
\documentclass[10pt]{article}

\addtolength{\textheight}{10mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm}
\addtolength{\textwidth}{10mm}

%\usepackage[UglyObsolete]{diagrams}


\input{listki-ag.tex}

% version 1.0, 14.11.2011 (отпочковано от листка 7)
% version 1.1, 18.11.2011 (добавил про примитивный элемент)
% version 1.2, 24.11.2011 (исправления от Саши Ананьина)
% version 1.3, 02.12.2011 zadacha 8.7

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   24.11.2011}
\newcommand{\firstdate}{25.11.2011}

\begin{document}

\listok{8}{Алгебраическая геометрия 8: тензорные произведения 
колец}


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сданы 2/3 задач с (*) и (!), студент получает
$6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Тензорные произведения колец}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\задача
Пусть $A, B$ -- кольца, а $C \arrow A, C \arrow B$
гомоморфизмы. Рассмотрим $A$ и $B$ как $C$-модули,
и пусть $A\otimes_C B$ -- тензорное произведение
этих $C$-модулей над $C$. 
Докажите, что на $A\otimes_C B$ существует
и единственна структура кольца, такая, что
$a\otimes b \cdot a'\otimes b'= aa' \otimes bb'$.
\ез

\задача
Докажите, что кольцо $\Z/2\Z \otimes_\Z \Q$
нулевое.
\ез

\задача
Докажите, что кольцо $\Z/2\Z \otimes_\Z \Z/3 \Z$
нулевое.
\ез

\задача
Докажите, что кольцо $\C[[t]]\otimes_{\C[t]}(\C[t]/(t-1))$
нулевое.
\ез

\задача[*]
Пусть $\C[[t]]$ -- кольцо формальных рядов,
а $C, B$ -- ко\-неч\-но-\-по\-рож\-ден\-ные кольца над $\C$,
причем $C\subset \C[[t]]$, а гомоморфизм $C \arrow B$
сюрьективен. Предположим, что $R:=\C[[t]]\otimes B$
конечно порождено. Докажите, что $R$ конечномерно над $\C$.
\ез


\задача
Докажите, что 
$\C[t_1, ..., t_k]\otimes_\C \C[z_1, ..., z_n]=
\C[t_1, ..., t_k,z_1, ..., z_n]$.
\ез


\задача[!]
Докажите следующую версию теоремы Гильберта о нулях.
Пусть $I\subset A$ -- идеал в конечно-порожденном
кольце над $\C$ без делителей нуля, 
$X=\Spec A$ ее максимальный спектр,
$Z\subset X$ -- множество общих нулей $I$,
а $I_Z$ -- идеал всех функций, которые 
зануляются в $Z$. Тогда $\calo_Z:= A/I_Z=(A/I)/N$,
где $N$ есть нильрадикал $A/I$.
\ез


\задача
Пусть  $A, B$ -- кольца, а $C \arrow A, C \arrow B$
гомоморфизмы. Предположим, что $C\arrow B$ -- эпиморфизм.
Постройте естественный эпиморфизм $A \arrow A\otimes_C B$.
\ез



\задача[!]
Пусть $\phi:\; X \arrow Y$ -- морфизм аффинных 
многообразий, a ${\goth m}$ -- максимальный
идеал точки $y\in Y$ в $\calo_Y$. Рассмотрим кольцо
$R:=\calo_X \otimes_{\calo_Y} (\calo_Y/{\goth m})$.
Докажите, что максимальные идеалы $R$ находятся
в биективном соответствии с точками $\phi^{-1}(y)$.
\ез

\указание
Обозначим за $\phi^*:\; \calo_Y\arrow \calo_X$ 
естественный гомоморфизм. Примените изоморфизм 
$\calo_X \otimes_{\calo_Y} (\calo_Y/{\goth m})=\calo_X/\phi^*{\goth m}\calo_X$,
чтобы убедиться, что при эпиморфизме
$\calo_X \arrow R$, максимальные идеалы $R$ соответствуют
максимальным идеалам $I \in \calo_X$, содержащим $\phi^*{\goth m}$.
\еу

\задача[!]
В условиях предыдущей задачи,
обозначим за ${\goth n}$ нильрадикал $R$.
Докажите, что $R/{\goth n}$ есть
кольцо регулярных функций на $\phi^{-1}(y)$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь теоремой Гильберта 
о нулях. 
\еу


