\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 14.12.2011
% version 1.1, 15.12.2011, одну задачу поменял (не надо им про теорему Сарда)


\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   16.12.2011}

\begin{document}

\listok{1}{Алгебраическая геометрия, экзамен (осенний семестр, 2011)}
\lhead{\small Алгебраическая геометрия, экзамен}
\rfoot{\scriptsize задачи к экзамену, \version}

{\scriptsize
Каждому студенту выдается
по 8 задач (по 2 из каждого раздела, случайно). Надо решить из них 5.
Оценка за экзамен вычисляется по формуле
$b=\min(6s,30)$, где $s$ -- число сданных задач.
Можно пользоваться литературой, в том числе
материалами курса, но надо владеть доказательством 
всех используемых результатов, и уметь его рассказать
по требованию экзаминатора. Все кольца предполагаются
конечно-порожденными и над $\C$, если не оговорено 
противного.
Для сдавших первый модуль, зачет за 
курс (и за второй модуль) ставится
студентам, получившим за семестр (листочки, 
контрольные, экзамен) суммарно 90 баллов.
{\bf Прошу прислать мне отсканированные ведомости
за листки 4-6, 7-9, 10-11 емэйлом до 28-го декабря},
на адрес {\tt verbit[at]verbit.ru}.
Отметьте, сколько вам баллов причитается, по вашему
мнению, за каждый из листков. Если вы пересдавали 
первый модуль, пришлите также скан ведомости за листки 1-3.
}

\subsection{Аффинные многообразия и теорема Гильберта о нулях}

\задача
Пусть $I\subset \C[t_1,..., t_n]$ -- идеал, такой,
что множество общих нулей $I$ конечно. Докажите, что
$\C[t_1,..., t_n]/I$ конечномерно над $\C$.
\ез

\задача
Пусть $P(t_1, ..., t_n) \in \R[t_1,..., t_n]$.
Докажите, что у уравнения $P(t_1, ..., t_n)=0$
есть решения в $\R^n$ тогда и только тогда, когда
в кольце $A:=\R[t_1,..., t_n]/(P)$ есть максимальный
идеал $I$ такой, что $A/I$ изоморфно $\R$.
\ез


\задача
Пусть $A=\R[t]$, а $X$ -- его максимальный
спектр, наделенный топологией Зариского.
Постройте гомеоморфизм между $X$ и 
максимальным спектром $\C[t]$.
\ез

\задача
Докажите, что для любого $d\in \Z^{>0}$,
найдется неприводимый полином степени $d$ 
$P\in \C[x,y]$, такой, что $P(x,y)=0$ задает
гладкое подмногообразие в $\C^2$.
\ез

%\задача
%Пусть $P\in \C[x,y]$ -- неприводимый полином
%степени 3. Докажите, что $P(x,y)+C=0$ задает
%гладкое подмногообразие в $\C^2$ для какой-то 
%константы $C\in \C$.
%\ез

\задача
Пусть $X\subsetneq \C^2\subset \C^3$ -- неприводимое аффинное
подмножество, а $f:\; \C^3 \backslash X \arrow \C$
регулярная функция на дополнении к $X$. Докажите, что
$f$ полиномиальная.
\ез

%\задача
%Пусть $f$ -- непрерывная рациональная функция
%на $\C^n$. Докажите, что $f$  -- полином.
%\ез


\задача
Пусть $A$ -- кольцо непрерывных комплекснозначных
функций на компактном топологическом пространстве,
а $I\subset A$ -- нетривиальный идеал.
Докажите, что у функций из $I$ есть общие нули.
\ез


\определение
{\бф Булево кольцо} есть кольцо такое, что все его элементы - идемпотенты.
\ео

\задача
Докажите, что в булевом кольце
выполнено соотношение $2x=0$ для любого $x$,
а его максимальный спектр - хаусдорфово топологическое
пространство.
\ез

\задача
Рассмотрим идеал $J\subset \C[x,y,z]$,
порожденный $(yz,xz,xy)$. 
Найдите $k>0$ такое, что  $x^k\in J$,
или докажите, что такого $k$ нет.
\ез


