\documentclass[10pt]{article} \input{listki.tex} % version 1.0, 11.12.2011 % version 1.1, 11.12.2011 - Q-Картье от Саши Кузнецова % version 1.2, 11.12.2011 - Еще несколько (Кузнецов, Шрамов) \pagestyle{fancy} \lhead{\tiny НМУ, осень 2011, спецкурс} \lfoot{\tiny Теория Мори, спецкурс НМУ } \cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny Осень 2011, задачи к экзамену, \version} \rhead{{\tiny Миша Вербицкий}} \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 12.12.2011} \begin{document} \renewcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}} \newcommand{\St}{\operatorname{St}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{\sf Re}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Cl}{\operatorname{{\cal C}\!\ell}} \listok{1}{Теория Мори, осень 2011: \\ задачи для экзамена} \lhead{\small Осень 2011: задачи для экзамена} Чтобы получить зачет по разделу, надо решить не меньше половины задач (по сумме баллов). Оценка экзамена вычисляется по формуле $5-k$, где $k$ -- число несданных разделов. Сдавать задачи устно, но иметь с собой все решения (по всем подлежащим сдаче разделам) в записанном виде, быть готовым отвечать на вопросы. \subsection{Бирациональные отображения (9 баллов)} \определение Дивизор Картье называется {\бф неф} (численно эффективным), если его ограничение на любую кривую неотрицательно. Неф-дивизор $L$ называется {\бф объемным} (big), если старшая степень его класса когомологий положительна. \ео \задача Пусть $X$ -- раздутие $\C P^2$ в 9 точках общего положения. \енум \итем Докажите, что $-K_X$ неф, но не обилен. \итем Докажите, что $-K_X$ эффективен (то есть у этого расслоения есть голоморфное сечение). \итем Пусть $D$ -- дивизор нулей этого сечения. Докажите, что $D$ -- неприводимая кривая. Докажите, что $D$ в $X$ {\бф жестко}, то есть не имеет никаких деформаций. \ее \ез \задача В условиях предыдущей задачи, докажите, что в $X$ есть бесконечно много исключительных кривых, а эффективный конус $\overline{NE}(X)$ не полиэдральный. \ез \задача Пусть $C$ -- неприводимая кривая на гладкой поверхности $X$, а $C^2 \leq 0$. Докажите, что $C$ находится на границе $\overline{NE}(X)$. \ез \def\discr{\operatorname{\sf discr}} \def\codim{\operatorname{\sf codim}} \определение Пусть $f:\;X \arrow Y$ гладкое разрешение особого многообразия $Y$, а $E_1, ..., E_n$ -- исключительные дивизоры. Предположим, что относительный канонический класс $K_{X/Y}:= K_X \otimes f^*K_Y^{-1}$ записывается как $K_{X/Y} = \sum a_i E_i$. Определим {\бф дискрепатность} $\discr(Y)$ как $\inf_X a_i$, где инфимум берется по всем разрешениям. \ео \задача Докажите, что $-1\leq \discr(Y)\leq 1$, либо $\discr(Y)=-\infty$. \ез \задача Найдите проективное многообразие $Y$, для которого $\discr(Y)=-\infty$. \ез \определение Пусть канонический класс $Y$ -- $\Q$-Картье. Многообразие $Y$ имеет {\бф терминальные особенности}, если $\discr(Y)>0$, и {\бф канонические особенности}, если $\discr(Y)\geq 0$. \ео \задача Докажите, что многообразие с терминальными особенностями неособо в коразмерности 2. \ез \задача[2 балла] Пусть $X$ -- гладкая, нормальная поверхность с каноническими особенностями. Докажите, что в окрестности каждой особенности $X$ изоморфна фактору $\C^2/\Gamma$, где $\Gamma$ -- конечная