\documentclass[11pt]{article}

\input{listki-ag.tex}

% version 1.0, 14.09.2011
% version 1.1, 17.09.2011 - исправления от Саши Ананьина
% version 1.2, 27.09.2011 - в задаче 5 ошибка была
% version 1.3, 30.09.2011 - в задаче 4 nevnyatno
% version 1.4, 12.10.2011 - в задаче 4 еще раз ошибка, и в 8 тоже
% version 1.5, 1.11.2011 - еще ошибки

\newcommand{\version}{version 1.5,\ \   1.11.2011}
\newcommand{\firstdate}{16.09.2011}

\begin{document}

\newcommand{\cac}{{\cal C}}
\newcommand{\Ob}{{\cal O}b}
\newcommand{\Mor}{{\cal M}or}

\listok{2}{Алгебраическая геометрия 2: 
эквивалентность категорий и теорема Гильберта у нулях}



{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сданы 2/3 задач с (*) и (!), студент получает
$6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Категории и функторы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
{\бф Категорией} $\cac$ называется набор данных ("объектов
категории", "морфизмов между объектами" и так далее), 
удовлетворяющих аксиомам, приведенным ниже.


\noindent
\begin{description}
\item[Данные.]
\addtolength{\itemsep}{-0.7\baselineskip}
\item[Объекты:] Множество $\Ob(\cac)$ объектов $\cac$
(иногда рассматривают не множество, а {\ем класс}
$\Ob(\cac)$, который может и не быть множеством, например,
класс всех множеств, или класс всех линейных пространств).

\item[Морфизмы:] Для любых $X, Y \in \Ob(\cac)$, задано
множество $\Mor(X,Y)$ {\бф морфизмов} из $X$ в $Y$.

\item[Композиция морфизмов:] Если
$\phi\in \Mor(X,Y), \psi \in \Mor(Y,Z)$, 
задан морфизм $\phi\circ \psi \in \Mor(X, Z)$,
который называется {\бф композицией морфизмов}.

\item[Тождественный морфизм:] Для каждого $A\in \Ob(\cac)$
задан морфизм $\Id_A \in \Mor(A,A)$.
\end{description}

\noindent
Эти данные удовлетворяют следующим аксиомам:
\begin{description}
\addtolength{\itemsep}{-0.7\baselineskip}
\item[Ассоциативность композиции:] 
$\phi_1\circ(\phi_2\circ\phi_3)=(\phi_1\circ\phi_2)\circ\phi_3$.
\item[Свойства тождественного морфизма:]
Для любого морфизма $\phi\in \Mor(X,Y)$,
$\Id_x\circ \phi = \phi = \phi\circ \Id_Y$.
\end{description}
\ео


\определение
Пусть $\cac_1, \cac_2$ -- категории. {\бф Ковариантным функтором}
(или просто {\бф функтором})
из $\cac_1$ в $\cac_2$ называется следующий набор данных.
\begin{description}
\item[(i)] Отображение $F:\; \Ob(\cac_1) \arrow \Ob(\cac_2)$,
ставящее в соответствие объектам $\cac_1$ объекты $\cac_2$.
\item[(ii)] Отображение морфизмов $F:\; \Mor(X,Y) \arrow \Mor(F(X), F(Y))$,
определенное для любой пары объектов $X, Y \in \Ob(\cac_1)$.
\end{description}
Эти даные {\ем определяют функтор
из $\cac_1$ в $\cac_2$}, если $F(\phi) \circ F(\psi) =
F(\phi\circ\psi)$, и $F(\Id_X) = \Id_{F(X)}$.
\ео

\определение
Пусть $X, Y\in \Ob(\cac)$ -- объекты категории $\cac$.
Морфизм $\phi\in \Mor(X,Y)$ называется {\бф изоморфизмом},
если существует $\psi\in \Mor(Y,X)$ такой, что
$\phi \circ \psi = \Id_X$ и $\psi\circ\phi = \Id_Y$.
В таком случае, объекты $X$ и $Y$ называются
{\бф изоморфными}.
\ео

\задача
Докажите, что композиция функторов - снова функтор.
Докажите, что если ${\cal O}$ есть некоторое множество
категорий, а $\Mor(\cac_1,\cac_2)$ задан как множество
функторов из категории $\cac_1$ в $\cac_2$, то 
${\cal O}$ образует категорию.
\ез

