\documentclass[8pt]{article} \addtolength{\textheight}{15mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-8mm} \addtolength{\textwidth}{12mm} %\usepackage[UglyObsolete]{diagrams} \input{listki-ag.tex} % version 1.0, 07.12.2011 % version 1.1, 08.12.2011 {\bf Ne} soderzhitsya v sobstvennom podpole % version 1.2, 05.01.2012 Ispravleniya ot Sashi Anan'ina \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 05.01.2012} \newcommand{\firstdate}{16.12.2011} \begin{document} \listok{11}{Алгебраическая геометрия 11: Лемма Нетер о нормализации и факторпространство} {\scriptsize \ \ \ \ \ {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сданы 2/3 задач с (*) и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Лемма Нетер о нормализации} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $A$ -- конечно-порожденное кольцо над $\C$, без делителей 0. Докажите, что поле частных $k(A)$ изоморфно конечному расширению поля $\C(z_1, ..., z_k)$ рациональных функций. \ез \задача Пусть $A=\calo_X$ -- конечно-порожденное кольцо над $\C$, без делителей 0, а $X \subset \C^n$ -- аффинное подмногообразие. Предположим, что координантые функции $z_{i_1}\restrict X, ..., z_{i_k}\restrict X$ алгебраически независимы, а все остальные координантые функции алгебраически зависимы от них. Докажите, что поле частных $k(A)$ изоморфно конечному расширению поля $\C(z_{i_1}\restrict X, ..., z_{i_k}\restrict X)$. \ез \задача[!] В условиях предыдущей задачи, рассмотрим проекцию $X \arrow \C^k$ по координатам $z_{i_1}, ..., z_{i_k}$. Докажите, что это отображение доминантно. \ез \задача Пусть $X \subset \C^n$ -- неприводимое аффинное многообразие положительной размерности, причем координаты $z_1, ..., z_k$ алгебраически независимы в $k(\calo_X)$, а $z_{k+1}, ..., z_n$ алгебраически зависимы от них. Докажите, что существует многочлен $P(z_n)$ с коэффициентами в $\C[z_1, ..., z_k]$ такой, что $P(z_n)=0$. \ез \задача В условиях предыдущей задачи, пусть $F(z_1, ..., z_k, z_n)$ -- однородная компонента старшей степени $d$ многочлена $P(z_1, ..., z_k, z_n)$, а $\lambda_1, ..., \lambda_k$ комплексные числа, такие, что $F(\lambda_1, ..., \lambda_k, 1)\neq 0$. Пусть $z_i':= z_i + \lambda_i z_n$, где $i = 1, ..., k$. Докажите, что у многочлена $Q(z_1', ..., z_k', z_n):= P(z_1+ \lambda_1 z_n, ,,,m z_k+ \lambda_k z_n, z_n)$ коэффициент при $z_n^d$ ненулевой. \ез \задача[!] Пусть $X \subset \C^n$ -- неприводимое аффинное многообразие положительной размерности, причем координаты $z_1, ..., z_k$ алгебраически независимы в $k(\calo_X)$, а $z_{k+1}, ..., z_n$ алгебраически зависимы от них. Выберем $z_1', ..., z_k'$ как в предыдущей задаче, и пусть $\calo_{X'}$ -- подкольцо в $\calo_X$, порожденное $z_1', ..., z_k', \\ z_{k+1}, ..., z_{n+1}$, а $X'$ -- соответствующее аффинное многообразие. Докажите, что естественная проекция $X\arrow X'$ конечна. \ез \указание Убедитесь в том, что $\calo_{X}= \calo_{X'}[z_n]$, и проверьте, что $z_n$ -- целый над $\calo_{X'}$ \еу \задача[!] Пусть $X \subset \C^n$ -- неприводимое аффинное многообразие положительной размерности, причем координаты $z_1, ..., z_k$ алгебраически независимы в $k(\calo_X)$, а $z_{k+1}, ..., z_n$ алгебраически зависимы от них. Докажите, что после линейной замены $z_i \arrow z_i + \sum_{j=k+1}\lambda_{i,j}z_j$, $i=1,..., k$, проекция $X \arrow \C^k$ на координаты $z_1, ..., z_k$ -- конечный морфизм. \ез \указание Примените предыдущую задачу, и