подгруппа в $SU(2)$ \ез \задача Пусть $\phi:\; X \arrow Y$ -- бирациональный рациональный морфизм гладких проективных многообразий, $E_X$ -- исключительное множество $\phi$, а $E_Y$ -- исключительное множество $\phi^{-1}$. Может ли случиться такое, что $\codim E_X\geq 2$ и $\codim E_Y\geq 2$? \ез \subsection{Кривые на многообразиях (8.5 баллов)} \задача[0.5 баллов] Докажите, что любой когерентный пучок без кручения над $\C P^1$ изоморфен прямой сумме линейных расслоений. \ез \определение Расслоение над $\C P^1$ называется {\бф обильным} ({\бф неф}), если оно изоморфно $\bigoplus_i \calo(n_i)$, где все $n_i>0$ ($n_i \geq 0$ для неф). \ео \задача Докажите, что расслоение $E$ над $\C P^1$ обильно тогда и только тогда, когда $\calo_{{\Bbb P}E}(1)$ (относительный $\calo(1)$ на проективизации $E$) -- обильное линейное расслоение. \ез \замечание Векторное расслоение $E$ над произвольной базой называется {\бф обильным}, если $\calo_{{\Bbb P}E}(1)$ обильно. \еза \определение Рациональная кривая на многообразии $X$ называется {\бф обильной}, если ограничение $TX\restrict C$ обильно, и {\бф свободной}, если оно неф. \ео \задача Пусть $X\subset {\C P^n}$ -- гладкая квадрика. Докажите, что любая гладкая рациональная кривая на $X$ свободна. \ез \задача[3 балла] Пусть $X\subset {\C P^n}$ -- гладкая гиперповерхность степени $3 \leq d \leq 2n-3$. Докажите, что $X$ содержит несвободную рациональную кривую. \ез \задача Пусть $X_k$ -- проективное многообразие над полем $k$, $[K:k]$ конечное расширение полей, $Х_К$ - соответствующее многообразие над $K$, $D_k\subset X_k$ дивизор, а $D_K\subset X_K$ его расширение. Докажите, что $D_k$ неф $\Leftrightarrow$ $D_K$ неф. \ез \задача[2 балла] Пусть $M$ -- гладкая проективная поверхность, причем $-K_M$ -- неф. Докажите, что конус $\overline{NE}(M)$ порожден рациональными кривыми с квадратом $\geq -2$. \ез \subsection{Деформации кривых (10 баллов)} \задача Пусть $C$ -- гладкая кривая в $\C P^n$, причем нормальное расслоение к $C$ обильно, а любая малая деформация $C$ получена из $C$ действием автоморфизма $\C P^n$. Докажите, что $C$ -- рациональная кривая степени не больше 3. \ез \задача Пусть $C$ -- свободная рациональная кривая на проективном многообразии $X$. Докажите, что через любую точку $X$ проходит деформация $C$. \ез \задача Пусть $C$ -- обильная рациональная кривая на многообразии $X$ Докажите, что через любые две точки $X$ проходит деформация $C$. \ез \задача[2 балла] Пусть $C_1, ..., C_n$ -- обильные рациональные кривые на проективном многообразии. Докажите, что объединение $\bigcup_i C_i$ имеет гладкую деформацию, которая обильна. \ез \задача[3 балла] Пусть $X$ -- гладкое проективное многообразие, допускающее обильную рациональную кривую. Докажите, что $\pi_1(X)$ конечна. \ез \задача[2 балла] Пусть $Х$ -- проективное, гладкое многообразие без рациональных кривых, а $f:\; C \arrow X$ -- какая-то кривая. Докажите, что пространство $Hom(C,X)$ модулей отображения $C$ в $X$ удовлетворяет $\dim Hom(C,X) \leq \dim X$. Приведите пример, когда равенство реализуется для $\dim X=3$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Мультипликаторные идеалы и теоремы о занулении когомологий \\ (7 баллов)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- морфизм