
\documentclass[8pt]{article}

\addtolength{\textheight}{15mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-8mm}
\addtolength{\textwidth}{12mm}


%\usepackage[UglyObsolete]{diagrams}


\input{listki-ag.tex}

% version 1.0, 07.12.2011 
% version 1.1, 08.12.2011 {\bf Ne} soderzhitsya v sobstvennom podpole
% version 1.2, 05.01.2012 Ispravleniya ot Sashi Anan'ina

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   05.01.2012}
\newcommand{\firstdate}{16.12.2011}

\begin{document}

\listok{11}{Алгебраическая геометрия 11: Лемма Нетер о нормализации
и факторпространство}


{\scriptsize
\ \ \ \ \ {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сданы 2/3 задач с (*) и (!), студент получает
$6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Лемма Нетер о нормализации}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\задача
Пусть $A$ -- конечно-порожденное кольцо над $\C$, без делителей 0.
Докажите, что поле частных $k(A)$ изоморфно конечному
расширению поля $\C(z_1, ..., z_k)$ рациональных
функций.
\ез


\задача
Пусть $A=\calo_X$ -- конечно-порожденное кольцо 
над $\C$, без делителей 0, а $X \subset \C^n$ --
аффинное подмногообразие. Предположим, что
координантые функции $z_{i_1}\restrict X, ..., z_{i_k}\restrict X$
алгебраически независимы, а все остальные координантые
функции  алгебраически зависимы от них.
Докажите, что поле частных $k(A)$ изоморфно
конечному расширению поля 
$\C(z_{i_1}\restrict X, ..., z_{i_k}\restrict X)$.
\ез

\задача[!]
В условиях предыдущей задачи, рассмотрим 
проекцию $X \arrow \C^k$ по координатам
$z_{i_1}, ..., z_{i_k}$. Докажите, что
это отображение доминантно.
\ез

\задача
Пусть $X \subset \C^n$ -- неприводимое аффинное многообразие
положительной размерности, причем координаты
$z_1, ..., z_k$ 
алгебраически независимы в $k(\calo_X)$, а 
$z_{k+1}, ..., z_n$
алгебраически зависимы от них. Докажите, что существует многочлен
$P(z_n)$ с коэффициентами в $\C[z_1, ..., z_k]$
такой, что $P(z_n)=0$.  
\ез

\задача
В условиях предыдущей задачи, пусть $F(z_1, ..., z_k, z_n)$ --
однородная компонента старшей степени $d$ многочлена 
$P(z_1, ..., z_k, z_n)$, а $\lambda_1, ..., \lambda_k$
комплексные числа, такие, что $F(\lambda_1, ..., \lambda_k, 1)\neq 0$.
Пусть $z_i':= z_i + \lambda_i z_n$, где $i = 1, ..., k$.
Докажите, что у многочлена 
$Q(z_1', ..., z_k', z_n):= P(z_1+ \lambda_1 z_n, ,,,m z_k+ \lambda_k z_n, z_n)$
коэффициент при $z_n^d$ ненулевой.
\ез

\задача[!]
Пусть $X \subset \C^n$ -- неприводимое аффинное многообразие
положительной размерности, причем координаты
$z_1, ..., z_k$ 
алгебраически независимы в $k(\calo_X)$, а 
$z_{k+1}, ..., z_n$
алгебраически зависимы от них. Выберем
$z_1', ..., z_k'$ как в предыдущей задаче,
и пусть $\calo_{X'}$ -- подкольцо в $\calo_X$,
порожденное $z_1', ..., z_k', \\ z_{k+1}, ..., z_{n+1}$,
а $X'$ -- соответствующее аффинное многообразие.
Докажите, что естественная проекция
$X\arrow X'$ конечна.
\ез

\указание
Убедитесь в том, что $\calo_{X}= \calo_{X'}[z_n]$,
и проверьте, что $z_n$ -- целый над $\calo_{X'}$
\еу

\задача[!]
Пусть $X \subset \C^n$ -- неприводимое аффинное многообразие
положительной размерности, причем координаты
$z_1, ..., z_k$ 
алгебраически независимы в $k(\calo_X)$, а 
$z_{k+1}, ..., z_n$
алгебраически зависимы от них. Докажите, что
после линейной замены 
$z_i \arrow z_i + \sum_{j=k+1}\lambda_{i,j}z_j$, $i=1,..., k$,
проекция $X \arrow \C^k$ на координаты $z_1, ..., z_k$ --
конечный морфизм.
\ез

