\documentclass[12pt]{article} \input{listki-ag.tex} % version 1.0, 08.09.2010 % version 1.1, 10.09.2010, поправлена задача 1.8 % version 1.2, 10.09.2010, опечатки от Саши Ананьина % version 1.2.1, 11.09.2010, поправил TeX в задаче 1.3 % version 1.3, 16.09.2010, описка в задаче 1.41 % version 1.4, 16.09.2010, ошибки в задачах 1.33 и 1.43 % version 1.4.1, 17.09.2010, снова исправления от С.А. % version 1.5, 30.09.2010, задача 1.29 получила [*] % version 1.6, 1.11.2010, задача 1.33 popravlena \newcommand{\version}{version 1.5,\ \ 30.09.2011} \newcommand{\firstdate}{09.09.2011} \begin{document} \listok{1}{Алгебраическая геометрия 1: максимальные идеалы и лемма Цорна} {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сданы 2/3 задач с (*) и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Идеалы в кольце полиномов} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание Все кольца в дальнейшем предполагаются коммутативные, с единицей, и $1\neq 0$. Все идеалы в кольце $R$ по умолчанию предполагаются {\бф нетривиальными}, то есть не равными $R$. \еза \определение Пусть $I \subset k[t_1, ..., t_n]$ -- идеал в кольце полиномов над полем $k$. Обозначим за $(I)\subset k^n$ {\bf множество общих нулей} $I$, то есть всех таких точек $(a_1, ..., a_n)\in k^n$, где зануляются все $f\in I$. \ео \задача Докажите, что $V(I)$ -- замкнутое подмножество $\R^n$ для любого идеала $I \subset \R[t_1, ..., t_n]$. \ез \определение Пусть $Z\subset k^n$ -- какое-то подмножество. Определим идеал $I_Z$, состоящий из всех $f\in k[t_1, ..., t_n]$, которые зануляются во всех точках $Z$. Такой идеал называется {\бф аннулятором} $Z$. \ео \задача Найдите (нетривиальный) идеал в $\R[t]$, такой, что $V(I)$ пусто. \ез \задача \енум \итем Для каждого простого $p$, найдите идеал в ${\Bbb F_p}[t]$ такой, что $V(I)$ пусто. \итем[*] Найдите идеал в ${\Bbb F_{p^n}}[t]$ такой, что $V(I)$ пусто. \ее \ез \определение {\бф Максимальный идеал} есть идеал, который не содержится ни в каком большем. \ео \задача Докажите, что идеал $I\subset R$ максимален тогда и только тогда, когда $R/I$ -- поле. \ез \определение {\бф Идеал точки} $(a_1, ..., a_n)\in k^n$ есть идеал всех полиномов $f\in k[t_1, ..., t_n]$, которые зануляются в этой точке. \ео \задача Докажите, что идеал точки всегда максимальный. \ез \задача[*] Пусть $[K:\Q]$ -- конечное расширение полей. Найдите максимальный идеал $I$ в $\Q[t]$ такой, что $\Q[t]/I\cong K$. \ез \задача[!] Пусть $I\subset k[t_1, ..., t_n]$ -- максимальный идеал, такой, что естественное вложение $k\arrow k[t_1, ..., t_n]/I$ -- изоморфизм. Докажите, что $I$ -- идеал точки. \ез \задача[*] Рассмотрим подкольцо $R$ в функциях на $\C$, порожденное функциями $t, e^{\lambda t}$, где $t$ -- координата, а $\lambda \in \Q$, для всех рациональных $\lambda$. Существует ли максимальный идеал $I\subset R$, такой, что естественное вложение $\C \arrow R/I$ -- не изоморфизм? \ез \замечание (Слабая) {\бф теорема Гильберта о нулях} утверждает, что для любого идеала $I\subset \C[t_1, ..., t_n]$, множество $V(I)$ общих нулей $I$ непусто. \еза \задача Докажите, что это утверждение равносильно следующему: любой максимальный идеал в $\C[t_1, ..., t_n]$ является идеалом точки. