\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig,
  russcorr, russlh, floatflt}

%\usepackage[UglyObsolete]{diagrams}

%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\def\wrappedimage#1#2#3{\par%
\begin{wrapfigure}{#1}{#2}%
\epsfig{file=#3,width=#2}%
\end{wrapfigure}\par%
}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\Av}{\operatorname{Av}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}}
\newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}}
\def\Aff{\operatorname{\sf Aff}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small  Алгебраическая геометрия, 
матфак ВШЭ, осень 2011 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Алгебраическая геометрия, \\[15mm]
\small лекция 10: лемма Нетер о нормализации}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf Матфак ВШЭ, Москва
\\[2mm] 9 декабря 2011
}
\end{center}
\newpage

{\бф\блуе Оценки за курс}

Максимальное количество баллов за экзамен равно 30.

{\бф \ред Зачет за весь курс} ставится в одном из двух случаев.

1. Для сдавших первый модуль, зачет за 
курс (и за второй модуль) ставится
студентам, получившим за семестр (листочки, 
контрольные, экзамен) суммарно 90 баллов.
Оценка вычисляется по формуле
$b=4+[0.1*(s-90)+0.5]$, то есть 
для оценки 10 за семестр нужно набрать 140 баллов.

Оценка за второй модуль вычисляется
по формуле $b=4+[0.2*(s-45)+0.5]$, где [\ ] обозначает целую часть.

{\бф \пурпле 2. Для не сдавших первый модуль, есть два пути:}

а. Сдать семестр, набрав 90 баллов. Это дает
заодно зачет и по первому модулю. 

б. Сдать 4 из листочков  1-5 целиком,
и набрать 45 баллов за второй модуль.
В этом случае, оценка за второй модуль
вычисляется по формуле $b=4+[0.2*(s-45)+0.5]$,
а оценка за семестр получается средним
арифметическим из 4 и оценки за первый модуль.

\невпаге

{\бф\блуе Оценки за курс (продолжение)}

{\бф \блуе \Huge 16-го декабря - экзамен!}



3. {\бф \ред Прошу прислать мне отсканированные ведомости
за листки 4-6, 7-9, 10-11 емэйлом до 28-го декабря}.
Отметьте, сколько вам баллов причитается, по вашему
мнению, за каждый из листков. Если вы пересдавали 
первый модуль, пришлите также скан ведомости за листки 1-3.

4. 
Ближе к 28-29 декабря, я размещу результаты на\\
{} \hphantom{jkkjhkkjh}  {\tt http://bogomolov-lab.ru/KURSY/AG-2011/ }\\
Пожалуйста, внимательно посмотрите их.
Если вы найдете  ошибки  в оценках, {\бф \ред
сообщите мне емэйлом}. После того, как 
я пошлю эти цифры в учебную часть,
изменить их будет гораздо труднее.


\newpage

{\бф \блуе Целая зависимость (повторение)}

\определение
Пусть $A\subset B$ -- кольца.
Элемент $b\in B$ называется 
{\бф \блуе целым над $A$}, если подкольцо
$A[b]=A\cdot\langle 1,b,b^2, b^3, ... \rangle$, 
порожденное $b$ и $A$, конечно порождено
как $A$-модуль.

\определение
Полином называется  {\бф \блуе унитарным}, если его старший
коэффициент равен 1.

\утверждение
$x$ цел над $A\subset B$ $\Leftrightarrow$
$x$ является корнем унитарного полинома с коэффициентами
из $A$. \ендпрооф

\утверждение
Пусть $A\subset B$ нетерово кольцо. Тогда
{\бф \ред сумма, произведение целых 
над $A$ элементов $x,y\in B$ -- целые.}

\невпаге

{\бф \блуе Конечные морфизмы (повторение)}


\определение
Пусть $X \arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий.
Этот морфизм называется {\бф \блуе конечным}, если
$\calo_X$ конечно-порожден как $\calo_Y$-модуль.

