\documentclass[11pt]{article} \input{listki-ag.tex} % version 1.0, 14.09.2011 % version 1.1, 17.09.2011 - исправления от Саши Ананьина % version 1.2, 27.09.2011 - в задаче 5 ошибка была % version 1.3, 30.09.2011 - в задаче 4 nevnyatno % version 1.4, 12.10.2011 - в задаче 4 еще раз ошибка, и в 8 тоже % version 1.5, 1.11.2011 - еще ошибки \newcommand{\version}{version 1.5,\ \ 1.11.2011} \newcommand{\firstdate}{16.09.2011} \begin{document} \newcommand{\cac}{{\cal C}} \newcommand{\Ob}{{\cal O}b} \newcommand{\Mor}{{\cal M}or} \listok{2}{Алгебраическая геометрия 2: эквивалентность категорий и теорема Гильберта у нулях} {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сданы 2/3 задач с (*) и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Категории и функторы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Категорией} $\cac$ называется набор данных ("объектов категории", "морфизмов между объектами" и так далее), удовлетворяющих аксиомам, приведенным ниже. \noindent \begin{description} \item[Данные.] \addtolength{\itemsep}{-0.7\baselineskip} \item[Объекты:] Множество $\Ob(\cac)$ объектов $\cac$ (иногда рассматривают не множество, а {\ем класс} $\Ob(\cac)$, который может и не быть множеством, например, класс всех множеств, или класс всех линейных пространств). \item[Морфизмы:] Для любых $X, Y \in \Ob(\cac)$, задано множество $\Mor(X,Y)$ {\бф морфизмов} из $X$ в $Y$. \item[Композиция морфизмов:] Если $\phi\in \Mor(X,Y), \psi \in \Mor(Y,Z)$, задан морфизм $\phi\circ \psi \in \Mor(X, Z)$, который называется {\бф композицией морфизмов}. \item[Тождественный морфизм:] Для каждого $A\in \Ob(\cac)$ задан морфизм $\Id_A \in \Mor(A,A)$. \end{description} \noindent Эти данные удовлетворяют следующим аксиомам: \begin{description} \addtolength{\itemsep}{-0.7\baselineskip} \item[Ассоциативность композиции:] $\phi_1\circ(\phi_2\circ\phi_3)=(\phi_1\circ\phi_2)\circ\phi_3$. \item[Свойства тождественного морфизма:] Для любого морфизма $\phi\in \Mor(X,Y)$, $\Id_x\circ \phi = \phi = \phi\circ \Id_Y$. \end{description} \ео \определение Пусть $\cac_1, \cac_2$ -- категории. {\бф Ковариантным функтором} (или просто {\бф функтором}) из $\cac_1$ в $\cac_2$ называется следующий набор данных. \begin{description} \item[(i)] Отображение $F:\; \Ob(\cac_1) \arrow \Ob(\cac_2)$, ставящее в соответствие объектам $\cac_1$ объекты $\cac_2$. \item[(ii)] Отображение морфизмов $F:\; \Mor(X,Y) \arrow \Mor(F(X), F(Y))$, определенное для любой пары объектов $X, Y \in \Ob(\cac_1)$. \end{description} Эти даные {\ем определяют функтор из $\cac_1$ в $\cac_2$}, если $F(\phi) \circ F(\psi) = F(\phi\circ\psi)$, и $F(\Id_X) = \Id_{F(X)}$. \ео \определение Пусть $X, Y\in \Ob(\cac)$ -- объекты категории $\cac$. Морфизм $\phi\in \Mor(X,Y)$ называется {\бф изоморфизмом}, если существует $\psi\in \Mor(Y,X)$ такой, что $\phi \circ \psi = \Id_X$ и $\psi\circ\phi = \Id_Y$. В таком случае, объекты $X$ и $Y$ называются {\бф изоморфными}. \ео \задача Докажите, что композиция функторов - снова функтор. Докажите, что если ${\cal O}$ есть некоторое множество категорий, а $\Mor(\cac_1,\cac_2)$ задан как множество функторов из категории $\cac_1$ в $\cac_2$, то ${\cal O}$ образует категорию. \ез \задача Пусть $\cac_1$, $\cac_2$ -- две категории, которые изоморфны в смысле вышеприведенного определения категории категорий. Докажите, что их множества объектов равномощны. \ез \задача Пусть $G$ -- группа, а $\cac(G)$ -- категория с единственным объектом $U$, таким, что $\Mor(U,U)$ отождествлено с $G$, а композиция морфизмов соответствует умножению элементов из $G$. Докажите, что для любых двух групп $G, G'$, функторы $\cac(G) \arrow \cac(G')$ взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам групп $G \arrow G'$. \ез \задача[*] Пусть $\cac$ -- категория векторных пространств над $k$, а $\cac_0$ -- категория одномерных векторных пространств. Существует ли нетривиальный функтор из $\cac$ в $\cac_0$? \ез \задача Пусть $\cac$ -- категория одномерных векторных пространств над полем $k$, а $E$ -- множество всех функторов из $\cac$ в себя.\footnote{Функторы из категории в себя называются {\бф эндофункторы}.} Постройте мультипликативное, сюрьективное отображение из $E$ в группу автоморфизмов $k$. \ез \задача Постройте эндофунктор из категории $k$-мерных векторных пространств в категорию векторных пространств, не переводящий прямые суммы в прямые суммы, и не отображающий все пространства в нульмерные. \ез \задача[*] Найдите все эндофункторы категории конечных множеств, переводящие любое конечное множество $S$ в множество, в котором элементов меньше, чем в $S$. \ез \задача[*] Пусть $\Psi$ есть эндофунктор категории конечномерных векторных пространств, такой, что размерность векторного пространства $\Psi(V)$ всегда меньше $\dim V$, для каждого пространства $V$ размерности $>1$. Докажите, что $\Psi$ переводит любое пространство в нульмерное. \ез \задача[*] Докажите, что не существует функтора на категории линейно связных топологических пространств, переводящего каждое пространство $M$ в $\pi_1(M)$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Контравариантные функторы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Если задана категория $\cac$, определим {\бф двойственную категорию} ("opposite category") $\cac^{op}$. Множество объектов в $\cac^{op}$ -- то же самое, что и в $\cac$, а $\Mor_{\cac^{op}}(A,B)= \Mor_{\cac}(B,A)$. Композиция $\phi\circ \psi$ в $\cac$ дает композицию $\psi^{op}\circ \phi^{op}$ в $\cac^{op}$. \ео \задача Проверьте, что это категория. \ез \определение {\бф Контравариантный функтор из $\cac_1$ в $\cac_2$} это функтор из $\cac_1^{op}$ в $\cac_2$. \ео \задача Для заданного векторного пространства $V$, пусть $F(V)$ -- двойственное пространство. Докажите, что $F$ задает контравариантный функтор на категории векторных пространств. \ез \задача Пусть $Top$ -- категория топологических векторных пространств, а $F$ -- отображение из $Top$ в кольца, переводящее топологическое пространство $M$ в кольцо непрерывных функций на $M$. Докажите, что $F$ задает контравариантный функтор из $Top$ в категорию колец.\footnote{Морфизмы в категории колец -- гомоморфизмы.} \ез \задача Пусть $\cac$ -- любая категория. Докажите, что $X \arrow \Mor(X, Y)$ задает контравариантный функтор из $\cac$ категории в множества. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Эквивалентность категорий} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Два функтора $F, G:\;\cac_1\arrow \cac_2$ называются {\бф эквивалентными}, если для каждого $X \in \Ob(\cac_1)$ задан изоморфизм $\Psi_X:\; F(X) \arrow G(X)$, и для любого морфизма $\phi\in \Mor(X,Y)$, имеет место \begin{equation}\label{_equi_fu_Equation_} F(\phi) \circ \Psi_Y= \Psi_X\circ G(\phi). \end{equation} \ео \задача[!] Пусть $\cac \stackrel F\arrow Set$ -- функтор из категории $\cac$ в категорию множеств. Предположим, что $F$ {\em представим:} $F$ эквивалентен функтору $Y \arrow \Mor(X,Y)$. Докажите, что "представляющий объект" $X$ определен однозначно с точностью до изоморфизма. \ез \задача Пусть $V$ -- векторное пространство над $\C$, а $F_V$ -- функтор на категории векторных пространств над $\C$, который переводит прямые суммы в прямые суммы, а одномерное векторное пространство в $V$. Докажите, что такой функтор задается этими условиями однозначно, с точностью до эквивалентности. \ез \определение Функтор $F:\; \cac_1 \arrow \cac_2$ называется {\бф эквивалентностью категорий}, если найдутся функторы $G, G':\; \cac_2 \arrow \cac_1$ такие, что $F\circ G$ эквивалентен тождественному функтору на $\cac_1$, а $G' \circ F$ эквивалентен тождественному функтору на $\cac_2$. \ео \задача[!] Пусть $\cac_1$, $\cac_2$ -- категории, такие, что для любых объектов $X, Y$, $\Mor(X,Y)$ состоит из одного элемента. Докажите, что категории $\cac_1$ и $\cac_2$ эквивалентны. \ез \задача Приведите пример категорий $\cac_1$ и $\cac_2$, которые удовлетворяют условиям предыдущей задачи, но не изоморфны. \ез \задача Пусть в категориях $\cac$, $\cac'$ все морфизмы -- изоморфизмы. Всегда ли $\cac$ эквивалентно $\cac'$? \ез \задача[*] Докажите, что категория конечных расширений $\Q$ эквивалентна категории подгрупп конечного индекса в группе Галуа $\overline \Q$ над $\Q$. \ез {\bf Философский вопрос:} Изоморфны ли эти категории? Ответьте на него. Мотивируйте ваш ответ. \задача[*] Докажите, что категория конечных накрытий линейно связного топологического пространства $M$ эквивалентна категории множеств, снабженных действием группы $\pi_1(M)$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Аффинные многообразия и конечно порожденные кольца} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание Пусть $\calo_A$ -- кольцо регулярных (полиномиальных) функций на аффинном многообразии $A$. Из теоремы Гильберта о нулях следует, что максимальные идеалы $\calo_A$ находятся в биективном соответствии с точками $A$. \еза \задача Пусть $A$ и $B$ -- два аффинных многообразия, таких, что кольца $\calo_A$ и $\calo_B$ изоморфны. Соответствующая биекция на множестве максимальных идеалов задает, в силу предыдущего замечания, отображение $\phi:\; A \arrow B$. Докажите, что $\phi$ -- гомеоморфизм. \ез \def\Aff{\operatorname{\sf Aff}} \задача Пусть $\Aff$ -- категория аффинных многообразий, то есть алгебраических подмногообразий, морфизмы которой заданы алгебраическими (полиномиальными) отображениями. Рассмотрим два объекта $A$ и $B$ в $\Aff$, которые изоморфны. Докажите, что $\calo_A\cong \calo_B$, где $\calo_A$, $\calo_B$ -- кольца полиномиальных функций на $A$, $B$. \ез \определение {\бф Конечно порожденное кольцо над полем $k$} есть фактор кольца полиномов $k[z_1, ..., z_n]$ по какому-то идеалу. \ео \определение Пусть $I$ -- идеал в кольце полиномов. {\бф Множество общих нулей} всех $f\in I$ обозначается за $V(I)$. Для любого подмножества $A\subset \C^n$, идеал полиномов, зануляющихся в $A$, обозначается $I_A$, и называется {\бф аннулятором} $A$. \ео \задача Пусть $R$ -- конечно-порожденное кольцо без нильпотентов, $R= \C[z_1, ..., z_n]/I$, а $A:= V(I)$. Докажите, что $\calo_A\cong R$, где $\calo_A$ обозначает кольцо полиномиальных функций на $A$. \ез \def\Aff{\operatorname{Aff}} \def\Ring{\operatorname{Ring}} \задача[!] Пусть $\Ring$ есть категория конечно-порожденных колец над $\C$ без нильпотентов (морфизмы -- гомоморфизмы), а $\Aff$ -- категория аффинных многообразий. Рассмотрим контравариантный функтор, переводящий аффинное подмножество $A\subset\C^n$ в кольцо полиномиальных функций на нем. Докажите, что он задает эквивалентность категорий $\Aff^{op}\arrow\Ring$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей и соотношением $V(I_A)=A$, доказанным в предыдущем листочке. \еу \задача Рассмотрим категорию $Q\!\Aff$ квазиаффинных многообразий. Докажите, что естественное вложение $\Aff \arrow Q\!\Aff$ -- не эквивалентность. \ез %\определение %Кольцо $R=\bigoplus_i R^i$ называется {\бф градуированным кольцом %над $\C$}, если оно является кольцом над $\C$, %поле констант $\C$ лежит в $\R^0$, %каждое $R^i$ ("компонента градуировки $i$) является %векторных пространством над $\C$, а произведение %$x\in R^i$, $y\in R^j$ лежит в $R^{i+j}$. %Градуированное кольцо называется %{\бф конечно-порожденным}, если оно мультипликативно %порождено над $\C$ конечным набором векторов $r\in R^i$. %\ео % %\задача[*] %Постройте эквивалентность категорий между %категорией конечно-порожденных градуированных %колец над $\C$ без нильпотентов, и категорией %аффинных многообразий $A$, на которых непрерывно %действует $S^1$, причем для каждой $s\in S^1$ %соответствующий автоморфизм $A$ является %алгебраическим отображением. %\ез % %\задача %Докажите, что произведение %аффинных многообразий -- аффинное многообразие. %\ез % %\задача[!] %Докажите, что квазиаффинное многообразие %$\C^*$ ($\C$ без нуля) аффинно. %Докажите, что мультипликативная %структура на $\C^*$ задается %алгебраическим отображением %$\C^*\times \C^*\arrow \C^*$. %\ез % %\задача[*] %Постройте эквивалентность категорий между %категорией конечно-порожденных градуированных %колец над $\C$ без нильпотентов, и категорией %аффинных многообразий $A$, снабженных действием %группы $\C^*$, причем таким образом, что %соответствующее отображение $\C^* \times A\arrow A$ %является алгебраическим (т.е. регулярным). %\ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Простые идеалы и подмногообразия} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Простой идеал} есть такой идеал, что в факторе по нему нет делителей нуля. \ео \задача[*] Существует ли идеал в кольце непрерывных функций на окружности, который прост, но не максимален? \ез \определение Идеал, порожденный одним элементом, называется {\бф главным}. {\бф Кольцо главных идеалов} -- кольцо, где все идеалы главные. \ео \задача Пусть $R$ -- кольцо главных идеалов. Верно ли, что любой простой идеал в $R$ максимален? \ез \определение Алгебраическое подмножество $A\subset \C^n$ называется {\бф приводимым}, если $A$ можно разложить в объединение двух алгебраических подмножеств $A= A_1 \cup A_2$, причем $A_1$ не содержит $A_2$ и наоборот. В противном случае $A$ называется {\бф неприводимым}. \ео \задача Докажите, что $A$ неприводимо тогда и только тогда, когда соответствующее кольцо полиномиальных функций $\calo_A$ не имеет делителей нуля. \ез \задача[!] Постройте биекцию между множеством неприводимых подмногообразий аффинного многообразия $A$ и множеством простых идеалов в $\calo_A$. \ез \задача[*] Пусть $S\subset \C^2$ -- гладкое подмногообразие, заданное как множество нулей полинома $P$. Всегда ли $\calo_S$ -- кольцо главных идеалов? \ез \end{document}