\documentclass[10pt]{article}

\input{listki-ag.tex}

% version 1.0, 21.09.2010
% version 1.1, 29.09.2010, исправления от Саши Ананьина
% version 1.1.1, 02.10.2010, ochepyatka v zadache 1
% version 1.2, 25.10.2010, 4.16 поправил

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   25.10.2011}
\newcommand{\firstdate}{30.09.2011}

\begin{document}

\listok{4}{Алгебраическая геометрия 4: Неприводимые
многообразия}


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сданы 2/3 задач с (*) и (!), студент получает
$6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Гладкие точки}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $A\subset \C^n$ -- алгебраическое подмножество.
Точка $a\in A$ называется {\бф гладкой}, если
существует открытая окрестность $A\supset U\ni a$,
которая диффеоморфна гладкому многообразию, 
и полиномиальный диффеоморфизм $U\arrow B\subset \C^k$
на открытый шар $B\subset \C^k$. В такой ситуации, многообразие
$A$ называется {\бф $k$-мерным в окрестности $a\in A$}. Точка называется 
{\бф особой}, или {\бф особенностью},
если такого диффеоморфизма не существует.
Многообразие называется {\бф гладким}, если у него нет
особенностей, и {\бф особым} в противном случае.
\ео

\задача
Пусть $A\subset \C^2$ задано однородным уравнением
$ax^2 + b xy + cy^2=0$. Докажите, что оно гладко
если и только если $b^2-4ac=0$.
\ез

\задача
Найдите пример особого многообразия $A$, которое
$k$-мерно в окрестности $a\in A$, и $k'$-мерно
в окрестности $a'\in A$, причем $k\neq k'$.
\ез

\задача 
Пусть $f_1, ..., f_k$ -- набор полиномов, а $a$ гладкая
точка на многообразии $A$, $k$-мерном в ее окрестности, 
такая, что ограничения дифференциалов $df_i\restrict {T_aA}$ 
линейно независимы в $a$.
Докажите, что $\langle f_1,..., f_k\rangle:\; A
\arrow\C^k$ -- диффеоморфизм из какой-то окрестности $a\in A$
на ее образ.\footnote{В такой ситуации, говорят, что
это ``диффеоморфизм в окрестности $а$''.}
\ез

\указание
Воспользуйтесь теоремой об обратной функции.
\еу


\задача
Пусть $\phi:\; A\arrow B$ -- изоморфизм аффинных многообразий,
$a\in A$, $\phi(a)=b$. Пусть $a$ -- гладкая точка $A$.
Докажите, что $b$ -- гладкая точка $B$.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\задача[!]
Докажите, что $a\in A\subset \C^n$ -- гладкая точка тогда и только
тогда, когда для какой-то линейной проекции 
$\C^n \stackrel \mu \arrow \C^k$, $\mu$
определяет диффеоморфизм в какой-то окрестности $a\in A$.
\ез


\задача[!]
\label{_smooth_constant_Zadacha_}
Пусть $M$ - многообразие, $x\in M$ -- гладкая
точка размерности $n$, а $m_x$ -- ее максимальный идеал. 
Докажите, что размерность $m_x/m^2_x$ равна $n$.
\ез

\указание
Применив предыдущую задачу,
убедитесь, что достаточно доказать сей факт для
$\C^n$. 
\еу

\задача
Докажите, что многообразие $A\subset \C^2$, 
заданное уравнением $x^2=y^3$, негладко.
\ез


\задача[*]
Докажите, что множество особых точек алгебраического
многообразия алгебраично.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Неприводимые многообразия}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Аффинное многообразие $A$ называется
{\бф приводимым}, если оно может быть разбито
в объединение $A=A_1\cup A_2$, где
$A_1, A_2$ -- аффинные многообразия, причем
$A_1\not\subset A_2$ и $A_2 \not\subset A_1$.
Если такое разложение невозможно, $A$ называется
{\бф неприводимым}.
\ео


\задача[!]
Докажите, что $A$ неприводимо $\Leftrightarrow$
кольцо регулярных функций $\calo_A$ не имеет делителей 
нуля.\footnote{Такое кольцо называется {\бф целостным}.}
\ез

\задача
Пусть $f$ и $g$ -- рациональные функции на гладком аффинном многообразии
$M$, причем $fg=0$ в какой-то окрестности $x\in M$.
Докажите, что $f=0$ либо $g=0$ в какой-то окрестности $x$.
\ез

