


\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig,
  russcorr, russlh, wrapfig}
%,wasysym}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}


\def\wrappedimage#1#2#3{\par%
\begin{wrapfigure}{#1}{#2}%
\epsfig{file=#3,width=#2}%
\end{wrapfigure}\par%
}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small  Алгебраическая геометрия, 
матфак ВШЭ, осень 2011 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Алгебраическая геометрия, \\[15mm]
\small лекция 1: алгебраические множества и алгебраические морфизмы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf Матфак ВШЭ, Москва
\\[2mm] 2 сентября 2011
}
\end{center}

\newpage

\newcommand{\Ob}{\operatorname{{\cal O}b}}
\newcommand{\Mor}{\operatorname{{\cal M}or}}

{\bf \blue Алгебраические множества и алгебраические отображения}

\определение
Пусть $A$ -- подмножество $\C^n$, заданное
как множество общих решений системы полиномиальных
уравнений $P_1(z_1, ..., z_n)=P_2(z_1, ..., z_n)= ... = P_k(z_1, ..., z_n)=0$,
где $P_i(z_1, ..., z_n)\in\C[z_1, ..., z_n]$ -- полиномы.
Такое $A$ называется {\бф\блуе алгебраическим подмножеством в $\C^n$}.

\определение
Функция вида 
\[ \phi(z_1, ..., z_n)=\frac{P(z_1, ..., z_n)}{Q(z_1, ..., z_n)},
\]
где $P, Q\in \C[z_1, ..., z_n]$, называется
{\бф \блуе рациональной функцией на $\C^n$.}
Разделив на общие делители, можно всегда предполагать,
что полиномы $P$ и $Q$ взаимно просты. Тогда множество
нулей $Q$ называется {\бф \блуе дивизором полюсов}
(или просто {\бф \блуе множеством полюсов})
функции $\phi$.

\определение
Пусть $A$, $A'\subset \C^n$ -- алгебраические множества.
{\бф \блуе Алгебраическое отображение} $\phi:\; A \arrow A'$
есть отображение из $A$ в $A'$, которое задано в координатах
набором рациональных функций $\phi_1, ..., \phi_n$, причем
полюса рациональных функций $\phi_i=\frac{P_i}{Q_i}$
не пересекают $A$. {\бф \блуе Алгебраическая функция}
на $A$ есть алгебраическое отображение $A \arrow \C$. 

\newpage

{\bf \blue Свойства алгебраических множеств}

\замечание В самом грубом приближении,
{\бф \пурпле алгебраическая геометрия занимается
алгебраическими множествами и алгебраическими
отображениями.}

\упражнение
Проверьте, что {\бф \блуе конечные пересечения и объединения
алгебраических подмножеств снова алгебраичны.} Верно
ли это для дополнений?

\замечание 
Легко видеть, что {\бф \пурпле любая алгебраическая
функция комплексно дифференцируема} (синонимы:
голоморфна, комплексно-аналитична). 

\упражнение
Постройте голоморфную функцию на $\C$, которая
не алгебраична. Докажите ее неалгебраичность.

{\бф \греен ПРОБЛЕМА:} {\бф \ред Наше определение
зависит от координат!}

{\бф \греен РЕШЕНИЕ:} Воспользуемся теорией категорий.




\newpage

{\bf \blue Определение категории}

{\bf \green Определение:} {\bf \blue
 Категорией} $\cac$ называется набор данных ("объектов
категории", "морфизмов между объектами" и так далее), 
удовлетворяющих аксиомам, приведенным ниже.

{\bf \purple ДАННЫЕ.}\\
{\bf \red Объекты:} Множество $\Ob(\cac)$ {\bf \blue объектов} $\cac$
(иногда рассматривают не множество, а {\green класс}
$\Ob(\cac)$, который может и не быть множеством, например,
класс всех множеств, или класс всех линейных пространств).

{\bf \red Морфизмы:} Для любых $X, Y \in \Ob(\cac)$, задано
множество $\Mor(X,Y)$ {\bf \blue морфизмов} из $X$ в $Y$.