\указание
Примените предыдущую задачу, и воспользуйтесь
индукцией по $n$.
\еу

\определение
$X \subset \C^n$ -- неприводимое аффинное многообразие
положительной размерности, а 
проекция $X \arrow \C^k$ на координаты $z_1, ..., z_k$ --
конечный морфизм. Элемент $z\in \calo_X$ называется
{\бф примитивным}, если $z_1, ..., z_k, z$ порождают поле $k(X)$
рациональных функций на $X$.
\ео

\задача
В условиях этого определения,
докажите, что $z\in \calo_X$ примитивен тогда и только тогда, когда
$z$ не содержится в собственном подполе
$\C(z_1, ..., z_k) \subsetneq K\subsetneq k(X)$.
\ез

\задача[!]
В этих условиях, 
обозначим за ${\Bbb K}$ алгебраическое замыкание
поля $\C(z_1, ..., z_k)$.
Докажите, что $k(X)\otimes_{\C(z_1, ..., z_k)} {\Bbb K}$
есть прямая сумма конечного числа полей, изоморфных
${\Bbb K}$, и каждое промежуточное подполе
$k(X)\supset K \supset \C(z_1, ..., z_k)$
соответствует одному из прямых слагаемых в кольце
$k(X)\otimes_{\C(z_1, ..., z_k)} {\Bbb K}$.
\ез


\задача
В этих условиях,
докажите, что число промежуточных полей 
$k(X)\supset K \supset \C(z_1, ..., z_k)$ конечно.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
(теорема о примитивном элементе)
Докажите, что общая линейная комбинация
$\sum_{i=k+1}^n\lambda_i z_i$ всегда примитивна.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\задача
Пусть $X\subset \C^n$ -- 
неприводимое многообразие, такое, что
проекция $X \arrow \C^k$ на координаты $z_1, ..., z_k$ --
конечный морфизм, а $z_{k+1}$ -- примитивный элемент.
Обозначим за $X'$ проекцию $X$ на координаты
$z_1, ..., z_k, z_{k+1}$.
Докажите, что $k(X')=k(X)$.
\ез

\задача
В условиях предыдущей задачи,
докажите, что проекция $X' \arrow X$ 
конечна и бирациональна.
\ез

\задача[!]
(Лемма Нетер о нормализации)
Пусть $X$ -- аффинное многообразие.
Докажите, что существует унитарный
полином $P(t)$ с коэффициентами
в $\C[z_1, ..., z_k]$, и бирациональная,
конечная проекция из $Х$ на множество
решений уравнения $P(z_1, ..., z_k,t)=0$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[*]
Докажите, что 
на любом многообразии найдется гладкая точка.
\ез


\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[*]
Докажите, что множество особых точек заданного многообразия
всегда алгебраично.
\ез

\задача[*]
Пусть $X \subsetneq Y$ -- неприводимые многообразия.
Докажите, что степень трансцендентности поля частных
$X$ строго меньше, чем степень трансцендентности поля частных $Y$.
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Факторпространство}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение 
Пусть $G$ -- конечная группа, действующая
автоморфизмами на аффинном многообразии $A$, 
$\calo_A$ -- кольцо регулярных функций, а
$\calo_A^G$ -- кольцо инвариантов. В силу
теоремы Нетер, $\calo_A^G$ конечно порождено,
значит, является кольцом функций на 
аффинном многообразии $\Spec(\calo_A^G)$.
Обозначим $\Spec(\calo_A^G)$ за $A/G$.
Это многообразие называется {\бф факторпространством
$A$ по действию $G$}.
\ео


\задача
Пусть $A$ неприводимо. Докажите, что $A/G$ тоже
неприводимо.
\ез

\задача
Пусть группа $G=\Z/n\Z$ действует на одномерной
аффинной плоскости $\C$ умножением на примитивный корень
$\sqrt[n]{1}$. Докажите, что $\C/G$ гладко.
\ез


\задача
Пусть $M$ -- гладкое аффинное многообразие.
Обозначим за $m_x\subset \calo_M$ максимальный идеал точки $x\in M$
Докажите, что $\dim m_x/m^2_x$ локально постоянно
как функция $x$.
\ез