%\задача
%Пусть $f,g\in \C[x,y]$ -- взаимно простые неприводимые полиномы,
%а $J=\langle f,g\rangle$ порожденный
%ими идеал. Докажите, что $\C[x,y]/J$ конечномерно над
%$\C$.
%\ез




\subsection{Нетеровы кольца}

\замечание
В этом разделе кольца не предполагаются по умолчанию 
конечно-порожденными или нетеровыми.
\еза

\задача
Найдите кольцо $A$, такое, что для любого идеала $I\subset A$ 
имеем $\bigcap_n I^n=0$, но $A$ не нетерово.
\ез

\задача
Верно ли, что любое подкольцо нетерова кольца нетерово?
\ез

\задача
Верно ли, что любое факторкольцо нетерова кольца нетерово?
\ез

\определение
{\бф Свободный} $A$-модуль есть $A^n=\bigoplus^n A$.
\ео

\определение
$A$-модуль {\бф конечно представим},
если он изоморфен фактору свободного модуля по 
конечно-порожденному подмодулю.
\ео

\задача
Пусть $0\arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ --
точная последовательность $A$-модулей, причем $M_1$
и $M_2$ конечно-представимы. Докажите, что $M_3$ тоже
конечно представим.
\ез

\задача
Пусть $0\arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ --
точная последовательность $A$-модулей, причем $M_1$
и $M_3$ конечно-представимы. Докажите, что $M_2$ тоже
конечно представим.
\ез


\определение
{\бф Кручение} в $A$-модуле
есть ядро естественного отображения
$M \arrow M \otimes_A k(A)$.
\ео

\задача
Пусть $M$ -- нетеров модуль без кручения над кольцом
$A$ без делителей нуля. Докажите, что $A$ тоже нетерово. 
\ез

\определение
Простой идеал называется {\бф минимальным},
если он не содержит других простых идеалов, кроме себя.
\ео

\задача
Пусть $A$ -- конечно-порожденное кольцо над $\C$.
Докажите, что число минимальных простых идеалов
в $A$ конечно.
\ез

%\определение 
%Пусть $G$ -- конечная группа, действующая
%автоморфизмами на аффинном многообразии $A$.
%Обозначим $\Spec(\calo_A^G)$ за $A/G$.
%Это многообразие называется {\бф факторпространством
%$A$ по действию $G$}.
%\ео
%
%
%\задача
%Пусть $G$ -- группа диагональных матриц $n$ на $n$,
%с собственными значениями, удовлетворяющими $\xi^d=1$,
%где $d$ -- фиксированное целое число. Докажите,
%что факторпространство $\C^n/G$ гладко.
%\ез

%\задача
%Пусть $A$ -- кольцо без делителей нуля, причем
%любая убывающая цепочка идеалов в $A$ стабилизируется.
%Докажите, что $A$ это поле.
%\ез

\задача
Пусть $M= \Hom_\C(\C[t], \C)$, снабженный
естественной структурой $\C[t]$-модуля.
Будет ли $M$ конечно порожден над $\C[t]$?
\ез

\subsection{Тензорные произведения}

\определение
{\бф Плоский модуль} над кольцом $R$ есть такой $R$-модуль
$M$, что функтор $M_0 \arrow M\otimes_R M_0$ тензорного
домножения на $M$ точен. 
\ео


\задача
Пусть $M$ -- плоский $R$-модуль.
Докажите, что в $M$ нет кручения.
\ез



\задача
Пусть $M_1 \subset M_2 \subset ... $ -- последовательность 
вложенных $R$-модулей. Предположим, что все $M_i$ плоские.
Докажите, что $\bigcup M_i$ тоже плоский.
\ез

%\задача
%Пусть $R$ -- кольцо, снабженное действием
%конечной группы $G$, а $R^G$ -- кольцо
%инвариантов. Докажите, что для любого идеала
%$I\subset R^G$, последовательность
%$0 \arrow I\otimes_{R^G}R \arrow R \arrow R/IR\arrow 0$ точна. 
%\ез

\определение
$R$-модуль $M$ называется {\бф обратимым},
если $M\otimes_R M^*\cong R$, где $M^*=\Hom_R(M,R)$.
\ео

%\определение
%$R$-модуль $M$ называется {\бф проективным},
%если он изоморфен прямому слагаемому свободного
%$R$-модуля.
%\ео

