\documentclass[12pt]{article}

\input{listki-ag.tex}

% version 1.0, 08.09.2010
% version 1.1, 10.09.2010, поправлена задача 1.8
% version 1.2, 10.09.2010, опечатки от Саши Ананьина
% version 1.2.1, 11.09.2010, поправил TeX в задаче 1.3
% version 1.3, 16.09.2010, описка в задаче 1.41
% version 1.4, 16.09.2010, ошибки в задачах 1.33 и 1.43 
% version 1.4.1, 17.09.2010, снова исправления от С.А.
% version 1.5, 30.09.2010, задача 1.29 получила [*]
% version 1.6, 1.11.2010, задача 1.33 popravlena

\newcommand{\version}{version 1.5,\ \   30.09.2011}
\newcommand{\firstdate}{09.09.2011}

\begin{document}

\listok{1}{Алгебраическая геометрия 1: максимальные идеалы и 
лемма Цорна}



{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сданы 2/3 задач с (*) и (!), студент получает
$6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Идеалы в кольце полиномов}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\замечание
Все кольца в дальнейшем предполагаются 
коммутативные, с единицей, и $1\neq 0$.
Все идеалы в кольце $R$ по умолчанию
предполагаются {\бф нетривиальными},
то есть не равными $R$.
\еза

\определение
Пусть $I \subset k[t_1, ..., t_n]$ -- идеал в кольце полиномов над полем $k$.
Обозначим за $(I)\subset k^n$  {\bf множество  общих нулей} $I$, то есть
всех таких точек  $(a_1, ..., a_n)\in k^n$, где зануляются все $f\in I$.
\ео

\задача
Докажите, что $V(I)$ -- замкнутое подмножество $\R^n$
для любого идеала $I \subset \R[t_1, ..., t_n]$.
\ез

\определение
Пусть $Z\subset k^n$ -- какое-то подмножество.
Определим идеал $I_Z$, состоящий из всех $f\in k[t_1, ..., t_n]$,
которые зануляются во всех точках $Z$. Такой идеал называется
{\бф аннулятором} $Z$. 
\ео

\задача
Найдите (нетривиальный) идеал в $\R[t]$, такой, что $V(I)$ пусто.
\ез

\задача
\енум
\итем Для каждого простого $p$,
найдите идеал в ${\Bbb F_p}[t]$ такой, что $V(I)$ пусто.
\итем[*] 
Найдите идеал в ${\Bbb F_{p^n}}[t]$ такой, что $V(I)$ пусто.
\ее
\ез

\определение
{\бф Максимальный идеал} есть идеал, который не содержится
ни в каком большем.
\ео

\задача
Докажите, что идеал $I\subset R$ максимален
тогда и только тогда, когда $R/I$ -- поле.
\ез

\определение
{\бф Идеал точки} $(a_1, ..., a_n)\in k^n$
есть идеал всех полиномов $f\in k[t_1, ..., t_n]$,
которые зануляются в этой точке.
\ео

\задача
Докажите, что идеал точки всегда максимальный.
\ез

\задача[*]
Пусть $[K:\Q]$ -- конечное расширение полей.
Найдите максимальный идеал $I$ в $\Q[t]$
такой, что $\Q[t]/I\cong K$.
\ез 

\задача[!]
Пусть $I\subset k[t_1, ..., t_n]$ -- максимальный
идеал, такой, что естественное вложение
$k\arrow k[t_1, ..., t_n]/I$ -- изоморфизм.
Докажите, что $I$ -- идеал точки.
\ез


\задача[*]
Рассмотрим подкольцо $R$ в функциях на $\C$,
порожденное функциями $t, e^{\lambda t}$, где $t$ -- координата,
а $\lambda \in \Q$, для всех рациональных $\lambda$.
Существует ли максимальный идеал $I\subset R$, такой, что 
естественное вложение $\C \arrow R/I$ --
не изоморфизм?
\ез

\замечание
(Слабая) {\бф теорема Гильберта о нулях} утверждает, 
что  для любого идеала $I\subset \C[t_1, ..., t_n]$,
множество $V(I)$ общих нулей $I$ непусто.
\еза

