
\documentclass[12pt]{article}

\addtolength{\textheight}{10mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm}
\addtolength{\textwidth}{10mm}


%\usepackage[UglyObsolete]{diagrams}


\input{listki-ag.tex}

% version 1.0, 19.11.2011 
% version 1.1, 01.12.2011 - Саша Ананьин прислал поправки
% version 1.1.1, 08.12.2011 - две мелкие поправки от Алешечки

\newcommand{\version}{version 1.1.1,\ \   08.12.2011}
\newcommand{\firstdate}{02.12.2011}

\begin{document}

\listok{9}{Алгебраическая геометрия 9: поля частных и 
целые замыкания}


{\scriptsize
\ \ \ \ \ {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сданы 2/3 задач с (*) и (!), студент получает
$6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Топология Зариского}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
{\бф Топология Зариского} на квазиаффинном многообразии
есть топология, в которой замкнутыми являются подмногообразия,
заданные системой полиномиальных уравнений.
{\бф Замыкание по Зарискому} подмножества $Z\subset M$
есть пересечение всех замкнутых по Зарискому подмножеств,
содержащих $Z$.
\ео

\задача
Проверьте, что это действительно топология.
\ез

\задача
Пусть $A=\C^1$. Докажите, что топология Зариского на $A$
нехаусдорфова.  Докажите, что $A$ компактно в топологии Зариского.
\ез

\задача[*]
Пусть $A$ -- аффинное многообразие с бесконечным
множеством точек. Докажите, что топология
Зариского всегда нехаусдорфова.
\ез

\задача
Пусть $A$ -- аффинное многообразие, Докажите, что
в $\calo_A$ есть идемпотенты тогда и только тогда,
когда $A$ не связно в топологии Зариского.
\ез

\задача[*]
Пусть $A$ -- аффинное многообразие.
Докажите, что $A$ компактно в топологии Зариского.
\ез

\замечание
Мы определили топологию Зариского на 
множестве точек многообразия $A$, то есть на
множестве максимальных идеалов 
$\calo_A$ (так ее определял сам Зариский).
Довольно часто топологию Зариского определяют
на множестве $\Spec_{pr}(\calo_A)$ всех простых идеалов $\calo_A$;
замкнутые множества $Z_I$ в этой топологии соответствуют
идеалам $I\subset \calo_A$, а простой идеал ${\goth p}$ лежит в
замкнутом множестве $Z_I$, если он содержит $I$.
\еза


\задача[**]
Будет ли пространство $\Spec_{pr}(\calo_A)$ 
с топологией Зариского компактно, для любого
аффинного многообразия? А для любого кольца?
\ез


\задача
Пусть кольцо $R$ нетерово. Докажите, что каждое
открытое по Зарискому подмножество в $\Spec_{pr}(R)$
представляется в виде конечного объединения
открытых множеств вида $D_f:=\Spec_{pr}(R)\backslash Z_{(f)}$,
где $f\in R$, а $(f)$ обозначает соответствующий главный идеал.
\ез

\задача[!]
Пусть каждое
открытое по Зарискому подмножество $\Spec_{pr}(R)$
представляется в виде конечного объединения
открытых множеств вида $D_f=\Spec_{pr}(R)\backslash Z_{(f)}$.
Следует ли из этого, что $R$ нетерово?
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Поле частных и бирациональные морфизмы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $S\subset R$ -- подмножество кольца $R$,
замкнутое относительно умножения, и не содержащее 0.
{\бф Локализацией} кольца $R$ по $S$ называется
кольцо, формально порожденное элементами вида
$a/F$, где $a\in R$, $F\in S$ и с соотношениями
$a/F \cdot b/G= ab/FG$,
 $a/F + b/G= \frac {a G + bF}{FG}$
и $aF^k/F^{k+n}=a/F^n$.
\ео

\определение
Пусть $R$ -- кольцо без делителей нуля, а $S$ -- множество
всех ненулевых элементов $R$.
{\бф Поле частных} $R$ есть локализация $R$ по $S$.
\ео

\задача
Докажите, что локализация кольца без делителей нуля по множеству
всех ненулевых элементов -- поле.
\ез

\задача
Пусть $A$ -- неприводимое аффинное многообразие,
не изоморфное точке, а $k(A)$ -- поле частных
его кольца регулярных функций.
Докажите, что $k(A)$ несчетномерно над $\C$.
\ез


\определение
{\бф Доминантный морфизм} есть морфизм $f:\; X \arrow Y$,
такой, что $Y$ есть замыкание $f(X)$ по Зарискому.
\ео