гладких многообразий, общий слой которого есть $\C P^1$. Докажите, что $R^if_*(\calo_X)=0$ для $i>0$. \ез \определение Многообразие $Y$ имеет {\бф лог-терминальные особенности}, если $\discr(Y)>-1$. \ео \определение Многообразие $Y$ имеет {\бф рациональные особенности}, если для какого-то разрешения $f:\; X \arrow Y$, имеем $R^if_* \calo_X=0$, для всех $и>0#. \ео \задача Докажите, что зануление $R^if_*(\calo_X)$ не зависит от выбора разрешения $f:\; X \arrow Y$. Докажите, что лог-терминальные особенности рациональны. \ез \задача Пусть $\tilde X \stackrel \pi \arrow X$ -- разветвленное накрытие с циклической группой монодромии, причем $\tilde X$ и $X$ гладкие и проективные. Пусть $L$ -- неф расслоение на $X$, такое, что $\pi^* L \otimes K_{\tilde X}$ неф и объемный. Докажите, что $H^i(L)=0$ для любого $i>0$. \ез \определение {\бф Лог-пара} на нормальном многообразии $X$ есть такой $\R$-дивизор Вейля $\Delta$, что $K_X + \Delta$ есть $\R$-дивизор Картье. \ео \определение Рассмотрим лог-пару $(X, \Delta)$, где $X$ гладко, а $\Delta= \sum \alpha_i D_i$ -- дивизор с простыми нормальными пересечениями. Зададим дивизоры $D_i$ локально уравнениями $f_i=0$ с простыми нулями, и пусть $\psi:=\prod_i f_i^{-\alpha_i}$, а $J(K_X)$ -- пучок сечений $v\in K_X$ таких, что $|\psi|^2 v\wedge \bar v$ локально интегрируемо на $X$. {\бф Мультипликаторный идеал} лог-пары $(X, \Delta)$ есть $J(X, \Delta):=J(K_X)\otimes K_X^{-1}$. Для негладкого $X$, возьмем его разрешение, мультипликаторный идеал разрешения, и прямой образ этого идеала даст $J(X, \Delta)\subset \calo_X$. \ео \определение Лог-пара $(X, \Delta)$ называется {\бф klt} (Kawamata log-terminal), если $J(X, \Delta)= \calo_X$, и {\бф лог-канонической}, если $J(X, \alpha\Delta)= \calo_X$ для любого $0<\alpha <1$. \ео \задача[2 балла] Пусть $G\subset \Aut(\C P^2)$ есть конечная группа, действующая на $\C P^2$ без неподвижных точек, а $D$ -- $G$-инвариантный, эффективный $\Q$-дивизор степени $< 2$. Докажите, что $(X, \Delta)$ -- klt. \ез \задача Пусть $p:\; X \arrow Y$ -- конечный, доминантный морфизм нормальных проективных многообразий, $(Y,D_Y)$ -- лог-пара, а $D_X$ -- дивизор на $X$, определенный из формулы $p^*(D_Y+K_Y)= K_X+D_X$. Докажите, что $(X, D_X)$ klt $\Leftrightarrow$ $(Y,D_Y)$ klt. \ез %\задача %Пусть $L$ объемный неф-дивизор на проективном, %гладком многообразии, $D$ $\Q$-эффективный, %причем $L-D$ объемный и неф, a $H$ обильный дивизор. %Докажите, что существует %целое число $0 \leq k \leq n$ такое, что %$H^0(X, \calo_X(K_X+L+kH)\otimes J(X,D))\neq 0$. %\ез % %\задача %Пусть $L$ объемный неф-дивизор на проективном, %гладком многообразии, a $H$ обильный дивизор. %Докажите, что существует %целое число $0 \leq k \leq n$ такое, что %$H^0(X, \calo_X(K_X+L+kH))\neq 0$. %\ез % %\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. %\еу \определение Пусть $D$ -- дивизор, заданный уравнением $f=0$, с простыми нулями в общей точке. {\бф Кратность} дивизора в точке $x\in X$ есть максимальное $r$ такое, что $f\in {\goth m}_x^r$, где ${\goth m}_x$ -- максимальный идеал точки. \ео \задача Пусть $D$ -- эффективный дивизор на гладком многообразии $X$, кратность которого в каждой точке $\leq m$. Докажите, что $(X, m^{-1}D)$ лог-каноничен. \ез \end{document}