\documentclass[11pt]{article} \input{listki-ag.tex} % version 1.0, 04.10.2010 % version 1.1, 07.10.2010 -- исправления от Саши Ананьина % version 1.2, 27.10.2010 -- задачу 4.28 малость поправил % version 1.2.1, 12.11.2010 -- убрал ``гомоморфизм'' из усреднения \newcommand{\version}{version 1.2.1,\ \ 12.11.2011} \newcommand{\firstdate}{07.10.2011} \begin{document} \listok{5}{Алгебраическая геометрия 5: Теорема Нетер} {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сданы 2/3 задач с (*) и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Представления конечных групп} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Характеристика основного поля предполагается равной 0, если не оговорено противного. Все кольца -- коммутативные и с единицей. \определение {\бф Неприводимое представление} группы $G$ есть представление $G$, у которого нет нетривиальнык $G$-инвариантных подпространств. \ео \замечание Если $V$ -- представление группы $G$, говорится, что $G$ {\бф действует на $V$}. \еза \задача Докажите, что любое конечномерное представление конечной группы является прямой суммой неприводимых. \ез \определение Рассмотрим пространство $\C[G]$, с базисом, состоящим из элементыв группы, и естественным действием $G$. Оно называется {\бф групповой алгеброй} $G$, и еще {\бф свободным представлением}. \ео \задача Докажите, что любое неприводимое представление конечной группы $G$ является прямым слагаемым свободного. \ез \определение Пусть $G$ -- конечная группа, действующая не векторном пространстве $V$. Определим {\бф пространство $G$-инвариантов} $V^G$ как пространство всех $G$-инвариантных векторов $V$, а {\бф пространство коинвариантов} $V_G$ как фактор $V$ по подпространству, порожденному векторами вида $v-g(v)$, где $g\in G, v\in V$. \ео \задача Пусть $V$ -- нетривиальное неприводимое представление конечной группы. Докажите, что пространствa $V_G$ и $V^G$ тривиальны. \ез \задача[!] Пусть $V$ -- конечномерное представление конечной группы. Докажите, что пространствa $V_G$ и $V^G$ изоморфны. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $G$ -- конечная группа, действующая на бесконечном векторном пространстве $V$, а $v\in V$ -- вектор. Докажите, что $v$ содержится в конечномерном $G$-инвариантном подпространстве. \ез \задача[!] Пусть $G$ -- конечная группа, действующая на бесконечномерном векторном пространстве $V$. Докажите, что $V=\bigoplus_i V_i$, где все $V_i$ -- конечномерные представления $G$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей и примените лемму Цорна. \еу \задача[!] Пусть $G$ -- конечная группа, действующая на бесконечном векторном пространстве $V$. Докажите, что пространствa $V_G$ и $V^G$ изоморфны. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[*] Найдите бесконечную группу $G$, и ее представление $V$, такое, что $V_G$ ненулевое, а $V^G$ нулевое. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Эквивариантные $G$-модули} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $R$ -- кольцо, на котором автоморфизмами действует группа $G$, а $M$ -- $R$-модуль. Действие $G$ на $M$ называется {\бф эквивариантным}, если $g(fm)=g(f)g(m)$, где $f\in R, m\in M$. {\бф Морфизм} $G$-эквивариантных модулей есть гомоморфизм модулей, коммутирующий с действием $G$. \ео \задача Пусть $M_1\subset M$ -- $G$-инвариантный подмодуль $G$-эквивариантного $R$-модуля. Докажите, что $M_1$ $G$-эквивариантен. Постройте естественную $G$-эквивариантную структуру на $M/M_1$. \ез \задача Пусть $M$ -- $G$-\-экви\-ва\-риант\-ный