\теорема
Пусть $X\stackrel f \arrow Y$ -- конечный морфизм.
{\бф \ред Тогда для любой точки $y\in Y$, прообраз $f^{-1}(y)$
конечен.}


\дшаг
Поскольку $\calo_X$ конечно-порожден как $\calo_Y$-модуль,
кольцо $R:=\calo_X\otimes_{\calo_Y}(\calo_Y/{\goth m}_y)$
конечно-порождено как $\calo_Y/{\goth m}_y$-модуль.
Но поскольку $\calo_Y/{\goth m}_y=\C$, 
получаем, что {\бф \пурпле $R$ конечномерно.}

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $N$ -- нильрадикал $R$.
Поскольку $R/N$ конечномерно, число простых идеалов
в $R/N$ конечно. Значит, 
{\бф \пурпле $\Spec(R/N)$ -- конечное множество.}

{\бф \греен Шаг 3:} {\бф \ред С другой стороны, $\Spec(R/N)=f^{-1}(y)$.}
\ендпрооф



\невпаге
\def\chpoly{\operatorname{\sf Chpoly}}


\begin{floatingfigure}[r]{0.25\textwidth}
{\hfil\includegraphics[width=0.22\textwidth]{Nakayama.jpeg}}
\begin{center}{\purple \small Tadashi Nakayama (1912-1964)
\\ }
\end{center}
\end{floatingfigure}

{\бф \блуе  Лемма Накаямы}


\вопрос
Пусть ${\goth a}\subset A$ -- идеал в нетеровом кольце.
{\bf \пурпле Как доказать, что $\bigcap_i {\goth a}^i=0$?}

{\bf \греен ОТВЕТ:} {\бф \ред Лемма Накаямы!}

\замечание
{\бф \ред Это неверно,} если $A$ -- кольцо непрерывных функций.

\теорема
Пусть $A$ -- нетерово кольцо, $M$ -- конечно-порожденный
$A$-модуль,  а $I\subset A$ -- идеал.
Предположим, что $IM=M$. {\бф \ред Тогда
для какого-то $a\in I$, имеем $(1-a)M=0$.}

\дшаг
Пусть $\Phi$ -- эндоморфизм конечно-порожденного
$A$-модуля, $e_i$ -- образующие $M$, а 
$\Phi(e_i)= \sum a_{ij}e_j$. Определим
{\бф \блуе характеристический полином} $\chpoly_\Phi(t)\in A[t]$
как определитель матрицы $\det(t\Id-A)$, где
$A=(a_{ij})$

{\бф \греен Предостережение:} {\бф \ред Он не единственный!}


\невпаге

{\бф \блуе  Лемма Накаямы (продолжение)}


{\бф \греен Шаг 2:} $\chpoly_\Phi(A)=0$ {\блуе (теорема Гамильтона-Кэли)}.

{\бф \греен Шаг 3:} Пусть $M$ -- конечно-порожденный
$A$-модуль над нетеровым кольцом, $\Phi\in \End_A(M)$, а $I\subset A$ -- идеал.
Предположим, что $\Phi(M) \subset IM$.
Тогда {\бф \пурпле для какого-то характеристического полинома
$\chpoly_\Phi(t)$, все коэффициенты $\chpoly_\Phi(t)$
лежат в $A$.} В самом деле, $\Phi(e_i)$ лежит в $IM$,
значит, выражается в виде $\sum a_{ij}e_j$, где
$a_{ij}\in I$.

{\бф \греен Шаг 4:} Пусть $P(t)=\sum a_i t^i$ -- характеристический
полином для тождественного 
эндоморфизма $\Id\in \End_A(M)$, а $S$ -- сумма
его коэффициентов. {\бф \ред В силу теоремы Гамильтона-Кэли,
$P(\Id)(m)=\sum_i a_i\cdot m=Sm=0$. }

{\бф \греен Шаг 5:} Для доказательства леммы Накаямы,
применим утверждение шага 3 к $\Phi=\Id$, и получим,
что {\бф \пурпле все коэффициенты $\chpoly_{\Id}(t)$, кроме старшего,
лежат в $I$, а старший равен 1.} Теперь Накаяма следует
из шага 4. 
\ендпрооф



\невпаге

{\бф \блуе  Целые морфизмы (повторение)}

\определение
Морфизм $X \stackrel f \arrow Y$ называется {\бф\блуе доминантным},
если $\calo_Y \stackrel{f^*} \arrow \calo_X$ -- вложение.

\определение 
Морфизм $X \arrow Y$ называется {\бф \блуе целым},
если он конечный и доминантный, а $X$ неприводимо.

\теорема
{\bf \red Целый морфизм всегда сюрьективен.}

\дшаг
Пусть $X \stackrel f\arrow Y$ -- целый морфизм, $A=\calo_Y$, $B=\calo_X$.
{\бф \пурпле Это равносильно тому, что 
$A\subset B$ -- подкольцо, $B$ без делителей нуля,
причем $B$ конечно-порождено как $A$-модуль.}


{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть ${\goth m}_y\subset A$ -- максимальный идеал,
соответствующий $y\in Y$.
{\бф \ред По лемме Накаямы, ${\goth m}_yB\neq B$.}

{\бф \греен Шаг 3:}
$f^{-1}(y)= \Spec(B\otimes_A A/{\goth m}_y)= B/{\goth m}_yB$.
{\бф \пурпле 
Поскольку это кольцо ненулевое, множество $f^{-1}(y)$ непусто.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе  Целое замыкание (повторение)}

\замечание Получаем, что {\бф \ред при целом морфизме,
прообраз каждой точки -- конечное, непустое множество.}


\определение
Пусть $A\subset B$ -- кольца.
Множество всех элементов $B$, целых над $A$,
называется {\бф \блуе целым замыканием $A$ в $B$}.
Множество всех элементов поля частных $A$,
целых над $A$, называется {\бф\блуе целым замыканием $A$}.