\задача
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- доминантный морфизм, где $X$
неприводимо. Докажите, что $Y$ тоже неприводимо.
Постройте гомоморфизм полей частных $k(Y)\arrow k(X)$,
продолжающий $f^*:\; \calo_Y \arrow \calo_X$.
\ез

\определение
Доминантный морфизм неприводимых многообразий
называется {\бф бирациональным}, если
соответствующий гомоморфизм полей частных --
изоморфизм.
\ео

\задача
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- бирациональный морфизм.
Докажите, что найдется такое $F\in \calo_Y$,
что для любого $a \in \calo_X$, существует
$b\in \calo_Y$ такой, что $a = f^*\left(\frac
b{F^k}\right)$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь тем, что $\calo_X$ -- конечно-порожденное
кольцо.
\еу

\задача[!]
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- бирациональный морфизм.
Докажите, что существует замкнутое по Зарискому подмножество
$Z\subset Y$ такое, что $f:\;( X\backslash f^{-1}(Z))
\arrow Y \backslash Z$ -- изоморфизм. 
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $F:\; \C^2 \arrow \C^3$ -- отображение,
заданное формулой \\ $(x,y) \arrow (x^2, y^2, xy)$.
Докажите, что оно переводит $\C^2$ в гиперповерхность $Z\subset \C^3$,
заданную уравнением $t_1 t_2=t_3^2$. 
\енум
\итем
Будет ли $F:\; \C^2 \arrow Z$
бирационально?
\итем[*] Будет ли оно конечно?
\итем[**] Изоморфны ли поля $\C(t_1, t_2)$ и $k(Z)$?
\ее
\ез

\задача
Рассмотрим в $\C^2$ кривую $Z$, заданную уравнением
$xy=1$, и пусть $\pi(x,y)=x$. Будет ли отображение
$\pi:\; Z \arrow \C$ бирационально?
\ез

\задача
Пусть $Z\subset\C^2$ -- кривая, заданная
уравнением $x^2+y^2=1$. Постройте бирациональный
морфизм из $Z$ в $\C$.
\ез

\задача
Пусть $F:\; \C^3 \arrow \C^3$ -- морфизм, заданный
формулой $F(x,y,z)=(xy,xz, xyz)$.
Докажите, что $F$ бирационален.
\ез

\задача[*]
Пусть $Z \subset \C^2$ -- кривая, заданная
уравнением $x^2=y^3$. Постройте 
бирациональный морфизм $Z \arrow Z$, 
который не является изоморфизмом, 
или докажите, что таких морфизмов нет.
\ез


\задача[*]
Пусть $F$ -- конечное расширение
$\C(t_1, ..., t_k)$, а $F'$ --  конечное
расширение $\C(z_1, ..., z_{k'})$, причем $F$ изоморфно $F'$.
Докажите, что $k=k'$.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Целая зависимость}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $A\subset B$ -- кольца.
Элемент $b\in B$ называется 
{\бф целым над $A$}, если подкольцо
$A[b]=A\cdot\langle 1,b,b^2, b^3, ... \rangle$, 
порожденное $b$ и $A$, конечно порождено
как $A$-модуль.
\ео

\определение
Полином называется {\бф нормированным}, или {\бф унитарным}
(mo\-nic polynomial), если его старший
коэффициент равен 1.
\ео

\задача
Докажите, что $x\in B$ цел над $A\subset B$ тогда
и только тогда, когда цепочка $A$-подмодулей
\[ A\subset A\cdot \langle 1,x\rangle \subset 
A\cdot \langle 1,x, x^2\rangle\subset 
A\cdot \langle 1,x, x^2, x^3\rangle \subset ...
\]
обрывается.
\ез

\задача[!]
\label{_monic_poly_Zadacha_}
Докажите, что $x\in B$ цел над $A\subset B$
тогда и только тогда, когда $x$ является
корнем унитарного полинома с коэффициентами из
$A$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\задача
Докажите, что $\frac{1 + \sqrt{-3}}2$ цел 
над $\Z[\sqrt{-3}]$.
\ез

\задача
Пусть $Z\subset \C^2$ -- кривая, заданная
уравнением $x^2=y^3$. Докажите, что
$x/y\in k(\calo_Z)$ цело над $\calo_Z$.
\ез

