\documentclass[10pt]{article}


\input{listki.tex}

% version 1.0, 11.12.2011
% version 1.1, 11.12.2011 - Q-Картье от Саши Кузнецова
% version 1.2, 11.12.2011 - Еще несколько (Кузнецов, Шрамов)

\pagestyle{fancy} 
\lhead{\tiny НМУ, осень 2011, спецкурс} 
\lfoot{\tiny Теория Мори, спецкурс НМУ } 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny Осень 2011, задачи к экзамену, \version}
\rhead{{\tiny  Миша Вербицкий}}


\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   12.12.2011}

\begin{document}


\renewcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}}
\newcommand{\St}{\operatorname{St}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{\sf Re}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Cl}{\operatorname{{\cal C}\!\ell}}

\listok{1}{Теория Мори, осень 2011: \\ задачи для экзамена}
\lhead{\small Осень 2011: задачи для экзамена}

Чтобы получить зачет по разделу, надо решить
не меньше половины задач (по сумме баллов). Оценка экзамена
вычисляется по формуле $5-k$, где $k$ -- число несданных
разделов. Сдавать задачи устно, но иметь с собой
все решения (по всем подлежащим сдаче 
разделам) в записанном виде, быть готовым отвечать
на вопросы. 


\subsection{Бирациональные отображения (9 баллов)}


\определение
Дивизор Картье называется {\бф неф} (численно эффективным), если его ограничение
на любую кривую неотрицательно. Неф-дивизор $L$ называется
{\бф объемным} (big), если старшая степень его класса
когомологий положительна.
\ео

\задача
Пусть $X$ -- раздутие $\C P^2$ в 9 точках общего
положения.
\енум
\итем Докажите, что $-K_X$ неф, но не обилен.
\итем Докажите, что $-K_X$ эффективен (то есть
у этого расслоения есть голоморфное сечение).
\итем Пусть $D$ -- дивизор нулей этого сечения.
Докажите, что $D$ -- неприводимая кривая.
Докажите, что $D$ в $X$ {\бф жестко}, то есть
не имеет никаких деформаций.
\ее
\ез

\задача
В условиях предыдущей задачи, докажите, что
в $X$ есть бесконечно много исключительных кривых,
а эффективный конус $\overline{NE}(X)$ не полиэдральный.
\ез

\задача
Пусть $C$ -- неприводимая кривая на гладкой поверхности $X$,
а $C^2 \leq 0$. Докажите, что $C$ находится на границе
$\overline{NE}(X)$.
\ез

\def\discr{\operatorname{\sf discr}}
\def\codim{\operatorname{\sf codim}}
\определение
Пусть $f:\;X \arrow Y$ гладкое разрешение особого многообразия
$Y$,  а $E_1, ..., E_n$ -- исключительные
дивизоры. Предположим, что относительный канонический класс
$K_{X/Y}:= K_X \otimes f^*K_Y^{-1}$ записывается как
$K_{X/Y} = \sum a_i E_i$. Определим {\бф дискрепатность}
$\discr(Y)$ как $\inf_X a_i$, где инфимум берется по всем
разрешениям.
\ео

\задача
Докажите, что $-1\leq \discr(Y)\leq 1$, либо 
$\discr(Y)=-\infty$.
\ез

\задача
Найдите проективное многообразие $Y$, для которого
$\discr(Y)=-\infty$.
\ез

\определение
Пусть канонический класс $Y$ -- $\Q$-Картье.
Многообразие $Y$ имеет {\бф терминальные особенности},
если $\discr(Y)>0$, и {\бф канонические особенности},
если $\discr(Y)\geq 0$. 
\ео

\задача
Докажите, что многообразие с терминальными особенностями
неособо в коразмерности 2.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $X$ -- гладкая, нормальная поверхность
с каноническими особенностями.
Докажите, что в окрестности каждой особенности
$X$ изоморфна фактору $\C^2/\Gamma$, где
$\Gamma$ -- конечная подгруппа в $SU(2)$
\ез

\задача
Пусть $\phi:\; X \arrow Y$ -- бирациональный рациональный
морфизм гладких проективных многообразий, $E_X$ --
исключительное множество $\phi$, а $E_Y$ -- исключительное
множество $\phi^{-1}$. Может ли случиться такое, что
$\codim E_X\geq 2$ и $\codim E_Y\geq 2$?
\ез