{\bf \red Композиция морфизмов:} Если
$\phi\in \Mor(X,Y), \psi \in \Mor(Y,Z)$, 
задан морфизм $\phi\circ \psi \in \Mor(X, Z)$,
который называется {\bf\blue композицией морфизмов}.

{\bf \red Тождественный морфизм:} Для каждого $A\in \Ob(\cac)$
задан морфизм $\Id_A \in \Mor(A,A)$.

\newpage

{\bf \blue Определение категории (продолжение)}

{\bf \purple Эти данные удовлетворяют следующим аксиомам.}

{\bf \red Ассоциативность композиции:}
$\phi_1\circ(\phi_2\circ\phi_3)=(\phi_1\circ\phi_2)\circ\phi_3$.

{\bf \red Свойства тождественного морфизма:}
Для любого морфизма $\phi\in \Mor(X,Y)$,
$\Id_x\circ \phi = \phi = \phi\circ \Id_Y$


{\bf \green Определение:}
Пусть $X, Y\in \Ob(\cac)$ -- объекты категории $\cac$.
Морфизм $\phi\in \Mor(X,Y)$ называется {\bf \blue  изоморфизмом},
если существует $\psi\in \Mor(Y,X)$ такой, что
$\phi \circ \psi = \Id_X$ и $\psi\circ\phi = \Id_Y$.
В таком случае, объекты $X$ и $Y$ называются
{\bf \blue  изоморфными}.


{\bf \green Примеры категорий:}\\
{\bf \purple Категория множеств} \\(морфизмы --
произвольные отображения), \\{\bf \purple категория линейных пространств} \\
(морфизмы -- линейные отображения), \\{\bf \purple  категории колец,
полей, групп}\\ (морфизмы -- гомоморфизмы),\\ {\bf \purple категория
топологических пространств}\\ (морфизмы -- непрерывные
отображения).

\newpage

{\bf \blue Le Bourgeois gentilhomme}

\wrappedimage{r}{10em}{Mol_DY_0088_5_frontispice_le_bourgeois_gentilhomme.jpg}
\begin{minipage}[t]{.9\linewidth}
{\small {\бф \греен Monsieur Jourdain.} 
Et comme l'on parle qu'est-ce que c'est donc que cela?\\ 
\ \ \ {\бф \греен Ma\^\i tre de philosophie.}
De la prose.\\ 
    \ \ \ {\бф \греен Monsieur Jourdain.} 
Quoi? quand je dis: <<Nicole, apportez-moi mes
  pantoufles, et me donnez mon bonnet de nuit>>, c'est de
la prose?\\ 
 \ \ \ {\бф \греен Ma\^\i tre de philosophie.}
Oui, Monsieur.\\
      \ \ \ {\бф \греен Monsieur Jourdain.} 
Par ma foi! il y a plus de quarante ans que je dis de la
prose sans que j'en susse rien, et je vous suis le plus
oblig\'e du monde de m'avoir appris cela. 
\\

\centerline{* * * }

{\бф \греен Г-н  Журден.}  А  когда  мы разговариваем, это что же такое
будет?\\  
\ \ \    {\бф \греен Учитель философии.} Проза.\\  
\ \ \ {\бф \греен Г-н  Журден.} Что? Когда  я  говорю:  "Николь,  принеси  мне
туфли и ночной колпак", это проза?\\  
\ \ \    {\бф \греен Учитель философии.} Да, сударь. \\ 
 \ \ \ {\бф \греен Г-н  Журден.} {\бф \ред
Честное слово, я и не подозревал, что вот уже
более сорока  лет  говорю  прозой.}  Большое  вам  спасибо,  что
сказали. }
\end{minipage}

\newpage

{\бф \блуе Аффинные многообразия}

{\бф \пурпле Избавляемся от зависимости от координат.}

\определение
{\бф \блуе Категория аффинных многообразий}
есть категория, объекты которой суть алгебраические
подмножества в $\C^n$, а морфизмы -- алгебраические
отображения.

