\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, wrapfig} %,wasysym} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \def\wrappedimage#1#2#3{\par% \begin{wrapfigure}{#1}{#2}% \epsfig{file=#3,width=#2}% \end{wrapfigure}\par% } \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Алгебраическая геометрия, матфак ВШЭ, осень 2011 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Алгебраическая геометрия, \\[15mm] \small лекция 2: категория аффинных многообразий} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf Матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 9 сентября 2011 } \end{center} \newpage \newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}} \newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}} {\bf \blue Определение категории} {\bf \green Определение:} {\bf \blue Категорией} $\cac$ называется набор данных ("объектов категории", "морфизмов между объектами" и так далее), удовлетворяющих аксиомам, приведенным ниже. {\bf \purple ДАННЫЕ.}\\ {\bf \red Объекты:} Множество $\Ob(\cac)$ {\bf \blue объектов} $\cac$ (иногда рассматривают не множество, а {\green класс} $\Ob(\cac)$, который может и не быть множеством, например, класс всех множеств, или класс всех линейных пространств). {\bf \red Морфизмы:} Для любых $X, Y \in \Ob(\cac)$, задано множество $\Mor(X,Y)$ {\bf \blue морфизмов} из $X$ в $Y$. {\bf \red Композиция морфизмов:} Если $\phi\in \Mor(X,Y), \psi \in \Mor(Y,Z)$, задан морфизм $\phi\circ \psi \in \Mor(X, Z)$, который называется {\bf\blue композицией морфизмов}. {\bf \red Тождественный морфизм:} Для каждого $A\in \Ob(\cac)$ задан морфизм $\Id_A \in \Mor(A,A)$. \newpage {\bf \blue Определение категории (продолжение)} {\bf \purple Эти данные удовлетворяют следующим аксиомам.} {\bf \red Ассоциативность композиции:} $\phi_1\circ(\phi_2\circ\phi_3)=(\phi_1\circ\phi_2)\circ\phi_3$. {\bf \red Свойства тождественного морфизма:} Для любого морфизма $\phi\in \Mor(X,Y)$, $\Id_X\circ \phi = \phi = \phi\circ \Id_Y$ {\bf \green Определение:} Пусть $X, Y\in \Ob(\cac)$ -- объекты категории $\cac$. Морфизм $\phi\in \Mor(X,Y)$ называется {\bf \blue изоморфизмом}, если существует $\psi\in \Mor(Y,X)$ такой, что $\phi \circ \psi = \Id_X$ и $\psi\circ\phi = \Id_Y$. В таком случае, объекты $X$ и $Y$ называются {\bf \blue изоморфными}. {\bf \green Примеры категорий:}\\ {\bf \purple Категория множеств} \\(морфизмы -- произвольные отображения), \\{\bf \purple категория линейных пространств} \\ (морфизмы -- линейные отображения), \\{\bf \purple категории колец, полей, групп}\\ (морфизмы -- гомоморфизмы),\\ {\bf \purple категория топологических пространств}\\ (морфизмы -- непрерывные отображения). \newpage {\бф \блуе Квазиаффинные многообразия (повторение)} \определение {\бф \блуе Алгебраическое множество} есть множество общих нулей идеала в кольце полиномов. \определение Пусть $A$ -- дополнение алгебраического подмножества в $\C^n$ до алгебраического подмножества. Такое подмножество называется {\бф \блуе квазиаффинным}. \определение {\бф \блуе Алгебраическая (регулярная) функция} на квазиаффинном множестве $A$ есть рациональная функция вида $\frac P Q$, где $P, Q\in \C[z_1, ..., z_n]$ взаимно простые