


\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig,
  russcorr, russlh, wrapfig}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\def\wrappedimage#1#2#3{\par%
\begin{wrapfigure}{#1}{#2}%
\epsfig{file=#3,width=#2}%
\end{wrapfigure}\par%
}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small  Алгебраическая геометрия, 
матфак ВШЭ, осень 2011 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Алгебраическая геометрия, \\[15mm]
\small лекция 2: категория аффинных многообразий}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf Матфак ВШЭ, Москва
\\[2mm] 9 сентября 2011
}
\end{center}

\newpage

\newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}}
\newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}}


{\bf \blue Определение категории}

{\bf \green Определение:} {\bf \blue
 Категорией} $\cac$ называется набор данных ("объектов
категории", "морфизмов между объектами" и так далее), 
удовлетворяющих аксиомам, приведенным ниже.

{\bf \purple ДАННЫЕ.}\\
{\bf \red Объекты:} Множество $\Ob(\cac)$ {\bf \blue объектов} $\cac$
(иногда рассматривают не множество, а {\green класс}
$\Ob(\cac)$, который может и не быть множеством, например,
класс всех множеств, или класс всех линейных пространств).

{\bf \red Морфизмы:} Для любых $X, Y \in \Ob(\cac)$, задано
множество $\Mor(X,Y)$ {\bf \blue морфизмов} из $X$ в $Y$.

{\bf \red Композиция морфизмов:} Если
$\phi\in \Mor(X,Y), \psi \in \Mor(Y,Z)$, 
задан морфизм $\phi\circ \psi \in \Mor(X, Z)$,
который называется {\bf\blue композицией морфизмов}.

{\bf \red Тождественный морфизм:} Для каждого $A\in \Ob(\cac)$
задан морфизм $\Id_A \in \Mor(A,A)$.

\newpage

{\bf \blue Определение категории (продолжение)}

{\bf \purple Эти данные удовлетворяют следующим аксиомам.}

{\bf \red Ассоциативность композиции:}
$\phi_1\circ(\phi_2\circ\phi_3)=(\phi_1\circ\phi_2)\circ\phi_3$.

{\bf \red Свойства тождественного морфизма:}
Для любого морфизма $\phi\in \Mor(X,Y)$,
$\Id_X\circ \phi = \phi = \phi\circ \Id_Y$


{\bf \green Определение:}
Пусть $X, Y\in \Ob(\cac)$ -- объекты категории $\cac$.
Морфизм $\phi\in \Mor(X,Y)$ называется {\bf \blue  изоморфизмом},
если существует $\psi\in \Mor(Y,X)$ такой, что
$\phi \circ \psi = \Id_X$ и $\psi\circ\phi = \Id_Y$.
В таком случае, объекты $X$ и $Y$ называются
{\bf \blue  изоморфными}.


{\bf \green Примеры категорий:}\\
{\bf \purple Категория множеств} \\(морфизмы --
произвольные отображения), \\{\bf \purple категория линейных пространств} \\
(морфизмы -- линейные отображения), \\{\bf \purple  категории колец,
полей, групп}\\ (морфизмы -- гомоморфизмы),\\ {\bf \purple категория
топологических пространств}\\ (морфизмы -- непрерывные
отображения).

\newpage

{\бф \блуе Квазиаффинные многообразия (повторение)}

\определение
 {\бф \блуе Алгебраическое множество} есть множество общих нулей
идеала в кольце полиномов.

\определение
Пусть $A$ -- дополнение алгебраического подмножества в
$\C^n$ до алгебраического подмножества. Такое подмножество
называется {\бф \блуе квазиаффинным}.

\определение
{\бф \блуе Алгебраическая (регулярная)
функция} на квазиаффинном множестве $A$ 
есть рациональная функция
вида $\frac P Q$, где $P, Q\in \C[z_1, ..., z_n]$
взаимно простые полиномы, а полюса $Q$ не пересекают $A$.

\определение
{\бф \блуе Алгебраическое отображение}
квазиаффинных многообразий $A, A'\subset \C^n$ 
есть отображение $\phi:\; A \arrow A'$,
заданное в координатах набором из $n$
алгебраических функций.

