\documentclass[10pt]{article} \input{listki-ag.tex} % version 1.0, taken from the Fall 2004 Galois theory, 06.10.2011 % version 1.1, поправки Саши Ананьина, 09.10.2011 % version 1.1.1, 12.10.2011, убрал полупростоту из задачи 6.19 % version 1.2, 12.11.2011, $n+1$ на $n$ в задаче 6.8 % version 1.3, 18.11.2011, 6.14 не нужно артиновости, очепятка \newcommand{\version}{version 1.3,\ \ 18.11.2011} \newcommand{\firstdate}{11.11.2011} \begin{document} \listok{6}{Алгебраическая геометрия 6: Артиновы кольца и идемпотенты} Здесь (как и во всех других листочках) {\бф кольцо} обозначает коммутативное кольцо с единицей, {\бф алгебра} -- ассоциативная и над полем. \begin{opredelenie} Пусть дана коммутативная $R$ алгебра с единицей над полем $k$. Говорят, что $R$ {\bf артиново кольцо над полем $k$}, если $R$ конечномерна как векторное пространство. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть дан линейный оператор $A\in \End V$, где $V$ конечномерно. Рассмотрим подалгебру в $\End V$, порожденную $k$ и $A$. Докажите, что это артиново кольцо над $k$. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Элемент $r\in R$ в алгебре (или кольце) $R$ называется {\bf нильпотентным}, или {\бф нильпотентом}, если $r^k=0$, для какого-то $k\in \N$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $r, r'$ -- нильпотентные элементы в алгебре $\End(V)$. Всегда ли $r+r'$ нильпотентен? \end{zadacha} \def\cchar{\operatorname{\sf char}} \def\chpoly{\operatorname{\sf chpoly}} \def\tr{\operatorname{\sf tr}} \begin{zadacha}\label{tr=0} Пусть $A \in \End V$ -- нильпотентный оператор. Докажите, что $\tr(A)=\det(A)=0$, а характеристический полином $\chpoly_A(t)=t^{\dim V}$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Докажите, что любой простой идеал в артиновом кольце максимален. \end{zadacha} \begin{zadacha} Рассмотрим множество всех нильпотентных элементов в кольце $R$. Докажите, что это идеал. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Этот идеал называется {\bf нильрадикалом} кольца $R$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Рассмотрим фактор кольца $R/{\mathfrak n}$ по его нильрадикалу. Докажите, что в $R/{\mathfrak n}$ нет ненулевых нильпотентов. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Артиново кольцо $R$ называется {\bf полупростым}, если в нем нет ненулевых нильпотентов. \end{opredelenie} \begin{opredelenie} Пусть $R_1,\dots,R_n$ -- алгебры над полем. Возьмем прямую сумму $\oplus R_i$, с естественным (почленным) умножением и сложением. Получившаяся алгебра называется {\bf прямой суммой $R_i$}, обозначается $\oplus R_i$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Докажите, что прямая сумма полупростых артиновых колец полупроста. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $v$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$. Рассмотрим подпространство $R$, порожденное $1, v, v^2, v^3, \dots$ (для всех степеней $v$). Пусть оно $n$-мерно. Докажите, что $P(v)=0$ для некоторого полинома $P= t^{n+1} + a_n t^n + \dots$ с коэффициентами из $k$. Докажите, что такой полином единственный. \end{zadacha} \def\minpoly{\operatorname{\sf Minpoly}} \begin{opredelenie} Этот полином называется {\bf минимальным полиномом} элемента $v$ и обозначается $\minpoly(v)$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $v\in R$ -- элемент артинового кольца над $k$, а $P(t)$ -- его минимальный полином. Рассмотрим подалгебру $R_v$, порожденную $v$ и $k$. Докажите, что $R_v$ изоморфно кольцу $k[t]/P$ остатков по модулю $P$. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть $v\in R$ -- такой элемент алгебры $R$, что $v^2=v$. Тогда $v$ называется {\bf идемпотентом}. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $e\in R$ -- идемпотент в кольце. Докажите, что $1-e$ тоже идемпотент. Докажите, что произведение идемпотентов -- идемпотент. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $e\in R$ -- идемпотент в кольце. Рассмотрим пространствo $eR\subset R$ (образ умножения на $e$). Докажите, что $eR$ -- подалгебра в $R$, $e$ -- единичный элемент в $eR$, и $R=eR \oplus (1-e)R$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $R = k[t]/P$, где $P$ -- полином, который разлагается в произведение попарно взаимно простых полиномов, $P = P_1 P_2 \dots P_n$. Докажите, что в $R$ есть $n$ идемпотентов $e_1, \dots, e_n \subset R$, причем $e_i R \cong k[t]/P_i$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо без неединичных идемпотентов. Докажите, что это поле. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Пусть $R$ -- не поле. Рассмотрите подалгебру $k[x] \subset R$, порожденную необратимым элементом $x \in R$, и примените к ней утверждение предыдущей задачи. \end{ukazanie} \begin{opredelenie} Говорят, что два идемпотента $e_1,e_2 \in R$ в коммутативной алгебре $R$ {\bf ортогональны}, если $e_1e_2=0$. \end{opredelenie} \begin{zadacha} Пусть $e_2,e_3 \in R$ -- идемпотенты, причем $e_1=e_2+e_3$, а $e_2$ и $e_3$ ортогональны. Докажите, что $e_1$ -- тоже идемпотент, причем $e_2,e_3 \in e_1R$ и $e_1R=e_2R \oplus e_3R$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $\cchar k \neq 2$. Предположим, что $e_1, e_2, e_3$ -- идемпотенты в артиновом кольце $R$ над $k$, и $e_1 = e_2 + e_3$. Докажите, что $e_2$ и $e_3$ ортогональны. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$, Идемпотент $e$ в $R$ называется {\bf неразложимым}, если нельзя найти такие ненулевые ортогональные идемпотенты $e_2, e_3$, что $e_1 = e_2 + e_3$. \end{opredelenie} \begin{zadacha}[!] Пусть $R$ полупростое артиново кольцо, а $e$ -- неразложимый идемпотент. Докажите, что $eR$ -- поле. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо над полем $k$, Докажите, что $1$ разлагается в сумму неразложимых ортогональных идемпотентов: $1 = \sum e_i$. Докажите, что это разложение единственно. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Для существования, возьмите какой-нибудь идемпотент $e \in R$, разложите $R=eR \oplus (1-e)R$, и воспользуйтесь индукцией. Для единственности, перемножьте два возможных разложения $1$. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[!] Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо над полем $k$, Докажите, что $R$ изоморфно прямой сумме полей. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[*] Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$, а $1 = e_1+ \dots + e_n$ -- разложение 1 в сумму неразложимых ортогональных идемпотентов. Докажите, что у $R$ есть ровно $n$ простых идеалов. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть $R$ -- алгебра над полем $k$, а $g$ -- симметричная билинейная форма на $R$. Форма $g$ называется {\bf инвариантной}, если $g(x, yz) = g(xy, z)$ для любых $x$, $y$, $z$. \end{opredelenie} \замечание Если $R$ содержит единицу, то для любой инвариантной формы $g$, имеем $g(x,y)=h(xy,1)$, то есть $g$ определяется линейным функционалом. \еза \begin{zadacha} Пусть $R$ -- артиново кольцо, снабженное билинейной инвариантной формой $g$, а ${\mathfrak m}$ -- идеал в $R$. Докажите, что его ортогональное дополнение ${\mathfrak m}^\bot$ -- тоже идеал. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Найдите артиново кольцо, не допускающее невырожденной инвариантной билинейной формы. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] \label{_Tr_semisimple_Zadacha_} Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$. Рассмотрим билинейную форму $a, b \arrow \tr(ab)$, где $\tr(ab)$ -- след эндоморфизма $L_{ab}\in \End_k R$, $x \stackrel {L_{ab}}\mapsto abx$. Докажите, что если эта форма невырождена, то $R$ полупросто. Докажите, что если $R$ полупросто, а $\cchar k =0$, то эта форма невырождена. \end{zadacha} \begin{ukazanie} В одну сторону, воспользуйтесь задачей~\ref{tr=0}. В другую сторону, рассмотрите сначала ситуацию когда $R$ -- поле. \end{ukazanie} \begin{zadacha} Пусть $V$, $V'$ -- векторные пространства над $k$, снабженные билинейными формами $g$, $g'$. Определим на $V\otimes V'$ билинейную форму $g \otimes g'$, исходя из \[ g \otimes g'(v\otimes v',w\otimes w')= g(v,w)g'(v', w') \] Докажите, что это определение корректно, и единственным образом задает билинейную форму на $V \otimes V'$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Докажите, что алгебра $\C \otimes_\R \C$ полупроста, и разложите ее в прямую сумму полей. \end{zadacha} \begin{zadacha} Докажите, что алгебра $\Q[\1]\otimes_\Q \Q[\1]$ полупроста, и разложите ее в прямую сумму полей. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $P(t)$ и $Q(t)$ -- полиномы над полем k. Обозначим $K_1=k[t]/P(t)$ и $K_2=k[t]/Q(t)$. Докажите, что $K_1 \otimes K_2 \cong K_1[t]/Q(t) \cong K_2[t]/P(t)$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $R$, $R'$ -- артиновы кольца над $k$, $\cchar k =0$. Обозначим естественные билинейные формы $a, b \arrow \tr(ab)$ на них через $g$, $g'$. Рассмотрим тензорное произведение $R \otimes R'$ с естественной структурой артиновой алгебры. Рассмотрим форму $g\otimes g'$ на $R \otimes R'$. Докажите, что $g\otimes g'$ равна форме $a, b \arrow \tr(ab)$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Докажите, что тензорное произведение полупростых артиновых колец над полем $k$ характеристики $0$ полупросто. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь задачей \ref{_Tr_semisimple_Zadacha_}. \end{ukazanie} \begin{zadacha}[*] Найдите такие два поля $K_1$, $K_2$, алгебраических над $\Q$ и не равных $\Q$, что $K_1\otimes_\Q K_2$ -- тоже поле. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $P(t)\in \Q[t]$ -- многочлен, у которого есть ровно $r$ вещественных корней и ровно $2s$ комплексных, но не вещественных, причем все корни разные. Докажите, что \[ (\Q[t]/P)\otimes_\Q \R = \bigoplus_s \C \oplus \bigoplus_r \R. \] \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Пусть $P(t)$ -- неприводимый многочлен над $\Q$, у которого нет вещественных корней, а $v\in \Q[t]/P$ -- любой элемент, не лежащий в $\Q \subset \Q[t]/P$. Докажите, что у минимального полинома элемента $v$ нет вещественных корней. \end{zadacha} \end{document}