\documentclass[10pt]{article} \addtolength{\textheight}{10mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-5mm} \addtolength{\textwidth}{10mm} %\usepackage[UglyObsolete]{diagrams} \input{listki-ag.tex} % version 1.0, 14.11.2011 (отпочковано от листка 7) % version 1.1, 18.11.2011 (добавил про примитивный элемент) % version 1.2, 24.11.2011 (исправления от Саши Ананьина) % version 1.3, 02.12.2011 zadacha 8.7 \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 24.11.2011} \newcommand{\firstdate}{25.11.2011} \begin{document} \listok{8}{Алгебраическая геометрия 8: тензорные произведения колец} {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сданы 2/3 задач с (*) и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Тензорные произведения колец} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $A, B$ -- кольца, а $C \arrow A, C \arrow B$ гомоморфизмы. Рассмотрим $A$ и $B$ как $C$-модули, и пусть $A\otimes_C B$ -- тензорное произведение этих $C$-модулей над $C$. Докажите, что на $A\otimes_C B$ существует и единственна структура кольца, такая, что $a\otimes b \cdot a'\otimes b'= aa' \otimes bb'$. \ез \задача Докажите, что кольцо $\Z/2\Z \otimes_\Z \Q$ нулевое. \ез \задача Докажите, что кольцо $\Z/2\Z \otimes_\Z \Z/3 \Z$ нулевое. \ез \задача Докажите, что кольцо $\C[[t]]\otimes_{\C[t]}(\C[t]/(t-1))$ нулевое. \ез \задача[*] Пусть $\C[[t]]$ -- кольцо формальных рядов, а $C, B$ -- ко\-неч\-но-\-по\-рож\-ден\-ные кольца над $\C$, причем $C\subset \C[[t]]$, а гомоморфизм $C \arrow B$ сюрьективен. Предположим, что $R:=\C[[t]]\otimes B$ конечно порождено. Докажите, что $R$ конечномерно над $\C$. \ез \задача Докажите, что $\C[t_1, ..., t_k]\otimes_\C \C[z_1, ..., z_n]= \C[t_1, ..., t_k,z_1, ..., z_n]$. \ез \задача[!] Докажите следующую версию теоремы Гильберта о нулях. Пусть $I\subset A$ -- идеал в конечно-порожденном кольце над $\C$ без делителей нуля, $X=\Spec A$ ее максимальный спектр, $Z\subset X$ -- множество общих нулей $I$, а $I_Z$ -- идеал всех функций, которые зануляются в $Z$. Тогда $\calo_Z:= A/I_Z=(A/I)/N$, где $N$ есть нильрадикал $A/I$. \ез \задача Пусть $A, B$ -- кольца, а $C \arrow A, C \arrow B$ гомоморфизмы. Предположим, что $C\arrow B$ -- эпиморфизм. Постройте естественный эпиморфизм $A \arrow A\otimes_C B$. \ез \задача[!] Пусть $\phi:\; X \arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий, a ${\goth m}$ -- максимальный идеал точки $y\in Y$ в $\calo_Y$. Рассмотрим кольцо $R:=\calo_X \otimes_{\calo_Y} (\calo_Y/{\goth m})$. Докажите, что максимальные идеалы $R$ находятся в биективном соответствии с точками $\phi^{-1}(y)$. \ез \указание Обозначим за $\phi^*:\; \calo_Y\arrow \calo_X$ естественный гомоморфизм. Примените изоморфизм $\calo_X \otimes_{\calo_Y} (\calo_Y/{\goth m})=\calo_X/\phi^*{\goth m}\calo_X$, чтобы убедиться, что при эпиморфизме $\calo_X \arrow R$, максимальные идеалы $R$ соответствуют максимальным идеалам $I \in \calo_X$, содержащим $\phi^*{\goth m}$. \еу \задача[!] В условиях предыдущей задачи, обозначим за ${\goth n}$ нильрадикал $R$. Докажите, что $R/{\goth n}$ есть кольцо регулярных функций на $\phi^{-1}(y)$. \ез \указание Воспользуйтесь теоремой Гильберта о нулях. \еу \задача В условиях предыдущей задачи, пусть $X = Y = \C$, морфизм $f:\; X \arrow Y$ задан формулой $t\arrow t^2$, а $y=0\in Y$. Докажите, что кольцо $\calo_X \otimes_{\calo_Y} (\calo_Y/{\goth m}_y)$ изоморфно $\C[t]/t^2$. \ез \задача[*] Пусть $\phi:\; X \arrow Y$ -- морфизм гладких аффинных многообразий, а $y\in Y$ точка, такая, что для любого $x\in f^{-1}(y)$, дифференциал $Df:\; T_x X \arrow T_y Y$ -- эпиморфизм.