\newpage

{\бф \блуе Категория квазиаффинных многообразия (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Категория квазиаффинных многообразий}
есть категория, объекты которой суть 
квазиаффинные многообразия, а морфизмы -- алгебраические
отображения. {\бф \блуе Квазиаффинное многообразие}
есть объект этой категории, с точностью  
до изоморфизма (то есть {\бф \ред без фиксированных
координат}).

\определение
Квазиаффинное многообразие называется {\бф \блуе аффинным},
если оно изоморфно многообразию, построенному по алгебраическому множеству.

\newpage

{\бф \блуе Идеалы в кольцах (повторение)}

{\бф \ред Все кольца предполагаются коммутативными и с единицей, $1\neq 0$}.

\определение
{\бф \блуе Идеал} $I$ в кольце $R$ есть подмножество $I\subset R$,
замкнутое относительно сложения, и такое, что
для любого $a\in I, f \in R$, произведение
$fa$ лежит в $I$. Идеал называется {\бф \блуе нетривиальным},
если он не равен $R$. В дальнейшем, {\бф \ред все идеалы  по умолчанию
предполагаются нетривиальными.}

\замечание
Факторгруппа $R/I$ снабжена естественной структурой кольца
(называется {\бф \блуе факторкольцо}).

\определение
{\бф \блуе Максимальный идеал} есть идеал $I\subset R$
в кольце $R$, такой, что для любого идеала $I'\supset I$
имеет место $I'=I$.

\упражнение
Пусть $a\in R$ -- элемент кольца, который не обратим.
Докажите, что {\бф \пурпле  $a$ содержится в каком-то идеале $R$.}

Из этого утверждения выводится следующее.

\упражнение
Докажите, что {\бф \ред идеал $I$ максимален тогда и только тогда,
когда $R/I$ -- поле.} 

\newpage

{\бф \блуе Существование максимальных идеалов (повторение)}

\теорема
Пусть $I\subset R$ -- идеал в кольце.
{\бф \ред Тогда $I$ содержится в максимальном идеале.}

\доказательство
Применим лемму Цорна к множеству всех идеалов,
упорядоченному по вложению. \ендпрооф



\утверждение
Пусть $A$ -- аффинное многообразие, а $\calo_A$ --
кольцо алгебраических функций на $A$. Для каждого
подмножества $Z\subset A$ рассмотрим идеал
$I_Z$ функций, которые зануляются в $Z$.
{\бф \ред
Тогда $I_{a}$ -- максимальный для любой точки $a\in A$.}

\доказательство
Для любой функции $f\in \calo_A$, функция $f-f(a)$ лежит в
$I_a$, значит, {\бф \пурпле фактор $\calo_A/I_a$ изоморфен $\C$.}
\ендпрооф

\определение
Идеал $I_a$ называется {\бф \блуе идеалом точки $a\in A$.}


\newpage

{\бф \блуе Hilbert's Nullstellensatz (повторение)}

{\бф \блуе Теорема Гильберта о нулях:}
{\бф \ред Любой максимальный идеал в кольце $R=\C[z_1, ..., z_n]$ 
полиномов над $\C$
равен $I_a$,} для какой-то точки $a\in A$.

Доказательство основано на следующей 
линейно-алгебраической идее.

\определение
{\бф \блуе Базис Коши-Гамеля} в векторном
пространстве $V$  есть максимальный
набор линейно независимых векторов $V$.

\определение
Векторное пространство называется
{\бф \блуе счетномерным}, если у него
есть счетный базис Коши-Гамеля, и {\бф \блуе 
несчетномерным,}
если оно бесконечномерно и у него нет такого базиса.

{\бф \греен Доказательство теоремы Гильберта. Шаг 1:} Для
идеала $I\subset R$, обозначим 
за $V(I)$ множество общих нулей всех 
$f\in I$, то есть
\[
V(I):= \{a\in \C^n \ \ |\ \ \forall f\in I, f(a)=0\}.
\]
Если $V(I)$ содержит $a\in A$, то 
$I\subset I_a$. Значит, для любого максимального
идеала $I\subset A$, множество $V(I)$ пусто, 
либо состоит из одной точки.
{\бф \пурпле Для доказательство теоремы Гильберта 
о нулях достаточно доказать, что $V(I)$ непусто
для любого максимального идеала}.


