\documentclass[10pt]{article} \input{listki-ag.tex} % version 1.0, 21.09.2010 % version 1.1, 29.09.2010, исправления от Саши Ананьина % version 1.1.1, 02.10.2010, ochepyatka v zadache 1 % version 1.2, 25.10.2010, 4.16 поправил \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 25.10.2011} \newcommand{\firstdate}{30.09.2011} \begin{document} \listok{4}{Алгебраическая геометрия 4: Неприводимые многообразия} {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сданы 2/3 задач с (*) и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Гладкие точки} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $A\subset \C^n$ -- алгебраическое подмножество. Точка $a\in A$ называется {\бф гладкой}, если существует открытая окрестность $A\supset U\ni a$, которая диффеоморфна гладкому многообразию, и полиномиальный диффеоморфизм $U\arrow B\subset \C^k$ на открытый шар $B\subset \C^k$. В такой ситуации, многообразие $A$ называется {\бф $k$-мерным в окрестности $a\in A$}. Точка называется {\бф особой}, или {\бф особенностью}, если такого диффеоморфизма не существует. Многообразие называется {\бф гладким}, если у него нет особенностей, и {\бф особым} в противном случае. \ео \задача Пусть $A\subset \C^2$ задано однородным уравнением $ax^2 + b xy + cy^2=0$. Докажите, что оно гладко если и только если $b^2-4ac=0$. \ез \задача Найдите пример особого многообразия $A$, которое $k$-мерно в окрестности $a\in A$, и $k'$-мерно в окрестности $a'\in A$, причем $k\neq k'$. \ез \задача Пусть $f_1, ..., f_k$ -- набор полиномов, а $a$ гладкая точка на многообразии $A$, $k$-мерном в ее окрестности, такая, что ограничения дифференциалов $df_i\restrict {T_aA}$ линейно независимы в $a$. Докажите, что $\langle f_1,..., f_k\rangle:\; A \arrow\C^k$ -- диффеоморфизм из какой-то окрестности $a\in A$ на ее образ.\footnote{В такой ситуации, говорят, что это ``диффеоморфизм в окрестности $а$''.} \ез \указание Воспользуйтесь теоремой об обратной функции. \еу \задача Пусть $\phi:\; A\arrow B$ -- изоморфизм аффинных многообразий, $a\in A$, $\phi(a)=b$. Пусть $a$ -- гладкая точка $A$. Докажите, что $b$ -- гладкая точка $B$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Докажите, что $a\in A\subset \C^n$ -- гладкая точка тогда и только тогда, когда для какой-то линейной проекции $\C^n \stackrel \mu \arrow \C^k$, $\mu$ определяет диффеоморфизм в какой-то окрестности $a\in A$. \ез \задача[!] \label{_smooth_constant_Zadacha_} Пусть $M$ - многообразие, $x\in M$ -- гладкая точка размерности $n$, а $m_x$ -- ее максимальный идеал. Докажите, что размерность $m_x/m^2_x$ равна $n$. \ез \указание Применив предыдущую задачу, убедитесь, что достаточно доказать сей факт для $\C^n$. \еу \задача Докажите, что многообразие $A\subset \C^2$, заданное уравнением $x^2=y^3$, негладко. \ез \задача[*] Докажите, что множество особых точек алгебраического многообразия алгебраично. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Неприводимые многообразия} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Аффинное многообразие $A$ называется {\бф приводимым}, если оно может быть разбито в объединение $A=A_1\cup A_2$, где $A_1, A_2$ -- аффинные многообразия, причем $A_1\not\subset A_2$ и $A_2 \not\subset A_1$. Если такое разложение невозможно, $A$ называется {\бф неприводимым}. \ео \задача[!] Докажите, что $A$ неприводимо $\Leftrightarrow$ кольцо регулярных функций $\calo_A$ не имеет делителей нуля.\footnote{Такое кольцо называется {\бф целостным}.} \ез \задача Пусть $f$ и $g$ -- рациональные функции на гладком аффинном многообразии $M$, причем $fg=0$ в какой-то окрестности $x\in M$. Докажите, что $f=0$ либо $g=0$ в какой-то окрестности $x$. \ез \задача[!] Пусть $A$ гладко и связно. Докажите, что оно неприводимо. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \определение {\бф Идемпотент} кольца есть такой элемент $s\in R$, что $s^2=s$. {\бф Нетривиальный идемпотент} есть идемпотент, который не равен 1 и 0. \ео \задача Пусть $A$ -- аффинное многообразие, такое, что в $\calo_A$ есть нетривиальный идемпотент. Докажите, что $A$ приводимо. \ез \задача Приведите пример приводимого аффинного многообразия, такого, что $\calo_A$ не содержит нетривиальных идемпотентов. \ез \задача Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 =1$ задает связное и гладкое подмногообразие в $\C^2$. \ез \задача Пусть $A\subset \C^n$ задано однородным уравнением $x^2 + b xy + cy^2=0$. Докажите, что оно неприводимо если и только если $b^2-4ac=0$. \ез \задача Пусть $A$ -- многообразие, такое, что множество гладких точек $A$ плотно в $A$ и связно. Докажите, что $A$ неприводимо. \ез \задача[*] Докажите, что множество гладких точек любого аффинного многообразия плотно в нем. \ез \определение {\бф Собственное} подмногообразие $A$ есть подмногообразие, которое не равно $A$. \ео \задача[!] Пусть $\phi:\; A \arrow B$ -- морфизм аффинных многообразий, причем образ $A$ не содержится ни в каком собственном подмногообразии $B$, а $\tilde \phi:\; \calo_B \arrow \calo_A$ -- соответствующий гомоморфизм колец. Докажите, что $\tilde\phi$ инъективно. \ез \задача Пусть $\phi:\; A \arrow B$ -- морфизм аффинных многообразий, причем образ $A$ не содержится ни в каком собственном подмногообразии $B$. Предположим, что $A$ неприводимо. Докажите, что $B$ тоже неприводимо. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $A\subset \C^2$ -- подмногообразие, заданное уравнением $x^2=y^3$. Докажите, что оно неприводимо. \ез \указание Представьте $A$ как образ отображения $\C \arrow \C^2$, $t \arrow t^3, t^2$, и воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[*] Пусть $A\subset \C^2$ -- подмногообразие, заданное уравнением $x^p=y^q$. Докажите, что оно неприводимо тогда и только тогда, когда $p$ и $q$ взаимно просты. \ез \задача[*] Пусть $A\subset \C^n$ -- подмногообразие, заданное уравнением $x_1^{p_1}=x_2^{p_2}=...= x_n^{p_n}$. Докажите, что оно неприводимо, если все $p_i$ -- попарно различные простые числа. \ез \задача[*] Пусть $P(x_1, ..., x_n)$ -- неприводимый полином. Докажите, что многообразие $P(x_1, ..., x_n)=0$ неприводимо. \ез \задача[*] Пусть $X,Y$ -- неприводимые многообразия в $\C^3$, причем $X$ задано полиномиальным уравнением $P=0$, а $Y$ -- уравнением $Q=0$. Всегда ли $X \cap Y$ неприводимо? \ез \задача Пусть $X, Y$ -- неприводимые аффинные многообразия. Проверьте, что $X\times Y$ -- тоже аффинное многообразие. Всегда ли произведение $X\times Y$ неприводимо? \ез \задача[*] Пусть $G$ -- конечная группа, действующая на неприводимом аффинном многообразии $M$ автоморфизмами. Рассмотрим множество $M^G$ неподвижных точек $G$. Докажите, что оно алгебраично. Всегда ли оно неприводимо? \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Неприводимые компоненты} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Неприводимая компонента} алгебраического множества $A$ есть неприводимое подмножество $A'\subset A$ такое, что $A=A'\cup A''$, причем $A'\not\subset A$. \ео \задача Пусть $A_1 \supset A_2 \supset ... \supset A_n \supset ... $ -- последовательность убывающих алгебраических подмножеств в аффинном многообразии. Докажите, что только конечное число $A_i$ различны. \ез \указание Воспользуйтесь нетеровостью. \еу \задача[!] Докажите, что каждое аффинное многообразие есть объединение его неприводимых компонент, которых конечное число. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \определение Разложение аффинного многообразия $M$ в объединение его неприводимых компонент называется {\бф неприводимым разложением $M$}. \ео \задача Докажите, что каждое неприводимое подмногообразие $M$ содержится в одной из неприводимых компонент $M$. \ез \end{document}