\теорема
Пусть $A$ -- нетерово кольцо без делителей нуля,
$K:k(A)$ -- конечное расширение, 
а $B$ -- целое замыкание $A$ в $K$.
{\бф \ред Тогда $B$ конечно порождено как $A$-модуль,}
а морфизм $\Spec B \arrow \Spec A$ -- целый.

\определение
Пусть $A$ -- неприводимое аффинное многообразие. 
{\бф \блуе Нормализация} $A$ есть спектр его целого замыкания.


{\бф \греен Свойства нормализации:}
Пусть $\nu:\; X\arrow Y$ -- нормализация.
Тогда $\nu$ {\бф \пурпле конечно и бирационально}, то есть это

1. {\бф \ред Изоморфизм вне какого-то дивизора}.

2. Прообраз каждой точки -- {\бф \ред конечен и непуст.}



\невпаге

{\бф \блуе  Трансцендентные расширения}

\утверждение
Пусть $[k:\C]$ -- расширение поля $\C$,
a $[K:k]$ -- расширение $k$, порожденное
над $k$ элементом $z$. {\бф \ред Тогда либо $z$ трансцендентно,
и $K=k(z)$ изоморфно полю рациональных функций, либо
$z$ алгебраично, а $[K:k]$ конечно.}

\доказательство В самом деле, {\бф \пурпле либо $z$ -- корень
какого-то многочлена, и тогда $[K:k]$ конечно,}
{\бф \пурпле либо $K$ содержит кольцо полиномов $k[z]$,}
и в этом случае $K$ содержит $k(z)$.
\ендпрооф 

\лемма
Если $[K:k]$ конечное расширение,
то {\бф \пурпле поля рациональных функций $[K(t):k(t)]$ 
образуют конечное расширение.}

\доказательство
Теорема о примитивном элементе дает
$K=k[\alpha]$, где $\alpha$ -- алгебраический
элемент. Тогда $K(t)=k(t)[\alpha]$. \ендпрооф

\упражнение Придумайте доказательство без теоремы 
о примитивном элементе.

\определение
Пусть $[K:\C]$ -- расширение поля $\C$.
Оно называется {\бф \блуе чисто трансцендентным размерности $n$},
если $K$ изоморфно полю $\C(z_1, z_2, ..., z_n)$ рациональных функций
на $\C^n$.

\невпаге

{\бф \блуе  Базис трансцендентности}

\определение
{\бф\блуе  Базис трансцендентности} поля $[K:\C]$ 
есть набор элементов $z_1, ..., z_n\in K$,
порождающий чисто трансцендентное расширение  
$K':=\C(z_1, z_2, ..., z_n)$ такое, что $[K:K']$ конечно.


\теорема
Пусть $k(X)$ -- поле рациональных
функций на аффинном многообразии, причем
$\calo_X$ порождено $t_1, ..., t_n$.
{\бф \ред Тогда какое-то подмножество $\{t_i\}$ будет
базисом трансцендентности для $k(X)$.}

\дшаг
Поскольку $k(X)$ конечно порождено,
{\бф \пурпле можно воспользоваться индукцией
по числу образующих $t_1, ..., t_n$.}
Пусть $A\subset \calo_X$ -- подкольцо,
порожденное $t_1, ..., t_{n-1}$,
а $t_1, ..., t_k$ -- базис транцендентности в $k(A)$.

{\бф \греен Шаг 2:}
{\бф \пурпле Либо $t_n$ алгебраично над $k(A)$, и тогда 
$k(X):k(A)$ конечномерно; либо
оно трансцендентно, и тогда $k(X)$
содержит $k(t_1, ..., t_k)(t_n)=k(t_1, ..., t_k, t_n)$.}
Во втором случае $[k(A):k(t_1, ..., t_k)]$
конечномерно, а значит, $k(X)=k(A)(t_n)$
конечномерно над $k(t_1, ..., t_k)(t_n)$
в силу вышеприведенной леммы.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе  Базис трансцендентности и доминантные морфизмы}

\утверждение
Пусть $X\subset \C^n$ -- неприводимое аффинное многообразие,
$t_1, ..., t_n$ -- координаты на $t_n$, а 
$\Pi_k:\; X \arrow \C^k$ -- проекция на первые
$k$ координат. Обозначим за $K$ подполе
в поле частных $k(X)$, порожденное $t_1,..., t_k$.
Тогда следующие утверждения равносильны.