\newpage

{\бф \блуе Hilbert's Nullstellensatz: продолжение доказательствa}


{\бф \греен Шаг 2:}
Рассмотрим естественное отображение констант
$\C \arrow R/I$. {\бф \пурпле Предположим, что это изоморфизм.} Обозначим за
$\phi:\; R \arrow \C$ соответствующий гомоморфизм.
Пусть $a:=(\phi(z_1), \phi(z_2), ..., \phi(z_n))\in \C^n$.
Если $P(z_1, ..., z_n)\in I$, то 
\[ 0=\phi(P)= 
    P(\phi(z_1), \phi(z_2), ..., \phi(z_n))=P(a).
\]
Следовательно, {\бф \пурпле все функции $P\in I$ зануляются в $a$.}
{\бф \ред Для доказательство теоремы Гильберта 
о нулях достаточно доказать, что отображение констант
$\C \arrow R/I$ -- изоморфизм}.

{\бф \греен Шаг 3:} Пусть $I$ -- максимальный идеал.
Тогда $k= R/I$ -- поле, содержащее поле $\C$ (констант).
Поскольку $\C$ алгебраически замкнуто, 
{\бф \пурпле 
любой элемент $t \in k \backslash \C$ трансцендентен.}
Это значит, что $\C=k$ и все доказано, либо $k\supset \C(t)$, где
$\C(t)$ обозначает поле рациональных функций.

{\бф \греен Шаг 4:} Поскольку кольцо $R$ порождено
координатными мономами,  оно счетномерно как векторное
пространство над $\C$. То же верно и в отношении
$k= R/I$. {\бф \пурпле Осталось доказать, что у $\C$ нет нетривиальных
счетномерных расширений.}

\newpage

{\бф \блуе Hilbert's Nullstellensatz: окончание доказательствa}

{\бф \греен Шаг 5:} 
Для любого набора $a_1, ..., a_k\in \C$
попарно различных точек, {\bf \пурпле рациональные функции
$\left \{\frac 1 {t-a_i}\right\}\in \C(t)$ линейно независимы над $\C$.}
В самом деле, если $\sum_{i=1}^k \frac {\lambda_i}{t-a_i}=0$,
то 
\[
\frac{\sum_{i=1}^k \lambda_i (t-a_1) (t-a_2) \dots 
\widehat{(t-a_i)} \dots (t-a_n)}{(\prod_{i=1}^k(t-a_i))}=0.
\]
(значком $\widehat{(t-a_i)}$ помечен выкинутый из произведения
сомножитель), то есть 
\[
P(t):= \sum_{i=1}^k \lambda_i (t-a_1) (t-a_2) \dots 
\widehat{(t-a_i)} \dots (t-a_n)=0.
\]
Но $P(a_1)= \lambda_1(a_1-a_2)(a_1-a_3)\dots (a_1-a_n)\neq 0,$
если $\lambda_1\neq 0$. 

{\бф \греен Шаг 6:}
Поскольку все $\frac 1 {t-a}$, $a\in C$, линейно независимы,
$\C(t)$ {\бф \ред несчетномерно}. \ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Регулярные функции на аффинных многообразиях}

\следствие
Пусть $F:=P/Q$ -- алгебраическая функция на аффинном 
многообразии $A\subset \C^n$. Тогда {\бф \ред она равна полиному}
$P'\in \C[t_1, ...., t_n]$.

\доказательство 
Пусть  $I_A$ -- идеал полиномиальных функций,
которые зануляются в $A$, а $I_A+Q$ -- идеал, порожденный
$Q$ и $I_A$. Поскольку
$Q\neq 0$ на $A$,  $I_A+Q$ не имеет общих нулей, значит,
содержит 1. Поэтому $aQ =1 \mod I_A$,
для какого-то полинома $a$. Поэтому $a=Q^{-1}$ на $A$, 
то есть {\бф \пурпле $Q$ обратимо в кольце $\C[t_1, ...., t_n]/I_A$.}
\ендпрооф

\следствие
Пусть $\calo_A$ -- кольцо полиномиальных (алгебраических) функций
на аффинном многообразии, а $I\subset \calo_A$ -- максимальный
идеал. Тогда {\бф \ред $I$ есть идеал точки $a\in A$.}

\доказательство
Посколько $\calo_A=\C[t_1, ...., t_n]/I_A$, {\бф \пурпле $I$ задает
максимальный идеал в кольце полиномов,} и можно применить
теорему Гильберта о нулях. \ендпрооф

\newpage

{\bf \blue Функторы}

Категории сами образуют категорию; морфизмами
этой категории являются {\bf \blue функторы}.

