newpage \begin{center} \epsfig{file=severi.png,width=0.95\linewidth}\\ Francesco Severi (1879-1961) \end{center} \newpage \begin{center} \epsfig{file=Grothendieck-hippie.png,width=0.65\linewidth}\\ {Alexander Grothendieck \\ (род. 28 марта 1928)} \end{center} \newpage {\bf \blue My feeling is very well expressed when you mention Rip van Winkle!} Siegel to Mordell:\\ {\it ...When I first saw [Lang's Diophantine geometry], about a year ago, I was disgusted with the way in which my own contributions to the subject had been disfigured and made unintelligible. My feeling is very well expressed when you mention Rip van Winkle! The whole style of the author contradicts the sense for simplicity and honesty which we admire in the works of the masters in number theory - Lagrange, Gauss, or on a smaller scale, Hardy, Landau. Just now Lang has published another book on algebraic numbers which, in my opinion, is still worse than the former one. I see a pig broken into a beautiful garden and rooting up all flowers and trees. These people remind me of the impudent behaviour of the national socialists who sang: "Wir werden weiter marschieren, bis alles in Scherben zerfallt!'' } Timothy Murphy, 2007:\\ {\bf \blue I once heard Mordell reprimand a speaker for using the term "variety" (or it may have been "algebraic variety"):\\ Mordell, "Do you mean the points satisfying a set of polynomial equations?" Speaker, "Well ... yes".\\ Mordell, "Why don't you say so, then."} \end{document}