\задача
Пусть $\cac_1$, $\cac_2$ -- две категории, которые
изоморфны в смысле вышеприведенного определения
категории категорий. Докажите, что их множества
объектов равномощны.
\ез

\задача
Пусть $G$ -- группа,
а $\cac(G)$ -- категория с единственным объектом $U$,
таким, что $\Mor(U,U)$ отождествлено с $G$, а композиция
морфизмов соответствует умножению элементов из $G$.
Докажите, что для любых двух групп $G, G'$, функторы 
$\cac(G) \arrow \cac(G')$ взаимно однозначно соответствуют
гомоморфизмам групп $G \arrow G'$.
\ез


\задача[*]
Пусть $\cac$ -- категория векторных
пространств над $k$, а $\cac_0$ -- категория одномерных
векторных пространств. Существует ли нетривиальный функтор из
$\cac$ в $\cac_0$?
\ез



\задача
Пусть $\cac$ -- категория одномерных векторных пространств
над полем $k$, а $E$ -- множество всех функторов из $\cac$ в 
себя.\footnote{Функторы 
из категории в себя называются
  {\бф эндофункторы}.} 
Постройте мультипликативное, сюрьективное отображение из
$E$ в группу автоморфизмов $k$.
\ез

\задача
Постройте эндофунктор из категории $k$-мерных векторных
пространств в категорию векторных пространств, 
не переводящий прямые суммы в прямые суммы,
и не отображающий все пространства в нульмерные.
\ез

\задача[*]
Найдите все эндофункторы категории
конечных множеств, переводящие любое
конечное множество $S$ в множество, в котором
элементов меньше, чем в $S$.
\ез

\задача[*]
Пусть $\Psi$ есть эндофунктор
категории конечномерных векторных пространств,
такой, что размерность векторного
пространства $\Psi(V)$ всегда меньше $\dim V$,
для каждого пространства $V$ размерности $>1$.
Докажите, что $\Psi$ переводит любое пространство
в нульмерное.
\ез

\задача[*]
Докажите, что не существует функтора на категории
линейно связных топологических пространств,
переводящего каждое пространство $M$ в $\pi_1(M)$.
\ез




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Контравариантные функторы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Если задана категория $\cac$, определим {\бф двойственную
категорию} ("opposite category") 
$\cac^{op}$. Множество объектов в $\cac^{op}$ -- то же самое,
что и в $\cac$, а $\Mor_{\cac^{op}}(A,B)= \Mor_{\cac}(B,A)$.
Композиция $\phi\circ \psi$ в $\cac$ дает
композицию $\psi^{op}\circ \phi^{op}$ в $\cac^{op}$.
\ео

\задача
Проверьте, что это категория.
\ез


\определение
{\бф Контравариантный функтор из $\cac_1$ в $\cac_2$} 
это функтор из $\cac_1^{op}$ в $\cac_2$.
\ео

\задача
Для заданного векторного
пространства $V$, пусть $F(V)$ -- двойственное
пространство. Докажите, что $F$ задает контравариантный
функтор на категории векторных пространств.
\ез

\задача
Пусть $Top$ -- категория топологических 
векторных пространств, а $F$ -- отображение из $Top$
в кольца, переводящее топологическое пространство $M$
в кольцо непрерывных функций на $M$. Докажите, что
$F$ задает контравариантный функтор из $Top$ в категорию
колец.\footnote{Морфизмы в категории колец -- гомоморфизмы.}
\ез

\задача
Пусть $\cac$ -- любая категория.
Докажите, что $X \arrow \Mor(X, Y)$
задает контравариантный функтор из $\cac$
категории в множества.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Эквивалентность категорий}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Два функтора $F, G:\;\cac_1\arrow \cac_2$ 
называются {\бф эквивалентными}, если для каждого 
$X \in \Ob(\cac_1)$ задан изоморфизм $\Psi_X:\; F(X) \arrow
G(X)$, и для любого морфизма $\phi\in \Mor(X,Y)$, имеет место
\begin{equation}\label{_equi_fu_Equation_}
 F(\phi) \circ \Psi_Y= \Psi_X\circ G(\phi).
\end{equation}
\ео