{\bf \green Определение:}
Пусть $\cac_1, \cac_2$ -- категории. {\bf \blue  Ковариантным функтором}
из $\cac_1$ в $\cac_2$ называется следующий набор данных.

1. {\bf \purple Отображение $F:\; \Ob(\cac_1) \arrow \Ob(\cac_2)$,}
ставящее в соответствие объектам $\cac_1$ объекты $\cac_2$.

2.  {\bf \purple Отображение морфизмов $F:\; \Mor(X,Y) \arrow \Mor(F(X), F(Y))$,}
определенное для любой пары объектов $X, Y \in \Ob(\cac_1)$.

Чтобы эти данные задавали функтор, они {\bf \purple должны удовлетворять условию
$F(\phi) \circ F(\psi) = F(\phi\circ\psi)$.}

\newpage

{\bf \blue Примеры функторов}

Любая "естественная операция" на математических объектах - это
функтор. Например:

{\bf \purple Отображение $X \arrow 2^X$} -- функтор на категории
множеств.

{\bf \purple Отображение $M \arrow M^I$} -- функтор 
на топологических пространствах, для любого заданного набора индексов
$I$.

{\bf \purple Отображение $V \arrow V \oplus V$} -- функтор 
на линейных пространствах. 

 {\bf \purple Тождественный функтор} из категории
в себя. 

   Ображение,
ставящее в соответствие топологическому пространству
множество его связных компонент. 

\newpage

{\bf \blue Контравариантные функторы}

{\bf \green Определение:} 
Если задана категория $\cac$, определим 
{\bf \blue  двойственную категорию}
$\cac^{op}$. Множество объектов в $\cac^{op}$ -- то же самое,
что и в $\cac$, а $\Mor_{\cac^{op}}(A,B)= \Mor_{\cac}(B,A)$.
Соответственно, композиция $\phi\circ \psi$ в $\cac$ дает
композицию $\psi^{op}\circ \phi^{op}$ в $\cac^{op}$.

{\bf \green Определение:}
{\bf \blue  Контравариантный функтор} из $\cac_1$ в $\cac_2$ --
это ковариантный функтор из $\cac_1^{op}$ в $\cac_2$.

{\bf \green Пример:}
Отображение, ставящее
в соответствие топологическому пространству $M$ кольцо
непрерывных $\R$-\-зна\-ч\-ных функций на $M$ --
контравариантный функтор
из топологических пространств в кольца.


{\bf \green Пример:}
Пусть $X\in \Ob(\cac)$ -- объект категории $\cac$.
Тогда отображение $Y\arrow \Mor(X,Y)$ задает ковариантный
функтор из $\cac$ в категорию $Set$ множеств,
а отображение $Y\arrow \Mor(Y, X)$ задает контравариантный
функтор из $\cac$ в  $Set$. Такие функторы
называются {\bf \blue  представимыми}.



\newpage

{\bf \blue Изоморфизм и эквивалентность функторов}

{\bf \green Определение:}
Пусть $X, Y\in \Ob(\cac)$ -- объекты категории $\cac$.
Морфизм $\phi\in \Mor(X,Y)$ называется {\bf \blue  изоморфизмом},
если существует $\psi\in \Mor(Y,X)$ такой, что
$\phi \circ \psi = \Id_X$ и $\psi\circ\phi = \Id_Y$.
В таком случае, объекты $X$ и $Y$ называются
{\bf \blue  изоморфными}.

{\bf \green Определение:}
Два функтора $F, G:\;\cac_1\arrow \cac_2$ 
называются {\bf \blue  эквивалентными}, если для каждого 
$X \in \Ob(\cac_1)$ задан изоморфизм $\Psi_X:\; F(X) \arrow
G(X),$ причем для любого морфизма $\phi\in \Mor(X,Y)$, имеем
$ F(\phi) \circ \Psi_Y= \Psi_X\circ G(\phi)$.