полиномы, а полюса $Q$ не пересекают $A$. \определение {\бф \блуе Алгебраическое отображение} квазиаффинных многообразий $A, A'\subset \C^n$ есть отображение $\phi:\; A \arrow A'$, заданное в координатах набором из $n$ алгебраических функций. \newpage {\бф \блуе Категория квазиаффинных многообразия (повторение)} \определение {\бф \блуе Категория квазиаффинных многообразий} есть категория, объекты которой суть квазиаффинные многообразия, а морфизмы -- алгебраические отображения. {\бф \блуе Квазиаффинное многообразие} есть объект этой категории, с точностью до изоморфизма (то есть {\бф \ред без фиксированных координат}). \определение Квазиаффинное многообразие называется {\бф \блуе аффинным}, если оно изоморфно многообразию, построенному по алгебраическому множеству. \newpage {\бф \блуе Идеалы в кольцах (повторение)} {\бф \ред Все кольца предполагаются коммутативными и с единицей, $1\neq 0$}. \определение {\бф \блуе Идеал} $I$ в кольце $R$ есть подмножество $I\subset R$, замкнутое относительно сложения, и такое, что для любого $a\in I, f \in R$, произведение $fa$ лежит в $I$. Идеал называется {\бф \блуе нетривиальным}, если он не равен $R$. В дальнейшем, {\бф \ред все идеалы по умолчанию предполагаются нетривиальными.} \замечание Факторгруппа $R/I$ снабжена естественной структурой кольца (называется {\бф \блуе факторкольцо}). \определение {\бф \блуе Максимальный идеал} есть идеал $I\subset R$ в кольце $R$, такой, что для любого идеала $I'\supset I$ имеет место $I'=I$. \упражнение Пусть $a\in R$ -- элемент кольца, который не обратим. Докажите, что {\бф \пурпле $a$ содержится в каком-то идеале $R$.} Из этого утверждения выводится следующее. \упражнение Докажите, что {\бф \ред идеал $I$ максимален тогда и только тогда, когда $R/I$ -- поле.} \newpage {\бф \блуе Существование максимальных идеалов (повторение)} \теорема Пусть $I\subset R$ -- идеал в кольце. {\бф \ред Тогда $I$ содержится в максимальном идеале.} \доказательство Применим лемму Цорна к множеству всех идеалов, упорядоченному по вложению. \ендпрооф \утверждение Пусть $A$ -- аффинное многообразие, а $\calo_A$ -- кольцо алгебраических функций на $A$. Для каждого подмножества $Z\subset A$ рассмотрим идеал $I_Z$ функций, которые зануляются в $Z$. {\бф \ред Тогда $I_{a}$ -- максимальный для любой точки $a\in A$.} \доказательство Для любой функции $f\in \calo_A$, функция $f-f(a)$ лежит в $I_a$, значит, {\бф \пурпле фактор $\calo_A/I_a$ изоморфен $\C$.} \ендпрооф \определение Идеал $I_a$ называется {\бф \блуе идеалом точки $a\in A$.} \newpage {\бф \блуе Hilbert's Nullstellensatz (повторение)} {\бф \блуе Теорема Гильберта о нулях:} {\бф \ред Любой максимальный идеал в кольце $R=\C[z_1, ..., z_n]$ полиномов над $\C$ равен $I_a$,} для какой-то точки $a\in A$. Доказательство основано на следующей линейно-алгебраической идее. \определение {\бф \блуе Базис Коши-Гамеля} в векторном пространстве $V$ есть максимальный набор линейно независимых векторов $V$. \определение Векторное пространство называется {\бф \блуе счетномерным}, если у него есть счетный базис Коши-Гамеля, и {\бф \блуе несчетномерным,} если оно бесконечномерно и у него нет такого базиса. {\бф \греен Доказательство