(и) {\бф \ред Отображение $\Pi_k:\; X \arrow \C^k$ доминантно.}

(ии) {\бф \ред Расширение $K:\C$ чисто трансцендентно
размерности $k$.}

\доказательство
Доминантный морфизм есть морфизм, индуцирующий
вложение полей $k(\C^k) \hookrightarrow k(X)$.
\ендпрооф

\замечание
В условиях этого утверждения,
$[k(X):k(\C^k)]$ -- {\бф \пурпле конечное расширение
тогда и только тогда, когда $t_1,..., t_k$ --
базис трансцендентности.}

\вопрос
А когда $\Pi_k$ конечно?

\замечание
Мы решаем такую задачу. Пусть $X\subset \C^n$ --
неприводимое аффинное многообразие. {\бф \ред Мы ищем
проекцию $\Pi_k:\; X \arrow \C^k$, которая конечна.}

\невпаге

{\бф \блуе  Конечность морфизма проекции}



\замечание
Пусть  $X \subset \C^n$ -- неприводимое аффинное многообразие,
$z_i$ координаты на $\C^n$, а $z_1, ..., z_{k}$ -- базис трансцендентности
в $k(X)$. {\бф \пурпле Тогда $\Pi_{n-1}$ конечно,
если $z_n$ -- корень унитарного многочлена с коэффициентами
в $\C[z_1,..., z_{k}]$.} Отметим, что {\бф \блуе ненулевой
многочлен $P(z_n)=0$ с коэффициентами в $\C[z_1,..., z_{k}]$
всегда существует, так как $z_1, ..., z_k$ базис трансцендентности,
но он не всегда унитарен.}

\утверждение
Тогда {\бф \ред существует линейная замена координат вида
$z_i':= z_i + \lambda_i z_n$, такая, что $z_n$ 
конечен над $z_1', ..., z_{k}'$.}

\дшаг
Пусть $F(z_1, ..., z_k, z_n)$ --
однородная компонента старшей степени $d$ многочлена 
$P(z_1, ..., z_k, z_n)$, а $\lambda_1, ..., \lambda_k$
комплексные числа, такие, что $F(\lambda_1, ..., \lambda_k, 1)\neq 0$.
Пусть $z_i':= z_i + \lambda_i z_n$, где $i = 1, ..., k$.
Рассмотрим многочлен
$Q(z_1', ..., z_k', z_n):= F(z_1+ \lambda_1 z_n, ,,,m z_k+ \lambda_k z_n, z_n)$.
Тогда $Q(0,0,..., 0, 1)=F(\lambda_1, ..., \lambda_k, 1)\neq 0$,

{\бф \греен Шаг 2:} {\бф \пурпле Следовательно,
у многочлена $Q(z_1', ..., z_k', z_n)$ ненулевой
коэффициент при $z_n^d$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Значит, {\бф \ред $z_n$ -- корень унитарного
многочлена $P_1(z_1', ..., z_k', z_n)
:=P(z_1+ \lambda_1 z_n, ..., z_k+ \lambda_k z_n, z_n)$.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Лемма Нетер о нормализации}

\замечание
Пусть $A\subset B\subset C$ кольца без делителей нуля,
причем $C$ конечно над $B$, а $B$ над $A$. {\бф \пурпле Тогда $C$
конечно над $A$.}


\следствие
{\бф \блуе (лемма Нетер о нормализации)}\\
Пусть $X \subset \C^n$ -- неприводимое аффинное многообразие,
$z_i$ координаты на $\C^n$, а $z_1, ..., z_{k}$ -- базис трансцендентности
в $k(X)$. {\бф \ред Тогда для общей линейной замены
вида $z_i':= z_i +\sum_{j={k+1}}^n \lambda_{ij}$, $i=1, ..., k$
проекция на $z_1', ..., z_k'$ конечна.}

\дшаг
Нужно убедиться, что $z_{k+1}, ..., z_n\restrict X$
конечны над $\C[z_1', ..., z_k']\subset \calo_X$.
Применив индукцию по $n$, {\бф \пурпле можно считать, что
$z_{k+1}, ..., z_{n-1}$ конечны над $\C[z_1, ..., z_k]$.}

