
\documentclass[12pt]{article}

\addtolength{\textheight}{10mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm}
\addtolength{\textwidth}{10mm}

\usepackage[UglyObsolete]{diagrams}


\input{listki-ag.tex}

% version 1.0, 11.11.2011 (скинул листок 7 в 8)
% version 1.1, 16.11.2011 (исправления от Саши Ананьина)
% version 1.2, 18.11.2011 куча ошибок найдено прямо на занятии

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   18.11.2011}
\newcommand{\firstdate}{18.11.2011}

\begin{document}

\listok{7}{Алгебраическая геометрия 7: тензорные произведения 
модулей}


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сданы 2/3 задач с (*) и (!), студент получает
$6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Тензорные произведения $R$-модулей}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\замечание
Все кольца в этом листке предполагаются коммутативными и с единицей.
\еза

\определение
Пусть $R$ -- кольцо, $M, M'$ -- $R$-модули.
Обозначим за $M\otimes_R M'$ $R$-модуль, который порожден
символами вида $m\otimes m'$, $m\in M, m'\in M'$,
по модулю соотношений вида 
$r(m\otimes m')= (rm)\otimes m' = m\otimes (rm')$, 
$(m+m_1) \otimes m'= m\otimes m' + m_1 \otimes m'$,
$m \otimes (m'+m_1')= m\otimes m' + m\otimes m'_1$.
Такой $R$-модуль называется {\бф тензорным
произведением $M$ и $M'$.}
\ео

\определение
Пусть $M_1, M_2, M$ -- $R$-модули. {\бф Билинейное отображение}
$(M_1, M_2) \stackrel \phi\arrow M$ есть отображение,
которое удовлетворяет условиям
$\phi(rm, m') = \phi(m, rm') = r \phi(m, m')$,
$\phi(m+m_1,m')= \phi(m,m') + \phi(m_1, m')$,
$\phi(m,m'+m_1')= \phi(m, m') + \phi(m,m'_1)$.
\ео

\задача
Постройте биективное соответствие
между множеством гомоморфизмов $\Hom_R(M_1\otimes_\R M_2, M)$
и множеством билинейных отображений \\ $\operatorname{Bil}(M_1\times M_2, M)$.
\ез

\определение
Пусть $M, M'$ -- $R$-модули. 
Рассмотрим группу \\ $\Hom_R(M, M')$ гомоморфизмов.
Определим на $\Hom_R(M, M')$ 
структуру $R$-модуля, по формуле
$(r\phi)(m):= \phi(rm)$. Этот модуль называется
{\бф модулем гомоморфизмов}.
\ео

\задача
Докажите, что $\Hom_R(M_1\otimes_\R M_2, M) = \Hom_R(M_1,
\Hom_R(M_2, M))$
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\задача
Постройте билинейное отображение $M_1\times M_2 \stackrel
\tau \arrow M_1\otimes M_2$.
\ез

\задача[!]
(Универсальное свойство тензорного произведения)
Докажите, что для каждого билинейного отображения
$B:\; M_1\times M_2\arrow M$ существует единственный
гомоморфизм $b:\;M_1\otimes M_2 \arrow M$, делающий
следующую диаграмму коммутативной:
{\scriptsize\begin{diagram}
M_1\times M_2 & \rTo^\tau & M_1\otimes M_2\\
&\rdTo~B &\dTo~{b}\\
& & M
\end{diagram}}
\ез

\определение
Пусть $\cac$ -- категория, Объект $O\in \Ob(\cac)$
называется {\бф начальным} (универсально отталкивающим), 
если из $O$ существует единственный морфизм в любой
другой объект $\cac$, и {\бф конечным} (универсально
притягивающим), если в $O$ существует единственный
морфизм из любого другого. 
\ео

\задача
Докажите, что начальный и конечный объекты единственны.
\ез

\задача
Постройте начальный и конечный объекты в категории
множеств.
\ез

\задача
Есть ли начальный объект в категории накрытий многообразия
$M$? (морфизмы накрытий суть непрерывные отображения,
которые коммутируют с проекцией в $M$)? Есть ли
конечный объект?
\ез



\задача
Пусть $M_1, M_2$ -- $R$-модули, а $\cac$ -- следующая 
категория. Объекты $\cac$ суть
пары ($R$-модуль $M$, билинейное отображение $M_1\times
M_2 \arrow M$), а морфизмы -- гомоморфизмы $M\stackrel \phi\arrow M'$
такие, что следующая диаграмма коммутативна:
\[ \small
\begin{CD}
M_1\times M_2 @>>> M\\
@V{\Id}VV @VV{\phi}V\\
M_1\times M_2 @>>> M'\\
\end{CD}
\]
Докажите, что тензорное произведение $M_1 \otimes M_2$ есть начальный
объект в категории $\cac$.
\ез