\subsection{Кривые на многообразиях (8.5 баллов)}


\задача[0.5 баллов]
Докажите, что любой когерентный 
пучок без кручения над $\C P^1$ 
изоморфен прямой сумме линейных расслоений. 
\ез

\определение
Расслоение над $\C P^1$ называется {\бф обильным} ({\бф неф}),
если оно изоморфно $\bigoplus_i \calo(n_i)$, где все
$n_i>0$ ($n_i \geq 0$ для неф).
\ео

\задача
Докажите, что расслоение $E$ над $\C P^1$ обильно
тогда и только тогда, когда
$\calo_{{\Bbb P}E}(1)$ 
(относительный $\calo(1)$ на проективизации $E$) -- 
обильное линейное расслоение.
\ез

\замечание
Векторное расслоение $E$ над произвольной базой называется
{\бф обильным}, если $\calo_{{\Bbb P}E}(1)$ обильно.
\еза

\определение
Рациональная кривая на многообразии $X$ называется {\бф обильной},
если ограничение $TX\restrict C$ обильно, и {\бф
свободной}, если оно неф.
\ео

\задача
Пусть $X\subset {\C P^n}$ -- гладкая квадрика.
Докажите, что любая гладкая рациональная кривая на
$X$ свободна. 
\ез

\задача[3 балла]
Пусть $X\subset {\C P^n}$ -- гладкая гиперповерхность
степени $3 \leq d \leq 2n-3$. Докажите, что $X$
содержит несвободную рациональную кривую.
\ез

\задача
Пусть $X_k$ -- проективное многообразие над полем $k$,
$[K:k]$ конечное расширение полей, 
$Х_К$ - соответствующее многообразие над $K$, $D_k\subset X_k$ дивизор, а
$D_K\subset X_K$ его расширение. Докажите, что $D_k$ неф
$\Leftrightarrow$
$D_K$ неф. 
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $M$ -- гладкая проективная поверхность,
причем $-K_M$ -- неф. Докажите, что 
конус $\overline{NE}(M)$ порожден
рациональными кривыми с  квадратом $\geq -2$.
\ез


\subsection{Деформации кривых (10 баллов)}



\задача
Пусть $C$ -- гладкая кривая в $\C P^n$, причем
нормальное расслоение к $C$ обильно, а
любая малая деформация $C$ получена из $C$
действием автоморфизма $\C P^n$. Докажите, что
$C$ -- рациональная кривая степени не больше 3.
\ез

\задача
Пусть $C$ -- свободная рациональная кривая на проективном
многообразии $X$. Докажите, что через любую точку
$X$ проходит деформация $C$.
\ез

\задача
Пусть $C$ -- обильная рациональная кривая на многообразии $X$
Докажите, что через любые две точки $X$ проходит
деформация $C$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $C_1, ..., C_n$ -- обильные рациональные кривые
на проективном многообразии. Докажите, что объединение
$\bigcup_i C_i$ имеет гладкую деформацию, которая обильна.
\ез

\задача[3 балла]
Пусть $X$ -- гладкое проективное многообразие, 
допускающее обильную рациональную кривую.
Докажите, что $\pi_1(X)$ конечна.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $Х$ -- проективное, гладкое многообразие
без рациональных кривых, а $f:\; C \arrow X$ -- 
какая-то кривая. Докажите, что пространство
$Hom(C,X)$ модулей отображения $C$ в $X$
удовлетворяет $\dim Hom(C,X) \leq \dim X$.
Приведите пример, когда равенство реализуется
для $\dim X=3$.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Мультипликаторные идеалы и 
теоремы о занулении когомологий \\ (7 баллов)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- морфизм гладких
многообразий, общий слой которого есть $\C P^1$.
Докажите, что $R^if_*(\calo_X)=0$ для $i>0$.
\ез

\определение
Многообразие $Y$ имеет {\бф лог-терминальные особенности},
если $\discr(Y)>-1$. 
\ео

\определение
Многообразие $Y$ имеет {\бф рациональные особенности}, 
если для какого-то разрешения $f:\; X \arrow Y$, имеем
$R^if_* \calo_X=0$, для всех $и>0#.
\ео