\упражнение {\бф \пурпле Проверьте, что это категория.}

\определение
{\бф \блуе Аффинное многообразие} над $\C$ есть 
алгебраическое подмножество в $\C^n$, заданное с точностью 
до изоморфизма (то есть {\бф \ред без фиксированных
координат}).

\newpage

{\бф \блуе Квазиаффинные многообразия}

\определение
Пусть $A$ -- дополнение алгебраического подмножества в
$\C^n$ до алгебраического подмножества. Такое подмножество
называется {\бф \блуе квазиаффинным}.

\определение
{\бф \блуе Алгебраическая
функция} на квазиаффинном множестве $A$ 
есть рациональная функция
вида $\frac P Q$, где $P, Q\in \C[z_1, ..., z_n]$
взаимно простые полиномы, а полюса $Q$ не пересекают $A$.

\определение
{\бф \блуе Алгебраическое отображение}
квазиаффинных многообразий $A, A'\subset \C^n$ 
есть отображение $\phi:\; A \arrow A'$,
заданное в координатах набором из $n$
алгебраических функций.

\определение
{\бф \блуе Категория квазиаффинных многообразий}
есть категория, объекты которой суть 
квазиаффинные многообразия, а морфизмы -- алгебраические
отображения. {\бф \блуе Квазиаффинное многообразие}
есть объект этой категории, с точностью  
до изоморфизма (то есть {\бф \ред без фиксированных
координат}).


\newpage

{\бф \блуе 
Алгебраические функции на $\C^n \backslash 0$.}

{\бф \греен Основная теорема алгебры:}\\
{\бф \ред Любой непостоянный полином $P\in \C[t]$
имеет корни над $\C$.}

\упражнение
Вспомните как можно больше доказательств.


\утверждение
Любая алгебраическая функция 
$\phi:\;\C^n \backslash 0\arrow \C$ на 
квазиаффинном множестве $\C^n \backslash 0$, $n>1$,
{\бф \ред задается полиномом} \\ $\underline \phi\in \C[z_1, ..., z_n]$.

\доказательство
По определению, $\phi=\frac P Q$, причем 
множество нулей $Q$ содержится в $\{0\}$.
Коль скоро $Q$ нигде не равно нулю на прямых,
не проходящих через 0, {\bf \purple $Q$ постоянна на всех
таких прямых,} а значит, и на $\C^n \backslash 0$.
\endproof 

\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле любая алгебраическая функция
на дополнении $\C^n$ к конечному объединению
подпространств коразмерности $>1$ полиномиальна.}


\определение
{\бф \блуе Дивизор} в квазиаффинном многообразии
есть множество нулей алгебраической функции $f$ на $A$.


\newpage

{\бф \блуе 
Аффинность некоторых квазиаффинных многообразий}

\определение
Квазиаффинное многообразие называется {\бф \блуе аффинным},
если оно изоморфно аффинному.

\утверждение
Пусть $A$ -- аффинное многообразие, $f$ -- алгебраическая
функция на $A$, а $D(f)$ -- соответствующий дивизор. Тогда
{\бф \ред квазиаффинное многообразие $A \backslash D(f)$ аффинно.}



\доказательство Пусть $A$ изоморфно аффинному подмножеству
$A\subset \C^n$, заданному системой полиномиальных
уравнений $\{P_i(z_1, ..., z_n)=0\}$. Рассмотрим отображение 
$A \backslash D(f)\stackrel \Psi \arrow \C^{n+1}$, переводящее
точку $a\in A \backslash D(f)\in \C^n$ в $\left(a, \frac 1 {f(a)}\right)$.