воспользуйтесь индукцией по $n$. \еу \определение $X \subset \C^n$ -- неприводимое аффинное многообразие положительной размерности, а проекция $X \arrow \C^k$ на координаты $z_1, ..., z_k$ -- конечный морфизм. Элемент $z\in \calo_X$ называется {\бф примитивным}, если $z_1, ..., z_k, z$ порождают поле $k(X)$ рациональных функций на $X$. \ео \задача В условиях этого определения, докажите, что $z\in \calo_X$ примитивен тогда и только тогда, когда $z$ не содержится в собственном подполе $\C(z_1, ..., z_k) \subsetneq K\subsetneq k(X)$. \ез \задача[!] В этих условиях, обозначим за ${\Bbb K}$ алгебраическое замыкание поля $\C(z_1, ..., z_k)$. Докажите, что $k(X)\otimes_{\C(z_1, ..., z_k)} {\Bbb K}$ есть прямая сумма конечного числа полей, изоморфных ${\Bbb K}$, и каждое промежуточное подполе $k(X)\supset K \supset \C(z_1, ..., z_k)$ соответствует одному из прямых слагаемых в кольце $k(X)\otimes_{\C(z_1, ..., z_k)} {\Bbb K}$. \ез \задача В этих условиях, докажите, что число промежуточных полей $k(X)\supset K \supset \C(z_1, ..., z_k)$ конечно. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] (теорема о примитивном элементе) Докажите, что общая линейная комбинация $\sum_{i=k+1}^n\lambda_i z_i$ всегда примитивна. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $X\subset \C^n$ -- неприводимое многообразие, такое, что проекция $X \arrow \C^k$ на координаты $z_1, ..., z_k$ -- конечный морфизм, а $z_{k+1}$ -- примитивный элемент. Обозначим за $X'$ проекцию $X$ на координаты $z_1, ..., z_k, z_{k+1}$. Докажите, что $k(X')=k(X)$. \ез \задача В условиях предыдущей задачи, докажите, что проекция $X' \arrow X$ конечна и бирациональна. \ез \задача[!] (Лемма Нетер о нормализации) Пусть $X$ -- аффинное многообразие. Докажите, что существует унитарный полином $P(t)$ с коэффициентами в $\C[z_1, ..., z_k]$, и бирациональная, конечная проекция из $Х$ на множество решений уравнения $P(z_1, ..., z_k,t)=0$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[*] Докажите, что на любом многообразии найдется гладкая точка. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[*] Докажите, что множество особых точек заданного многообразия всегда алгебраично. \ез \задача[*] Пусть $X \subsetneq Y$ -- неприводимые многообразия. Докажите, что степень трансцендентности поля частных $X$ строго меньше, чем степень трансцендентности поля частных $Y$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Факторпространство} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $G$ -- конечная группа, действующая автоморфизмами на аффинном многообразии $A$, $\calo_A$ -- кольцо регулярных функций, а $\calo_A^G$ -- кольцо инвариантов. В силу теоремы Нетер, $\calo_A^G$ конечно порождено, значит, является кольцом функций на аффинном многообразии $\Spec(\calo_A^G)$. Обозначим $\Spec(\calo_A^G)$ за $A/G$. Это многообразие называется {\бф факторпространством $A$ по действию $G$}. \ео \задача Пусть $A$ неприводимо. Докажите, что $A/G$ тоже неприводимо. \ез \задача Пусть группа $G=\Z/n\Z$ действует на одномерной аффинной плоскости $\C$ умножением на примитивный корень $\sqrt[n]{1}$. Докажите, что $\C/G$ гладко. \ез \задача Пусть $M$ -- гладкое аффинное многообразие. Обозначим за $m_x\subset \calo_M$ максимальный идеал точки $x\in M$ Докажите, что $\dim m_x/m^2_x$ локально постоянно как функция $x$. \ез \задача Докажите, что $\C^2/\{\pm 1\}$ не гладко. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[*] Пусть $G=\Z/n\Z$ -- конечная подгруппа в $SU(2)$, которая действует на $\C^2$ как диагональная матрица, с собственными значениями $\epsilon, \epsilon^{-1}$, где $\epsilon=\sqrt[n]{1}$. Докажите, что $\C^2/G$ не гладко. \ез \задача[*] Пусть $G$ -- группа симметрий квадрата, действующая на $\R^2$. Рассмотрим ее действие на $\C^2=\R^2\otimes_\R\C$. Докажите, что $\C^2/G$ гладко. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Кольцо $G$-инвариантов и максимальные идеалы в нем} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача[!] Докажите {\бф теорему о примитивном элементе:} любое конечное расширение полей $[K:k]$ характеристики нуль можно породить над $k$ одним элементом $x\in K$.\footnote{Такой $x$ называется {\бф примитивным}.} \ез \задача[!] Пусть $G$ -- конечная группа, которая действует на кольце $R$ без делителей нуля автоморфизмами. Докажите, что соответствующее расширение полей $[k(R):k(R^G)]$ конечно. \ез \указание Убедитесь, что что каждый $f\in R$ удовлетворяет уравнению $\prod_{g\in G}(t-g(f))=0$ с коэффициентами в $R^G$. Выведите из этого, что все элементы $k(G)$ алгебраичны над $k(R^G)$. Получите оценку $\dim_{k(R^G)} k(R)\leq |G|$, воспользовавшись теоремой о примитивном элементе. \еу \задача В этих условиях, докажите, что $R$ содержится в целом замыкании $R^G$ в поле частных $k(R)$. \ез \указание Убедитесь, что что каждый $f\in R$ удовлетворяет уравнению $\prod_{g\in G}(t-g(f))=0$ с коэффициентами в $R^G$. \еу \задача[!] Пусть $R$ -- конечно-порожденное кольцо без делителей нуля, снабженное действием конечной группы $G$, а $R^G$ -- кольцо инвариантов. Докажите, что $\Spec R \arrow \Spec R^G$ -- целый морфизм. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Рассмотрим морфизм $\Spec R\stackrel \phi \arrow \Spec R^G$. Пусть $x, y\in \Spec R$ две точки, которые удовлетворяют $g(x)=y$. Докажите, что $\phi(x)=\phi(y)$. \ез \задача \label{_inva_C_Zadacha_} Пусть $A$ есть прямая сумма нескольких копий $\C$, а конечная группа $G$ действует на $A$ автоморфизмами, таким образом, что $A^G=\C$. Докажите, что $G$ действует транзитивно на множестве простых идеалов $A$. \ез \задача Пусть $R$ -- конечно-порожденное кольцо над $\C$, снабженное действием конечной группы $G$, ${\goth m}$ - максимальный идеал точки $y\in \Spec R^G$, а $A:= R/{\goth m}R$. Докажите, что $A$ конечномерно над $\C$. \ез \указание Воспользуйтесь тем, что $R$ конечно порождено как $R^G$-модуль. \еу \задача В условиях предыдущей задачи, докажите, что $A^G=\C$. \ез \указание Убедитесь, что $({\goth m}R)^G= {\goth m}$, и выведите из этого $A^G=R^G/{\goth m}$. \еу \задача[!] Пусть $R$ -- конечно-порожденное кольцо над $\C$, снабженное действием конечной группы $G$, ${\goth m}$ - максимальный идеал точки $y\in \Spec R^G$, а $A:= R/{\goth m}R$. Докажите, что $G$ транзитивно действует на максимальных идеалах $A$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей, и примените задачу \ref{_inva_C_Zadacha_}. \еу \задача[!] В условиях предыдущей задачи, постройте биекцию между $\Spec R^G$ и множеством $G$-орбит в $\Spec R$. \ез \задача Пусть $G$ -- счетная группа, действующая на аффинном многообразии $X$ автоморфизмами, а $Y:= \Spec(\calo_X^G)$. Приведите пример, когда $G$ бесконечная группа, а морфизм $X\arrow Y$ не конечный. \ез \задача[*] В условиях предыдущей задачи, предположим, что все орбиты $G$ конечные. Следует ли из этого, что морфизм $X\arrow Y$ конечный? \ез \end{document}