\указание
Выведите это из универсального свойства тензорного
произведения.
\еу

\задача[!]
Пусть $M, M'$  -- $R$-модули, а $M_1$ и $M_2$ удовлетворяют
"универсальному свойству тензорного произведения":
для любого билинейного отображения
$B:\; M\times M'\arrow N$ существует единственный
гомоморфизм $b:\;M\times M' \arrow M_i$, делающий
следующую диаграмму коммутативной:
\[ \small
\begin{CD}
M\times M' @>b>> M_i\\
@V{\Id}VV @VV{\phi}V\\
M\times M' @>B>> N\\
\end{CD}
\]
Докажите, что $M_1$ изоморфно $M_2$.
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Докажите, что тензорное произведение
ассоциативно: \\ $M_1\otimes_R (M_2 \otimes_R M_3) 
\cong (M_1\otimes_R M_2) \otimes_R M_3$.
\ез


\указание
Выведите это из универсального свойства тензорного
произведения.
\еу

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Точность функтора $\Hom$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ --
точная последовательность $R$-модулей. Докажите, что
\[ 0 \arrow \Hom_R(M_3, N) \arrow \Hom_R(M_2,N) \arrow \Hom_R(M_1,N)\]
точна, для любого $R$-модуля $N$.
\ез

\задача[*]
Пусть $R$ -- кольцо, конечномерное над полем ("артиново",
в терминологии листка 6),
а $0\arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ --
точная последовательность. Всегда ли 
$\Hom_R(M_2,N) \arrow \Hom_R(M_1,N)$ -- наложение?
А если $R$ полупросто?
\ез

\задача
Пусть $R=\Z$.
Приведите пример вложения $R$-модулей
$M_1 \arrow M_2$, таких, что
$\Hom_R(M_2,N) \arrow \Hom_R(M_1,N)$ --
не наложение для какого-то $N$.
\ез

\определение
{\бф Точный функтор} $F$ есть функтор на категории $R$-модулей,
переводящий любую точную последовательность в точную.
\ео

\определение
Модуль $N$ над $R$ называется {\бф инъективным}, если
функтор $M \arrow \Hom_R(M, N)$ точен.
\ео

\задача[*]
 Вложите  $\Z/n\Z$ в инъективный $\Z$-модуль.
\ез

\задача
Пусть $0\arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3$ --
точная последовательность $R$-модулей. Докажите, что
\[ 0 \arrow \Hom_R(N, M_1) \arrow \Hom_R(N,M_2) \arrow \Hom_R(N,M_3)\]
точна, для любого $R$-модуля $N$.
\ез


\задача
Пусть $R=\Z$.
Приведите пример эпиморфизма $R$-модулей\\
$M_2 \arrow M_3$, такого, что
$\Hom_R(N,M_2) \arrow \Hom_R(N,M_3)$ 
не наложение для какого-то $N$.
\ез

\определение
Модуль $N$ над $R$ называется {\бф проективным}, если
функтор $M \arrow \Hom_R(N,M)$ точен.
\ео

\задача[!]
Докажите, что конечно-порожденный $R$-модуль $N$ проективен 
тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым
$R^n$.
\ез

\указание
Рассмотрите наложение
$\Hom_R(N,M_2) \arrow \Hom_R(N,M_3)$
где $M_3=N$, а $M_2$ -- свободный модуль, сюрьективно
отображающийся на $N$.
\еу

\задача[*]
Пусть над кольцом $R$ любой модуль проективен.
Верно ли, что $R$ -- прямая сумма полей?
\ез
\nopagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Точность тензорного произведения}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\задача
Пусть $0 \arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ --
точная последовательность $R$-модулей. Докажите, что
для любых 
$R$-модулей $N, N'$, последовательность
\begin{multline*} 0 \arrow \Hom_R(N',\Hom_R(M_3, N)) \\
\arrow \Hom_R(N',\Hom_R(M_2,N)) \arrow \Hom_R(N',\Hom_R(M_1N)),
\end{multline*}
точна.
\ез