\задача[*]
Пусть $Z\subset \C^2$ -- кривая, заданная
уравнением $x^a=y^b$, $a<b$. Найдите все
$c, d$, для которых $x^c/y^d\in k(\calo_Z)$ цело над
$\calo_Z$.
\ез


\замечание
Отныне и до конца этого листка, {\бф все
кольца предполагаются нетеровыми и без делителей нуля.}
\еза

\задача
Пусть $x,y\in B\supset A$, причем 
$y$ цело над $A[x]$. Следует ли из этого,
что $y$ цело над $A$?
\ез

\задача
Пусть $x,y\in B\supset A$, -- элементы, 
целые над кольцом 
$A$. Докажите, что  $y$ цело над $A[x]$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачей \ref{_monic_poly_Zadacha_}.
\еу

\задача[!]
Пусть $x,y\in B\supset A$, -- элементы, 
целые над $A$. Докажите, что  $x+y$ и $xy$ целы над $A$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Пусть $G$ -- конечная группа,
действующая на конечно-\-по\-ро\-жден\-ном кольце $R$ автоморфизмами.
Докажите, что все элементы $R$ целы над $R^G$.
\ез

\указание
Для заданного $f\in R$, рассмотрите
многочлен $\prod_{g\in G}(t-g(f))\in R[t]$,
и докажите, что его коэффициенты лежат в $R^G$.
\еу


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Целое замыкание}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $A\subset B$ -- кольца, а $N(A)\subset B$ -- множество
всех элементов, целых над $A$. Докажите, что это
подкольцо.
\ез

\определение
Пусть $A\subset B$ -- кольца.
Множество всех элементов $B$, целых над $A$,
называется {\бф целым замыканием $A$ в $B$}.
Множество всех элементов поля частных $A$,
целых над $A$, называется {\бф целым замыканием $A$}.
Кольцо $A\subset B$ называется {\бф целозамкнутым
в $B$,} если оно совпадает со своим целым замыканием
в $B$, и {\бф целозамкнутым}, если оно 
совпадает со своим целым замыканием в поле частных
$k(A)$.
\ео

\определение
Неприводимое аффинное многообразие $X$ называется {\бф нормальным},
если его кольцо функций $\calo_X$ целозамкнуто.
\ео

\задача
Пусть $A\subset B \subset C$ -- кольца, такие,
что $B$ конечно порождено как $A$-модуль, а $C$ -- конечно-порождено
как $B$-модуль. Докажите, что $C$ конечно порождено как $A$-модуль.
\ез

\задача
Пусть $A\subset B$, $x\in B$ целый над $A$, а $y\in B$
целый над $A[x]$. Докажите, что $y$ целый над $A$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Докажите, что целое замыкание кольца $A\subset B$ целозамкнуто в $B$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $u,v\in A$, а $u/v\in k(A)$ -- корень
унитарного многочлена степени $n$.
Докажите, что $u^n$ делится на $v$ в $A$.
\ез

\определение
Кольцо называется {\бф факториальным},
если в нем имеет место однозначность разложения
на простые сомножители.
\ео

\задача[!]
Пусть кольцо $A$ факториально. Докажите, что
оно целозамкнуто.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Докажите, что $\Z[\sqrt{-1}]$ целозамкнуто.
\ез

\задача
Докажите, что $\Z[\sqrt{-2}]$ целозамкнуто.
\ез

\задача
Докажите, что $\Z[\sqrt{-3}]$ не целозамкнуто.
\ез

\задача
Докажите, что $\Z[\sqrt{2}]$ целозамкнуто.
\ез




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Факториальность кольца полиномов}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Полином $P(t)\in A[t]$ над факториальным кольцом $A$
называется {\бф примитивным}, если наибольший общий
делитель его коэффициентов равен 1.
\ео

\задача
Пусть $P(t), Q(t)$ -- полиномы над факториальным
кольцом, причем не все коэффициенты
$P(t)$ и $Q(t)$ делятся на 
простой элемент $p\in A$.
Докажите, что $P(t)Q(t)\neq 0$ по модулю $p$.
\ез

\задача[!]
("лемма Гаусса") 
Пусть $A$-- факториальное кольцо,
а $P(t)$, $Q(t)\in A[t]$ -- примитивные
полиномы. Докажите, что полином  $P(t)Q(t)$
примитивен.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Пусть $A$ -- факториальное кольцо,
а $P(t)\in A[t]$ -- неприводимый
полином. Докажите, что $P(t)$
неприводим над полем частных $k(A)$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Докажите, что $\C[t_1, ..., t_n]$ 
факториально.
\ез



\end{document}





