\documentclass[10pt]{article}

\addtolength{\textheight}{15mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-9mm}
\addtolength{\textwidth}{18mm}


%\usepackage[UglyObsolete]{diagrams}


\input{listki-ag.tex}

% version 1.0, 07.12.2011 
% version 1.1, 08.12.2011 - переписал доказательство Накаямы 
% version 1.2, 09.12.2011 - много мелких опечаток
% version 1.3, 05.01.2012 - исправления от Саши Ананьина

\newcommand{\version}{version 1.3,\ \   05.01.2012}
\newcommand{\firstdate}{16.12.2011}

\begin{document}

\listok{10}{Алгебраическая геометрия 10: Лемма Накаямы и целые морфизмы}


{\tiny
\ \ \ \ \ {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.
Если сданы 2/3 задач с (*) и (!), студент получает
$6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.
Если сданы 2/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.
Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.
Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.
Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Лемма Накаямы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\chpoly{\operatorname{\sf Chpoly}}
\def\Tr{\operatorname{\sf Tr}}


\задача
Пусть $A$ -- нетерово кольцо, а $M$ -- конечно-порожденный
$A$-модуль. Докажите, что $\End_A(M)$ -- конечно-порожденный 
$A$-модуль.
\ез

\задача
Пусть $A$ нетерово кольцо, $M$ -- конечно-порожденный
$A$-модуль, а $\Phi\in \End_A(M)$. Обозначим за $A[\Phi]$
подалгебру в $\End_A(M)$, порожденную $\Phi$.
Докажите, что $\Phi$ является корнем полинома
$P(t)=0$, который {\бф унитарен} 
(с коэффициентами в $A$ и старшим коэффициентом 1).
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\определение
Пусть $\Phi$ -- эндоморфизм конечно-порожденного
$A$-модуля, $e_i$ -- образующие $M$, а 
$\Phi(e_i)= \sum a_{ij}e_j$. 
{\бф Характеристический полином} $\chpoly_\Phi(t)\in A[t]$
есть определитель матрицы $\det(t\Id-A)$, где
$A=(a_{ij})$.
\ео

\задача[!]
Приведите пример конечно порожденного
$A$-модуля и эндоморфизма $\Phi$, такого 
что $\chpoly_\Phi(t)$ не единственный.
\ез

\задача[!]
Докажите, что $\chpoly_\Phi(A)=0$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь тем, любой конечно-порожденный
модуль является фактором свободного, и 
примените теорему Гамильтона-Кэли. 
\еу  

\задача
\label{_Nakayama_chpoli_Zadacha_}
Пусть  $M$ -- конечно-порожденный
$A$-модуль, $\Phi\in \End_A(M)$, а $I\subset A$ -- идеал.
Предположим, что $\Phi(M) \subset IM$. Докажите,
что для какого-то характеристического полинома
$\chpoly_\Phi(t)$, все коэффициенты $\chpoly_\Phi(t)$,
кроме старшего, лежат в $I$.
\ез

\задача
Пусть $P(t)$ -- характеристический
полином для тождественного 
эндоморфизма $\Id\in \End_A(M)$, а $S\in A$ есть
сумма всех коэффициентов $P$.
Докажите, что $S M=0$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь теоремой Гамильтона-Кэли.
\еу


\задача[!]
(Лемма Накаямы)\\
Пусть  $M$ -- конечно-порожденный
$A$-модуль, а $I\subset A$ -- идеал.
Предположим, что $IM=M$. Докажите, что 
для какого-то $a\in I$, имеем $(1-a)M=0$.
\ез

\указание
Выведите из 
задачи \ref{_Nakayama_chpoli_Zadacha_}, что существует характеристический
полином $\chpoly_{\Id}(t)$, все коэффициенты которого,
кроме старшего, лежат в $I$, и примените предыдущую задачу.
\еу


\задача[*]
(теорема Крулля)
Пусть ${\goth a}\subset A$ -- идеал в нетеровом кольце.
Докажите, что $\bigcap {\goth a}^n=0$.
\ез

\задача[!]
Пусть $A$ -- кольцо без делителей нуля, а $k(A)$ --
его поле частных. Рассмотрим функтор
на $A$-модулях, $M \mapsto M \otimes_A k(A)$.
Докажите, что этот функтор точен.
\ез

\определение
{\бф Кручение} в $A$-модуле
есть ядро естественного отображения
$M \arrow M \otimes_A k(A)$.
Модуль $M$ {\бф без кручения},
если $M$ вкладывается в $k(M)$.
\ео