\задача
Докажите, что это утверждение равносильно следующему:
любой максимальный идеал в $\C[t_1, ..., t_n]$ является идеалом точки.
\ез 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Лемма Цорна}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $\phi:\; A \arrow B$ сюрьективное отображение
множеств. {\бф Сечением} отображения $\phi$ называется
отображение $\psi:\; B \arrow A$, такое, что
$\psi\circ \phi=\Id$. 
\ео

\begin{center}
\epsfig{file=sechenie.png,width=0.15\linewidth}
\end{center}

\определение
{\бф  Аксиома выбора} утверждает, что 
каждое сюрьективное отображение имеет сечение.
\ео



\определение
Пусть $(X, \prec)$ -- частично
упорядоченное множество. Если для каких-то $x, y\in X$ имеет
место  $x\prec y$ либо $y\prec x$, мы говорим,
что $x$ и $y$ {\бф сравнимы}.
Отношение $\prec$ называется {\бф отношением линейного
порядка} (total order), если любые два элемента сравнимы. Множество
$(X, \prec)$ с отношением линейного порядка
называется {\бф линейно упорядоченное множество}.

Линейно упорядоченные множества также называются
{\бф монотонно упорядоченными}, или просто {\бф упорядоченными}.
\ео

\определение
Пусть $(X, \prec)$ -- линейно
упорядоченное множество, а $Y \subset X$ -- его
подмножество. Элемент $y_0\in Y$ называется {\бф
минимальным}, если  для любого $y\in Y$, 
имеем $y_0\preccurlyeq y$. Линейно упорядоченное
множество называется {\бф вполне упорядоченным}
(well-ordered set),
если любое его подмножество имеет минимальный
элемент. Отношение порядка на таком множестве
называется {\бф отношение полного порядка}.
\ео



\определение
{\бф Начальным элементом} вполне упорядоченного
множества называется его минимальный элемент.
{\бф Отрезком} линейно упорядоченного
множества $(X, \prec)$ называется подмножество 
$Y\subset X$ такое, что для любых $x, z\in Y$,
и любого $y\in X$ такого, что $x\prec y\prec z$,
имеем $y\in Y$. {\бф Начальным отрезком}
вполне упорядоченного
множества называется отрезок, содержащий
минимальный элемент. 
\ео


\определение
Два вполне упорядоченных множества называются
{\бф изоморфными}, если между ними есть
биекция, сохраняющая порядок. Классы изоморфизма
вполне упорядоченных множеств называются
{\бф ординалами}, или же {\бф ординальными числами}.
\ео

\замечание
Ординалы можно складывать
(для этого надо взять объединение $X \coprod Y$ двух
непересекающихся вполне упорядоченных множеств,
и положить $X \prec Y$). Кроме того, ординалы можно умножать.  
Полный порядок на произведении $X\times Y$ задается так:
\[ (x,y) \prec (x', y') \text{ \ если\ } x\prec x',
\text{\ либо\ } x=x', y\prec y'.
\]
\еза

\задача[*]
Докажите, что сложение ординалов не коммутативно.
\ез

\задача
Докажите, что сложение ординалов ассоциативно.
\ез

\задача[*]
Коммутативно ли умножение ординалов?
\ез

\задача
Докажите, что умножение ординалов ассоциативно.
\ез

\задача[!]
Пусть $X$, $Y$ -- вполне
упорядоченные множества. Докажите, что 
$X$ изоморфно начальному отрезку $Y$,
либо $Y$ изоморфно начальному отрезку $X$.
\ез

\задача
Докажите, что такой изоморфизм
определен однозначно.
\ез

\определение
{\бф Теорема Цермело} утверждает, что
любое множество может быть вполне упорядочено.
\ео

\задача
Выведите из теоремы Цермело аксиому выбора.
\ез

\указание
Возьмите минимальный элемент в $\psi^{-1}(b)$. 
\еу

\определение
Пусть $(S, \prec)$ -- частично упорядоченное
множество. Элемент $x\in S$ называется
{\бф максимальным}, если не существует $y\in S$ с $x\prec y$.
Для подмножества $S_1\subset S$ и $x\in S$, 
мы пишем $S_1 \preccurlyeq x$, если для каждого
$\xi \in S_1$ имеем $\xi \preccurlyeq x$.
{\бф Лемма Цорна} утверждает следующее.
 Пусть $(S, \prec)$  -- частично упорядоченное
множество, причем для любого вполне упорядоченного 
подмножества $S_1\subset S$ найдется элемент $\xi\in S$
такой, что $S_1 \preccurlyeq \xi$. Тогда в $S$ найдется максимальный
элемент.
\ео