\задача[!]
Пусть $\cac \stackrel F\arrow Set$ -- функтор из категории $\cac$ в
категорию множеств. Предположим, что $F$ {\em представим:}
$F$ эквивалентен функтору $Y \arrow \Mor(X,Y)$. 
Докажите, что "представляющий объект" 
$X$ определен однозначно с точностью до изоморфизма.
\ез


\задача
Пусть $V$ -- векторное пространство над $\C$, 
а $F_V$ -- функтор на категории
векторных пространств над $\C$, который
переводит прямые суммы в прямые суммы,
а одномерное векторное пространство в $V$.
Докажите, что такой функтор задается этими условиями
однозначно, с точностью до эквивалентности.
\ез

\определение
Функтор $F:\; \cac_1 \arrow \cac_2$ называется
{\бф эквивалентностью категорий}, если
найдутся функторы $G, G':\; \cac_2 \arrow \cac_1$
такие, что $F\circ G$ эквивалентен тождественному
функтору на $\cac_1$, а $G' \circ F$ эквивалентен
тождественному функтору на $\cac_2$.
\ео

\задача[!]
Пусть $\cac_1$, $\cac_2$
 -- категории,  такие, что для любых
объектов $X, Y$, $\Mor(X,Y)$ состоит из одного
элемента. Докажите, что
категории $\cac_1$ и $\cac_2$ эквивалентны.
\ез

\задача
Приведите пример категорий
$\cac_1$ и $\cac_2$, которые удовлетворяют
условиям предыдущей задачи, но не изоморфны.
\ез

\задача
Пусть в категориях $\cac$, $\cac'$ все морфизмы -- изоморфизмы.
Всегда ли $\cac$ эквивалентно $\cac'$?
\ез

\задача[*]
Докажите, что категория конечных расширений
$\Q$ эквивалентна категории подгрупп конечного
индекса в группе Галуа $\overline \Q$ над $\Q$.
\ез

{\bf Философский вопрос:} Изоморфны ли эти категории?
Ответьте на него. Мотивируйте ваш ответ. 

\задача[*]
Докажите, что категория конечных накрытий
линейно связного топологического пространства $M$
эквивалентна категории множеств, снабженных
действием группы $\pi_1(M)$.
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Аффинные многообразия и конечно порожденные кольца}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\замечание
Пусть $\calo_A$ -- кольцо регулярных (полиномиальных) функций 
на аффинном многообразии $A$. 
Из теоремы Гильберта о нулях следует, что 
максимальные идеалы $\calo_A$ находятся в биективном
соответствии с точками $A$.
\еза

\задача
Пусть $A$ и $B$ -- два аффинных многообразия,
таких, что кольца $\calo_A$ и $\calo_B$ изоморфны.
Соответствующая биекция на множестве максимальных
идеалов задает, в силу предыдущего замечания,
отображение $\phi:\; A \arrow B$. Докажите, что
$\phi$ -- гомеоморфизм.
\ез

\def\Aff{\operatorname{\sf Aff}}

\задача
Пусть $\Aff$ -- категория аффинных многообразий,
то есть алгебраических подмногообразий, морфизмы
которой заданы алгебраическими (полиномиальными)
отображениями. Рассмотрим два объекта $A$ и $B$ в $\Aff$,
которые изоморфны. Докажите, что $\calo_A\cong \calo_B$,
где $\calo_A$, $\calo_B$ -- кольца полиномиальных
функций на $A$, $B$. 
\ез

\определение
{\бф Конечно порожденное кольцо над полем $k$} есть фактор
кольца полиномов $k[z_1, ..., z_n]$ по какому-то идеалу.
\ео

\определение
Пусть $I$ -- идеал в кольце полиномов.
{\бф Множество общих нулей} всех $f\in I$ обозначается
за $V(I)$. Для любого подмножества $A\subset \C^n$,
идеал полиномов, зануляющихся в $A$, обозначается $I_A$,
и называется {\бф аннулятором} $A$.
\ео

\задача
Пусть $R$ -- конечно-порожденное кольцо без нильпотентов,
$R= \C[z_1, ..., z_n]/I$, а $A:= V(I)$. Докажите, что
$\calo_A\cong R$, где $\calo_A$ обозначает 
кольцо полиномиальных функций на $A$.
\ез