\задача
Обозначим за $T(M)$ кручение
$M$, то есть ядро $M \arrow M \otimes_A k(M)$.
Докажите, что функтор кручения $M \mapsto T(M)$
переводит точную последовательность
$0\arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3$
в точную \[ 0\arrow T(M_1) \arrow T(M_2) \arrow T(M_3).\]
\ез

\указание
Воспользуйтесь тем, что кручение $M/T(M)$ равно нулю.
\еу



\задача[!]
(Лемма Накаямы для модулей без кручения)
Пусть $A$ --  кольцо без делителей нуля, $M$ -- конечно-порожденный
$A$-модуль без кручения, а $I\subsetneq A$ -- идеал в $A$,
который удовлетворяет $IM=M$.
Докажите, что $M=0$.
\ез

\определение
Кольцо $A$ называется {\бф локальным}, если в $A$ есть только
один максимальный идеал.
\ео

\задача[*]
(лемма Накаямы для локальных колец)\\
Пусть $M$ -- конечно-порожденный модуль над нетеровым
локальным кольцом $A$, ${\goth m}$ его максимальный
идеал, а $M' \subset M$ его подмодуль,
такой, что $M/{\goth m}M= M'/{\goth m}M'$.
Докажите, что $M=M'$.
\ез

\задача[*]
Пусть $M$ -- конечно-порожденный модуль над
нетеровым кольцом, а $\phi:\; M \arrow M$ эпиморфизм.
Докажите, что $\phi$ -- изоморфизм.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Целые морфизмы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Морфизм аффинных многообразий 
$X \stackrel f \arrow Y$ называется {\бф доминантным},
если $\calo_Y \stackrel{f^*} \arrow \calo_X$ -- вложение,
{\бф конечным}, если $\calo_X$ -- конечно-порожденный $\calo_Y$-модуль,
и {\бф целым}, если он доминантный и конечный.
\ео

\задача
Пусть $A\subset \C[x,y]$ -- подкольцо, порожденное
$x^{100}, y^{666}$ и $xy(x^2-1)$. Докажите, что морфизм
$\Spec(\C[x,y]) \arrow \Spec(A)$ целый.
\ез

\задача
Пусть $\C^2 \arrow \C^2$ морфизм, заданный
формулой $\phi(x) = x^{666}y^{18}$, $\phi(y)=x^{37}y$.
Будет ли этот морфизм целым?
\ез


\задача[!]
Пусть $A\subset B$ подкольцо, причем $B$ конечно
порождено как $A$-модуль и без делителей нуля.
Докажите, что для любого максимального идеала 
$I\subset A$, кольцо $B/IB= B\otimes_A (A/IA)$ конечномерно 
как векторное пространство над $A/IA$ и нетривиально.
\ез

\указание
Воспользуйтесь леммой Накаямы.
\еу

\задача[!]
Докажите, что целый морфизм всегда сюрьективен,
причем прообраз любой точки конечен.
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[*]
Пусть $X \arrow Y$ -- целый морфизм,
а $I \subset \calo_X$ -- ненулевой простой идеал.
Докажите, что $I\cap \calo_Y$ -- тоже ненулевой идеал.
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Целое замыкание}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $A\subset B$ -- кольца.
Множество всех элементов $B$, целых над $A$,
называется {\бф целым замыканием $A$ в $B$}.
Множество всех элементов поля частных $A$,
целых над $A$, называется {\бф целым замыканием $A$}.
Кольцо $A\subset B$ называется {\бф целозамкнутым
в $B$,} если оно совпадает со своим целым замыканием
в $B$, и {\бф целозамкнутым}, если оно 
совпадает со своим целым замыканием в поле частных
$k(A)$.
\ео

\задача[!]
Пусть $A\subset B$ -- кольца без делителей нуля, причем
$B$ конечно порождено как $A$-модуль.
Рассмотрим их поля частных, $k(A)\subset k(B)$.
Докажите, что $k(B)$ конечномерно над $k(A)$.
\ез

\определение
Пусть $R$ -- конечномерное кольцо над полем $k$.
Рассмотрим билинейную форму $a, b \arrow \Tr(ab)$,
где $\Tr(ab)$ -- след эндоморфизма 
$L_{ab}\in \End_k R$, $x \stackrel {L_{ab}}\mapsto abx$.
Такая форма называется {\бф следом}.
\ео

\задача
Пусть $K$ -- конечное расширение поля $k$ характеристики 0.
Докажите, что форма $\Tr$ невырожденна на $K$.
\ез

\задача[*]
Приведите пример конечного расширения полей в
характеристике $p$, для которого форма следа $a, b \arrow \Tr(ab)$
вырожденна.
\ез


