\documentclass[12pt]{article} \addtolength{\textheight}{10mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-5mm} \addtolength{\textwidth}{10mm} \usepackage[UglyObsolete]{diagrams} \input{listki-ag.tex} % version 1.0, 11.11.2011 (скинул листок 7 в 8) % version 1.1, 16.11.2011 (исправления от Саши Ананьина) % version 1.2, 18.11.2011 куча ошибок найдено прямо на занятии \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 18.11.2011} \newcommand{\firstdate}{18.11.2011} \begin{document} \listok{7}{Алгебраическая геометрия 7: тензорные произведения модулей} {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сданы 2/3 задач с (*) и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Тензорные произведения $R$-модулей} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание Все кольца в этом листке предполагаются коммутативными и с единицей. \еза \определение Пусть $R$ -- кольцо, $M, M'$ -- $R$-модули. Обозначим за $M\otimes_R M'$ $R$-модуль, который порожден символами вида $m\otimes m'$, $m\in M, m'\in M'$, по модулю соотношений вида $r(m\otimes m')= (rm)\otimes m' = m\otimes (rm')$, $(m+m_1) \otimes m'= m\otimes m' + m_1 \otimes m'$, $m \otimes (m'+m_1')= m\otimes m' + m\otimes m'_1$. Такой $R$-модуль называется {\бф тензорным произведением $M$ и $M'$.} \ео \определение Пусть $M_1, M_2, M$ -- $R$-модули. {\бф Билинейное отображение} $(M_1, M_2) \stackrel \phi\arrow M$ есть отображение, которое удовлетворяет условиям $\phi(rm, m') = \phi(m, rm') = r \phi(m, m')$, $\phi(m+m_1,m')= \phi(m,m') + \phi(m_1, m')$, $\phi(m,m'+m_1')= \phi(m, m') + \phi(m,m'_1)$. \ео \задача Постройте биективное соответствие между множеством гомоморфизмов $\Hom_R(M_1\otimes_\R M_2, M)$ и множеством билинейных отображений \\ $\operatorname{Bil}(M_1\times M_2, M)$. \ез \определение Пусть $M, M'$ -- $R$-модули. Рассмотрим группу \\ $\Hom_R(M, M')$ гомоморфизмов. Определим на $\Hom_R(M, M')$ структуру $R$-модуля, по формуле $(r\phi)(m):= \phi(rm)$. Этот модуль называется {\бф модулем гомоморфизмов}. \ео \задача Докажите, что $\Hom_R(M_1\otimes_\R M_2, M) = \Hom_R(M_1, \Hom_R(M_2, M))$ \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Постройте билинейное отображение $M_1\times M_2 \stackrel \tau \arrow M_1\otimes M_2$. \ез \задача[!] (Универсальное свойство тензорного произведения) Докажите, что для каждого билинейного отображения $B:\; M_1\times M_2\arrow M$ существует единственный гомоморфизм $b:\;M_1\otimes M_2 \arrow M$, делающий следующую диаграмму коммутативной: {\scriptsize\begin{diagram} M_1\times M_2 & \rTo^\tau & M_1\otimes M_2\\ &\rdTo~B &\dTo~{b}\\ & & M \end{diagram}} \ез \определение Пусть $\cac$ -- категория, Объект $O\in \Ob(\cac)$ называется {\бф начальным} (универсально отталкивающим), если из $O$ существует единственный морфизм в любой другой объект $\cac$, и {\бф конечным} (универсально притягивающим), если в $O$ существует единственный морфизм из любого другого. \ео \задача Докажите, что начальный и конечный объекты единственны. \ез \задача Постройте начальный и конечный объекты в категории множеств. \ез \задача Есть ли начальный объект в категории накрытий многообразия $M$? (морфизмы накрытий суть непрерывные отображения, которые коммутируют с проекцией в $M$)? Есть ли конечный объект? \ез \задача Пусть $M_1, M_2$ -- $R$-модули, а $\cac$ -- следующая категория. Объекты $\cac$ суть пары ($R$-модуль $M$, билинейное отображение $M_1\times M_2 \arrow M$), а морфизмы -- гомоморфизмы $M\stackrel \phi\arrow M'$ такие, что следующая диаграмма коммутативна: \[ \small \begin{CD} M_1\times M_2 @>>> M\\ @V{\Id}VV @VV{\phi}V\\ M_1\times M_2 @>>> M'\\ \end{CD} \] Докажите, что тензорное произведение $M_1 \otimes M_2$ есть начальный объект в категории $\cac$. \ез \указание Выведите это из универсального свойства тензорного произведения. \еу \задача[!] Пусть $M, M'$ -- $R$-модули, а $M_1$ и $M_2$ удовлетворяют "универсальному свойству тензорного произведения": для любого билинейного отображения $B:\; M\times M'\arrow N$ существует единственный гомоморфизм $b:\;M\times M' \arrow M_i$, делающий следующую диаграмму коммутативной: \[ \small \begin{CD} M\times M' @>b>> M_i\\ @V{\Id}VV @VV{\phi}V\\ M\times M' @>B>> N\\ \end{CD} \] Докажите, что $M_1$ изоморфно $M_2$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Докажите, что тензорное произведение ассоциативно: \\ $M_1\otimes_R (M_2 \otimes_R M_3) \cong (M_1\otimes_R M_2) \otimes_R M_3$. \ез \указание Выведите это из универсального свойства тензорного произведения. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Точность функтора $\Hom$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ -- точная последовательность $R$-модулей. Докажите, что \[ 0 \arrow \Hom_R(M_3, N) \arrow \Hom_R(M_2,N) \arrow \Hom_R(M_1,N)\] точна, для любого $R$-модуля $N$. \ез \задача[*] Пусть $R$ -- кольцо, конечномерное над полем ("артиново", в терминологии листка 6), а $0\arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ -- точная последовательность. Всегда ли $\Hom_R(M_2,N) \arrow \Hom_R(M_1,N)$ -- наложение? А если $R$ полупросто? \ез \задача Пусть $R=\Z$. Приведите пример вложения $R$-модулей $M_1 \arrow M_2$, таких, что $\Hom_R(M_2,N) \arrow \Hom_R(M_1,N)$ -- не наложение для какого-то $N$. \ез \определение {\бф Точный функтор} $F$ есть функтор на категории $R$-модулей, переводящий любую точную последовательность в точную. \ео \определение Модуль $N$ над $R$ называется {\бф инъективным}, если функтор $M \arrow \Hom_R(M, N)$ точен. \ео \задача[*] Вложите $\Z/n\Z$ в инъективный $\Z$-модуль. \ез \задача Пусть $0\arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3$ -- точная последовательность $R$-модулей. Докажите, что \[ 0 \arrow \Hom_R(N, M_1) \arrow \Hom_R(N,M_2) \arrow \Hom_R(N,M_3)\] точна, для любого $R$-модуля $N$. \ез \задача Пусть $R=\Z$. Приведите пример эпиморфизма $R$-модулей\\ $M_2 \arrow M_3$, такого, что $\Hom_R(N,M_2) \arrow \Hom_R(N,M_3)$ не наложение для какого-то $N$. \ез \определение Модуль $N$ над $R$ называется {\бф проективным}, если функтор $M \arrow \Hom_R(N,M)$ точен. \ео \задача[!] Докажите, что конечно-порожденный $R$-модуль $N$ проективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым $R^n$. \ез \указание Рассмотрите наложение $\Hom_R(N,M_2) \arrow \Hom_R(N,M_3)$ где $M_3=N$, а $M_2$ -- свободный модуль, сюрьективно отображающийся на $N$. \еу \задача[*] Пусть над кольцом $R$ любой модуль проективен. Верно ли, что $R$ -- прямая сумма полей? \ез \nopagebreak %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Точность тензорного произведения} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $0 \arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ -- точная последовательность $R$-модулей. Докажите, что для любых $R$-модулей $N, N'$, последовательность \begin{multline*} 0 \arrow \Hom_R(N',\Hom_R(M_3, N)) \\ \arrow \Hom_R(N',\Hom_R(M_2,N)) \arrow \Hom_R(N',\Hom_R(M_1N)), \end{multline*} точна. \ез \указание Примените свойства точности $\Hom_R$ (сначала одно, потом другое). \еу \задача Пусть $0 \arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ -- точная последовательность $R$-модулей. Докажите, что для любых $R$-модулей $N, N'$, последовательность \[ 0 \arrow \Hom_R(M_3\otimes N', N) \arrow \Hom_R(M_2\otimes N',N) \arrow \Hom_R(M_1\otimes N',N) \] точна. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \определение {\бф Комплекс} $R$-модулей есть последовательность вида \[ M_1 \stackrel {d_1} \arrow M_2 \stackrel {d_2} \arrow M_3 \stackrel {d_3} \arrow ... \] такая, что $d_i\circ d_{i+1}=0$. {\бф Когомологии} комплекса суть группы $\frac {\ker (d_{i+1})}{\im d_i}$. Комплекс {\бф точен}, если у него нулевые когомологии. \ео \задача \label{_hom_v_N_tochen_Zadacha_} Пусть $E$ есть $M_1\stackrel\mu \arrow M_2 \stackrel \rho \arrow M_3\arrow 0$ -- комплекс $R$-модулей, такой, что \[ 0 \arrow \Hom_R(M_3, N) \stackrel{\rho_N}\arrow \Hom_R(M_2,N) \stackrel{\mu_N}\arrow \Hom_R(M_1,N)\] точно для любого $R$-модуля $N$. Докажите, что $E$ тоже точен. \ез \указание Воспользуйтесь инъективностью $\rho_N$, чтобы доказать сюрьективность $\rho$, положив $N:= M_3/\im \rho$. Докажите точность $Е$ во втором члене, воспользовавшись точностью $\Hom_R(E,N)$ в члене $M_2$, и выбрав $N=M_2 /\im \mu$. \еу \задача[*] Пусть $E=\bigg(M_1 \stackrel {d_1} \arrow M_2 \stackrel {d_2} \arrow M_3\arrow ...\bigg)$ есть комплекс $R$-модулей, такой, что \[ ... \arrow \Hom_R(M_3,N) \arrow \Hom_R(M_2,N) \arrow \Hom_R(M_1,N) \] точен для любого $N$. Докажите, что $E$ точен. \ез \задача[!] Пусть $0 \arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3\arrow 0$ -- точная последовательность $R$-модулей. Докажите, что последовательность \[ M_1\otimes_R M \arrow M_2\otimes_R M \arrow M_3\otimes_R M\arrow 0 \] всегда точна. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_hom_v_N_tochen_Zadacha_}, и примените точность \[ 0 \arrow \Hom_R(M_3\otimes M, N) \arrow \Hom_R(M_2\otimes M,N) \arrow \Hom_R(M_1\otimes M,N) \] \еу \задача В ситуации предыдущей задачи, приведите пример, когда \\ $M_1\otimes_R M \arrow M_2\otimes_R M$ -- не вложение. \ез \определение $R$-модуль $N$ называется {\бф плоским}, если функтор \\ $M \arrow M\otimes_R N$ точен. \ео \задача[*] Пусть $R$ -- кольцо, не являющееся прямой суммой полей. Всегда ли над $R$ найдется неплоский модуль? \ез \задача[!] Пусть $I\subset R$ -- идеал. Докажите, что для любого $R$-модуля, $M\otimes_R (R/I)\cong M/IM$. \ез \указание Воспользуйтесь точной последовательностью\\ $0 \arrow I \arrow R \arrow R/I\arrow 0$ и тензорно домножьте ее на $M$. \еу \задача Пусть $I, I'$ -- разные максимальные идеалы в ко\-неч\-но-\-по\-рож\-ден\-ном кольце $R$. Докажите, что $R/I\otimes_R R/I'=0$. \ез \указание Убедитесь, что $R/I\otimes_R R/I'$ есть фактор $R\otimes_R R=R$ по идеалу, содержащему $I$ и $I'$. \еу \задача[*] Пусть $R^n \arrow R^m$ -- сюрьективный гомоморфизм $R$-модулей. Докажите, что $m \leq n$. \ез \задача[*] Пусть $R^n \arrow R^m$ -- инъективный гомоморфизм $R$-мо\-ду\-лей, причем $R$ -- конечно-порожденное кольцо над $\C$. Докажите, что $n \leq m$. \ез \задача[**] Пусть $R^n \arrow R^m$ -- инъективный гомоморфизм $R$-мо\-ду\-лей, причем $R$ -- не обязательно конечно-порожденное. Верно ли, что всегда $n \leq m$? \ез \end{document}