\задача
Докажите, что $\C^2/\{\pm 1\}$ не гладко.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\задача[*]
Пусть $G=\Z/n\Z$ -- конечная подгруппа
в $SU(2)$, которая действует на $\C^2$
как диагональная матрица, с собственными
значениями $\epsilon, \epsilon^{-1}$,
где $\epsilon=\sqrt[n]{1}$. 
Докажите, что $\C^2/G$ 
не гладко.
\ез

\задача[*]
Пусть $G$ -- группа симметрий квадрата,
действующая на $\R^2$. Рассмотрим
ее действие на $\C^2=\R^2\otimes_\R\C$.
Докажите, что $\C^2/G$ гладко.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Кольцо $G$-инвариантов и максимальные идеалы в нем}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\задача[!]
Докажите {\бф теорему о примитивном элементе:}
любое конечное расширение полей $[K:k]$ характеристики
нуль можно породить над $k$ одним элементом
$x\in K$.\footnote{Такой $x$ называется {\бф примитивным}.}
\ез

\задача[!]
Пусть $G$ -- конечная группа, которая действует
на кольце $R$ без делителей нуля автоморфизмами.
Докажите, что соответствующее расширение
полей $[k(R):k(R^G)]$ конечно.
\ез

\указание
Убедитесь, что
что каждый $f\in R$ удовлетворяет
уравнению $\prod_{g\in G}(t-g(f))=0$ с коэффициентами в $R^G$.
Выведите из этого, что все элементы $k(G)$ алгебраичны над
$k(R^G)$. Получите оценку $\dim_{k(R^G)} k(R)\leq |G|$,
воспользовавшись теоремой о примитивном элементе.
\еу


\задача
В этих условиях, докажите, что $R$ содержится в целом замыкании
$R^G$ в поле частных $k(R)$.
\ез

\указание
Убедитесь, что
что каждый $f\in R$ удовлетворяет
уравнению $\prod_{g\in G}(t-g(f))=0$ с коэффициентами в $R^G$.
\еу

\задача[!]
Пусть $R$ -- конечно-порожденное 
кольцо без делителей нуля, снабженное действием
конечной группы $G$, а $R^G$ -- кольцо инвариантов. Докажите, что
$\Spec R \arrow \Spec R^G$ -- целый морфизм.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Рассмотрим морфизм
$\Spec R\stackrel \phi
\arrow \Spec R^G$. Пусть $x, y\in \Spec R$
две точки, которые удовлетворяют $g(x)=y$.
Докажите, что $\phi(x)=\phi(y)$.
\ез

\задача
\label{_inva_C_Zadacha_}
Пусть $A$ есть прямая сумма нескольких копий $\C$,
а конечная группа $G$ действует на $A$ автоморфизмами, таким образом,
что $A^G=\C$. Докажите, что $G$ действует транзитивно
на множестве простых идеалов $A$.
\ез

\задача
Пусть $R$ -- конечно-порожденное кольцо над $\C$,
снабженное действием конечной группы $G$, 
${\goth m}$ - максимальный
идеал точки $y\in \Spec R^G$, а $A:= R/{\goth m}R$.
Докажите, что $A$ конечномерно над $\C$.
\ез

\указание Воспользуйтесь тем, что $R$ конечно
порождено как $R^G$-модуль.
\еу

\задача
В условиях предыдущей задачи, докажите, что
$A^G=\C$.
\ез

\указание
Убедитесь, что $({\goth m}R)^G= {\goth m}$, 
и выведите из этого $A^G=R^G/{\goth m}$.
\еу

\задача[!]
Пусть $R$ -- конечно-порожденное кольцо над $\C$,
снабженное действием конечной группы $G$, 
${\goth m}$ - максимальный
идеал точки $y\in \Spec R^G$, а $A:= R/{\goth m}R$.
Докажите, что $G$ транзитивно действует на максимальных 
идеалах $A$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей,
и примените задачу \ref{_inva_C_Zadacha_}.
\еу

\задача[!]
В условиях предыдущей задачи,
постройте биекцию между 
$\Spec R^G$ и множеством $G$-орбит в $\Spec R$.
\ез

\задача
Пусть $G$ -- счетная группа,
действующая на аффинном многообразии $X$
автоморфизмами, а $Y:= \Spec(\calo_X^G)$.
Приведите пример, когда $G$ бесконечная
группа, а морфизм $X\arrow Y$ не конечный.
\ез 

\задача[*]
В условиях предыдущей задачи,
предположим, что все орбиты $G$ конечные.
Следует ли из этого, что морфизм
$X\arrow Y$ конечный?
\ез

\end{document}