\задача
В условиях предыдущей задачи,
пусть $X = Y = \C$, морфизм $f:\; X \arrow Y$ задан
формулой $t\arrow t^2$, а $y=0\in Y$. Докажите, что кольцо
$\calo_X \otimes_{\calo_Y} (\calo_Y/{\goth m}_y)$
изоморфно $\C[t]/t^2$.
\ез

\задача[*]
Пусть $\phi:\; X \arrow Y$ -- морфизм гладких аффинных 
многообразий, а $y\in Y$ точка, такая, что
для любого $x\in f^{-1}(y)$, дифференциал
$Df:\; T_x X \arrow T_y Y$ -- эпиморфизм.\footnote{В дифференциальной
топологии, такая точка называется {\бф регулярным значением} $f$.} Докажите, что
кольцо $\calo_X \otimes_{\calo_Y} (\calo_Y/{\goth m}_y)$
не содержит нильпотентов.
\ез

%\задача[*]
%Пусть $X\subset \C^2$ -- кривая, заданая
%уравнением, $x^2=y^3$, $\pi:\; X \arrow Y=\C$
%проекция на первый аргумент, а $y=0\in Y$. 
%Докажите, что кольцо $\calo_X \otimes_{\calo_Y} (\calo_Y/{\goth m}_y)$
%содержит нильпотенты.
%\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Произведения многообразий}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача 
Пусть $A$, $B$, $C$ -- конечно-порожденные кольца
над $\C$. Докажите, что кольцо $A\otimes_C B$
конечно-порождено.
\ез

\задача
Пусть $C\arrow A, C \arrow B$ -- гомоморфизмы колец,
а $I\subset B$ -- идеал. Обозначим за $1\otimes I$
идеал в $A\otimes_C B$, порожденный элементами 
вида $a\otimes b$, где $a\in A, b \in I$.
Докажите, что $A \otimes_C (B/I) = A\otimes_C B/(1\otimes I)$.
\ез

\указание Воспользуйтесь
$M\otimes_R(R/I)= M/IM$. 
\еу


\задача
Пусть $A_1 = A/I$, $B_1=B/J$, где $A,B$ -- кольца над $\C$,
а $I, J$ -- идеалы. Докажите, что 
$A_1\otimes_\C B_1= A\otimes_\C B/(I\otimes 1 + 1 \otimes J)$ .
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей (дважды).
\еу

\задача
Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные кольца над $\C$,\\
$\Spec A = X$, $\Spec B=Y$, а $N$ -- нильрадикал
$A\otimes_\C B$. Докажите, что
$\Spec((A\otimes_\C B)/N) = X \times Y$.
\ез

\указание
Пусть $A= \C[z_1, ..., z_n]/I$, $B=\C[t_1, ..., t_k]/J$.
Проверьте, что  $X\times Y$ есть множество
общих нулей идеала $I\otimes 1 + 1 \otimes J$, и
воспользуйтесь теоремой Гильберта о нулях.
\еу

\задача[*]
Пусть $A, B$ -- кольца без делителей нуля над $\C$.
Верно ли, что $A \otimes_\C B$ всегда не содержит делителей нуля?
\ез

\задача[*]
Пусть $A, B$ -- кольца без делителей нуля над 
полем $k$ характеристики $p$. Приведите пример,
когда $A \otimes_k B$  содержит нетривиальные 
нильпотенты.
\ез

\задача
\label{_pereseche_maksi_Zadacha_}
Пусть $A$ -- конечно-порожденное кольцо над $\C$.
Докажите, что пересечение
всех максимальных идеалов $A$ есть его нильрадикал.
\ез

\указание
Воспользуйтесь теоремой Гильберта о нулях.
\еу


\определение
Кольцо $R$ называется {\бф кольцом Джекобсона}, если
каждый простой идеал в $R$ есть пересечение максимальных.
\ео

\задача[*]
Пусть $A$ -- конечно-порожденное кольцо над $\C$. Докажите, что
$A$ -- кольцо Джекобсона.
\ез


\задача
Пусть  $A, B$ -- конечно-порожденные кольца над $\C$ без нильпотентов,
\\ $A= \C[z_1, ..., z_n]/I$, $B=\C[t_1, ..., t_k]/J$.
Докажите, что пересечение всех максимальных
идеалов $\C[z_1, ..., z_n,t_1, ..., t_k]$,
содержащих $I\otimes 1 + 1 \otimes J$,
равно $I\otimes 1 + 1 \otimes J$
\ез

