\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 01.09.2011

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   01.09.2011}

\begin{document}

\listok{1}{Алгебраическая геометрия, письменное задание 1:
\\ кольца, идеалы, алгебраические отображения}
\lhead{\small Алгебраическая геометрия, письменное задание 1}

Число очков за это задание вычисляется по формуле
$\frac 3 2 s - \max(s-6,0)$, где $s$ -- сумма баллов за задачи.
Можно ссылаться на теоремы из сданного студентом
курса алгебры для ВШЭ, но нужно привести точную 
формулировку теоремы, и сказать, какой именно курс ее
содержал. Кроме того, студент, ссылающийся на какую-то теорему.
берет на себя обязанность рассказать ее доказательство,
по первому требованию.

Решение письменное, сдается до 24:00 пятницы, 2-го 
сентября (можно положить на стол рядом с комнатой 210).
Через неделю будет обсуждение задач, пожалуйста,
будьте готовы рассказать то, что вы нарешали.

Успешно учащиеся студенты должны получать
по 10 баллов в неделю, во избежание
пересдач и других эксцессов.

\задача[2 балла]
Пусть $M$ -- компактное топологическое пространство,
$C^0(M)$ -- кольцо вещественнозначных
непрерывных функций, а $I$ -- максимальный
идеал в $C^0(M)$. Докажите, что $I=I_x$
для какого-то $x\in M$, где $I_x$ -- идеал
всех функций, зануляющихся в $x$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $M=\R$. Постройте в $C^0(M)$ максимальный идеал,
который не имеет такого вида.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $M$ -- топологическое пространство
${\goth S}(M)$ -- множество всех максимальных идеалов
в $C^0(M)$. Для функции $f\in C^0(M)$,
обозначим за $U_f\subset {\goth S}$ подмножество
в ${\goth S}(M)$, состоящее из всех идеалов, не содержащих
$f$. Рассмотрим топологию, открытыми множествами
которой являются $U_f$ и их объединения (такая
топология называется {\бф топологией Зариского}).
Докажите, что ${\goth S}(M)$ компактно.
\ез

\задача[5 баллов] 
Пусть $M=\R$. Будет ли ${\goth S}(M)$ хаусдорфово?
\ез

\задача[3 балла] 
Пусть $A\subset \C^n$ -- алгебраическое подмножество,
а $f= e^{z_1}$ экспонента от координаты $z_1$. Докажите,
что если $f$ алгебраична на $A$, то она 
постоянна на каждой компоненте линейной связности.
\ез

\задача[3 балла] 
Пусть $A\subset \C^n$ -- алгебраическое подмножество,
а $f= \log(z_1)$ -- одна из ветвей логарифма координаты $z_1$. Докажите,
что если $f$ алгебраична на $A$, то она
постоянна на каждой компоненте линейной связности.
\ез


\задача[1 балл]
Пусть $R$ -- кольцо, которое не содержит нильпотентов.
Докажите, что пересечение всех простых идеалов
$R$ равно нулю. 
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $A\subset \C^n$ -- дискретное подмножество,
которое алгебраично. Докажите, что оно конечно.
\ез

\задача[1 балл]
Пусть задан морфизм аффинных подмногообразий в $\C^n$,
который определяет гомеоморфизм. Всегда ли он обратим?
\ез

\определение
Главный идеал есть идеал, порожденный одним элементом.
\ео

\задача[3 балла]
Пусть $R$ -- кольцо функций на окружности $S^1\subset \R^2$, 
полученных ограничением вещественных полиномиальных функций 
на $\R^2$. Все ли идеалы в $R$ главные?
\ез


\end{document}