\задача
Докажите, что каждый конечно порожденный,
обратимый $R$-модуль над нетеровым кольцом
допускает вложение в свободный $R$-модуль.
\ез

\задача
Докажите, что обратимые $R$-модули образуют
группу относительного тензорного произведения
(эта группа называется {\бф группой Пикара}).
Найдите группу Пикара для $R=\C[t]$.
\ез

\задача
Пусть $M^n \stackrel \phi\arrow M$ -- сюрьективный гомоморфизм,
причем $M$ обратимый модуль. Докажите, что $\phi$ допускает
{\бф сечение} $\psi:\; M \arrow M^n$, то есть такой
гомоморфизм, что $\phi(\psi(m))=m$ для каждого $m\in M$.
\ез

%\задача
%Пусть $X$ -- гладкое аффинное многообразие размерности
%1, $A:=\calo_X$ его кольцо регулярных функций, а $I\subset A$ --
%максимальный идеал какой-то точки. Докажите, что $I$ обратим
%как $A$-модуль.
%\ез

\задача
Пусть ${\goth p} \subset A$ -- простой идеал.
Докажите, что ${\goth p}[x]$ -- простой идеал в $A[x]$.
\ез

\задача
Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные кольца над $\C$
без делителей нуля. Докажите, что $A \otimes_\C B$
не имеет делителей нуля.
\ез


\задача
Пусть $M$ и $N$ -- конечно-порожденные модули над 
$R=\C[[t]]$, причем $M\otimes_R N=0$. Докажите, что
либо $M=0$, либо $N=0$.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь леммой Накаямы.
\еу


\subsection{Целое замыкание и бирациональные отображения}


\определение
Морфизм аффинных $X \stackrel f \arrow Y$ называется {\бф доминантным},
если $\calo_Y \stackrel{f^*} \arrow \calo_X$ -- вложение,
{\бф конечным}, если $\calo_X$ -- конечно-порожденный $\calo_Y$-модуль,
и {\бф целым}, если он доминантный и конечный.
\ео


\определение
Пусть $K$ -- поле, содержащее $\C$. 
{\бф Трансцендентная размерность} $\dim_{tr}(K)$
есть максимальное число $n$ такое, что
в $K$ найдется $n$ алгебраически независимых
элементов.
\ео

\задача
Пусть $A$ -- кольцо комплексно-аналитических функций
на $\C$, а $k(A)$ -- его поле частных. Докажите, что 
$\dim_{tr}k(A)=\infty$.
\ез

\задача
Пусть $X \subset Y$ -- неприводимые аффиные многообразия.
Докажите, что $\dim_{tr}(X) \leq dim_{tr}(Y)$.
\ез

\задача
Пусть $A$ -- конечно-порожденное кольцо над $\R$,
а $I$ -- максимальный идеал в $A$. Докажите, что 
$A/I$ изоморфно $\R$ или $\C$.
\ез




\задача
Пусть $A$ -- целозамкнутое кольцо без делителей нуля,
$k(A)$ его поле частных, а $[K:k(A)]$
конечное расширение. Для каждого $x\in K$,
рассмотрим умножение на $x$ как элемент 
матричной алгебры $\End_{k(A)}(K)$, и 
пусть $N(x)$ обозначает определитель $x$.
Докажите, что $N(x)\in A$ для любого
элемента $x\in K$, целого над $A$.
\ез

\задача
Пусть $A$ целозамкнутое кольцо, снабженное действием группы
$G$, а $A^G$ -- его кольцо инвариантов. Докажите, что
$A^G$ целозамкнуто.
\ез

\задача
Приведите пример аффинного многообразия $X$ и конечного биективного
морфизма $f:\; X \arrow Y$, не являющегося изоморфизмом.
\ез


\задача
Пусть $X \stackrel f\arrow Y$ -- целый морфизм аффинных многообразий,
 $\alpha\in \calo_Y$, а $f^*\alpha$ обратима. Докажите, что $\alpha$
тоже обратима.
\ез

\задача
Докажите, что не существует доминантного
морфизма из $\C$ в $\C^2$.
\ез


%\задача
%Пусть $A$ - целозамкнутое кольцо.
%Докажите, что $A[t]$ тоже целозамкнуто.
%\ез

\end{document}