\documentclass[12pt]{article} \addtolength{\textheight}{10mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-5mm} \addtolength{\textwidth}{10mm} %\usepackage[UglyObsolete]{diagrams} \input{listki-ag.tex} % version 1.0, 19.11.2011 % version 1.1, 01.12.2011 - Саша Ананьин прислал поправки % version 1.1.1, 08.12.2011 - две мелкие поправки от Алешечки \newcommand{\version}{version 1.1.1,\ \ 08.12.2011} \newcommand{\firstdate}{02.12.2011} \begin{document} \listok{9}{Алгебраическая геометрия 9: поля частных и целые замыкания} {\scriptsize \ \ \ \ \ {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сданы 2/3 задач с (*) и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Топология Зариского} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Топология Зариского} на квазиаффинном многообразии есть топология, в которой замкнутыми являются подмногообразия, заданные системой полиномиальных уравнений. {\бф Замыкание по Зарискому} подмножества $Z\subset M$ есть пересечение всех замкнутых по Зарискому подмножеств, содержащих $Z$. \ео \задача Проверьте, что это действительно топология. \ез \задача Пусть $A=\C^1$. Докажите, что топология Зариского на $A$ нехаусдорфова. Докажите, что $A$ компактно в топологии Зариского. \ез \задача[*] Пусть $A$ -- аффинное многообразие с бесконечным множеством точек. Докажите, что топология Зариского всегда нехаусдорфова. \ез \задача Пусть $A$ -- аффинное многообразие, Докажите, что в $\calo_A$ есть идемпотенты тогда и только тогда, когда $A$ не связно в топологии Зариского. \ез \задача[*] Пусть $A$ -- аффинное многообразие. Докажите, что $A$ компактно в топологии Зариского. \ез \замечание Мы определили топологию Зариского на множестве точек многообразия $A$, то есть на множестве максимальных идеалов $\calo_A$ (так ее определял сам Зариский). Довольно часто топологию Зариского определяют на множестве $\Spec_{pr}(\calo_A)$ всех простых идеалов $\calo_A$; замкнутые множества $Z_I$ в этой топологии соответствуют идеалам $I\subset \calo_A$, а простой идеал ${\goth p}$ лежит в замкнутом множестве $Z_I$, если он содержит $I$. \еза \задача[**] Будет ли пространство $\Spec_{pr}(\calo_A)$ с топологией Зариского компактно, для любого аффинного многообразия? А для любого кольца? \ез \задача Пусть кольцо $R$ нетерово. Докажите, что каждое открытое по Зарискому подмножество в $\Spec_{pr}(R)$ представляется в виде конечного объединения открытых множеств вида $D_f:=\Spec_{pr}(R)\backslash Z_{(f)}$, где $f\in R$, а $(f)$ обозначает соответствующий главный идеал. \ез \задача[!] Пусть каждое открытое по Зарискому подмножество $\Spec_{pr}(R)$ представляется в виде конечного объединения открытых множеств вида $D_f=\Spec_{pr}(R)\backslash Z_{(f)}$. Следует ли из этого, что $R$ нетерово? \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Поле частных и бирациональные морфизмы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $S\subset R$ -- подмножество кольца $R$, замкнутое относительно умножения, и не содержащее 0. {\бф Локализацией} кольца $R$ по $S$ называется кольцо, формально порожденное элементами вида $a/F$, где $a\in R$, $F\in S$ и с соотношениями $a/F \cdot b/G= ab/FG$, $a/F + b/G= \frac {a G + bF}{FG}$ и $aF^k/F^{k+n}=a/F^n$. \ео \определение Пусть $R$ -- кольцо без делителей нуля, а $S$ -- множество всех ненулевых элементов $R$. {\бф Поле частных} $R$ есть локализация $R$ по $S$. \ео \задача Докажите, что локализация кольца без делителей нуля по множеству всех ненулевых элементов -- поле. \ез \задача Пусть $A$ -- неприводимое аффинное многообразие, не изоморфное точке, а $k(A)$ -- поле частных его кольца регулярных функций. Докажите, что $k(A)$ несчетномерно над $\C$. \ез \определение {\бф Доминантный морфизм} есть морфизм $f:\; X \arrow Y$, такой, что $Y$ есть замыкание $f(X)$ по Зарискому. \ео \задача Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- доминантный морфизм, где $X$ неприводимо. Докажите, что $Y$ тоже неприводимо. Постройте гомоморфизм полей частных $k(Y)\arrow k(X)$, продолжающий $f^*:\; \calo_Y \arrow \calo_X$. \ез \определение Доминантный морфизм неприводимых многообразий называется {\бф бирациональным}, если соответствующий гомоморфизм полей частных -- изоморфизм. \ео \задача Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- бирациональный морфизм. Докажите, что найдется такое $F\in \calo_Y$, что для любого $a \in \calo_X$, существует $b\in \calo_Y$ такой, что $a = f^*\left(\frac b{F^k}\right)$. \ез \указание Воспользуйтесь тем, что $\calo_X$ -- конечно-порожденное кольцо. \еу \задача[!] Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- бирациональный морфизм. Докажите, что существует замкнутое по Зарискому подмножество $Z\subset Y$ такое, что $f:\;( X\backslash f^{-1}(Z)) \arrow Y \backslash Z$ -- изоморфизм. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $F:\; \C^2 \arrow \C^3$ -- отображение, заданное формулой \\ $(x,y) \arrow (x^2, y^2, xy)$. Докажите, что оно переводит $\C^2$ в гиперповерхность $Z\subset \C^3$, заданную уравнением $t_1 t_2=t_3^2$. \енум \итем Будет ли $F:\; \C^2 \arrow Z$ бирационально? \итем[*] Будет ли оно конечно? \итем[**] Изоморфны ли поля $\C(t_1, t_2)$ и $k(Z)$? \ее \ез \задача Рассмотрим в $\C^2$ кривую $Z$, заданную уравнением $xy=1$, и пусть $\pi(x,y)=x$. Будет ли отображение $\pi:\; Z \arrow \C$ бирационально? \ез \задача Пусть $Z\subset\C^2$ -- кривая, заданная уравнением $x^2+y^2=1$. Постройте бирациональный морфизм из $Z$ в $\C$. \ез \задача Пусть $F:\; \C^3 \arrow \C^3$ -- морфизм, заданный формулой $F(x,y,z)=(xy,xz, xyz)$. Докажите, что $F$ бирационален. \ез \задача[*] Пусть $Z \subset \C^2$ -- кривая, заданная уравнением $x^2=y^3$. Постройте бирациональный морфизм $Z \arrow Z$, который не является изоморфизмом, или докажите, что таких морфизмов нет. \ез \задача[*] Пусть $F$ -- конечное расширение $\C(t_1, ..., t_k)$, а $F'$ -- конечное расширение $\C(z_1, ..., z_{k'})$, причем $F$ изоморфно $F'$. Докажите, что $k=k'$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Целая зависимость} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $A\subset B$ -- кольца. Элемент $b\in B$ называется {\бф целым над $A$}, если подкольцо $A[b]=A\cdot\langle 1,b,b^2, b^3, ... \rangle$, порожденное $b$ и $A$, конечно порождено как $A$-модуль. \ео \определение Полином называется {\бф нормированным}, или {\бф унитарным} (mo\-nic polynomial), если его старший коэффициент равен 1. \ео \задача Докажите, что $x\in B$ цел над $A\subset B$ тогда и только тогда, когда цепочка $A$-подмодулей \[ A\subset A\cdot \langle 1,x\rangle \subset A\cdot \langle 1,x, x^2\rangle\subset A\cdot \langle 1,x, x^2, x^3\rangle \subset ... \] обрывается. \ез \задача[!] \label{_monic_poly_Zadacha_} Докажите, что $x\in B$ цел над $A\subset B$ тогда и только тогда, когда $x$ является корнем унитарного полинома с коэффициентами из $A$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Докажите, что $\frac{1 + \sqrt{-3}}2$ цел над $\Z[\sqrt{-3}]$. \ез \задача Пусть $Z\subset \C^2$ -- кривая, заданная уравнением $x^2=y^3$. Докажите, что $x/y\in k(\calo_Z)$ цело над $\calo_Z$. \ез \задача[*] Пусть $Z\subset \C^2$ -- кривая, заданная уравнением $x^a=y^b$, $a