\задача[!]
Выведите из леммы Цорна теорему Цермело.
\ез

\указание
Пусть $A$ -- множество, на котором мы хотим найти
полный порядок. Рассмотрите в качестве $S$ множество 
подмножеств $A$, снабженных полным порядком, а в качестве
$\prec$ отношение "$X$ есть начальный отрезок $Y$".
\еу

\задача[*]
Выведите теорему Цермело из аксиомы выбора.
\ез

\задача[*]
Выведите из аксиомы выбора лемму Цорна
\ез

\замечание
В дальнейшем, при сдаче листков {\бф вы можете пользоваться
леммой Цорна и теоремой Цермело без доказательства.}
\еза


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Применения леммы Цорна}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\задача[!]
Пусть даны два множества $A$ и $B$.
Выведите из аксиомы выбора, что либо
$A$ изоморфно подмножеству $B$, либо
$B$ изоморфно подмножеству $A$.
\ез

\задача
Докажите теорему Кантора-Бернштейна:
для любых двух множеств $A$ и $B$,
если $A$ равномощно подмножеству $B$,
а $B$ равномощно подмножеству $A$, то они равномощны.
\ез


\задача
Пусть $I\subset R$ -- идеал в кольце.
Докажите, что $I$ содержится в максимальном идеале.
\ез

\задача[!]\label{_ravnomo_syur_Zadacha_}
Докажите, что если существует сюрьекция
$A \arrow B$ и сюрьекция $B \arrow A$, то
эти множества равномощны.
\ез

\определение
Пусть $V$ -- векторное пространство.
{\бф Базис Коши-Гамеля} есть максимальный
набор линейно независимых векторов $V$.
\ео


\задача
Выведите из леммы Цорна существование базиса Коши-Гамеля
в любом векторном пространстве.
\ез


\задача[!]
Пусть $S$ -- базис
Коши-Гамеля в $W$, а $S_1$ -- набор векторов,
линейные комбинации которых порождают $W$.
Постройте сюрьекцию $S_1 \times {\Bbb N} \arrow S$
\ез

\указание
Воспользуйтесь аксиомой выбора.
\еу

\задача[!]
Докажите, что для любого бесконечного множества $A$,
$A$ равномощно $A \times {\Bbb N}$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь теоремой Цермело.
\еу

\задача[!]
Пусть $S, S'$ -- два базиса Коши-Гамеля.
Докажите, что они равномощны.
\ез

\указание
Примените все предшествующие задачи, начиная 
с задачи \ref{_ravnomo_syur_Zadacha_}.
\еу



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Несчетномерные векторные пространства}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Бесконечномерное векторное пространство 
называется {\бф несчетномерным}, если
его базис Коши-Гамеля несчетен.
\ео

\задача
Докажите, что $\C$ несчетномерно, как векторное
пространство над $\Q$.
\ез

\задача[*]
Докажите, что $V^*:=\Hom_k(V,k)$ несчетномерно, если $V$ бесконечномерно.
\ез

\задача[*]
Докажите, что естественное вложение
$V \arrow V^{**}$ -- не изоморфизм ни для какого
бесконечномерного $V$.
\ез

\определение
Для любого поля $k$, обозначим за $k(t)$
поле рациональных функций от одной переменной над $k$.
\ео

\задача
Докажите, что любой набор векторов вида $\frac{1}{t-a_i}\in k(t)$
линейно независим над $k$, если все $a_i$ попарно различны.
\ез

\задача
Докажите, что $\C(t)$ несчетномерно над $\C$.
\ез

\задача[*]
Докажите, что пространство непрерывных функций на 
отрезке несчетномерно над $\R$.
Докажите, что гильбертово пространство $L^2(S^1)$ 
 несчетномерно над $\R$.
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Доказательство теоремы Гильберта о нулях}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $I\subset \C[z_1, ..., z_n]$ -- максимальный идеал.
Докажите, что либо естественное вложение 
$\C \arrow \C[z_1, ..., z_n]/I$ -- изоморфизм, либо
существует $\C$-линейное вложение $\C(t)\hookrightarrow \C[z_1, ..., z_n]/I$.
\ез

\задача
Докажите, что  $\C[z_1, ..., z_n]$ счетномерно над $\C$.
Выведите из этого, что $\C[z_1, ..., z_n]/I$ счетномерно.
\ез