\задача[!]
Пусть $A$ гладко  и связно.
Докажите, что оно неприводимо.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\определение
{\бф Идемпотент} кольца есть такой элемент $s\in R$, что $s^2=s$.
{\бф Нетривиальный идемпотент} есть идемпотент, который не равен 1 и 0.
\ео

\задача
Пусть $A$ -- аффинное многообразие, такое, что в $\calo_A$
есть нетривиальный идемпотент. Докажите, что $A$ приводимо.
\ез

\задача
Приведите пример приводимого аффинного многообразия,
такого, что  $\calo_A$ не содержит нетривиальных идемпотентов.
\ез

\задача 
Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 =1$ задает
связное и гладкое подмногообразие в $\C^2$.
\ез

\задача
Пусть $A\subset \C^n$ задано однородным уравнением
$x^2 + b xy + cy^2=0$. Докажите, что оно неприводимо
если и только если $b^2-4ac=0$.
\ез


\задача Пусть $A$ -- многообразие, такое, что множество
гладких точек $A$ плотно в $A$ и связно. Докажите, что
$A$ неприводимо.
\ез


\задача[*]
Докажите, что множество гладких точек любого аффинного
многообразия плотно в нем.
\ез

\определение
{\бф Собственное} подмногообразие $A$ есть 
подмногообразие, которое не равно $A$.
\ео

\задача[!]
Пусть $\phi:\; A \arrow B$ -- морфизм аффинных многообразий,
причем образ $A$ не содержится ни в каком собственном подмногообразии
$B$, а $\tilde \phi:\; \calo_B \arrow \calo_A$ -- соответствующий
гомоморфизм колец. Докажите, что $\tilde\phi$ инъективно.
\ез 

\задача
Пусть $\phi:\; A \arrow B$ -- морфизм аффинных многообразий,
причем образ $A$ не содержится ни в каком собственном подмногообразии
$B$. Предположим, что $A$ неприводимо. Докажите, что 
$B$ тоже неприводимо.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $A\subset \C^2$ -- подмногообразие, заданное уравнением
$x^2=y^3$. Докажите, что оно неприводимо.
\ез

\указание
Представьте $A$ как образ отображения $\C \arrow \C^2$,
$t \arrow t^3, t^2$, и воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[*]
Пусть $A\subset \C^2$ -- подмногообразие, заданное уравнением
$x^p=y^q$. Докажите, что оно неприводимо тогда и только тогда,
когда $p$ и $q$ взаимно просты.
\ез

\задача[*]
Пусть $A\subset \C^n$ -- подмногообразие, заданное уравнением
$x_1^{p_1}=x_2^{p_2}=...= x_n^{p_n}$. 
Докажите, что оно неприводимо, если все $p_i$ -- попарно различные
простые числа.
\ез


\задача[*]
Пусть $P(x_1, ..., x_n)$ -- неприводимый полином.
Докажите, что многообразие $P(x_1, ..., x_n)=0$ неприводимо.
\ез

\задача[*]
Пусть $X,Y$ -- неприводимые многообразия в $\C^3$,
причем $X$ задано полиномиальным
уравнением $P=0$, а $Y$ -- уравнением $Q=0$.
Всегда ли $X \cap Y$ неприводимо?
\ез

\задача
Пусть $X, Y$ -- неприводимые аффинные многообразия. 
Проверьте, что $X\times Y$  -- тоже аффинное многообразие. 
Всегда ли произведение
$X\times Y$ неприводимо?
\ез


\задача[*]
Пусть $G$ -- конечная группа, действующая на неприводимом аффинном
многообразии $M$ автоморфизмами. Рассмотрим множество
$M^G$ неподвижных точек $G$. Докажите, что оно
алгебраично. Всегда ли оно неприводимо?
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Неприводимые компоненты}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\определение
{\бф Неприводимая компонента} алгебраического множества $A$
есть неприводимое подмножество $A'\subset A$ такое, что
$A=A'\cup A''$, причем $A'\not\subset A$. 
\ео

\задача
Пусть $A_1 \supset A_2 \supset ... \supset A_n \supset ... $ --
последовательность убывающих алгебраических подмножеств в
аффинном многообразии. Докажите, что только конечное число
$A_i$ различны.
\ез

\указание
Воспользуйтесь нетеровостью.
\еу



\задача[!]
Докажите, что каждое аффинное многообразие есть объединение
его неприводимых компонент, которых конечное число.
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\определение
Разложение аффинного многообразия $M$ в объединение
его неприводимых компонент называется {\бф неприводимым 
разложением $M$}.
\ео

\задача
Докажите, что каждое неприводимое подмногообразие $M$
содержится в одной из неприводимых компонент $M$.
\ез

\end{document}




