\documentclass[11pt]{article}

\input{listki-ag.tex}

% version 1.0, 04.10.2010
% version 1.1, 07.10.2010 -- исправления от Саши Ананьина
% version 1.2, 27.10.2010 -- задачу 4.28 малость поправил
% version 1.2.1, 12.11.2010 -- убрал ``гомоморфизм'' из усреднения

\newcommand{\version}{version 1.2.1,\ \   12.11.2011}
\newcommand{\firstdate}{07.10.2011}

\begin{document}

\listok{5}{Алгебраическая геометрия 5: Теорема Нетер}

{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сданы 2/3 задач с (*) и (!), студент получает
$6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Представления конечных групп}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Характеристика основного поля предполагается 
равной 0, если не оговорено противного.
Все кольца -- коммутативные и с единицей.

\определение
{\бф Неприводимое представление} группы $G$
есть представление $G$, у которого
нет нетривиальнык $G$-инвариантных
подпространств.
\ео

\замечание
Если $V$ -- представление группы $G$, говорится,
что $G$ {\бф действует на $V$}.
\еза

\задача
Докажите, что любое конечномерное представление
конечной группы является прямой суммой неприводимых.
\ез

\определение
Рассмотрим пространство $\C[G]$,
с базисом, состоящим из элементыв группы,
и естественным действием $G$. Оно называется
{\бф групповой алгеброй} $G$, и еще {\бф свободным
представлением}.
\ео

\задача
Докажите, что любое неприводимое представление
конечной группы $G$ является прямым слагаемым свободного.
\ез


\определение
Пусть $G$ -- конечная группа, действующая
не векторном пространстве $V$. Определим
{\бф пространство $G$-инвариантов} $V^G$
как пространство всех $G$-инвариантных векторов $V$,
а {\бф пространство коинвариантов} $V_G$ как
фактор $V$ по подпространству, порожденному
векторами вида $v-g(v)$, где $g\in G, v\in V$.
\ео


\задача
Пусть $V$ -- нетривиальное неприводимое представление
конечной группы. Докажите, что пространствa
$V_G$ и $V^G$ тривиальны. 
\ез

\задача[!]
Пусть $V$ -- конечномерное представление
конечной группы. Докажите, что пространствa
$V_G$ и $V^G$ изоморфны.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $G$ -- конечная группа, действующая на бесконечном 
векторном пространстве $V$, а $v\in V$ -- вектор.
Докажите, что $v$ содержится в конечномерном
$G$-инвариантном подпространстве.
\ез


\задача[!]
Пусть $G$ -- конечная группа, действующая на бесконечномерном
векторном пространстве $V$. Докажите, что $V=\bigoplus_i V_i$,
где все $V_i$ -- конечномерные представления $G$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей и примените
лемму Цорна.
\еу

\задача[!]
Пусть $G$ -- конечная группа, действующая на бесконечном 
векторном пространстве $V$. Докажите, что пространствa
$V_G$ и $V^G$ изоморфны.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[*]
Найдите бесконечную группу $G$, 
и ее представление $V$, такое, что
$V_G$ ненулевое, а $V^G$ нулевое.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Эквивариантные $G$-модули}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $R$ -- кольцо, на котором автоморфизмами
действует группа $G$, а $M$ -- $R$-модуль.
Действие $G$ на $M$ называется {\бф эквивариантным},
если $g(fm)=g(f)g(m)$, где $f\in R, m\in M$.
{\бф Морфизм} $G$-эквивариантных модулей
есть гомоморфизм модулей, коммутирующий с действием $G$.
\ео


\задача
Пусть $M_1\subset M$ -- $G$-инвариантный подмодуль
$G$-эквивариантного $R$-модуля. Докажите, что
$M_1$ $G$-эквивариантен. Постройте естественную
$G$-эквивариантную структуру на $M/M_1$.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- $G$-\-экви\-ва\-риант\-ный конечно-порожденный
$R$-модуль. Всегда ли можно представить $M$ как фактор
$R^n$ по $G$-инвариантному подмодулю?
\ез


\задача[!]
Докажите, что отображение
усреднения по действию $G$, $m \arrow \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} g(m)$
задает $R^G$-линейное отображение $M \arrow M^G$, причем его ядро
порождено векторами вида $gm-m$ (то есть равно ядру
естественной сюрьекции на коинварианты).
\ез