\wrappedimage{r}{8em}{Wag_16-5_hyperbola_graph.jpg}
1. Докажите, что образ
 $A \backslash D(f)$ в $\C^n$ {\бф \пурпле \mbox{задается~уравнениями }
$\{P_i(z_1, ..., z_n)=0, z_{n+1}f(z_1, ..., z_n)=1.\}$}

2. Докажите, что {\бф \пурпле $\Psi$ -- изоморфизм.}
\endproof


\newpage

{\бф \блуе 
Неаффинность некоторых квазиаффинных многообразий}


\теорема
{\bf \red Квазиаффинное многообразие $\C^n \backslash 0$ не аффинно,}
для любого $n>1$.

{\bf \green Доказательство. Шаг 1:}
Пусть $A$ -- аффинное подмногообразие. {\бф \пурпле Тогда его пересечение
с любым шаром $B_R:= \{z\in \C^n \ \ | \ \ |z| \leq R\}$
компактно.}

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $A$ -- алгебраическое подмножество $\C^n$,
$\{a_i\}$ -- последовательность точек $A$, не имеющих предельных 
точек в $A$ (такая последовательность называется {\бф \блуе дискретной}).
{\бф \пурпле Тогда $\lim_i |a_i|= \infty$} (следует из шага 1).

{\бф \греен Шаг 3:} Пусть $A$ -- алгебраическое подмножество $\C^n$,
а $\{a_i\}$ -- дискретная последовательность. {\бф \пурпле Тогда 
существует алгебраическая функция $f$, для которой
последовательность $|f(a_i)|$ не ограниченна.} В самом деле,
$|a_i|^2 = \sum_{j=1}^n |z_j(a_i)|^2$, где $z_j$ --- координатные
функции. Если $|z_j(a_i)|<C$, то $|a_i|^2 < n C^2$.


\newpage

{\бф \блуе 
Неаффинность $\C^n \backslash 0$ (продолжение)}



{\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\{a_i\} \subset \C^n \backslash 0$ --
последовательность, сходящаяся к 0. Поскольку все алгебраические
функции на $\C^n \backslash 0$ полиномиальны, они непрерывны в 0.
Поэтому $\lim_i f(a_i)$ определен для любой алгебраической
функции. {\бф \пурпле В частности, $|f(a_i)|< C$, для какой-то константы
$C$, не зависящей от $i$.}

{\бф \греен Шаг 5:} Последовательность $\{a_i\}$ из шага 4
не имеет предельных точек в $A=\C^n \backslash 0$. Поэтому,
{\бф \пурпле если $A$ аффинно, то для какой-то алгебраической функции
последовательность $|f(a_i)|$ не ограниченна} (шаг 3).
{\бф \ред Это невозможно в силу шага 4.} Значит, $A$ не аффинно.
\ендпрооф

{\бф \греен Наблюдение:} Ключевой момент доказательства --
то, что {\бф \пурпле кольца алгебраических функций на
$\C^n$ и $\C^n \backslash 0$ изоморфны.}

{\бф \греен Философия:} Оказывается,
{\бф \блуе аффинное многообразие однозначно 
задается своим кольцом функций}. Это -- важнейшая
идея алгебраической геометрии.




\newpage

{\бф \блуе Лемма Цорна}

Пусть $(S, \prec)$ -- частично упорядоченное
множество. Элемент $x\in S$ называется
{\bf\blue максимальным}, если не существует $y\in S$ с $x\prec y$.
Для подмножества $S_1\subset S$ и $x\in S$, 
мы пишем $S_1 \preccurlyeq x$, если для каждого
$\xi \in S_1$ имеем $\xi \preccurlyeq x$.


{\bf \green Лемма Цорна} Пусть $(S, \prec)$  -- частично упорядоченное
множество, причем для любого вполне упорядоченного 
подмножества $S_1\subset S$ найдется элемент $\xi\in S$
такой, что $S_1 \preccurlyeq \xi$. {\bf \red Тогда в $S$ найдется максимальный
элемент.}

\упражнение
Изучите вывод леммы Цорна из аксиомы выбора.


\newpage

{\бф \блуе Идеалы в кольцах}

{\бф \ред Все кольца предполагаются коммутативными и с единицей}.