{\бф \греен Шаг 2:}
Из только что доказанного утверждения следует, что
для общей замены вида $z_i':= z_i + \lambda_i z_n$,
функция $z_n\in \calo_X$ конечна над $\C[z_1', ..., z_k']$. Но в этом
случае, $z_i$ тоже конечны над $\C[z_1', ..., z_k']$.
Поскольку $z_{k+1}, ..., z_{n-1}$ 
конечны над $\C[z_1, ..., z_k]$, они конечны и над 
$\C[z_1', ..., z_k']$, в силу вышеприведенного замечания. \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе  Теорема о примитивном элементе}

\определение
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение.
Элемент $\alpha\in K$ {\бф \блуе примитивный},
если он порождает $K$ над $k$.

\замечание
Элемент $\alpha\in K$  примитивен тогда и только тогда,
когда он {\bf \purple не содержится ни в одном в промежуточном подполе}
$K'\subsetneq K$.


\утверждение
Обозначим за ${\Bbb K}$ алгебраическое замыкание
$K$. Тогда $K\otimes_k {\Bbb K}$
конечномерное над ${\Bbb K}$, полупростое артиново кольцо, значит,
изоморфно прямой сумме нескольких копий ${\Bbb K}$.
\ендпрооф

\следствие 
Для любого конечного расширения $[K:k]$,
{\бф \ред число промежуточных полей $K\subsetneq K'\subsetneq k$ конечно.}

\доказательство
{\бф \пурпле Они соответствуют прямым слагаемым в 
$K\otimes_k {\Bbb K}= \bigoplus^n {\Bbb K}$,
число которых конечно.} \ендпрооф

Из этого следует теорема о примитивном элементе, в такой форме.

\определение
Пусть $X \subset \C^n$ -- неприводимое аффинное многообразие
положительной размерности, а $z_1, ..., z_k$ -- базис
трансцендентности в $k(X)$. {\бф \ред Тогда общая линейная
композиция вида $\sum_{i=k+1}^n \lambda_i z_i$ 
порождает $k(X)$ над $\C(z_1, ..., z_k)$.}

\невпаге

{\бф \блуе  Лемма Нетер о нормализации}

\теорема {\бф \блуе (Лемма Нетер о нормализации, 
другая формулировка)}
Пусть $X$ -- неприводимое аффинное многообразие.
Тогда существует унитарный многочлен 
$P(t)\in A[t]$, где $A=\C[z_1,..., z_k]$,
и {\бф \ред  бирациональное, конечное отображение из $X$
на множество нулей $P(t)$ в $\C^{k+1}$.}

\дшаг
Пусть $X\subset \C^n$
Воспользуемся лемммой Нетер доказанной выше, сделаем линейную замену координат,
и {\бф \пурпле добьемся, чтобы проекция $\Pi_k:\; \C^n \arrow \C^k$,
была конечна.}

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $z$ -- линейная комбинация
координат $z_{k+1}, ..., z_n$, которая примитивна, то есть
порождает расширение $k(X)$ над $\C(z_1, ..., z_k)$.
{\бф \пурпле Тогда проекция $X$ на $z_1, ..., z_k,z$ конечна и индуцирует
изоморфизм полей частных.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Существование гладких точек}

\следствие
{\бф \ред Каждое аффинное многообразие $X$ содержит
гладкие точки.}

\дшаг
Поскольку множество гладких точек открыто,
достаточно доказать теорему, когда $X$ неприводимо. 

{\бф \греен Шаг 2:} Применим утверждение леммы Нетер,
получим бирациональную и конечную проекцию 
$\phi:\; X \arrow X'$, где $X'$ -- множество общих
нулей унитарного многочлена $P(t)$. Поскольку $\phi$ --
изоморфизм вне какого-то дивизора, {\бф \пурпле достаточно
доказать, что общая точка в $X'$ гладкая}, или,
что эквивалентно -- что $X'$ содержит гладкие точки.

{\бф \греен Шаг 3:} Поскольку $X'$ есть множество
нулей $P(t)$, чтобы найти на нем гладкую точку,
достаточно убедиться, что $X'$ не лежит в множестве
критических точек $P$. 

{\бф \греен Шаг 4:} Поскольку $X'$ неприводимо,
можно считать, что $P(t)$ неприводим как многочлен от $t$.
Тогда $\frac{dP(t)}{dt}$ не имеет общих делителей с $P(t)$,
значит, эта функция ненулевая на каких-то решениях
$P(t)=0$. {\бф \ред В этих точках $P$ регулярно.}
\ендпрооф




\end{document}