\определение
Это отображение называется {\бф функтором усреднения по группе},
или просто {\бф усреднением}.
\ео


\задача
Рассмотрим отображения, которые
сопоставляют $G$-\-экви\-ва\-риант\-ному 
$R$-модулю пространства $M^G$ и $M_G$.
Проверьте, что на $M^G$ и $M_G$ задана
естественная структура $R^G$-модуля.
Постройте естественное преобразование
функторов, переводящее $M^G$ в $M_G$.
\ез



\задача[!]
\label{_inva_coinva_tochen_Zadacha_}
Пусть $0\arrow A \arrow B \arrow C\arrow 0$ --
точная последовательность $G$-эквивариантных 
$R$-модулей, где $G$ конечно. Докажите, что 
последовательности
\[ 0\arrow A^G \arrow B^G \arrow C^G\arrow 0\] и 
\[ 0\arrow A_G \arrow B_G \arrow C_G\arrow 0\]
тоже точны.
\ез

\указание
Воспользуйтесь изоморфизмом $M_G$ и $M^G$.
\еу


\задача[*]
В условиях предыдущей задачи, пусть
$G$ бесконечна.
Приведите пример, когда
\енум
\итем $0\arrow A^G \arrow B^G \arrow C^G\arrow 0$
\итем $0\arrow A_G \arrow B_G \arrow C_G\arrow 0$
\ее
не точны.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- эквивариантный $G$-модуль, а
$RM^G$ -- его подмодуль, порожденный $M^G$. 
Докажите, что $RM^G$ -- эквивариантный подмодуль в $M$.
Найдите пример, когда $G$ конечна, а $RM^G\neq M$.
\ез

\задача[!]
\label{_iso_inva_Zadacha_}
Пусть $M$ -- эквивариантный $G$-модуль, а $RM^G=M$.
Пусть $G$ конечна.
Докажите, что для любого $R^G$-подмодуля $M_1 \subset M^G$,
имеем $RM_1 \cap M^G= M_1$.
\ез

\указание
Чтобы убедиться, что $M_1 \supset RM_1 \cap M^G$,
примените функтор усреднения $W \stackrel {Av_G}\arrow W^G$, 
и воспользуйтесь тем, что $Av_G(RM_1)= R^G M_1=M_1$.
\еу

\задача
Пусть $M$ -- нетеров, $G$-эквивариантный $R$-модуль,
а $G$ конечна. Докажите, что $M^G$ -- нетеров
$R^G$-модуль.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $R$ -- кольцо с действием конечной
группы $G$, а $I\subset R^G$ -- идеал.
Докажите, что $(RI)^G=I$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачей
\ref{_iso_inva_Zadacha_}.
\еу

\задача[!]
Пусть $R$ -- нетерово кольцо с действием конечной
группы $G$. Докажите, что $R^G$ -- нетерово.
\ез

\указание
Воспользуйтесь
предыдущей задачей.
\еу



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Градуированные кольца}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
{\бф Градуированное кольцо} есть кольцо $A^*$ вида 
$A^*=\bigoplus_{i=0}^\infty A^i$, 
где умножение удовлетворяет закону $A^i\cdot A^j \subset
A^{i+j}$. Градуированное кольцо называется кольцом
{\бф конечного типа}, если все $A^i$ конечномерны.
\ео

\задача
Пусть $A^*$ -- конечно-порожденное градуированное 
кольцо, причем $A^0$ конечномерно. Докажите, что
это кольцо конечного типа.
\ез


\задача[!]
Пусть $A^*$ -- градуированное кольцо, причем
$A^0$ конечномерно. Докажите, что $A^*$ конечно
порождено тогда и только тогда, когда оно
нетерово.
\ез

\указание
Воспользуйтесь нетеровостью, чтобы убедиться,
что идеал $\bigoplus_{i>0}A^i$ конечно порожден.
\еу

\задача
Найдите нетерово кольцо над $\C$, которое не конечно
порождено.
\ез

\определение
{\бф Фильтрация} на кольце $R$ есть набор подпространств
$R=R^0\supset R^1 \supset R^2 \supset...$, которая
согласована с умножением следующим образом, $R^i \cdot R^j
\subset R^{i+j}$.
\ео

\задача
Пусть $R$ -- кольцо с фильтрацией 
$R=R^0\supset R^1 \supset R^2 \supset...$
Постройте на $\bigoplus_i (R^i/R^{i+1})$
структуру градуированного кольца.
\ез