конечно-порожденный $R$-модуль. Всегда ли можно представить $M$ как фактор $R^n$ по $G$-инвариантному подмодулю? \ез \задача[!] Докажите, что отображение усреднения по действию $G$, $m \arrow \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} g(m)$ задает $R^G$-линейное отображение $M \arrow M^G$, причем его ядро порождено векторами вида $gm-m$ (то есть равно ядру естественной сюрьекции на коинварианты). \ез \определение Это отображение называется {\бф функтором усреднения по группе}, или просто {\бф усреднением}. \ео \задача Рассмотрим отображения, которые сопоставляют $G$-\-экви\-ва\-риант\-ному $R$-модулю пространства $M^G$ и $M_G$. Проверьте, что на $M^G$ и $M_G$ задана естественная структура $R^G$-модуля. Постройте естественное преобразование функторов, переводящее $M^G$ в $M_G$. \ез \задача[!] \label{_inva_coinva_tochen_Zadacha_} Пусть $0\arrow A \arrow B \arrow C\arrow 0$ -- точная последовательность $G$-эквивариантных $R$-модулей, где $G$ конечно. Докажите, что последовательности \[ 0\arrow A^G \arrow B^G \arrow C^G\arrow 0\] и \[ 0\arrow A_G \arrow B_G \arrow C_G\arrow 0\] тоже точны. \ез \указание Воспользуйтесь изоморфизмом $M_G$ и $M^G$. \еу \задача[*] В условиях предыдущей задачи, пусть $G$ бесконечна. Приведите пример, когда \енум \итем $0\arrow A^G \arrow B^G \arrow C^G\arrow 0$ \итем $0\arrow A_G \arrow B_G \arrow C_G\arrow 0$ \ее не точны. \ез \задача Пусть $M$ -- эквивариантный $G$-модуль, а $RM^G$ -- его подмодуль, порожденный $M^G$. Докажите, что $RM^G$ -- эквивариантный подмодуль в $M$. Найдите пример, когда $G$ конечна, а $RM^G\neq M$. \ез \задача[!] \label{_iso_inva_Zadacha_} Пусть $M$ -- эквивариантный $G$-модуль, а $RM^G=M$. Пусть $G$ конечна. Докажите, что для любого $R^G$-подмодуля $M_1 \subset M^G$, имеем $RM_1 \cap M^G= M_1$. \ез \указание Чтобы убедиться, что $M_1 \supset RM_1 \cap M^G$, примените функтор усреднения $W \stackrel {Av_G}\arrow W^G$, и воспользуйтесь тем, что $Av_G(RM_1)= R^G M_1=M_1$. \еу \задача Пусть $M$ -- нетеров, $G$-эквивариантный $R$-модуль, а $G$ конечна. Докажите, что $M^G$ -- нетеров $R^G$-модуль. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $R$ -- кольцо с действием конечной группы $G$, а $I\subset R^G$ -- идеал. Докажите, что $(RI)^G=I$. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_iso_inva_Zadacha_}. \еу \задача[!] Пусть $R$ -- нетерово кольцо с действием конечной группы $G$. Докажите, что $R^G$ -- нетерово. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Градуированные кольца} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Градуированное кольцо} есть кольцо $A^*$ вида $A^*=\bigoplus_{i=0}^\infty A^i$, где умножение удовлетворяет закону $A^i\cdot A^j \subset A^{i+j}$. Градуированное кольцо называется кольцом {\бф конечного типа}, если все $A^i$ конечномерны. \ео \задача Пусть $A^*$ -- конечно-порожденное градуированное кольцо, причем $A^0$ конечномерно. Докажите, что это кольцо конечного типа. \ез \задача[!] Пусть $A^*$ -- градуированное кольцо, причем $A^0$ конечномерно. Докажите, что $A^*$ конечно порождено тогда и только тогда, когда оно нетерово. \ез \указание Воспользуйтесь нетеровостью, чтобы убедиться, что идеал $\bigoplus_{i>0}A^i$ конечно порожден. \еу \задача Найдите нетерово кольцо над $\C$, которое не конечно порождено. \ез \определение {\бф Фильтрация} на кольце $R$ есть набор подпространств $R=R^0\supset R^1 \supset R^2 \supset...$, которая согласована с умножением следующим образом, $R^i \cdot R^j \subset R^{i+j}$. \ео \задача Пусть $R$ -- кольцо с фильтрацией $R=R^0\supset R^1 \supset R^2 \supset...