\определение
{\бф \блуе Идеал} $I$ в кольце $R$ есть подмножество $I\subsetneq R$,
замкнутое относительно сложения, и такое, что
для любого $a\in I, f \in R$, произведение
$fa$ лежит в $I$.

\замечание
Факторгруппа $R/I$ снабжена естественной структурой кольца
(называется {\бф \блуе факторкольцо}).

\определение
{\бф \блуе Максимальный идеал} есть идеал $I\subset R$
в кольце $R$, такой, что для любого идеала $I'\supset I$
имеет место $I'=I$.

\упражнение
Пусть $a\in R$ -- элемент кольца, который не обратим.
Докажите, что {\бф \пурпле  $a$ содержится в каком-то идеале $R$.}

Из этого утверждения выводится следующее.

\упражнение
Докажите, что {\бф \ред идеал $I$ максимален тогда и только тогда,
когда $R/I$ -- поле.} 

\newpage

{\бф \блуе Существование максимальных идеалов}

\теорема
Пусть $I\subset R$ -- идеал в кольце.
{\бф \ред Тогда $I$ содержится в максимальном идеале.}

\доказательство
Применим лемму Цорна к множеству всех идеалов,
упорядоченному по вложению. \ендпрооф

{\бф \греен Упражнение (довольно нетривиальное):}
Выведите лемму Цорна из теоремы о существовании
максимальных идеалов. 

\утверждение
Пусть $A$ -- аффинное многообразие, а $\calo_A$ --
кольцо алгебраических функций на $A$. Для каждого
подмножества $Z\subset A$ рассмотрим идеал
$I_Z$ функций, которые зануляются в $Z$.
{\бф \ред
Тогда $I_{a}$ -- максимальный для любой точки $a\in A$.}

\доказательство
Для любой функции $f\in \calo_A$, функция $f-f(a)$ лежит в
$I_a$, значит, {\бф \пурпле фактор $\calo_A/I_a$ изоморфен $\C$.}
\ендпрооф

\определение
Идеал $I_a$ называется {\бф \блуе идеалом точки $a\in A$.}


\newpage

{\бф \блуе Hilbert's Nullstellensatz}

{\бф \блуе Теорема Гильберта о нулях}
Пусть $A$ -- аффинное многообразие, а $\calo_A$ --
кольцо полиномиальных функций на $A$. Тогда
{\бф \ред любой максимальный идеал в $\calo_A$
равен $I_a$,} для какой-то точки $a\in A$.

Доказательство основано на следующей 
линейно-алгебраической идее.

\определение
{\бф \блуе Базис Коши-Гамеля} в векторном
пространстве $V$  есть максимальный
набор линейно независимых векторов $V$.

\упражнение
{\бф \пурпле 
Базис Коши-Гамеля всегда существует} (выведите это 
из леммы Цорна).

\упражнение
Докажите, что {\бф \ред любые два базиса Коши-Гамеля равномощны.}

\определение
Векторное пространство называется
{\бф \блуе счетномерным}, если у него
есть счетный базис Коши-Гамеля, и {\бф \блуе 
несчетномерным,}
если оно бесконечномерно и у него нет такого базиса.



\newpage

{\бф \блуе Hilbert's Nullstellensatz: доказательство}



{\бф \греен Доказательство теоремы Гильберта. Шаг 1:} Для
идеала $I\subset \calo_A$, обозначим 
за $V(I)$ множество общих нулей всех 
$f\in I$, то есть
\[
V(I):= \{a\in A \ \ |\ \ \forall f\in I, f(a)=0\}.
\]
Если $V(I)$ содержит $a\in A$, то 
$I\subset I_a$. Значит, для любого максимального
идеала $I\subset A$, множество $V(I)$ пусто, 
либо состоит из одной точки.
{\бф \пурпле Для доказательство теоремы Гильберта 
о нулях достаточно доказать, что $V(I)$ непусто
для любого максимального идеала}.

