\documentclass[8pt]{article} \input{listki-ag.tex} % version 1.0, 15.09.2010 % version 1.1, 18.09.2010 (исправления от Саши Ананьина) \newcommand{\version}{version 1.1,\ \ 17.09.2011} \newcommand{\firstdate}{16.09.2011} \begin{document} \listok{3}{Алгебраическая геометрия 3: Нетеровы кольца} {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сданы 2/3 задач с (*) и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Условия обрыва цепочек} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $(S, \prec)$ -- частично упорядоченное множество. Говорится, что в $S$ выполнено {\бф условие обрыва возрастающих цепочек}, если для каждой последовательности элементов $S$ $a_1 \preceq a_2 \preceq a_3 \preceq a_4 \preceq ...$ все $a_i$, кроме конечного числа, равны друг другу. Аналогично, выполнено {\бф условие обрыва убывающих цепочек}, если в $b_1 \succeq b_2 \succeq b_3 \succeq b_4 \succeq ...$ равны друг другу все $b_i$, кроме конечного числа. \ео \задача Пусть $M$ -- топологическое пространство а $S$ -- множество открытых подмножеств $M$, упорядоченное по вложению. Докажите, что условие обрыва возрастающих цепочек в $S$ влечет компактность $M$. \ез \определение Такое топологическое пространство называется {\бф нетеровым}. \ео \задача Пусть $M$ -- хаусдорфово, нетерово топологическое пространство. Докажите, что в нем конечное число точек. \ез \определение Пусть $R$ -- кольцо, а $S$ -- множество всех идеалов в $R$, упорядоченное по вложению. Кольцо $R$ называется {\бф нетеровым}, если в $S$ выполнено условие обрыва возрастающих цепочек, и {\бф артиновым}, если выполнено условие обрыва убывающих цепочек. \ео \задача Пусть $R$ -- кольцо, у которого есть всего один простой идеал. Всегда ли $R$ артиново? \ез \задача Рассмотрим кольцо $R$ как модуль над собой. Докажите, что подмодули $R$ суть в точности идеалы кольца $R$. \ез \определение {\бф $M$ есть конечно порожденный модуль над $R$} если существует конечный набор $r_1, ..., r_n \in M$ такой, что $R\cdot r_1 + R\cdot r_2 + R\cdot r_3 + ... R\cdot r_n$. В такой ситуации, $\{r_i\}$ называются образующими. Идеал в кольце $R$ называется {\бф конечно-порожденным}, если он конечно порожден как $R$-модуль. \ео \задача Докажите, что $\Z$ и $\C[t]$ нетеровы. \ез \задача Пусть $R$ -- нетерово кольцо, $F\in R$, а $R(F)$ -- локализация $R$ по $F$ (кольцо, полученное из $R$ присоединением к нему $F^{-1}$). Докажите, что $R(F)$ -- тоже нетерово. \ез \задача Постройте кольцо, которое не нетерово и не артиново. \ез \задача[*] Пусть $M$ -- окружность, а $C(M)$ -- кольцо непрерывных функций на $M$. Докажите, что $C(M)$ -- не нетерово. Является ли оно артиновым? \ез \задача[!] Докажите, что кольцо $R$ нетерово тогда и только тогда, когда любой его идеал конечно порожден. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Нетеровы модули} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Нетеров модуль} есть $R$-модуль, в котором выполнено условие обрыва возрастающих цепочек для подмодулей. \ео \задача Докажите, что любые подмодули и фактормодули нетерова $R$-модуля снова нетеровы. \ез \определение {\бф Короткая точная последовательность модулей над кольцом $R$} есть последовательность $R$-модулей и гомоморфизмов \[ 0\arrow M_1 \stackrel i \arrow M_2 \stackrel e \arrow M_3 \arrow 0 \] такая, что $i\circ e=0$, а ядро $e$ совпадает с образом $i$. \ео \задача[!] \label{_exa_noethe_Zadacha_} Пусть $0\arrow M_1 \stackrel i \arrow M_2 \stackrel e \arrow M_3 \arrow 0$ -- точная последовательность $R$-модулей, причем $M_1$ и $M_3$ нетеровы. Докажите, что $M_2$ тоже нетерово. \ез \def\Mod{\operatorname{\sf Mod}} \определение Пусть $R$ -- какое-то кольцо, а $\Z[\Mod]$ -- свободная группа, образующими которой являются классы изоморфизма конечно-порожденных $R$-модулей. Обозначим за $K_0(R)$ {\бф группу Гротендика} кольца $R$, полученную из $\Z[\Mod]$ факторизацией по всем соотношениям вида $[M_2]-[M_1]-[M_0]$, для всех точных последовательностей $0\arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3 \arrow 0$. \ео \задача Докажите, что группа $K_0(R)$ порождена классами $[M]$ для всех циклических модулей $M$ над $R$. \ез \задача Докажите, что $K_0(R)\cong \Z$, если $R$ -- кольцо главных идеалов, где нет делителей нуля (такое кольцо называется {\бф целостным}). \ез \задача[*] Пусть $u:\; M \arrow M$ -- сюрьективный эндоморфизм нетерова $R$-модуля. Докажите, что он инъективен. \ез \указание Примените условие обрыва к цепочке $\ker u \subset \ker u^2 \subset ...$. \еу \определение $R$-модуль $M$ называется {\бф циклическим}, если он изоморфен $R/I$, где $I$ -- какой-то идеал. \ео \задача Докажите, что $R$-модуль циклический тогда и только тогда, когда он порожден над $R$ всего одним элементом $r\in M$, то есть имеет вид $R\cdot r$. \ез \задача Пусть $R$ нетерово кольцо, а $M$ -- циклический модуль над $R$. Докажите, что он нетеров. \ез \задача[!] Пусть $M$ -- $R$-модуль. Докажите, что $M$ конечно порожден тогда и только тогда, когда существует фильтрация $0=M_0 \subset M_1 \subset ... \subset M_n =M$ $R$-подмодулями, причем все подфакторы вида $M_i/M_{i-1}$ циклические, а $n$ есть минимальное число образующих $M$. \ез \задача[!] Пусть $R$ нетерово кольцо, а $M$ -- $R$-модуль. Докажите, что $M$ конечно-порожденный тогда и только тогда, когда он нетеров. \ез \указание Воспользуйтесь индукцией по числу образующих и примените задачу \ref{_exa_noethe_Zadacha_}. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Теорема Гильберта о базисе} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Для какого-то кольца $R$, обозначим за $R[t]$ кольцо полиномов с коэффициентами в $R$. \задача \label{_I_N_Noeth_Zadacha_} Пусть $R$ -- нетерово кольцо, $I\subset R[t]$ -- идеал, $M\subset I$ -- множество всех полиномов из $I$ степени не больше $N\in {\Bbb N}$, а $I_N\subset I$ -- идеал, порожденный $M$. Докажите, что $I_N$ конечно порожден. \ез \указание Постройте инъективный гомоморфизм $R$-модулей $M\hookrightarrow R^{N+1}$. Воспользуйтесь тем, что $R^{N+1}$ нетеров модуль, чтобы найти набор $r_1, ..., r_n \in M$, порождающий $I_N$. \еу \задача Пусть $I\subset R[t]$ идеал, а $P\in I$ полином со старшим коэффициентом $a$, причем $a = \sum a_i b_i$, где $a_i$ -- старшие коэффициенты полиномов $P_1, ..., P_n\in I$, а $b_i\in R$ -- какие-то элементы. Предположим, что $\deg P_i \leq N$. Докажите, что существуют такие полиномы $Q, Q_i \in R[t]$, что $P=Q + \sum Q_i P_i$, причем $\deg Q