\documentclass[8pt]{article}

\input{listki-ag.tex}

% version 1.0, 15.09.2010
% version 1.1, 18.09.2010 (исправления от Саши Ананьина)

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   17.09.2011}
\newcommand{\firstdate}{16.09.2011}

\begin{document}

\listok{3}{Алгебраическая геометрия 3: Нетеровы кольца}


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сданы 2/3 задач с (*) и (!), студент получает
$6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Условия обрыва цепочек}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $(S, \prec)$ -- частично упорядоченное множество.
Говорится, что в $S$ выполнено {\бф условие обрыва возрастающих
цепочек}, если для каждой последовательности элементов $S$
$a_1 \preceq a_2 \preceq a_3 \preceq a_4 \preceq ...$
все $a_i$, кроме конечного числа, равны друг другу. Аналогично,
выполнено {\бф условие обрыва убывающих
цепочек}, если в $b_1 \succeq b_2 \succeq b_3 \succeq b_4 \succeq ...$
равны друг другу все $b_i$, кроме конечного числа.
\ео

\задача
Пусть $M$ -- топологическое пространство
а $S$ -- множество открытых подмножеств $M$,
упорядоченное по вложению. Докажите, что
условие обрыва возрастающих цепочек в $S$
влечет компактность $M$.
\ез

\определение
Такое топологическое пространство называется
{\бф нетеровым}.
\ео

\задача
Пусть $M$ -- хаусдорфово, нетерово топологическое
пространство. Докажите, что в нем конечное число точек.
\ез

\определение
Пусть $R$ -- кольцо, а $S$ -- множество всех
идеалов в $R$, упорядоченное по вложению.
Кольцо $R$ называется {\бф нетеровым}, если
в $S$ выполнено условие обрыва возрастающих цепочек,
и {\бф артиновым}, если выполнено условие
обрыва убывающих цепочек.
\ео

\задача
Пусть $R$ -- кольцо, у которого есть всего один 
простой идеал. Всегда ли $R$ артиново?
\ез

\задача
Рассмотрим кольцо $R$ как модуль над собой.
Докажите, что подмодули $R$ суть в точности идеалы кольца $R$.
\ез

\определение
{\бф $M$ есть конечно порожденный модуль над $R$} если
существует конечный набор $r_1, ..., r_n \in M$ такой, что
$R\cdot r_1 +  R\cdot r_2 + R\cdot r_3 + ... R\cdot r_n$.
В такой ситуации, $\{r_i\}$ называются образующими.
Идеал в кольце $R$ 
называется {\бф конечно-порожденным}, если он конечно порожден
как $R$-модуль.
\ео

\задача
Докажите, что $\Z$ и $\C[t]$ нетеровы.
\ез

\задача
Пусть $R$ -- нетерово кольцо, $F\in R$, а $R(F)$ -- локализация
$R$ по $F$ (кольцо, полученное из $R$ присоединением
к нему $F^{-1}$). Докажите, что $R(F)$ -- тоже нетерово.
\ез

\задача
Постройте кольцо, которое не нетерово и не артиново.
\ез

\задача[*]
Пусть $M$ -- окружность, а $C(M)$ -- кольцо непрерывных
функций на $M$. Докажите, что $C(M)$ -- не нетерово.
Является ли оно артиновым?
\ез

\задача[!]
Докажите, что кольцо $R$ нетерово тогда и только
тогда, когда любой его идеал конечно порожден.
\ез 



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Нетеровы модули}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
{\бф Нетеров модуль} есть $R$-модуль, в котором 
выполнено условие обрыва возрастающих цепочек
для подмодулей.
\ео

\задача
Докажите, что любые подмодули и фактормодули нетерова 
$R$-модуля снова нетеровы.
\ез

\определение
{\бф Короткая точная последовательность модулей над
кольцом $R$}
есть последовательность $R$-модулей и гомоморфизмов
\[
0\arrow M_1 \stackrel i \arrow M_2 \stackrel e \arrow M_3 \arrow 0
\]
такая, что $i\circ e=0$, а ядро $e$ совпадает 
с образом $i$.
\ео

\задача[!]
\label{_exa_noethe_Zadacha_}
Пусть $0\arrow M_1 \stackrel i \arrow M_2 \stackrel e
\arrow M_3 \arrow 0$ -- точная последовательность
$R$-модулей, причем $M_1$ и $M_3$ нетеровы.
Докажите, что $M_2$ тоже нетерово.
\ез

\def\Mod{\operatorname{\sf Mod}}

\определение
Пусть $R$ -- какое-то кольцо,
а $\Z[\Mod]$ -- свободная группа, образующими
которой являются классы изоморфизма конечно-порожденных 
$R$-модулей. Обозначим за $K_0(R)$ {\бф группу Гротендика}
кольца $R$, полученную из $\Z[\Mod]$ факторизацией
по всем соотношениям вида $[M_2]-[M_1]-[M_0]$, 
для всех точных последовательностей 
$0\arrow M_1  \arrow M_2 \arrow M_3 \arrow 0$.
\ео

\задача
Докажите, что 
группа $K_0(R)$ порождена классами $[M]$ для всех
циклических модулей $M$ над $R$.
\ез


\задача
Докажите, что $K_0(R)\cong \Z$, если $R$ -- кольцо
главных идеалов, где нет делителей нуля (такое кольцо
называется {\бф целостным}).
\ез

\задача[*]
Пусть $u:\; M \arrow M$ -- сюрьективный эндоморфизм
нетерова $R$-модуля. Докажите, что он инъективен.
\ез

\указание Примените условие обрыва к цепочке
$\ker u \subset \ker u^2 \subset ...$.
\еу