теоремы Гильберта. Шаг 1:} Для идеала $I\subset R$, обозначим за $V(I)$ множество общих нулей всех $f\in I$, то есть \[ V(I):= \{a\in \C^n \ \ |\ \ \forall f\in I, f(a)=0\}. \] Если $V(I)$ содержит $a\in A$, то $I\subset I_a$. Значит, для любого максимального идеала $I\subset A$, множество $V(I)$ пусто, либо состоит из одной точки. {\бф \пурпле Для доказательство теоремы Гильберта о нулях достаточно доказать, что $V(I)$ непусто для любого максимального идеала}. \newpage {\бф \блуе Hilbert's Nullstellensatz: продолжение доказательствa} {\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим естественное отображение констант $\C \arrow R/I$. {\бф \пурпле Предположим, что это изоморфизм.} Обозначим за $\phi:\; R \arrow \C$ соответствующий гомоморфизм. Пусть $a:=(\phi(z_1), \phi(z_2), ..., \phi(z_n))\in \C^n$. Если $P(z_1, ..., z_n)\in I$, то \[ 0=\phi(P)= P(\phi(z_1), \phi(z_2), ..., \phi(z_n))=P(a). \] Следовательно, {\бф \пурпле все функции $P\in I$ зануляются в $a$.} {\бф \ред Для доказательство теоремы Гильберта о нулях достаточно доказать, что отображение констант $\C \arrow R/I$ -- изоморфизм}. {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $I$ -- максимальный идеал. Тогда $k= R/I$ -- поле, содержащее поле $\C$ (констант). Поскольку $\C$ алгебраически замкнуто, {\бф \пурпле любой элемент $t \in k \backslash \C$ трансцендентен.} Это значит, что $\C=k$ и все доказано, либо $k\supset \C(t)$, где $\C(t)$ обозначает поле рациональных функций. {\бф \греен Шаг 4:} Поскольку кольцо $R$ порождено координатными мономами, оно счетномерно как векторное пространство над $\C$. То же верно и в отношении $k= R/I$. {\бф \пурпле Осталось доказать, что у $\C$ нет нетривиальных счетномерных расширений.} \newpage {\бф \блуе Hilbert's Nullstellensatz: окончание доказательствa} {\бф \греен Шаг 5:} Для любого набора $a_1, ..., a_k\in \C$ попарно различных точек, {\bf \пурпле рациональные функции $\left \{\frac 1 {t-a_i}\right\}\in \C(t)$ линейно независимы над $\C$.} В самом деле, если $\sum_{i=1}^k \frac {\lambda_i}{t-a_i}=0$, то \[ \frac{\sum_{i=1}^k \lambda_i (t-a_1) (t-a_2) \dots \widehat{(t-a_i)} \dots (t-a_n)}{(\prod_{i=1}^k(t-a_i))}=0. \] (значком $\widehat{(t-a_i)}$ помечен выкинутый из произведения сомножитель), то есть \[ P(t):= \sum_{i=1}^k \lambda_i (t-a_1) (t-a_2) \dots \widehat{(t-a_i)} \dots (t-a_n)=0. \] Но $P(a_1)= \lambda_1(a_1-a_2)(a_1-a_3)\dots (a_1-a_n)\neq 0,$ если $\lambda_1\neq 0$. {\бф \греен Шаг 6:} Поскольку все $\frac 1 {t-a}$, $a\in C$, линейно независимы, $\C(t)$ {\бф \ред несчетномерно}. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Регулярные функции на аффинных многообразиях} \следствие Пусть $F:=P/Q$ -- алгебраическая функция на аффинном многообразии $A\subset \C^n$. Тогда {\бф \ред она равна полиному} $P'\in \C[t_1, ...., t_n]$. \доказательство Пусть $I_A$ -- идеал полиномиальных функций, которые зануляются в $A$, а $I_A+Q$ -- идеал, порожденный $Q$ и $I_A$. Поскольку $Q\neq 0$ на $A$, $I_A+Q$ не имеет общих нулей, значит, содержит 1. Поэтому $aQ =1 \mod I_A$, для какого-то полинома $a$. Поэтому $a=Q^{-1}$ на $A$, то есть {\бф \пурпле $Q$ обратимо в кольце $\C[t_1, ...., t_n]/I_A$.