\задача
Докажите, что у $\C$ нет нетривиальных счетномерных расширений.
\ез

\задача
Выведите из этого, что $\C[z_1, ..., z_n]/I=\C$ для любого
максимального идеала $I$.
\ез

\задача[!]
Докажите, что любой максимальный идеал  в $\C[z_1, ..., z_n]$
является идеалом точки.
\ез

\задача[*]
Докажите, что любой максимальный идеал  в $k[z_1, ..., z_n]$
является идеалом точки, для любого алгебраически
замкнутого поля характеристики 0.
\ез

\задача[*]
Докажите, что любой максимальный идеал  в $k[z_1, ..., z_n]$
является идеалом точки, для любого алгебраически
замкнутого поля характеристики $p>0$.
\ез

\задача
Пусть $I$ -- идеал в $\C[t_1, ..., t_n]$,
а $F\in \C[t_1, ..., t_n]$ -- функция,
которая не зануляется нигде в $V(I)$. Докажите, что
для каких-то полиномов $a\in I$ и $b$, имеем
$1=a+Fb$. 
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Трюк Рабиновича и локализация}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\задача\label{_rabin_1_Zadacha_}
("хитрый трюк Рабиновича")
Пусть $I\subset \C[t_1, ..., t_n]$ 
какой-то идеал, а $F$ -- полином, такой, что 
$F= 0$ всюду на $V(I)$.
Рассмотрим идеал $I'\subset \C[t_1, ..., t_{n+1}]$,
порожденный всеми $\psi \in I$ и функцией $\phi:=z_{n+1}F-1$.
Докажите, что $1\in I'$.
\ез

\указание
Убедитесь, что $I'$ не имеет общих нулей в $\C^{n+1}$,
а следовательно, тривиален.
\еу

\определение
{\бф Локализацией} кольца $R$ по $F\in R$ называется
кольцо, формально порожденное элементами вида
$a/F^n$, где $a\in R$, и с соотношениями
$a/F^n \cdot b/F^m= ab/F^{n+m}$,
 $a/F^n + b/F^m= \frac {a F^m + bF^n}{F^{n+m}}$
и $aF^k/F^{k+n}=a/F^n$.
\ео

\задача
Рассмотрим кольцо
$R[F^{-1}]$, полученное
из $R$ локализацией
по $F\in R$. Докажите, что оно ненулевое тогда и только тогда,
когда $F$ не нильпотент.
\ез

\указание
$R[F^{-1}]$ есть кольцо полиномов над $R$, профакторизованное
по соотношению $Ft=1$. Если оно нулевое, это значит, что
$1 = (1-Ft)P$ для какого-то полинома $P=\sum_i a_i t^i$
Раскрыв скобки, получите $Fa_{i-1} = a_i$, и $a_0=1$.
\еу


\определение
{\бф Простой идеал} есть такой идеал,
что в факторе по нему нет делителей нуля.
\ео

\задача[!] Постройте биекцию
между простыми идеалами в $A[F^{-1}]$ 
и простыми идеалами $A$, не содержащими $F$.
\ез

\задача[!]
Пусть $A$ -- кольцо без нильпотентов. Докажите, что
пересечение простых идеалов $A$ равно 0.
\ез


\задача
("хитрый трюк Рабиновича, часть 2")
Пусть $I\subset \C[t_1, ..., t_{n}]$ -- идеал, а
$F$ зануляется везде на $V(I)$.
Докажите, что $F^n\in I$.
\ез

\указание
Рассмотрим эпиморфизм (сюрьективный гомоморфизм)
\[ \C[t_1, ..., t_{n+1}]\stackrel \xi\arrow R,\] где 
$R=\bigg(\C[t_1, ..., t_{n}]/I\bigg)[F^{-1}]$, переводящий
$t_1, ..., t_n$ в себя, а $t_{n+1}$ в $F^{-1}$.
Проверьте, что $\xi(I')=0$ и выведите из этого, что 
$R=0$. Дальше примените предыдущую задачу.
\еу

\задача
Пусть $I$ -- идеал в $\C[t_1, ..., t_n]$.
Докажите, что
$I_{V(I)}=I$ тогда и только тогда, когда в
$\C[t_1, ..., t_n]/I$ нет нильпотентов.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
("сильная теорема Гильберта о нулях").
Пусть $I$ -- простой идеал в кольце полиномов над $\C$. Докажите, что
$I_{V(I)}=I$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу





\end{document}