\def\Aff{\operatorname{Aff}}
\def\Ring{\operatorname{Ring}}

\задача[!]
Пусть $\Ring$ есть категория конечно-порожденных колец
над $\C$ без нильпотентов (морфизмы -- гомоморфизмы), а $\Aff$ --
категория аффинных многообразий. 
Рассмотрим контравариантный функтор, переводящий
аффинное подмножество $A\subset\C^n$ в кольцо 
полиномиальных функций на нем.
Докажите, что он задает эквивалентность
категорий $\Aff^{op}\arrow\Ring$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей и соотношением
$V(I_A)=A$, доказанным в предыдущем листочке.
\еу

\задача
Рассмотрим категорию
$Q\!\Aff$ квазиаффинных многообразий.
Докажите, что естественное вложение
$\Aff \arrow Q\!\Aff$ -- не эквивалентность.
\ез

%\определение
%Кольцо $R=\bigoplus_i R^i$ называется {\бф градуированным кольцом 
%над $\C$}, если оно является кольцом над $\C$,
%поле констант $\C$ лежит в $\R^0$,  
%каждое $R^i$ ("компонента градуировки $i$) является
%векторных пространством над $\C$, а произведение
%$x\in R^i$, $y\in R^j$ лежит в $R^{i+j}$. 
%Градуированное кольцо называется
%{\бф конечно-порожденным}, если оно мультипликативно
%порождено над $\C$ конечным набором векторов $r\in R^i$.
%\ео
%
%\задача[*]
%Постройте эквивалентность категорий между
%категорией конечно-порожденных градуированных 
%колец над $\C$ без нильпотентов, и категорией
%аффинных многообразий $A$, на которых непрерывно 
%действует $S^1$, причем для каждой $s\in S^1$
%соответствующий автоморфизм $A$ является
%алгебраическим отображением.
%\ез
%
%\задача
%Докажите, что произведение 
%аффинных многообразий -- аффинное многообразие.
%\ез
%
%\задача[!] 
%Докажите, что квазиаффинное многообразие 
%$\C^*$  ($\C$ без нуля) аффинно.
%Докажите, что мультипликативная
%структура на $\C^*$ задается
%алгебраическим отображением
%$\C^*\times \C^*\arrow \C^*$.
%\ез
%
%\задача[*]
%Постройте эквивалентность категорий между
%категорией конечно-порожденных градуированных 
%колец над $\C$ без нильпотентов, и категорией
%аффинных многообразий $A$, снабженных действием
%группы $\C^*$, причем таким образом, что
%соответствующее отображение $\C^* \times A\arrow A$
%является алгебраическим (т.е. регулярным).
%\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Простые идеалы и подмногообразия}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
{\бф Простой идеал} есть такой идеал,
что в факторе по нему нет делителей нуля.
\ео

\задача[*]
Существует ли идеал
в кольце непрерывных функций на окружности,
который прост, но не максимален?
\ез

\определение
Идеал, порожденный одним элементом, называется
{\бф главным}. {\бф Кольцо главных идеалов} --
кольцо, где все идеалы главные.
\ео

\задача
Пусть $R$ -- кольцо главных идеалов. Верно ли, что
любой простой идеал в $R$ максимален?
\ез

\определение
Алгебраическое подмножество $A\subset \C^n$
называется {\бф приводимым}, если $A$ можно
разложить в объединение двух алгебраических
подмножеств $A= A_1 \cup A_2$, причем $A_1$ не содержит
$A_2$ и наоборот. В противном случае $A$ называется
{\бф неприводимым}.
\ео

\задача
Докажите, что $A$ неприводимо тогда и только тогда,
когда соответствующее кольцо полиномиальных функций
$\calo_A$ не имеет делителей нуля.
\ез


\задача[!]
Постройте биекцию между 
множеством неприводимых подмногообразий аффинного 
многообразия $A$ и множеством простых идеалов в $\calo_A$.
\ез

\задача[*]
Пусть $S\subset \C^2$ -- гладкое подмногообразие, заданное
как множество нулей полинома $P$. Всегда ли $\calo_S$ -- кольцо
главных идеалов?
\ез





\end{document}