} \ендпрооф \следствие Пусть $\calo_A$ -- кольцо полиномиальных (алгебраических) функций на аффинном многообразии, а $I\subset \calo_A$ -- максимальный идеал. Тогда {\бф \ред $I$ есть идеал точки $a\in A$.} \доказательство Посколько $\calo_A=\C[t_1, ...., t_n]/I_A$, {\бф \пурпле $I$ задает максимальный идеал в кольце полиномов,} и можно применить теорему Гильберта о нулях. \ендпрооф \newpage {\bf \blue Функторы} Категории сами образуют категорию; морфизмами этой категории являются {\bf \blue функторы}. {\bf \green Определение:} Пусть $\cac_1, \cac_2$ -- категории. {\bf \blue Ковариантным функтором} из $\cac_1$ в $\cac_2$ называется следующий набор данных. 1. {\bf \purple Отображение $F:\; \Ob(\cac_1) \arrow \Ob(\cac_2)$,} ставящее в соответствие объектам $\cac_1$ объекты $\cac_2$. 2. {\bf \purple Отображение морфизмов $F:\; \Mor(X,Y) \arrow \Mor(F(X), F(Y))$,} определенное для любой пары объектов $X, Y \in \Ob(\cac_1)$. Чтобы эти данные задавали функтор, они {\bf \purple должны удовлетворять условию $F(\phi) \circ F(\psi) = F(\phi\circ\psi)$.} \newpage {\bf \blue Примеры функторов} Любая "естественная операция" на математических объектах - это функтор. Например: {\bf \purple Отображение $X \arrow 2^X$} -- функтор на категории множеств. {\bf \purple Отображение $M \arrow M^I$} -- функтор на топологических пространствах, для любого заданного набора индексов $I$. {\bf \purple Отображение $V \arrow V \oplus V$} -- функтор на линейных пространствах. {\bf \purple Тождественный функтор} из категории в себя. Ображение, ставящее в соответствие топологическому пространству множество его связных компонент. \newpage {\bf \blue Контравариантные функторы} {\bf \green Определение:} Если задана категория $\cac$, определим {\bf \blue двойственную категорию} $\cac^{op}$. Множество объектов в $\cac^{op}$ -- то же самое, что и в $\cac$, а $\Mor_{\cac^{op}}(A,B)= \Mor_{\cac}(B,A)$. Соответственно, композиция $\phi\circ \psi$ в $\cac$ дает композицию $\psi^{op}\circ \phi^{op}$ в $\cac^{op}$. {\bf \green Определение:} {\bf \blue Контравариантный функтор} из $\cac_1$ в $\cac_2$ -- это ковариантный функтор из $\cac_1^{op}$ в $\cac_2$. {\bf \green Пример:} Отображение, ставящее в соответствие топологическому пространству $M$ кольцо непрерывных $\R$-\-зна\-ч\-ных функций на $M$ -- контравариантный функтор из топологических пространств в кольца. {\bf \green Пример:} Пусть $X\in \Ob(\cac)$ -- объект категории $\cac$. Тогда отображение $Y\arrow \Mor(X,Y)$ задает ковариантный функтор из $\cac$ в категорию $Set$ множеств, а отображение $Y\arrow \Mor(Y, X)$ задает контравариантный функтор из $\cac$ в $Set$. Такие функторы называются {\bf \blue представимыми}. \newpage {\bf \blue Изоморфизм и эквивалентность функторов} {\bf \green Определение:} Пусть $X, Y\in \Ob(\cac)$ -- объекты категории $\cac$. Морфизм $\phi\in \Mor(X,Y)$ называется {\bf \blue изоморфизмом}, если существует $\psi\in \Mor(Y,X)$ такой, что $\phi \circ \psi = \Id_X$ и $\psi\circ\phi = \Id_Y$. В таком случае, объекты $X$ и $Y$ называются {\bf \blue изоморфными}. {\bf \green Определение:} Два функтора $F, G:\;\cac_1\arrow \cac_2$ называются {\bf \blue эквивалентными}, если для каждого $X \in \Ob(\cac_1)$ задан изоморфизм $\Psi_X:\; F(X) \arrow G(X),$ причем для любого морфизма $\phi\in \Mor(X,Y)$, имеем $ F(\phi) \circ \Psi_Y= \Psi_X\circ G(\phi)$. {\bf \green Замечание:} Подобные коммутационные отношения принято изображать {\bf \blue коммутативными диаграммами}. Так, к примеру, условие $ F(\phi) \circ \Psi_Y= \Psi_X\circ G(\phi)$ можно записать следующей коммутативной диаграммой \begin{equation*} \begin{CD} F(X) @>{F(\phi)}>> F(Y)\\ @V{\Psi_X}VV @VV{\Psi_Y}V\\ G(X) @>{G(\phi)}>> G(Y) \end{CD} \end{equation*} \newpage {\bf \blue Эквивалентность категорий} {\bf \green Определение:} Функтор $F:\; \cac_1 \arrow \cac_2$ называется {\bf \blue эквивалентностью категорий}, если он задан функтор $G:\;\cac_2 \arrow \cac_1$ такой, что композиции $G\circ F$ и $G\circ F$ эквивалентны тождественым функторам $\Id_{\cac_1}$, $\Id_{\cac_2}$. {\bf \green Замечание:} Можно проверить, что это равносильно следующему: $F$ задает биекцию на классах изоморфизма объектов, и биекцию \[ \Mor(X,Y) \arrow \Mor(F(X), F(Y)).\] {\bf \purple С точки зрения теории категорий, эквивалентные категории неразличимы.} \newpage \begin{minipage}[m]{0.45\linewidth} \begin{center} \epsfig{file=Maclane.jpg,width=0.75\linewidth}\\ {Saunders Mac Lane\\ (1909-2005)}\end{center}\end{minipage} \begin{minipage}[m]{0.45\linewidth} \begin{center} \epsfig{file=Eilenberg.jpg,width=0.70\linewidth}\\ {Samuel Eilenberg \\ (1913-1998)} \end{center} \end{minipage} \newpage \begin{center} \epsfig{file=Grothendieck.jpg,width=0.35\linewidth}\\ {Alexander Grothendieck \\ (род. 28 марта 1928)} \end{center} \newpage {\bf \blue Категория аффинных многообразий и категория колец} \определение {\бф \блуе Конечно-порожденное кольцо над $\C$} есть фактор $\C[t_1, ..., t_n]$ по идеалу. \теорема Пусть $\cac_R$ есть категория конечно-порожденных колец над $\C$, не содержащих нильпотентов, а $\cac_A$ -- категория аффинных многообразий. Тогда {\бф \ред $\cac_R$ эквивалентна $\cac_A^{op}$}. \доказательство Будет на следующем занятии. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Экспонента и полиномы} \утверждение Пусть $A\subset \C^n$ -- алгебраическое подмножество, а $f= e^{z_1}$ -- экспонента от координаты $z_1$. Тогда, {\бф \ред если $f$ алгебраична на $A$, то она постоянна на каждой компоненте линейной связности.} \доказательство Рассмотрим идеал функций $\phi\in \calo_A$ таких, что \[ \exists p\in {\Bbb N}\ \ \forall N\in {\Bbb N} \ \ |\ \ \lim_{z_1\rightarrow -\infty} |z_1|^N |z|^{-p} \phi(z)=0. \] {\бф \пурпле Общих нулей у этого идеала нет, ибо он содержит экспоненту.} Констант он не содержит, если в $A$ есть последовательность точек $a_i$ такая, что $\lim_i z_1(a_i)= -\infty$. {\bf \green Шаг 1:} Если функция $z_1$ принимает на $A$ счетное число значений, {\бф \пурпле она локально постоянна.} Если нет, {\бф \ред достаточно доказать, что $z_1(A)$ всюду плотно в $\C$.} {\бф \греен Шаг 2:} Будем действовать на $z_1(A)$ подгруппой $G\subset \Aut_\Q \C$, сохраняющей все коэффициенты многочленов, которые задают $A$, {\бф \пурпле и получим всюду плотное в $\C$ множество} (докажите это). {\бф \греен Шаг 3:} Проверьте, что $z_1(A)$ $G$-инвариантно. \ендпрооф \end{document}