\footnote{В дифференциальной топологии, такая точка называется {\бф регулярным значением} $f$.} Докажите, что кольцо $\calo_X \otimes_{\calo_Y} (\calo_Y/{\goth m}_y)$ не содержит нильпотентов. \ез %\задача[*] %Пусть $X\subset \C^2$ -- кривая, заданая %уравнением, $x^2=y^3$, $\pi:\; X \arrow Y=\C$ %проекция на первый аргумент, а $y=0\in Y$. %Докажите, что кольцо $\calo_X \otimes_{\calo_Y} (\calo_Y/{\goth m}_y)$ %содержит нильпотенты. %\ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Произведения многообразий} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $A$, $B$, $C$ -- конечно-порожденные кольца над $\C$. Докажите, что кольцо $A\otimes_C B$ конечно-порождено. \ез \задача Пусть $C\arrow A, C \arrow B$ -- гомоморфизмы колец, а $I\subset B$ -- идеал. Обозначим за $1\otimes I$ идеал в $A\otimes_C B$, порожденный элементами вида $a\otimes b$, где $a\in A, b \in I$. Докажите, что $A \otimes_C (B/I) = A\otimes_C B/(1\otimes I)$. \ез \указание Воспользуйтесь $M\otimes_R(R/I)= M/IM$. \еу \задача Пусть $A_1 = A/I$, $B_1=B/J$, где $A,B$ -- кольца над $\C$, а $I, J$ -- идеалы. Докажите, что $A_1\otimes_\C B_1= A\otimes_\C B/(I\otimes 1 + 1 \otimes J)$ . \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей (дважды). \еу \задача Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные кольца над $\C$,\\ $\Spec A = X$, $\Spec B=Y$, а $N$ -- нильрадикал $A\otimes_\C B$. Докажите, что $\Spec((A\otimes_\C B)/N) = X \times Y$. \ез \указание Пусть $A= \C[z_1, ..., z_n]/I$, $B=\C[t_1, ..., t_k]/J$. Проверьте, что $X\times Y$ есть множество общих нулей идеала $I\otimes 1 + 1 \otimes J$, и воспользуйтесь теоремой Гильберта о нулях. \еу \задача[*] Пусть $A, B$ -- кольца без делителей нуля над $\C$. Верно ли, что $A \otimes_\C B$ всегда не содержит делителей нуля? \ез \задача[*] Пусть $A, B$ -- кольца без делителей нуля над полем $k$ характеристики $p$. Приведите пример, когда $A \otimes_k B$ содержит нетривиальные нильпотенты. \ез \задача \label{_pereseche_maksi_Zadacha_} Пусть $A$ -- конечно-порожденное кольцо над $\C$. Докажите, что пересечение всех максимальных идеалов $A$ есть его нильрадикал. \ез \указание Воспользуйтесь теоремой Гильберта о нулях. \еу \определение Кольцо $R$ называется {\бф кольцом Джекобсона}, если каждый простой идеал в $R$ есть пересечение максимальных. \ео \задача[*] Пусть $A$ -- конечно-порожденное кольцо над $\C$. Докажите, что $A$ -- кольцо Джекобсона. \ез \задача Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные кольца над $\C$ без нильпотентов, \\ $A= \C[z_1, ..., z_n]/I$, $B=\C[t_1, ..., t_k]/J$. Докажите, что пересечение всех максимальных идеалов $\C[z_1, ..., z_n,t_1, ..., t_k]$, содержащих $I\otimes 1 + 1 \otimes J$, равно $I\otimes 1 + 1 \otimes J$ \ез \задача[!] Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные кольца над $\C$ без нильпотентов, а $R:= A\otimes_\C B$ -- их произведение. Докажите, что в $R$ нет нильпотентов. \ез \указание Убедитесь, что $A\otimes_\C B = \C[z_1, ..., z_n,t_1, ..., t_k]/I\otimes 1 + 1 \otimes J$, и примените задачу \ref{_pereseche_maksi_Zadacha_}, чтобы убедиться, что нильрадикал $A\otimes_\C B$ пуст. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Простые идеалы в артиновых кольцах} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Кольцо над полем (ассоциативное, коммутативное, но не обязательно с единицей) будем называть {\бф коммутативной алгеброй}. \ео \определение {\бф Идемпотент} в алгебре есть элемент $a$ такой, что $a^2=a$. \ео \определение {\бф Артиново кольцо} над полем $k$ есть кольцо (с единицей), которое конечномерно над $k$. \ео \задача Пусть $A$ -- коммутативная алгебра, в которой нет ненулевых идемпотентов, и конечномерная над полем. Докажите, что все элементы $A$ -- нильпотенты. \ез \задача[!] Пусть $A$ -- конечномерная коммутативная алгебра без делителей нуля. Докажите, что $A$ это поле. \ез \задача Пусть $A$ есть кольцо, конечномерное над полем, и без нильпотентов. Докажите, что $A$ есть прямая сумма полей. \ез \задача Пусть $A$ есть прямая сумма полей, $A= \bigoplus_i k_i$. Докажите, что разложение $A= \bigoplus_i k_i$ определено однозначно, с точностью до перестановки слагаемых. \ез \задача[!] Пусть $A$ -- артиново кольцо над полем. Докажите, что число простых идеалов $A$ конечно. \ез \задача Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение полей характеристики 0. Докажите, что $K\otimes_k \bar k$ изоморфно прямой сумме нескольких копий $\bar k$, где $\bar k$ есть алгебраическое замыкание $k$. \ез \задача Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение полей характеристики 0. Докажите, что существует лишь конечное число промежуточных полей $K\supset K'\supset k$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] ("теорема о примитивном элементе"). Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение полей характеристики 0. Докажите, что найдется элемент $x\in K$ такой, что линейные комбинации $x^i$ с коэффициентами из $k$ порождают $K$. \ез \указание Докажите, что векторное пространство нельзя представить как объединение конечного набора подпространств положительной коразмерности, и воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Конечные морфизмы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $M$ -- конечно-порожденный $R$-модуль, а $R\arrow R'$ -- гомоморфизм колец. Докажите, что $M \otimes_R R'$ -- конечно-порожденный $R'$-модуль. \ез \определение Пусть $X \arrow Y$ -- морфизм аффинных многообразий. Этот морфизм называется {\бф конечным}, если $\calo_X$ конечно-порожден как $\calo_Y$-модуль. \ео \задача[!] Пусть $X\stackrel f \arrow Y$ -- конечный морфизм. Докажите, что для любой точки $y\in Y$, прообраз $f^{-1}(y)$ конечен. \ез \указание Воспользуйтесь тем, что $f^{-1}(y)=\Spec(R)$, где\\ $R=\calo_X\otimes_{\calo_Y}(\calo_Y/{\goth m}_y)$, и убедитесь, что $R$ конечномерно над $\C$. \еу \задача Пусть $Z\subset \C^2$ -- кривая, заданная уравнением $x^2=y^3$, а $\phi:\; \C \arrow Z$ задается $t \arrow (t^3, t^2)$. Докажите, что $\phi$ конечно. \ез \задача[!] Пусть $Z\subset \C^2$ -- кривая, заданная уравнением $xy=1$, а $\pi:\; \C^2 \arrow \C$ -- проекция, заданная формулой ниже. Будет ли $\pi:\; Z \arrow \C$ конечно? \енум \итем $\pi(x,y)=x$ \итем $\pi(x,y)=x+y$ \ее \ез \задача[!] Пусть $X \stackrel \phi \arrow Y$ -- сюрьективный морфизм аффинных многообразий, такой, что прообраз точки -- всегда конечное множество. Всегда ли $\phi$ конечный? \ез \end{document}