\задача[!]
Пусть $A\subset B$ кольца без делителей нуля, причем
$A$ целозамкнуто в своем поле частных, а 
$B$ конечно порождено как $A$-модуль.
Воспользовавшись вложением $k(A)\subset k(B)$,
рассмотрим след $\Tr(b)$ для $b\in B\subset k(B)$. Докажите, что
$\Tr(b)\in A$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь тем, что $b$ целый над $A$, а
$\Tr(b)$ -- след матрицы $L_b$, и докажите, что
$\Tr(b)$ целый над $A$.
\еу


\задача
\label{_nevyr_dual_Zadacha_}
Пусть $A$ -- кольцо без делителей нуля,
$M$ -- конечно-порожденный $A$-модуль без кручения,
а $V:=M\otimes_A k(A)$ соответствующее векторное 
пространство. Рассмотрим невырожденную билинейную форму
$g:\; V\times V \arrow k(A)$, и предположим,
что $g(m,m') \in A$ для каждых $m,m'\in M$.
Докажите, что  
$M^*:=\{x\in V\ \ |\ \ \forall m\in M, \ \  g(x,m)\in A\}$
содержит $M$. 
\ез

\задача[*]
В условиях предыдущей задачи, всегда ли верно, что
$M^*\cong \Hom_A(M,A)$?
\ез


\задача
Пусть $A\subset B$ кольца без делителей нуля, причем
$B$ конечно порождено как $A$-модуль. 
Докажите, что можно выбрать базис $e_1, ..., e_n$ 
в $k(B)$ над $k(A)$, такой, что все $e_i$ лежат
в $B\subset k(B)$.
\ез

\замечание
Отныне и до конца листка, мы будем предполагать, что
все кольца и модули определены над полем характеристики 0.
\еза


\задача
В условиях предыдущей задачи,
рассмотрим подмодуль $M_1\subset B$, порожденный
$e_1, ..., e_n$. Докажите, что $M_1^*\supset B$,
где $M_1^*$ взят относительно билинейной формы
$\Tr$, построенной выше.
\ез

\указание
Воспользуйтесь 
задачей \ref{_nevyr_dual_Zadacha_}
и невырожденностью $\Tr$.
\еу

\задача
Пусть $[K:k]$ конечное расширение полей, $A\subset k$ подкольцо,
а $M_1 \subset K$ -- $A$-подмодуль $K$, порожденный
базисом $e_1, ..., e_n$ в $[K:k]$.
Докажите, что он свободный.\footnote{Свободным
$A$-модулем называется модуль, изоморфный $A^n$.}
Рассмотрим модуль
$M^*_1:=\{x\in V\ \ |\ \ \forall m\in M, \ \  \Tr(x,m)\in
A\}$. Докажите, что $M_1^*$ тоже свободный.
\ез



\задача[!]
Пусть $A$ -- нетерово кольцо характеристики 0 без
делителей нуля, $[K:k(A)]$ конечное
расширение его поля частных, а $B$ -- целое замыкание $A$ в $K$.
Докажите, что $B$ конечно порождено как $A$-модуль.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей, чтобы реализовать
$B$ как подмодуль свободного модуля $M^*_1$.
\еу


\определение
Пусть $A$ -- конечно-порожденное кольцо над $\C$,
без делителей нуля,
a $B$ его целое замыкание в $k(A)$.
{\бф Морфизм нормализации} есть морфизм
$\Spec B \arrow \Spec A$, a $\Spec B$
называется {\бф нормализацией} $\Spec A$.
\ео

\задача
Найдите неприводимое аффинное многообразие, которое
не нормально, и определите его нормализацию.
\ез

\задача
Докажите, что морфизм нормализации -- целый.
\ез

\задача[!]
\label{_normali_izo_Zadacha_}
Пусть $X' \stackrel \phi \arrow X$ -- конечный бирациональный
морфизм, а $X$ нормально. Докажите, что $\phi$ -- изоморфизм.
\ез

\указание
Убедитесь, что $\calo_{X'}\supset \calo_X$ содержится в целом 
замыкании $\calo_X$.
\еу

\задача[**]
Пусть $X$ -- аффинное многообразие.
Назовем рациональную функцию {\бф локально ограниченной},
если она ограниченна в окрестности каждой точки $X$.
Докажите, что $X$ нормально тогда и только
тогда, когда любая локально ограниченная рациональная
функция на $X$ регулярна.
\ез

\задача[*]
Докажите, что $\C[x^2,y^2,xy]$ целозамкнуто.
\ез



\end{document}