$ Постройте на $\bigoplus_i (R^i/R^{i+1})$ структуру градуированного кольца. \ез \определение {\бф Присоединенное градуированное кольцо} для кольца с фильтрацией $R=R^0\supset R^1 \supset R^2 \supset...$ есть $\bigoplus_i (R^i/R^{i+1})$ снабженное естественной мультипликативной структурой. \ео \задача Пусть $I\subset R$ -- идеал в кольце, а $R^n:= I^n$ его степени. Докажите, что $R^n$ задает фильтрацию на $R$.\footnote{Такая фильтрация называется {\бф $I$-адической}, в честь $p$-адических чисел.} \ез \задача[!] Пусть $R_{gr}:=\bigoplus_i (I^n/I^{n+1})$ -- присоединенное градуированное кольцо по $I$-адической фильтрации. Докажите, что $R_{gr}$ порождено $R/I$ и $I/I^2$. \ез \задача Приведите пример кольца $R$ над $\C$ с максимальным идеалом $I$, такого, что $R$ не изоморфно своему присоединенному градуированному по $I$-адической фильтрации. \ез \задача[!] Пусть $(p)\subset \Z$ -- главный идеал, порожденный простым числом $p$, а $(p^n)$ -- соответствующая $p$-адическая фильтрация, а $A^*$ его присоединенное градуированное кольцо. Докажите, что $A^*$ изоморфно $\Z/p\Z[t]$. \ез \задача[*] Пусть $x\in A$ -- гладкая точка на аффинном многообразии, а $m_x$ ее максимальный идеал. Рассмотрим $m_x$-адическую фильтрацию на $\calo_A$. Докажите, что соответствующее присоединенное градуированное кольцо изоморфно кольцу полиномов. \ез \задача[*] Постройте на кольце полиномов фильтрацию, такую, что все элементы присоединенного градуированного кольца градуировки $>0$ -- нильпотенты. \ез \задача[*] Найдите конечно-порожденное кольцо, не допускающее градуировки конечного типа. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Теорема Нетер} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $R=\C[z_1, ..., z_n]$ -- кольцо полиномов, а $G$ -- конечная группа, которая действует на пространстве, порожденном $z_i$, линейными автоморфизмами.\footnote{Такое действие на кольце полиномов называется {\бф линейным.}} Докажите, что это действие продолжается до действия $G$ на $R$. \ез \задача[!] (теорема Нетер для полиномиальных инвариантов) В условиях предыдущей задачи, докажите, что $R^G$ конечно порождено. \ез \указание Найдите на $R$ градуировку, которая сохраняется действием $G$, и примените нетеровость. \еу \задача[!] Пусть $R$ -- кольцо, снабженное действием конечной группы, а $I\subset R$ -- $G$-инвариантный идеал. Докажите, что $R^G/I^G= (R/I)^G$. \ез \указание Примените задачу \ref{_inva_coinva_tochen_Zadacha_}. \еу \задача Пусть $R$ -- конечно порожденное кольцо, снабженное действирм конечной группы $G$, а $I\subset R$ -- $G$-инвариантный идеал. Предположим, что $R^G$ конечно порождено. Докажите, что $(R/I)^G$ тоже конечно порождено. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $R$ -- конечно порожденное кольцо с действием $G$. Докажите, что $R$, как кольцо с действием $G$, изоморфно $\C[z_1, ..., z_n]/I$, где $\C[z_1, ..., z_n]$ кольцо полиномов, снабженное линейным действием $G$, а $I$ -- $G$-инвариантный идеал. \ез \указание Пусть $f_1,..., f_k$ -- образующие $R$. В качестве $z_1, ..., z_n$ возьмите $f_1,..., f_k$ и все их образы при действии $G$, и докажите, что при естественном отображении $\C[z_1, ..., z_n]\stackrel\phi\arrow R$, ядро $\phi$ $G$-инвариантно. \еу \задача[!] Докажите {\бф теорему Нетер}: кольцо инвариантов действия конечной группы на конечно порожденном кольце конечно порождено. \ез \указание Воспользуйтесь теоремой Нетер для полиномиальных инвариантов. \еу \end{document}