\задача
Докажите, что зануление $R^if_*(\calo_X)$
не зависит от выбора разрешения $f:\; X \arrow Y$.
Докажите, что лог-терминальные
особенности рациональны.
\ез


\задача
Пусть $\tilde X \stackrel \pi \arrow X$ -- разветвленное
накрытие с циклической группой монодромии,
причем $\tilde X$ и $X$ гладкие и проективные. Пусть
$L$ -- неф расслоение на $X$, такое,
что $\pi^* L \otimes K_{\tilde X}$ 
неф и объемный. Докажите, что $H^i(L)=0$
для любого $i>0$.
\ез

\определение
{\бф Лог-пара} на нормальном многообразии $X$
есть такой $\R$-дивизор Вейля $\Delta$, что 
$K_X + \Delta$ есть $\R$-дивизор Картье.
\ео

\определение
Рассмотрим лог-пару $(X, \Delta)$, где $X$ гладко,
а $\Delta= \sum \alpha_i D_i$ -- дивизор с простыми нормальными пересечениями.
Зададим дивизоры $D_i$ локально уравнениями $f_i=0$
с простыми нулями, и пусть $\psi:=\prod_i f_i^{-\alpha_i}$,
а $J(K_X)$ -- пучок сечений $v\in K_X$ таких, что
$|\psi|^2 v\wedge \bar v$ локально интегрируемо на $X$.
{\бф Мультипликаторный идеал}
лог-пары $(X, \Delta)$ есть $J(X, \Delta):=J(K_X)\otimes K_X^{-1}$.
Для негладкого $X$, возьмем его разрешение, 
мультипликаторный идеал разрешения, и прямой
образ этого идеала даст $J(X, \Delta)\subset \calo_X$.
\ео

\определение
Лог-пара 
$(X, \Delta)$ называется {\бф klt} (Kawamata log-terminal), 
если $J(X, \Delta)= \calo_X$, и {\бф лог-канонической}, если 
$J(X, \alpha\Delta)= \calo_X$ для любого $0<\alpha <1$.
\ео

\задача[2 балла]
Пусть $G\subset \Aut(\C P^2)$ есть конечная
группа, действующая на $\C P^2$ без неподвижных
точек, а $D$ -- $G$-инвариантный, эффективный
$\Q$-дивизор степени $< 2$.
Докажите, что $(X, \Delta)$ -- klt.
\ез

\задача
Пусть $p:\; X \arrow Y$ -- конечный, доминантный
морфизм нормальных проективных многообразий, $(Y,D_Y)$ -- 
лог-пара, а $D_X$ -- дивизор на $X$, определенный
из формулы $p^*(D_Y+K_Y)= K_X+D_X$.
Докажите, что $(X, D_X)$ klt $\Leftrightarrow$
$(Y,D_Y)$ klt.
\ез

%\задача
%Пусть $L$ объемный неф-дивизор на проективном,
%гладком многообразии, $D$ $\Q$-эффективный, 
%причем $L-D$ объемный и неф, a $H$ обильный дивизор. 
%Докажите, что существует
%целое число $0 \leq k \leq n$ такое, что
%$H^0(X, \calo_X(K_X+L+kH)\otimes J(X,D))\neq 0$.
%\ез
%
%\задача
%Пусть $L$ объемный неф-дивизор на проективном,
%гладком многообразии, a $H$ обильный дивизор.
%Докажите, что существует
%целое число $0 \leq k \leq n$ такое, что
%$H^0(X, \calo_X(K_X+L+kH))\neq 0$.
%\ез
%
%\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
%\еу

\определение
Пусть $D$ -- дивизор, заданный уравнением
$f=0$, с простыми нулями в общей точке.
{\бф Кратность} дивизора в точке $x\in X$
есть максимальное $r$ такое, что $f\in {\goth m}_x^r$,
где ${\goth m}_x$ -- максимальный идеал точки.
\ео

\задача
Пусть $D$ -- эффективный дивизор на гладком многообразии
$X$, кратность
которого в каждой точке $\leq m$. Докажите, что
$(X, m^{-1}D)$ лог-каноничен.
\ез

\end{document}