\определение
{\бф Присоединенное градуированное кольцо}
для кольца с фильтрацией $R=R^0\supset R^1 \supset R^2 \supset...$
есть $\bigoplus_i (R^i/R^{i+1})$
снабженное естественной мультипликативной структурой.
\ео

\задача
Пусть $I\subset R$ -- идеал в кольце, а
$R^n:= I^n$ его степени. Докажите, что
$R^n$ задает фильтрацию на $R$.\footnote{Такая фильтрация
называется {\бф $I$-адической}, в честь $p$-адических чисел.}
\ез

\задача[!]
Пусть $R_{gr}:=\bigoplus_i (I^n/I^{n+1})$ -- присоединенное
градуированное кольцо по $I$-адической фильтрации.
Докажите, что $R_{gr}$ порождено $R/I$ и $I/I^2$.
\ез

\задача
Приведите пример кольца $R$ над $\C$ с максимальным идеалом $I$, 
такого, что $R$ не изоморфно своему присоединенному
градуированному по $I$-адической фильтрации.
\ез

\задача[!]
Пусть $(p)\subset \Z$ -- главный идеал, 
порожденный простым числом $p$, а
$(p^n)$ -- соответствующая $p$-адическая 
фильтрация, а $A^*$ его присоединенное
градуированное кольцо. Докажите,
что $A^*$ изоморфно $\Z/p\Z[t]$.
\ез

\задача[*]
Пусть $x\in A$ -- гладкая точка 
на аффинном многообразии, а $m_x$ ее максимальный
идеал. Рассмотрим $m_x$-адическую фильтрацию 
на $\calo_A$. Докажите, что соответствующее
присоединенное градуированное кольцо изоморфно
кольцу полиномов.
\ез

\задача[*]
Постройте на кольце полиномов фильтрацию, такую,
что все элементы присоединенного градуированного
кольца градуировки $>0$ -- нильпотенты.
\ез


\задача[*]
Найдите конечно-порожденное кольцо, не допускающее 
градуировки конечного типа.
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Теорема Нетер}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $R=\C[z_1, ..., z_n]$ -- 
кольцо полиномов, а $G$ -- конечная группа,
которая действует на пространстве, порожденном
$z_i$, линейными автоморфизмами.\footnote{Такое действие
на кольце полиномов называется {\бф линейным.}} Докажите, что 
это действие продолжается до действия $G$ на $R$.
\ез

\задача[!]
(теорема Нетер для полиномиальных инвариантов)
В условиях предыдущей задачи, докажите, 
что $R^G$ конечно порождено.
\ез

\указание
Найдите на $R$ градуировку, которая сохраняется 
действием $G$, и примените нетеровость.
\еу

\задача[!] 
Пусть $R$ -- кольцо, снабженное действием конечной
группы, а $I\subset R$ -- $G$-инвариантный идеал.
Докажите, что $R^G/I^G= (R/I)^G$.
\ез

\указание
Примените задачу \ref{_inva_coinva_tochen_Zadacha_}.
\еу

\задача
Пусть $R$ -- конечно порожденное
кольцо, снабженное действирм конечной группы $G$, а
$I\subset R$ -- $G$-инвариантный идеал. Предположим,
что $R^G$ конечно порождено. Докажите, что
$(R/I)^G$ тоже конечно порождено.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\задача
Пусть $R$ -- конечно порожденное кольцо
с действием $G$. Докажите, что $R$, как кольцо
с действием $G$, изоморфно $\C[z_1, ..., z_n]/I$,
где $\C[z_1, ..., z_n]$ кольцо полиномов, снабженное
линейным действием $G$, а $I$ -- $G$-инвариантный идеал.
\ез

\указание
Пусть $f_1,..., f_k$ -- образующие $R$.
В качестве $z_1, ..., z_n$ возьмите $f_1,..., f_k$ 
и все их образы при действии $G$, и докажите, что при 
естественном отображении $\C[z_1, ..., z_n]\stackrel\phi\arrow R$,
ядро $\phi$ $G$-инвариантно.
\еу

\задача[!]
Докажите {\бф теорему Нетер}:
кольцо инвариантов действия конечной группы на
конечно порожденном кольце конечно порождено.
\ез

\указание
Воспользуйтесь теоремой Нетер для 
полиномиальных инвариантов.
\еу



\end{document}