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $I$ -- максимальный идеал.
Тогда $k= \calo_A/I$ -- поле, содержащее поле $\C$ (констант).
Поскольку $\C$ алгебраически замкнуто, 
{\бф \пурпле 
любой элемент $t \in k \backslash \C$ трансцендентен.}.
Это значит, что $\C=k$, либо $k\supset \C(t)$, где
$\C(t)$ обозначает поле рациональных функций.

{\бф \греен Шаг 3:} Поскольку кольцо $\calo_A$ порождено
координатными мономами, оно счетномерно как векторное
пространство над $\C$. То же верно и в отношении
$k= \calo_A/I$.

\newpage

{\бф \блуе Hilbert's Nullstellensatz: продолжение доказательства}


{\бф \греен Шаг 4:} 
Для любого набора $a_1, ..., a_k\in \C$
попарно различных точек, {\bf \пурпле рациональные функции
$\left \{\frac 1 {t-a_i}\right\}\in \C(t)$ линейно независимы над $\C$.}
В самом деле, если $\sum_{i=1}^k \frac {\lambda_i}{t-a_i}=0$,
то 
\[
\frac{\sum_{i=1}^k \lambda_i (t-a_1) (t-a_2) \dots 
\widehat{(t-a_i)} \dots (t-a_n)}{(\prod_{i=1}^k(t-a_i))}=0.
\]
(значком $\widehat{(t-a_i)}$ помечен выкинутый из произведения
сомножитель), то есть 
\[
P(t):= \sum_{i=1}^k \lambda_i (t-a_1) (t-a_2) \dots 
\widehat{(t-a_i)} \dots (t-a_n)=0.
\]
Но $P(a_1)= \lambda_1(a_1-a_2)(a_1-a_3)\dots (a_1-a_n)\neq 0.$

{\бф \греен Шаг 5:}
Поскольку все $\frac 1 {t-a}$, $a\in C$, линейно независимы,
$\C(t)$ {\бф \ред несчетномерно}. 

{\бф \греен Шаг 6:} В силу шага 2, $k= \calo_A/I$
равно $\C$ либо содержит $\C(t)$, а в силу шага
 5, $\C(t)$ несчетномерно. Это противоречит шагу 3,
где доказано, что $k$ счетномерно. Поэтому $k=\C$.

\newpage

{\бф \блуе Hilbert's Nullstellensatz: окончание}

{\бф \греен Шаг 7:} Пусть $A\subset \C^n$, а $z_1, .., z_n$ -- координатные
функции. Рассмотрим $\C$-линейный гомоморфизм 
$\phi:\; \calo_A\arrow \calo_A/I=\C$, построенный выше. 
Пусть $a:=(\phi(z_1), \phi(z_2), ..., \phi(z_n))\in \C^n$.
Если $P(z_1, ..., z_n)\in I$, то 
\[ 0=\phi(P)= 
    P(\phi(z_1), \phi(z_2), ..., \phi(z_n))=P(a).
\]
Следовательно, {\бф \пурпле все функции $P\in I$ зануляются в $a$.}

{\бф \греен Шаг 8:} Пусть $I_A$ -- идеал всех
полиномов, зануляющихся на $A$. Поскольку $I\supset I_A$,
любой полином, который зануляется в $A$,
зануляется и в $a$. Поскольку $A$ задано системой полиномиальных уравнений,
$a\in A$. {\бф \ред Мы получили, что  $I$ совпадает с $I_a$}.
\ендпрооф


{\бф\греен Другое доказательство того, что $A:=\C^n\backslash 0$, $n>1$
не аффинно.}

{\бф \греен Шаг 1:} Возьмем в $\calo_A=\C[z_1, ..., z_n]$
идеал всех функций, зануляющихся в 0. {\бф \пурпле Он максимален.}

{\бф \греен Шаг 2:} Эти функции не имеют общих нулей в $A$, что
 противоречит теореме Гильберта о нулях. Значит, 
{\бф \ред $A$ не аффинно.} \ендпрооф
\end{document}