{\bf \green Замечание:}
Подобные коммутационные отношения принято изображать
{\bf \blue  коммутативными диаграммами}. Так, к примеру,
условие $ F(\phi) \circ \Psi_Y= \Psi_X\circ G(\phi)$  можно записать следующей
коммутативной диаграммой
\begin{equation*}
\begin{CD}
F(X) @>{F(\phi)}>> F(Y)\\
@V{\Psi_X}VV @VV{\Psi_Y}V\\
G(X) @>{G(\phi)}>> G(Y)
\end{CD}
\end{equation*}

\newpage

{\bf \blue Эквивалентность категорий}

{\bf \green Определение:}
Функтор $F:\; \cac_1 \arrow \cac_2$ называется
{\bf \blue  эквивалентностью категорий}, если
он задан функтор $G:\;\cac_2 \arrow \cac_1$
такой, что композиции $G\circ F$ и $G\circ F$ эквивалентны 
тождественым функторам $\Id_{\cac_1}$, $\Id_{\cac_2}$.

{\bf \green Замечание:}
Можно проверить, что это равносильно следующему:
$F$ задает биекцию на классах изоморфизма
объектов, и биекцию \[ \Mor(X,Y) \arrow \Mor(F(X), F(Y)).\]

{\bf \purple С точки зрения теории категорий, эквивалентные категории
неразличимы.}


\newpage


\begin{minipage}[m]{0.45\linewidth}
\begin{center}
\epsfig{file=Maclane.jpg,width=0.75\linewidth}\\
{Saunders Mac Lane\\
(1909-2005)}\end{center}\end{minipage}
\begin{minipage}[m]{0.45\linewidth} 
\begin{center}
\epsfig{file=Eilenberg.jpg,width=0.70\linewidth}\\
{Samuel Eilenberg \\
(1913-1998)}
\end{center}
\end{minipage}

\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=Grothendieck.jpg,width=0.35\linewidth}\\
{Alexander Grothendieck \\
(род. 28 марта 1928)}
\end{center}



\newpage

{\bf \blue Категория аффинных многообразий и категория колец}

\определение
{\бф \блуе Конечно-порожденное кольцо над $\C$} есть фактор
$\C[t_1, ..., t_n]$ по идеалу.

\теорема
Пусть $\cac_R$ есть категория конечно-порожденных
колец над $\C$, не содержащих нильпотентов, а $\cac_A$ -- категория аффинных
многообразий. Тогда {\бф \ред $\cac_R$ эквивалентна $\cac_A^{op}$}.

\доказательство
Будет на следующем занятии.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Экспонента и полиномы}

\утверждение
Пусть $A\subset \C^n$ -- алгебраическое подмножество,
а $f= e^{z_1}$ -- экспонента от координаты $z_1$.
Тогда, {\бф \ред если $f$ алгебраична на $A$, то она
постоянна на каждой компоненте линейной связности.}

\доказательство 
Рассмотрим идеал функций $\phi\in \calo_A$ таких, что
\[ 
 \exists p\in {\Bbb N}\ \ \forall N\in {\Bbb N} \ \ |\ \ \lim_{z_1\rightarrow -\infty} |z_1|^N
 |z|^{-p} \phi(z)=0.
\]
{\бф \пурпле Общих нулей у этого идеала нет, ибо он содержит
экспоненту.} Констант он не содержит, если
в $A$ есть последовательность точек $a_i$ такая,
что $\lim_i z_1(a_i)= -\infty$.

{\bf \green Шаг 1:} 
Если функция $z_1$ принимает на $A$ счетное число
значений, {\бф \пурпле она локально постоянна.} Если нет,
{\бф \ред достаточно доказать, что $z_1(A)$ всюду плотно в $\C$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Будем действовать на
$z_1(A)$ подгруппой $G\subset \Aut_\Q \C$, сохраняющей все
коэффициенты многочленов, которые задают $A$,
{\бф \пурпле и получим всюду плотное в $\C$ множество} (докажите это).

{\бф \греен Шаг 3:} Проверьте, что $z_1(A)$ 
$G$-инвариантно. \ендпрооф


\end{document}