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Лемма Цорна} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $\phi:\; A \arrow B$ сюрьективное отображение множеств. {\бф Сечением} отображения $\phi$ называется отображение $\psi:\; B \arrow A$, такое, что $\psi\circ \phi=\Id$. \ео \begin{center} \epsfig{file=sechenie.png,width=0.15\linewidth} \end{center} \определение {\бф Аксиома выбора} утверждает, что каждое сюрьективное отображение имеет сечение. \ео \определение Пусть $(X, \prec)$ -- частично упорядоченное множество. Если для каких-то $x, y\in X$ имеет место $x\prec y$ либо $y\prec x$, мы говорим, что $x$ и $y$ {\бф сравнимы}. Отношение $\prec$ называется {\бф отношением линейного порядка} (total order), если любые два элемента сравнимы. Множество $(X, \prec)$ с отношением линейного порядка называется {\бф линейно упорядоченное множество}. Линейно упорядоченные множества также называются {\бф монотонно упорядоченными}, или просто {\бф упорядоченными}. \ео \определение Пусть $(X, \prec)$ -- линейно упорядоченное множество, а $Y \subset X$ -- его подмножество. Элемент $y_0\in Y$ называется {\бф минимальным}, если для любого $y\in Y$, имеем $y_0\preccurlyeq y$. Линейно упорядоченное множество называется {\бф вполне упорядоченным} (well-ordered set), если любое его подмножество имеет минимальный элемент. Отношение порядка на таком множестве называется {\бф отношение полного порядка}. \ео \определение {\бф Начальным элементом} вполне упорядоченного множества называется его минимальный элемент. {\бф Отрезком} линейно упорядоченного множества $(X, \prec)$ называется подмножество $Y\subset X$ такое, что для любых $x, z\in Y$, и любого $y\in X$ такого, что $x\prec y\prec z$, имеем $y\in Y$. {\бф Начальным отрезком} вполне упорядоченного множества называется отрезок, содержащий минимальный элемент. \ео \определение Два вполне упорядоченных множества называются {\бф изоморфными}, если между ними есть биекция, сохраняющая порядок. Классы изоморфизма вполне упорядоченных множеств называются {\бф ординалами}, или же {\бф ординальными числами}. \ео \замечание Ординалы можно складывать (для этого надо взять объединение $X \coprod Y$ двух непересекающихся вполне упорядоченных множеств, и положить $X \prec Y$). Кроме того, ординалы можно умножать. Полный порядок на произведении $X\times Y$ задается так: \[ (x,y) \prec (x', y') \text{ \ если\ } x\prec x', \text{\ либо\ } x=x', y\prec y'. \] \еза \задача[*] Докажите, что сложение ординалов не коммутативно. \ез \задача Докажите, что сложение ординалов ассоциативно. \ез \задача[*] Коммутативно ли умножение ординалов? \ез \задача Докажите, что умножение ординалов ассоциативно. \ез \задача[!] Пусть $X$, $Y$ -- вполне упорядоченные множества. Докажите, что $X$ изоморфно начальному отрезку $Y$, либо $Y$ изоморфно начальному отрезку $X$. \ез \задача Докажите, что такой изоморфизм определен однозначно. \ез \определение {\бф Теорема Цермело} утверждает, что любое множество может быть вполне упорядочено. \ео \задача Выведите из теоремы Цермело аксиому выбора. \ез \указание Возьмите минимальный элемент в $\psi^{-1}(b)$. \еу \определение Пусть $(S, \prec)$ -- частично упорядоченное множество. Элемент $x\in S$ называется {\бф максимальным}, если не существует $y\in S$ с $x\prec y$. Для подмножества $S_1\subset S$ и $x\in S$, мы пишем $S_1 \preccurlyeq x$, если для каждого $\xi \in S_1$ имеем $\xi \preccurlyeq x$. {\бф Лемма Цорна} утверждает следующее. Пусть $(S, \prec)$ -- частично упорядоченное множество, причем для любого вполне упорядоченного подмножества $S_1\subset S$ найдется элемент $\xi\in S$ такой, что $S_1 \preccurlyeq \xi$. Тогда в $S$ найдется максимальный элемент. \ео \задача[!] Выведите из леммы Цорна теорему Цермело. \ез \указание Пусть $A$ -- множество, на котором мы хотим найти полный порядок. Рассмотрите в качестве $S$ множество подмножеств $A$, снабженных полным порядком, а в качестве $\prec$ отношение "$X$ есть начальный отрезок $Y$". \еу \задача[*] Выведите теорему Цермело из аксиомы выбора. \ез \задача[*] Выведите из аксиомы выбора лемму Цорна \ез \замечание В дальнейшем, при сдаче листков {\бф вы можете пользоваться леммой Цорна и теоремой Цермело без доказательства.} \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Применения леммы Цорна} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача[!] Пусть даны два множества $A$ и $B$. Выведите из аксиомы выбора, что либо $A$ изоморфно подмножеству $B$, либо $B$ изоморфно подмножеству $A$. \ез \задача Докажите теорему Кантора-Бернштейна: для любых двух множеств $A$ и $B$, если $A$ равномощно подмножеству $B$, а $B$ равномощно подмножеству $A$, то они равномощны. \ез \задача Пусть $I\subset R$ -- идеал в кольце. Докажите, что $I$ содержится в максимальном идеале. \ез \задача[!]\label{_ravnomo_syur_Zadacha_} Докажите, что если существует сюрьекция $A \arrow B$ и сюрьекция $B \arrow A$, то эти множества равномощны. \ез \определение Пусть $V$ -- векторное пространство. {\бф Базис Коши-Гамеля} есть максимальный набор линейно независимых векторов $V$. \ео \задача Выведите из леммы Цорна существование базиса Коши-Гамеля в любом векторном пространстве. \ез \задача[!] Пусть $S$ -- базис Коши-Гамеля в $W$, а $S_1$ -- набор векторов, линейные комбинации которых порождают $W$. Постройте сюрьекцию $S_1 \times {\Bbb N} \arrow S$ \ез \указание Воспользуйтесь аксиомой выбора. \еу \задача[!] Докажите, что для любого бесконечного множества $A$, $A$ равномощно $A \times {\Bbb N}$. \ез \указание Воспользуйтесь теоремой Цермело. \еу \задача[!] Пусть $S, S'$ -- два базиса Коши-Гамеля. Докажите, что они равномощны. \ез \указание Примените все предшествующие задачи, начиная с задачи \ref{_ravnomo_syur_Zadacha_}. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Несчетномерные векторные пространства} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Бесконечномерное векторное пространство называется {\бф несчетномерным}, если его базис Коши-Гамеля несчетен. \ео \задача Докажите, что $\C$ несчетномерно, как векторное пространство над $\Q$. \ез \задача[*] Докажите, что $V^*:=\Hom_k(V,k)$ несчетномерно, если $V$ бесконечномерно. \ез \задача[*] Докажите, что естественное вложение $V \arrow V^{**}$ -- не изоморфизм ни для какого бесконечномерного $V$. \ез \определение Для любого поля $k$, обозначим за $k(t)$ поле рациональных функций от одной переменной над $k$. \ео \задача Докажите, что любой набор векторов вида $\frac{1}{t-a_i}\in k(t)$ линейно независим над $k$, если все $a_i$ попарно различны. \ез \задача Докажите, что $\C(t)$ несчетномерно над $\C$. \ез \задача[*] Докажите, что пространство непрерывных функций на отрезке несчетномерно над $\R$. Докажите, что гильбертово пространство $L^2(S^1)$ несчетномерно над $\R$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Доказательство теоремы Гильберта о нулях} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $I\subset \C[z_1, ..., z_n]$ -- максимальный идеал. Докажите, что либо естественное вложение $\C \arrow \C[z_1, ..., z_n]/I$ -- изоморфизм, либо существует $\C$-линейное вложение $\C(t)\hookrightarrow \C[z_1, ..., z_n]/I$. \ез \задача Докажите, что $\C[z_1, ..., z_n]$ счетномерно над $\C$. Выведите из этого, что $\C[z_1, ..., z_n]/I$ счетномерно. \ез \задача Докажите, что у $\C$ нет нетривиальных счетномерных расширений. \ез \задача Выведите из этого, что $\C[z_1, ..., z_n]/I=\C$ для любого максимального идеала $I$. \ез \задача[!] Докажите, что любой максимальный идеал в $\C[z_1, ..., z_n]$ является идеалом точки. \ез \задача[*] Докажите, что любой максимальный идеал в $k[z_1, ..., z_n]$ является идеалом точки, для любого алгебраически замкнутого поля характеристики 0. \ез \задача[*] Докажите, что любой максимальный идеал в $k[z_1, ..., z_n]$ является идеалом точки, для любого алгебраически замкнутого поля характеристики $p>0$. \ез \задача Пусть $I$ -- идеал в $\C[t_1, ..., t_n]$, а $F\in \C[t_1, ..., t_n]$ -- функция, которая не зануляется нигде в $V(I)$. Докажите, что для каких-то полиномов $a\in I$ и $b$, имеем $1=a+Fb$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Трюк Рабиновича и локализация} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача\label{_rabin_1_Zadacha_} ("хитрый трюк Рабиновича") Пусть $I\subset \C[t_1, ..., t_n]$ какой-то идеал, а $F$ -- полином, такой, что $F= 0$ всюду на $V(I)$. Рассмотрим идеал $I'\subset \C[t_1, ..., t_{n+1}]$, порожденный всеми $\psi \in I$ и функцией $\phi:=z_{n+1}F-1$. Докажите, что $1\in I'$. \ез \указание Убедитесь, что $I'$ не имеет общих нулей в $\C^{n+1}$, а следовательно, тривиален. \еу \определение {\бф Локализацией} кольца $R$ по $F\in R$ называется кольцо, формально порожденное элементами вида $a/F^n$, где $a\in R$, и с соотношениями $a/F^n \cdot b/F^m= ab/F^{n+m}$, $a/F^n + b/F^m= \frac {a F^m + bF^n}{F^{n+m}}$ и $aF^k/F^{k+n}=a/F^n$. \ео \задача Рассмотрим кольцо $R[F^{-1}]$, полученное из $R$ локализацией по $F\in R$. Докажите, что оно ненулевое тогда и только тогда, когда $F$ не нильпотент. \ез \указание $R[F^{-1}]$ есть кольцо полиномов над $R$, профакторизованное по соотношению $Ft=1$. Если оно нулевое, это значит, что $1 = (1-Ft)P$ для какого-то полинома $P=\sum_i a_i t^i$ Раскрыв скобки, получите $Fa_{i-1} = a_i$, и $a_0=1$. \еу \определение {\бф Простой идеал} есть такой идеал, что в факторе по нему нет делителей нуля. \ео \задача[!] Постройте биекцию между простыми идеалами в $A[F^{-1}]$ и простыми идеалами $A$, не содержащими $F$. \ез \задача[!] Пусть $A$ -- кольцо без нильпотентов. Докажите, что пересечение простых идеалов $A$ равно 0. \ез \задача ("хитрый трюк Рабиновича, часть 2") Пусть $I\subset \C[t_1, ..., t_{n}]$ -- идеал, а $F$ зануляется везде на $V(I)$. Докажите, что $F^n\in I$. \ез \указание Рассмотрим эпиморфизм (сюрьективный гомоморфизм) \[ \C[t_1, ..., t_{n+1}]\stackrel \xi\arrow R,\] где $R=\bigg(\C[t_1, ..., t_{n}]/I\bigg)[F^{-1}]$, переводящий $t_1, ..., t_n$ в себя, а $t_{n+1}$ в $F^{-1}$. Проверьте, что $\xi(I')=0$ и выведите из этого, что $R=0$. Дальше примените предыдущую задачу. \еу \задача Пусть $I$ -- идеал в $\C[t_1, ..., t_n]$. Докажите, что $I_{V(I)}=I$ тогда и только тогда, когда в $\C[t_1, ..., t_n]/I$ нет нильпотентов. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] ("сильная теорема Гильберта о нулях"). Пусть $I$ -- простой идеал в кольце полиномов над $\C$. Докажите, что $I_{V(I)}=I$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \end{document}