\указание
Примените свойства точности $\Hom_R$ (сначала одно, потом другое).
\еу

\задача
 Пусть  $0 \arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ --
точная последовательность $R$-модулей. Докажите, что
для любых 
$R$-модулей $N, N'$, последовательность
\[
0 \arrow \Hom_R(M_3\otimes N', N) \arrow 
  \Hom_R(M_2\otimes N',N) \arrow \Hom_R(M_1\otimes N',N)
\]
точна.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\определение
{\бф Комплекс} $R$-модулей есть последовательность вида
\[ M_1 \stackrel {d_1} \arrow M_2 \stackrel {d_2} \arrow M_3
\stackrel {d_3} \arrow ...
\]
такая, что $d_i\circ d_{i+1}=0$.
{\бф Когомологии} комплекса суть группы $\frac {\ker (d_{i+1})}{\im d_i}$.
Комплекс {\бф точен}, если у него нулевые когомологии.
\ео

\задача
\label{_hom_v_N_tochen_Zadacha_}
Пусть $E$ есть 
$M_1\stackrel\mu \arrow M_2 \stackrel \rho \arrow M_3\arrow 0$ -- комплекс
$R$-модулей, такой, что \[ 0 \arrow \Hom_R(M_3, N) \stackrel{\rho_N}\arrow 
\Hom_R(M_2,N) \stackrel{\mu_N}\arrow \Hom_R(M_1,N)\] точно для любого $R$-модуля 
$N$. Докажите, что $E$ тоже точен.
\ез

\указание
Воспользуйтесь
инъективностью $\rho_N$, чтобы доказать сюрьективность $\rho$,
положив $N:= M_3/\im \rho$. Докажите точность $Е$ во втором члене,
воспользовавшись точностью $\Hom_R(E,N)$ в члене $M_2$,
и выбрав $N=M_2 /\im \mu$.
\еу

\задача[*]
Пусть $E=\bigg(M_1 \stackrel {d_1} \arrow M_2 \stackrel {d_2} \arrow M_3\arrow ...\bigg)$ 
есть комплекс $R$-модулей, такой, что 
\[
... \arrow \Hom_R(M_3,N) \arrow \Hom_R(M_2,N) \arrow \Hom_R(M_1,N)
\]
точен для любого $N$. Докажите, что $E$ точен.
\ез


\задача[!]
Пусть $0 \arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ --
точная последовательность $R$-модулей. Докажите, что
последовательность
\[ 
  M_1\otimes_R M \arrow M_2\otimes_R M \arrow M_3\otimes_R M\arrow 0
\]
всегда точна.
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачей \ref{_hom_v_N_tochen_Zadacha_}, и примените точность
\[ 0 \arrow \Hom_R(M_3\otimes M, N) \arrow 
  \Hom_R(M_2\otimes M,N) \arrow \Hom_R(M_1\otimes M,N)
\]
\еу

\задача
В ситуации предыдущей задачи, 
приведите пример, когда \\ $M_1\otimes_R M \arrow
M_2\otimes_R M$ -- не вложение.
\ез


\определение
$R$-модуль $N$ называется {\бф плоским}, если
функтор \\ $M \arrow M\otimes_R N$ точен.
\ео

\задача[*]
Пусть $R$ -- кольцо, не являющееся прямой суммой полей.
Всегда ли над $R$ найдется неплоский модуль?
\ез

\задача[!]
Пусть $I\subset R$ -- идеал.
Докажите, что для любого $R$-модуля,
$M\otimes_R (R/I)\cong M/IM$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь 
точной последовательностью\\
$0 \arrow I \arrow R \arrow R/I\arrow 0$
и тензорно домножьте ее на $M$.
\еу

\задача
Пусть $I, I'$ -- разные максимальные идеалы
в ко\-неч\-но-\-по\-рож\-ден\-ном кольце $R$. Докажите, что 
$R/I\otimes_R R/I'=0$.
\ез

\указание
Убедитесь, что  $R/I\otimes_R R/I'$
есть фактор $R\otimes_R R=R$ по идеалу,
содержащему $I$ и $I'$.
\еу



\задача[*]
Пусть $R^n \arrow R^m$ -- сюрьективный гомоморфизм $R$-модулей.
Докажите, что $m \leq n$.
\ез

\задача[*]
Пусть $R^n \arrow R^m$ -- инъективный гомоморфизм $R$-мо\-ду\-лей,
причем $R$ -- конечно-порожденное кольцо над $\C$.
Докажите, что $n \leq m$.
\ез

\задача[**]
Пусть $R^n \arrow R^m$ -- инъективный гомоморфизм $R$-мо\-ду\-лей,
причем $R$ -- не обязательно конечно-порожденное.
Верно ли, что всегда $n \leq m$?
\ез




\end{document}