\определение
$R$-модуль $M$ называется {\бф циклическим}, если 
он изоморфен $R/I$, где $I$ -- какой-то идеал.
\ео

\задача
Докажите, что $R$-модуль циклический тогда и только тогда,
когда он порожден над $R$ всего одним элементом $r\in M$, то есть имеет
вид $R\cdot r$.
\ез

\задача Пусть $R$ нетерово кольцо,
а $M$ -- циклический модуль над $R$. Докажите, что 
он нетеров.
\ез


\задача[!]
Пусть $M$ -- $R$-модуль. Докажите, что $M$ конечно
порожден тогда и только тогда, когда существует
фильтрация $0=M_0 \subset M_1 \subset ... \subset M_n =M$
$R$-подмодулями, причем все подфакторы вида
$M_i/M_{i-1}$ циклические, а $n$ есть минимальное
число образующих $M$.
\ез

\задача[!]
Пусть $R$ нетерово кольцо, а $M$ -- $R$-модуль.
Докажите, что $M$ конечно-порожденный тогда и только 
тогда, когда он нетеров.
\ез

\указание
Воспользуйтесь индукцией по числу образующих
и примените задачу \ref{_exa_noethe_Zadacha_}.
\еу

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Теорема Гильберта о базисе}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Для какого-то кольца $R$, обозначим за $R[t]$
кольцо полиномов с коэффициентами в $R$.

\задача
\label{_I_N_Noeth_Zadacha_}
Пусть $R$ -- нетерово кольцо, $I\subset R[t]$ -- 
идеал, $M\subset I$ -- множество всех полиномов
из $I$ степени не больше $N\in {\Bbb N}$, а $I_N\subset I$ -- идеал, 
порожденный $M$. Докажите, что $I_N$ конечно порожден.
\ез

\указание
Постройте инъективный гомоморфизм $R$-модулей 
$M\hookrightarrow R^{N+1}$. Воспользуйтесь
тем, что $R^{N+1}$ нетеров модуль, чтобы найти
набор $r_1, ..., r_n \in M$, порождающий $I_N$.
\еу


\задача
Пусть $I\subset R[t]$ идеал, а $P\in I$ полином 
со старшим коэффициентом $a$, причем
$a = \sum a_i b_i$, где $a_i$ -- старшие
коэффициенты полиномов $P_1, ..., P_n\in I$, а
$b_i\in R$ -- какие-то элементы. 
Предположим, что $\deg P_i \leq N$.
Докажите, что существуют такие полиномы
$Q, Q_i \in R[t]$, что $P=Q + \sum Q_i P_i$,
причем $\deg Q<N$.
\ез

\указание
Поделите $P$ в столбик на полином 
$\sum_i P_i b_i t^{N-\deg P_i}$.
\еу


\задача
\label{_check_I_Noeth_Zadacha_}
Пусть $R$ -- нетерово кольцо, $I\subset R[t]$
идеал, а $I_{st}\subset R$ -- идеал в $R$, порожденный
старшими коэффициентами всех полиномов $P\in I$.
Пусть $a_1, ..., a_n\subset I_{st}$ -- набор образующих
для $I_{st}$, а $P_1, ..., P_n$ -- 
полиномы в $I$ со старшими коэффициентами $a_i$ (выведите
из нетеровости, что такие полиномы и образующие
существуют). Пусть $\deg P_i \leq N$.
Обозначим за $\check I$ идеал, порожденный всеми $P_i$,
$i= 1, ..., n$. Докажите, что каждый полином $P\in I$
удовлетворяет $P= Q \mod \check I$, где
$\deg Q< N$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Докажите теорему Гильберта о базисе:
для любого нетерова кольца $R$, кольцо $R[t]$
тоже нетерово.
\ез

\указание
Пусть $\check I\subset I$ -- идеал, построенный
в задаче \ref{_check_I_Noeth_Zadacha_}, а
$I_N$ -- идеал, построенный
в задаче \ref{_I_N_Noeth_Zadacha_}.
Воспользовавшись предыдущей задачей,
докажите, что $I=I_N + \check I$,
и убедитесь, что эти два идеала
конечно-порождены.
\еу

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Нетеровы кольца}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $R\subset \C(t)$ -- кольцо рациональных функций
с полюсами в целых точках. Будет ли оно нетерово?
\ез

\задача[*] 
Пусть $R$ -- нетерово кольцо,
а $R[[t]]$ -- кольцо степенных рядов над $R$.
Докажите, что оно нетерово.
\ез

\задача
Пусть $R\subset \C[[t]]$ -- кольцо степенных
рядов, сходящихся в некоторой окрестности 0
("кольцо ростков голоморфных функций в нуле").
Нетерово ли оно?
\ез

\задача[*]
Пусть  $R\subset \C[[t]]$ -- кольцо степенных
рядов, сходящихся везде в $\C$ (такое кольцо 
называется {\бф кольцом целых функций}). Нетерово ли оно?
\ез

\задача[*]
Пусть $R$ -- кольцо многочленов $P\in \C[x,y]$ таких,
что все частные производные от $P$ по $y$ равны нулю в точке
$(x,y)=(0,0)$. Нетерово ли оно?
\ез

\задача[*]
Пусть $R$ -- нетерово кольцо над $\C$, 
$G$ -- конечная группа, действующая
на $R$ автоморфизмами, а $R^G\subset R$ -- 
кольцо $G$-инвариантов. Всегда ли $R^G$ нетерово?
\ез

\задача
Пусть $R[t]$ нетерово. Следует ли из этого, что $R$ тоже
нетерово?
\ез



\end{document}