\задача[!]
Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные кольца над $\C$ без нильпотентов,
а $R:= A\otimes_\C B$ -- их произведение. Докажите, что в $R$ нет нильпотентов.
\ез

\указание
Убедитесь, что 
$A\otimes_\C B = \C[z_1, ..., z_n,t_1, ..., t_k]/I\otimes 1 + 1 \otimes J$,
и примените задачу \ref{_pereseche_maksi_Zadacha_}, чтобы убедиться, что
нильрадикал $A\otimes_\C B$ пуст.
\еу


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Простые идеалы в артиновых кольцах}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Кольцо над полем (ассоциативное, коммутативное, но не
обязательно с единицей) будем называть {\бф коммутативной
алгеброй}.
\ео

\определение
{\бф Идемпотент} в алгебре есть элемент $a$ такой,
что $a^2=a$.
\ео

\определение 
{\бф Артиново кольцо} над полем $k$ есть
кольцо (с единицей), которое конечномерно над $k$.
\ео

\задача
Пусть  $A$ -- коммутативная алгебра, в которой нет ненулевых идемпотентов,
и конечномерная над полем. Докажите, что все элементы $A$ --
нильпотенты.
\ез

\задача[!]
Пусть $A$ -- конечномерная коммутативная алгебра
без делителей нуля. Докажите, что $A$ это поле.
\ез

\задача
Пусть $A$ есть кольцо, конечномерное над полем, и без
нильпотентов. Докажите, что $A$ есть прямая сумма полей.
\ез

\задача
Пусть $A$ есть прямая сумма полей, $A= \bigoplus_i k_i$.
Докажите, что разложение $A= \bigoplus_i k_i$ определено
однозначно, с точностью до перестановки слагаемых.
\ез

\задача[!]
Пусть $A$ -- артиново кольцо над полем. 
Докажите, что число простых идеалов $A$ конечно.
\ез

\задача
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение полей характеристики 0.
Докажите, что $K\otimes_k \bar k$ изоморфно прямой сумме
нескольких копий $\bar k$, где $\bar k$ есть алгебраическое
замыкание $k$.
\ез

\задача
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение полей характеристики 0.
Докажите, что существует лишь конечное число промежуточных
полей $K\supset K'\supset k$.
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
("теорема о примитивном элементе").
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение полей характеристики 0. 
Докажите, что найдется элемент $x\in K$ такой, что линейные
комбинации $x^i$ с коэффициентами из $k$ порождают $K$.
\ез


\указание 
Докажите, что векторное пространство нельзя представить
как объединение конечного набора подпространств положительной коразмерности,
и воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Конечные морфизмы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $M$ -- конечно-порожденный $R$-модуль,
а $R\arrow R'$ -- гомоморфизм колец.
Докажите, что $M \otimes_R R'$ 
-- конечно-порожденный $R'$-модуль.
\ез

\определение
Пусть $X \arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий.
Этот морфизм называется {\бф конечным}, если
$\calo_X$ конечно-порожден как $\calo_Y$-модуль.
\ео


\задача[!]
Пусть $X\stackrel f \arrow Y$ -- конечный морфизм.
Докажите, что для любой точки $y\in Y$, прообраз $f^{-1}(y)$
конечен.
\ез

\указание
Воспользуйтесь тем, что 
$f^{-1}(y)=\Spec(R)$,
где\\ $R=\calo_X\otimes_{\calo_Y}(\calo_Y/{\goth m}_y)$,
и убедитесь, что $R$ конечномерно над $\C$.
\еу

\задача
Пусть $Z\subset \C^2$ -- кривая, заданная уравнением
$x^2=y^3$, а $\phi:\; \C \arrow Z$ задается
$t \arrow (t^3, t^2)$. Докажите, что $\phi$ конечно.
\ез

\задача[!]
Пусть $Z\subset \C^2$ -- кривая, заданная уравнением
$xy=1$, а $\pi:\; \C^2 \arrow \C$ -- проекция, заданная
формулой ниже. Будет ли $\pi:\; Z \arrow \C$
конечно?
\енум
\итем $\pi(x,y)=x$
\итем $\pi(x,y)=x+y$
\ее
\ез

\задача[!]
Пусть $X \stackrel \phi \arrow Y$ -- сюрьективный морфизм
аффинных многообразий, такой, что прообраз точки -- 
всегда конечное множество. Всегда ли $\phi$ конечный?
\ез



\end{document}





