\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 09.10.2011
% версия 1.1, 12.10.2011, добавил список студентов и обновил условия

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   12.10.2011}

\begin{document}

\listok{1}{Алгебраическая геометрия, контрольная 1
(к листкам 1-3)}
\lhead{\small Алгебраическая геометрия, контрольная 1 1}

{\scriptsize
Каждому студенту выдается
по $(3+t)$ задачи, где $t=[(40-b)/10]$,
а $b$ - суммарное количество баллов, по
состоянию на 7-го октября
(за листки и первое домашнее задание).
Число очков за контрольную вычисляется по формуле
$\left[10\frac s t-\frac 2 3 
\max\left(\frac s t,1\right)\right]$, где $s$ -- число успешно решенных 
задач, $t$ -- число задач, которые надо
сдать данному студенту (см. список в конце этого
задания). Решение письменное, сдается до 14:00 пятницы, 14-го
октября. На каждой сданной работе должна быть пометка, подписанная
экзаменатором, следующего содержания: фамилия, имя,
курс, какие задачи получены.

Суммарное число баллов, набранное каждым студентом
к 7-му октября, доступно на страничке курса,\\
{\tt http://bogomolov-lab.ru/KURSY/AG-2011/}

Успешно учащиеся студенты должны получать
по 10 баллов в неделю, во избежание
пересдач и других эксцессов.
}

\subsection{Задачи к листку 1}

\задача
Обозначим за $\omega_1$ наименьший несчетный ординал.
Докажите, что произведение $\omega_1 \times \omega_1$
равномощно $\omega_1$.
\ез

\задача
Пусть $P\in \C[z_1, ..., z_n]$ - полином,
такой, что множество нулей $P$ содержится 
в компактном подмножестве $S\subset \C^n$.
Докажите, что $P=\mathop{\sf const}$.
\ез

\def\cac{{\cal C}}

\задача
Пусть $R$ -- кольцо главных идеалов
(такое кольцо, что все идеалы в нем -- {\бф главные},
т.е. порождены одним элементом). Пусть в $R$ нет делителей
нуля. Докажите, что
любой ненулевой простой идеал в $R$ -- максимальный.
\ез

\задача
Пусть $R$ -- конечно-порожденное кольцо над $\C$ без нильпотентов.
Докажите, что пересечение всех максимальных идеалов $R$ равно 0.
\ез

% Седьмая задача для тех, кто вообще не сдавал
\задача
Пусть $R$ -- кольцо, конечномерное как векторное
пространство над $\C$.
Докажите, что в $R$ есть только конечное число
различных идеалов.
\ез

\subsection{Задачи к листку 2}

\задача
Пусть $\cac_1$ -- категория всех представлений
$\Z/2\Z$ (конечномерных и бесконечномерных) над $\C$,
а $\cac_2$ -- категория всех представлений $\Z/6\Z$.
Эквивалентны ли категории $\cac_1$ и $\cac_2$?
\ез

\задача
Пусть $\cac_1$ -- категория конечномерных представлений
$\Z/2\Z\oplus \Z/2\Z$ над $\C$, а $\cac_2$ -- категория всех
конечномерных представлений $\Z/4\Z$ над $\C$. 
Эквивалентны ли категории $\cac_1$ и $\cac_2$?
\ез

\задача
Пусть $\cac_1$ -- категория конечномерных представлений
$\Z/2\Z\oplus \Z/2\Z$ над $\Q$, а $\cac_2$ -- категория всех
конечномерных представлений $\Z/4\Z$ над $\Q$. 
Эквивалентны ли категории $\cac_1$ и $\cac_2$?
\ез

\задача
Докажите, что следующие категории $\cac_1$  и $\cac_2$ эквивалентны:
категория $\cac_1$ модулей над кольцом
$\C[x,x^{-1},y,y^{-1}]$,
и категория $\cac_2$ представлений группы
$\Z\oplus \Z$.
\ез

\задача
Пусть $\cac_i$ -- категории конечномерных
векторных пространств над полем
$k_i$, $i=1,2$. Могут ли они быть эквивалентны, если
$k_1=\C$, а $k_2=\R$?
\ез

\задача
Докажите, что категория конечных
групп не эквивалентна категории 
конечных абелевых групп.
\ез


\subsection{Задачи к листку 3}

\задача
Пусть $M$ -- нетерово топологическое пространство,
а $R$ -- кольцо непрерывных функций
на $M$ со значением в ${\Bbb F}_2$. Докажите, что $R$
нетерово.
\ез

\задача
Докажите, что кольцо формальных рядов $\C[[t]]$ нетерово.
\ез

\определение
Пусть $S\subset R$ -- подмножество кольца $R$,
замкнутое относительно умножения, и не содержащее 0.
{\бф Локализацией} кольца $R$ по $S$ называется
кольцо, формально порожденное элементами вида
$a/F$, где $a\in R$, $F\in S$ и с соотношениями
$a/F \cdot b/G= ab/FG$,
 $a/F + b/G= \frac {a G + bF}{FG}$
и $aF^k/F^{k+n}=a/F^n$.
\ео

\задача
Докажите, что локализация нетерова кольца всегда нетерова.
\ез

\задача
Пусть $S\subset \C[t]$ -- множество всех ненулевых многочленов
с целыми коэффициентами. Докажите, что локализация
$\C[t]$ по $S$ не конечно порождена над $\C$.
\ез

\задача
Докажите, что $\C[[t]]$ не конечно порождено над $\C$
\ез

\задача Пусть $S\subset \C[t]$ -- множество, 
порожденное произведениями многочленов
вида $t, (t+1), (t+2), ..., (t+n)$. Докажите,
что локализация $\C[t]$ по $S$ конечно порождена.
\ез

{\scriptsize 
\subsection*{Список студентов с ненулевым количеством баллов}

Все студенты, которых нет в этом списке,
получают по 7 задач (6 задач выдаются
экзаменатором, седьмая задача - 1.5).

Остальные студенты получают по 6 задач, а для
10 баллов за контрольную им надо решить $3+t$ задачи, где 
$t=\max(0,[(40-b)/10])$,
а $b$ - суммарное количество баллов 7-го октября.

Вот список.

\begin{description}
\item[3 задачи:] Абрикосов, Кубрак, Монин, Нечаев, Плосконосов, Попов, 
П. Пушкарь, Щедрина, Толмачев.
\item[4 задачи:] Дурьев, Пащевская.
\item[5 задач:] Вербицкий, Малиновская.
\item[6 задач:]  Благов, Ганиев, Егоров, Завалин, Зарифьян, Клименко, 
Колосов, Кулешов, Розанов, Рябичев, Соломатин, Ступаков, Суханов,
Цвелиховский.
\end{description}
}

\end{document}
